A Derivada

Durante todo o cálculo, estamos lidando com quantidades que estão crescendo e com taxas de crescimento. Classificamos todas as quantidades em duas classes: constantes e variáveis. Aquelas que consideramos de valor fixo, e chamamos de constantes, geralmente denotamos algebricamente por letras do início do alfabeto, como \(a\), \(b\) ou \(c\); enquanto aquelas que consideramos capazes de crescer, ou (como dizem os matemáticos) de "variar", denotamos por letras do final do alfabeto, como \(x\), \(y\), \(z\), \(u\), \(v\), \(w\) ou às vezes \(t\).

Além disso, geralmente estamos lidando com mais de uma variável ao mesmo tempo e pensando na maneira como uma variável depende da outra: por exemplo, pensamos na maneira como a altura alcançada por um projétil depende do tempo para atingir essa altura. Ou nos pedem para considerar um retângulo de área dada e perguntar como qualquer aumento em seu comprimento forçará uma diminuição correspondente em sua largura. Ou pensamos na maneira como qualquer variação na inclinação de uma escada fará com que a altura que ela atinge varie.

Suponha que tenhamos duas dessas variáveis que dependem uma da outra. Uma alteração em uma provocará uma alteração na outra, por causa dessa dependência. Vamos chamar uma das variáveis de \(x\) e a outra que depende dela de \(y\).

Suponha que façamos \(x\) variar, isto é, nós a alteramos ou imaginamos que ela seja alterada, adicionando a ela um pedaço que chamamos de \(dx\). Estamos assim fazendo com que \(x\) se torne \(x + dx\). Então, porque \(x\) foi alterado, \(y\) também terá se alterado e terá se tornado \(y + dy\). Aqui, o pedaço \(dy\) pode ser em alguns casos positivo, em outros negativo; e não será (exceto por um milagre) do mesmo tamanho que \(dx\).

Tome dois exemplos

Agora, através de todo o cálculo diferencial, estamos caçando, caçando, caçando por uma coisa curiosa, uma mera razão, a saber, a proporção que \(dy\) tem para \(dx\) quando ambos são indefinidamente pequenos.

Deve-se notar aqui que só podemos encontrar esta razão \(\dfrac{dy}{dx}\) quando \(y\) e \(x\) estão relacionados um com o outro de alguma forma, de modo que sempre que \(x\) varia, \(y\) também varia. Por exemplo, no primeiro exemplo recém tomado, se a base \(x\) do triângulo for feita mais longa, a altura \(y\) do triângulo torna-se maior também, e no segundo exemplo, se a distância \(x\) do pé da escada até a parede for feita para aumentar, a altura \(y\) alcançada pela escada diminui de maneira correspondente, lentamente no início, mas cada vez mais rapidamente à medida que \(x\) se torna maior. Nestes casos, a relação entre \(x\) e \(y\) é perfeitamente definida, pode ser expressa matematicamente, sendo \(\dfrac{y}{x} = \tan 30^\circ\) e \(x^2 + y^2 = l^2\) (onde \(l\) é o comprimento da escada) respectivamente, e \(\dfrac{dy}{dx}\) tem o significado que encontramos em cada caso.

Se, enquanto \(x\) é, como antes, a distância do pé da escada até a parede, \(y\) é, em vez da altura alcançada, o comprimento horizontal da parede, ou o número de tijolos nela, ou o número de anos desde que foi construída, qualquer mudança em \(x\) naturalmente não causaria mudança alguma em \(y\); neste caso \(\dfrac{dy}{dx}\) não tem significado algum, e não é possível encontrar uma expressão para ela. Sempre que usamos diferenciais \(dx\), \(dy\), \(dz\), etc., a existência de algum tipo de relação entre \(x\), \(y\), \(z\), etc., está implícita, e essa relação é chamada de uma "função" em \(x\), \(y\), \(z\), etc.; as duas expressões dadas acima, por exemplo, a saber \(\dfrac{y}{x} = \tan 30^\circ\) e \(x^2 + y^2 = l^2\), são funções de \(x\) e \(y\). Tais expressões contêm implicitamente (isto é, contêm sem mostrar distintamente) os meios de expressar ou \(x\) em termos de \(y\) ou \(y\) em termos de \(x\), e por esta razão são chamadas de funções implícitas em \(x\) e \(y\); elas podem ser respectivamente colocadas nas formas \[y = x \tan 30^\circ \quad\text{ou}\quad x = \frac{y}{\tan 30^\circ}\] e \[y = \sqrt{ l^2 - x^2} \quad\text{ou}\quad x = \sqrt{ l^2 - y^2}.\]

