La derivada
Durante todo el cálculo tratamos con cantidades que están creciendo, y con tasas de crecimiento. Clasificamos todas las cantidades en dos clases: constantes y variables. Aquellas que consideramos de valor fijo, y llamamos constantes, generalmente las denotamos algebraicamente por letras del principio del alfabeto, como \(a\), \(b\), o \(c\); mientras que aquellas que consideramos capaces de crecer, o (como dicen los matemáticos) de “variar”, las denotamos por letras del final del alfabeto, como \(x\), \(y\), \(z\), \(u\), \(v\), \(w\), o a veces \(t\).
Además, usualmente tratamos con más de una variable a la vez, y pensamos en la forma en que una variable depende de la otra: por ejemplo, pensamos en la forma en que la altura alcanzada por un proyectil depende del tiempo de alcanzar esa altura. O se nos pide considerar un rectángulo de área dada, y preguntar cómo cualquier incremento en la longitud de este obligará a una correspondiente disminución en su anchura. O pensamos en la forma en que cualquier variación en la inclinación de una escalera hará que la altura a la que llega varíe.
Supongamos que tenemos dos de estas variables que dependen una de la otra. Una alteración en una producirá una alteración en la otra, debido a esta dependencia. Llamemos a una de las variables \(x\), y a la otra que depende de ella \(y\).
Supongamos que hacemos que \(x\) varíe, es decir, la alteramos o imaginamos que se altera, añadiéndole un poco que llamamos \(dx\). Así hacemos que \(x\) se vuelva \(x + dx\). Entonces, porque \(x\) ha sido alterado, \(y\) se habrá alterado también, y habrá pasado a ser \(y + dy\). Aquí el poco \(dy\) puede ser en algunos casos positivo, en otros negativo; y no será (excepto por un milagro) del mismo tamaño que \(dx\).
Toma dos ejemplos
Ejemplo 3.1. Sean \(x\) y \(y\) respectivamente la base y la altura de un triángulo rectángulo (la siguiente figura), del cual la inclinación del otro lado está fijada en \(30^\circ\). Si suponemos que este triángulo se expande y mantiene sus ángulos como al principio, entonces, cuando la base crece hasta convertirse en \(x + dx\), la altura pasa a ser \(y + dy\). Aquí, aumentar \(x\) resulta en un aumento de \(y\). El pequeño triángulo, cuya altura es \(dy\), y cuya base es \(dx\), es similar al triángulo original; y es obvio que el valor de la razón \(\dfrac{dy}{dx}\) es el mismo que el de la razón \(\dfrac{y}{x}\). Como el ángulo es \(30^\circ\) se verá que aquí \[\frac{dy}{dx} =\tan 30^\circ\approx \frac{1}{1.73}.\]
Fig. 3.1
Ejemplo 3.2. Sea \(x\) representando, en la siguiente figura, la distancia horizontal, desde una pared, del extremo inferior de una escalera, \(AB\), de longitud fija; y que \(y\) sea la altura a la que alcanza en la pared. Ahora \(y\) claramente depende de \(x\). Es fácil ver que, si tiramos el extremo inferior \(A\) un poco más lejos de la pared, el extremo superior \(B\) bajará un poco más. Expresemos esto en lenguaje científico. Si incrementamos \(x\) a \(x + dx\), entonces \(y\) se convertirá en \(y + dy\). Si \(dx>0\) entonces \(dy<0\); es decir, cuando \(x\) recibe un incremento positivo, el incremento que resulta para \(y\) es negativo.
Fig. 3.2
Sí, pero ¿cuánto? Supongamos que la escalera era tan larga que cuando el extremo inferior \(A\) estaba \(19\) pulgadas de la pared el extremo superior \(B\) alcanzaba justo \(15\) pies del suelo. Ahora, si fuera a tirar el extremo inferior \(1\) pulgada más, ¿cuánto bajaría el extremo superior? Póngalo todo en pulgadas: \(x = 19\) pulgadas, \(y = 180\) pulgadas. Ahora el incremento de \(x\) que llamamos \(dx\), es \(1\) pulgada: o \(x + dx = 20\) pulgadas.
