Équations différentielles

Exemple 23.1. Trouvez la solution de l'équation différentielle \[b \frac{dy}{dx}+ay = 0.\]

Solution.

En transposant, nous avons \[b \frac{dy}{dx} = -ay.\]

Maintenant, la simple inspection de cette relation nous indique que nous avons affaire à un cas dans lequel \(\dfrac{dy}{dx}\) est proportionnel à \(y\). Si nous pensons à la courbe qui représentera \(y\) comme une fonction de \(x\), elle sera telle que sa pente en tout point sera proportionnelle à l'ordonnée (ou la coordonnée \(y\)) à ce point, et sera une pente négative si \(y\) est positif. Ainsi, de toute évidence, la courbe sera une courbe d'amortissement (voir ici) à condition que \(a/b>0\), et la solution contiendra \(e^{-x}\) comme facteur. Mais, sans présumer de ce brin de sagacité, mettons-nous au travail.

Comme \(y\) et \(dy\) apparaissent tous deux dans l'équation et sur des côtés opposés, nous ne pouvons rien faire tant que nous n'avons pas mis à la fois \(y\) et \(dy\) d'un côté, et \(dx\) de l'autre. Pour ce faire, nous devons séparer l'un de l'autre nos compagnons habituellement inséparables \(dy\) et \(dx\). \[\frac{dy}{y} = - \frac{a}{b}\, dx.\]

L'opération effectuée, nous pouvons maintenant voir que les deux membres ont pris une forme intégrable, car nous reconnaissons \(\dfrac{dy}{y}\), ou \(\dfrac{1}{y}\, dy\), comme une différentielle que nous avons rencontrée lors de la dérivation des logarithmes. Nous pouvons donc immédiatement écrire les instructions pour intégrer, \[\int \frac{dy}{y} = \int -\frac{a}{b}\, dx;\] et en effectuant les deux intégrations, nous avons : \[\ln |y| = -\frac{a}{b} x + C,\] où \(C\) est la constante d'intégration. Ensuite, en passant à l'exponentielle, nous obtenons : \[\begin{align} |y|&=e^{-\frac{a}{b} x + C}\\ &=e^C e^{-\frac{a}{b} x}\\ &=B e^{-\frac{a}{b} x} \end{align}\] où nous avons substitué \(e^C\) par \(B\) par souci de simplicité. Puisque \(e^C\) est toujours positif, nous savons que \(B>0\). Par conséquent \[y=\pm B e^{-\frac{a}{b} x},\] ce qui peut s'exprimer sous la forme \[y=A e^{-\frac{a}{b}x}\] si nous permettons à la constante arbitraire \(A\) de prendre des valeurs positives ou négatives. De plus, il est important d'observer que \(A = 0\) est une possibilité viable car si \(y\) est toujours nul, il satisfait l'équation différentielle donnée.

À présent, cette solution semble assez différente de l'équation différentielle originale à partir de laquelle elle a été construite : pourtant, pour un mathématicien expert, elles transmettent toutes deux la même information quant à la manière dont \(y\) dépend de \(x\).

Maintenant, en ce qui concerne le \(A\), sa signification dépend de la valeur initiale de \(y\). Car si nous posons \(x = 0\) afin de voir quelle valeur \(y\) prend alors, nous trouvons que cela donne \(y = A e^{-0}\) ; et comme \(e^{-0} = 1\) nous voyons que \(A\) n'est rien d'autre que la valeur particulière¹ de \(y\) au départ. Nous pouvons appeler cela \(y_0\), et ainsi écrire la solution sous la forme \[y = y_0 e^{-\frac{a}{b} x}.\]