Estas últimas expressões declaram explicitamente (isto é, distintamente) o valor de \(x\) em termos de \(y\), ou de \(y\) em termos de \(x\), e são por esta razão chamadas de funções explícitas de \(x\) ou \(y\). Por exemplo \(x^2 + 3 = 2y - 7\) é uma função implícita em \(x\) e \(y\); pode ser escrita \(y = \dfrac{x^2 + 10}{2}\) (função explícita de \(x\)) ou \(x = \sqrt{2y - 10}\) (função explícita de \(y\)).² Vemos que uma função explícita em \(x\), \(y\), \(z\), etc., é simplesmente algo cujo valor muda quando \(x\), \(y\), \(z\), etc., estão mudando, seja um de cada vez ou vários juntos. Por causa disso, o valor da função explícita é chamado de variável dependente, pois depende do valor das outras quantidades variáveis na função; essas outras variáveis são chamadas de variáveis independentes porque seu valor não é determinado a partir do valor assumido pela função. Por exemplo, se \(u = x^2 \sin \theta\), \(x\) e \(\theta\) são as variáveis independentes, e \(u\) é a variável dependente.

Às vezes, a relação exata entre várias quantidades \(x\), \(y\), \(z\) ou não é conhecida ou não é conveniente declará-la; sabe-se apenas, ou é conveniente declarar, que existe algum tipo de relação entre essas variáveis, de modo que não se pode alterar nem \(x\) nem \(y\) nem \(z\) isoladamente sem afetar as outras quantidades; a existência de uma função em \(x\), \(y\), \(z\) é então indicada pela notação \(F(x, y, z)\) (função implícita) ou por \(x = F(y, z)\), \(y = F(x, z)\) ou \(z = F(x, y)\) (função explícita). Às vezes, a letra \(f\) ou \(\phi\) é usada em vez de \(F\), de modo que \(y = F(x)\), \(y = f(x)\) e \(y = \phi(x)\) significam a mesma coisa, a saber, que o valor de \(y\) depende do valor de \(x\) de alguma maneira que não é declarada.

Chamamos a razão \(\dfrac{dy}{dx}\) de "a derivada de \(\boldsymbol{y}\) em relação a \(\boldsymbol{x}\)." É um nome científico solene para esta coisa muito simples. Mas não vamos nos assustar com nomes solenes, quando as coisas em si são tão fáceis. Em vez de ficarmos assustados, vamos simplesmente pronunciar uma breve maldição sobre a estupidez de dar nomes longos e complicados; e, tendo aliviado nossas mentes, prosseguiremos para a coisa simples em si, a saber, a razão \(\dfrac{dy}{dx}\).

Na álgebra comum que você aprendeu na escola, você estava sempre caçando alguma quantidade desconhecida que você chamava de \(x\) ou \(y\); ou às vezes havia duas quantidades desconhecidas para serem caçadas simultaneamente. Agora você tem que aprender a ir caçar de uma nova maneira; a raposa agora não sendo nem \(x\) nem \(y\). Em vez disso, você tem que caçar este filhote curioso chamado \(\dfrac{dy}{dx}\). O processo de encontrar o valor de \(\dfrac{dy}{dx}\) é chamado de "diferenciar". Mas, lembre-se, o que se quer é o valor desta razão quando tanto \(dy\) quanto \(dx\) são eles mesmos indefinidamente pequenos. O verdadeiro valor da derivada é aquele do qual ela se aproxima no caso limite, quando cada um deles é considerado como infinitesimalmente minúsculo.

Vamos agora aprender como ir em busca de \(\dfrac{dy}{dx}\).

Como Ler Derivadas

Nunca se deve cair no erro de principiante de pensar que \(dx\) significa \(d\) vezes \(x\), pois \(d\) não é um fator — significa "um elemento de" ou "um pedaço de" o que quer que se siga. Lê-se \(dx\) assim: "dê-x".

Caso o leitor não tenha ninguém para guiá-lo em tais assuntos, pode-se dizer aqui simplesmente que se leem as derivadas da seguinte maneira. A derivada

\(\dfrac{dy}{dx}\) é lida "dê-ypslon sobre dê-x," ou "dê-ypslon por dê-x."

\(\dfrac{du}{dt}\) é lida "dê-u sobre dê-tê."

A segunda derivada será encontrada mais adiante. Elas são assim:

\(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\); que é lida "dê-dois-ypslon sobre dê-x-quadrado,"

e significa que a operação de diferenciar \(y\) em relação a \(x\) foi (ou tem que ser) realizada duas vezes.

Outra maneira de indicar que uma função foi diferenciada é colocando um acento no símbolo da função. Assim, se \(y=F(x)\), o que significa que \(y\) é alguma função não especificada de \(x\), podemos escrever \(F^\prime(x)\) em vez de \(\dfrac{d\bigl(F(x)\bigr)}{dx}\). Da mesma forma, \(F^{\prime\prime}(x)\) significará que a função original \(F(x)\) foi diferenciada duas vezes em relação a \(x\).

1. O teorema de Pitágoras afirma que em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois catetos.↩︎
2. Aqui assumimos que \(x\) é positivo. No entanto, se nos for dado que \(x\) é negativo, precisamos expressá-lo como \(x=-\sqrt{2y-10}\).↩︎