¿Cuánto se reducirá \(y\)? La nueva altura será \(y + dy\). Si calculamos la altura usando el teorema de Pitágoras,1 entonces podremos encontrar cuánto será \(dy\) . La longitud de la escalera es \[\sqrt{ (180)^2 + (19)^2 } = 181 \text{ pulgadas}.\] Claramente entonces, la nueva altura, que es \(y + dy\), será tal que \[\begin{align} (y + dy)^2 &= (181)^2 - (20)^2 = 32761 - 400 = 32361, \\ y + dy &= \sqrt{32361} \approx 179.89 \text{ pulgadas}. \end{align}\] Ahora \(y\) es \(180\), de modo que \(dy\) es aproximadamente \(179.89-180 = -0.11\) pulgadas.
Así vemos que hacer que \(dx\) sea un incremento de \(1\) pulgada ha resultado en hacer que \(dy\) sea una disminución de aproximadamente \(0.11\) pulgadas.
Y la razón de \(dy\) con respecto a \(dx\) puede expresarse así: \[\frac{dy}{dx} \approx - \frac{0.11}{1}.\]
También es fácil ver que (excepto en una posición particular) \(dy\) será de un tamaño diferente que \(dx\).
Ahora bien, a lo largo del cálculo diferencial estamos buscando, buscando, buscando una cosa curiosa, una simple proporción, a saber, la proporción que \(dy\) tiene con \(dx\) cuando ambos son indefinidamente pequeños.
Debe señalarse aquí que solo podemos encontrar esta proporción \(\dfrac{dy}{dx}\) cuando \(y\) y \(x\) están relacionados entre sí de alguna manera, de modo que siempre que \(x\) varíe \(y\) varíe también. Por ejemplo, en el primer ejemplo tomado, si la base \(x\) del triángulo se alarga, la altura \(y\) del triángulo también se hace mayor, y en el segundo ejemplo, si se incrementa la distancia \(x\) del pie de la escalera a la pared, la altura \(y\) alcanzada por la escalera disminuye de manera correspondiente, lentamente al principio, pero más y más rápidamente a medida que \(x\) se hace mayor. En estos casos la relación entre \(x\) y \(y\) es perfectamente definida, puede expresarse matemáticamente, siendo \(\dfrac{y}{x} = \tan 30^\circ\) y \(x^2 + y^2 = l^2\) (donde \(l\) es la longitud de la escalera) respectivamente, y \(\dfrac{dy}{dx}\) tiene el significado que encontramos en cada caso.
Si, mientras \(x\) es, como antes, la distancia del pie de la escalera a la pared, \(y\) es, en lugar de la altura alcanzada, la longitud horizontal de la pared, o el número de ladrillos en ella, o el número de años desde que se construyó, cualquier cambio en \(x\) naturalmente no causaría ningún cambio en \(y\); en este caso \(\dfrac{dy}{dx}\) no tiene ningún significado, y no es posible encontrar una expresión para ello. Siempre que usemos diferenciales \(dx\), \(dy\), \(dz\), etc., se implica la existencia de algún tipo de relación entre \(x\), \(y\), \(z\), etc., y esta relación se llama una “función” en \(x\), \(y\), \(z\), etc.; las dos expresiones dadas anteriormente, por ejemplo, a saber \(\dfrac{y}{x} = \tan 30^\circ\) y \(x^2 + y^2 = l^2\), son funciones de \(x\) y \(y\). Tales expresiones contienen implícitamente (es decir, contienen sin mostrarlo claramente) los medios para expresar tanto \(x\) en términos de \(y\) como \(y\) en términos de \(x\), y por esta razón se les llama funciones implícitas en \(x\) y \(y\); pueden respectivamente ponerse en las formas \[y = x \tan 30^\circ \quad\text{o}\quad x = \frac{y}{\tan 30^\circ}\] y \[y = \sqrt{ l^2 - x^2} \quad\text{o}\quad x = \sqrt{ l^2 - y^2}.\]
Estas últimas expresiones declaran explícitamente (es decir, claramente) el valor de \(x\) en términos de \(y\), o de \(y\) en términos de \(x\), y por esta razón se llaman funciones explícitas de \(x\) o \(y\). Por ejemplo \(x^2 + 3 = 2y - 7\) es una función implícita en \(x\) y \(y\); puede escribirse \(y = \dfrac{x^2 + 10}{2}\) (función explícita de \(x\)) o \(x = \sqrt{2y - 10}\) (función explícita de \(y\)).2 Vemos que una función explícita en \(x\), \(y\), \(z\), etc., es simplemente algo cuyo valor cambia cuando \(x\), \(y\), \(z\), etc., están cambiando, ya sea uno a la vez o varios juntos. Debido a esto, el valor de la función explícita se llama la variable dependiente, ya que depende del valor de las otras cantidades variables en la función; estas otras variables se llaman las variables independientes porque su valor no se determina a partir del valor asumido por la función. Por ejemplo, si \(u = x^2 \sin \theta\), \(x\) y \(\theta\) son las variables independientes, y \(u\) es la variable dependiente.
A veces la relación exacta entre varias cantidades \(x\), \(y\), \(z\) o bien no se conoce o no es conveniente declararla; solo se sabe, o es conveniente declarar, que hay algún tipo de relación entre estas variables, de modo que una no puede alterar ni \(x\) ni \(y\) ni \(z\) singularmente sin afectar las otras cantidades; la existencia de una función en \(x\), \(y\), \(z\) se indica entonces por la notación \(F(x, y, z)\) (función implícita) o por \(x = F(y, z)\), \(y = F(x, z)\) o \(z = F(x, y)\) (función explícita). A veces se utiliza la letra \(f\) o \(\phi\) en lugar de \(F\), de modo que \(y = F(x)\), \(y = f(x)\) y \(y = \phi(x)\) significan todas lo mismo, a saber, que el valor de \(y\) depende del valor de \(x\) de alguna manera que no está declarada.
Llamamos a la razón \(\dfrac{dy}{dx}\) “la derivada de \(\boldsymbol{y}\) con respecto a \(\boldsymbol{x}\).” Es un solemne nombre científico para esta cosa tan simple. Pero no nos vamos a asustar por nombres solemnes, cuando las cosas en sí mismas son tan fáciles. En lugar de asustarnos, simplemente pronunciaremos una breve maldición sobre la estupidez de dar nombres largos y complicados; y, habiendo aliviado nuestras mentes, continuaremos con la cosa simple en sí, a saber, la razón \(\dfrac{dy}{dx}\).
En el álgebra ordinaria que aprendiste en la escuela, siempre estabas buscando alguna cantidad desconocida que llamabas \(x\) o \(y\); o a veces había dos cantidades desconocidas para ser buscadas simultáneamente. Ahora tienes que aprender a buscar de una manera nueva; la presa ahora no son ni \(x\) ni \(y\). En lugar de esto, tienes que buscar este curioso cachorro llamado \(\dfrac{dy}{dx}\). El proceso de encontrar el valor de \(\dfrac{dy}{dx}\) se llama “diferenciación.” Pero, recuerda, lo que se quiere es el valor de esta razón cuando tanto \(dy\) como \(dx\) son en sí infinitamente pequeños. El verdadero valor de la derivada es aquel al que se aproxima en el caso límite cuando cada uno de ellos se considera infinitesimalmente minúsculo.
Ahora aprendamos cómo ir en busca de \(\dfrac{dy}{dx}\).
Cómo Leer Derivadas
No hará nunca caer en el error de principiante de pensar que \(dx\) significa \(d\) veces \(x\), porque \(d\) no es un factor—significa “un elemento de” o “un poco de” lo que siga. Se lee \(dx\) así: “dee-eks.”
En caso de que el lector no tenga a nadie que lo guíe en tales asuntos, aquí se puede simplemente decir que se leen las derivadas de la siguiente manera. La derivada
\(\dfrac{dy}{dx}\) se lee “dee-wy por dee-eks,” o “dee-wy sobre dee-eks.”
\(\dfrac{du}{dt}\) se lee “dee-you por dee-tee.”
La segunda derivada se encontrará más adelante. Son así:
\(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\); que se lee “dee-dos-wy sobre dee-eks-cuadrado,”
y significa que la operación de diferenciar \(y\) con respecto a \(x\) se ha realizado (o debe realizarse) dos veces.
Otra forma de indicar que una función ha sido diferenciada es poniendo un acento en el símbolo de la función. Así, si \(y=F(x)\), que significa que \(y\) es alguna función no especificada de \(x\), podemos escribir \(F^\prime(x)\) en lugar de \(\dfrac{d\bigl(F(x)\bigr)}{dx}\). De manera similar, \(F^{\prime\prime}(x)\) significará que la función original \(F(x)\) ha sido diferenciada dos veces respecto a \(x\).