Exemple 23.2. Prenons comme exemple à résoudre \[ay + b \frac{dy}{dx} = g,\] où \(g\) est une constante. À nouveau, l'examen de l'équation suggérera, (1) que d'une manière ou d'une autre \(e^x\) apparaîtra dans la solution, et (2) que si, en n'importe quel point de la courbe, \(y\) devient soit un maximum soit un minimum, de sorte que \(\dfrac{dy}{dx} = 0\), alors \(y\) aura la valeur \(= \dfrac{g}{a}\). Mais mettons-nous au travail comme précédemment, en séparant les différentielles et en essayant de transformer l'expression en une forme intégrable. \[\begin{align} b\frac{dy}{dx} &= g -ay; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{a}{b}\left(\frac{g}{a}-y\right); \\ \frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}} &= -\frac{a}{b}\, dx. \end{align}\]

Nous avons maintenant fait de notre mieux pour n'avoir que \(y\) et \(dy\) d'un côté, et rien d'autre que \(dx\) de l'autre. Mais le résultat du côté gauche est-il intégrable ?

Il est de la même forme que le résultat précédent ; ainsi, en écrivant les instructions pour intégrer, nous avons : \[\int{\frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}}} = - \int{\frac{a}{b}\, dx};\] et, en effectuant l'intégration et en ajoutant la constante appropriée, \[\ln\left|y-\frac{g}{a}\right| = -\frac{a}{b}x + C;\] d'où \[y-\frac{g}{a} = Ae^{-\frac{a}{b}x},\] où \(A=\pm e^C\), et enfin, \[y = \frac{g}{a} + Ae^{-\frac{a}{b}x},\] qui est la solution.

Si la condition est posée que \(y = 0\) quand \(x = 0\), nous pouvons trouver \(A\) ; car alors l'exponentielle devient \(= 1\) ; et nous avons \[0 = \frac{g}{a} + A,\] ou\[A = -\frac{g}{a}.\]

En introduisant cette valeur, la solution devient \[y = \frac{g}{a} (1-e^{-\frac{a}{b} x}).\]

Mais de plus, en supposant que \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{g}{a}\) soient tous deux positifs, si \(x\) croît indéfiniment, \(y\) croîtra jusqu'à un maximum ; car lorsque \(x=\infty\), l'exponentielle \(= 0\),² ce qui donne \(y_{\text{max.}} = \dfrac{g}{a}\). En substituant cela, nous obtenons enfin \[y = y_{\text{max.}}(1-e^{-\frac{a}{b} x}).\] Cette courbe est tracée ci-dessous.

Ce résultat est également important en sciences physiques.

Exemple 23.3. Soit \[b\frac{dy}{dt} + a y = g \cdot \sin (2\pi nt).\]

Nous trouverons ceci bien moins maniable que le précédent. Divisons d'abord par \(b\). \[\frac{dy}{dt} + \frac{a}{b}y = \frac{g}{b} \sin (2\pi nt).\]

Maintenant, en l'état, le côté gauche n'est pas intégrable. Mais il peut le devenir par l'artifice — et c'est là que l'habileté et la pratique suggèrent un plan — consistant à multiplier tous les termes par \(e^{\frac{a}{b} t}\), ce qui nous donne : \[\frac{dy}{dt} e^{\frac{a}{b} t} + \frac{a}{b} y e^{\frac{a}{b} t} = \frac{g}{b} e^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin (2 \pi nt),\] ce qui est identique à \[\frac{dy}{dt} e^{\frac{a}{b} t} + y \frac{d(e^{\frac{a}{b} t})}{dt} = \frac{g}{b} e^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin (2 \pi nt);\] et ceci étant une différentielle parfaite peut être intégré ainsi : — puisque, si \(u = ye^{\frac{a}{b} t}\), \(\dfrac{du}{dt} = \dfrac{dy}{dt} e^{\frac{a}{b} t} + y \dfrac{d(e^{\frac{a}{b} t})}{dt}\), \[y e^{\frac{a}{b} t} = \frac{g}{b} \int e^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin (2 \pi nt) \cdot dt + C,\] ou \[y = \frac{g}{b} e^{-\frac{a}{b} t} \int e^{ \frac{a}{b} t} \cdot \sin (2\pi nt) \cdot dt + Ce^{-\frac{a}{b} t}. \tag{A}\]

Le dernier terme est manifestement un terme qui s'estompera à mesure que \(t\) augmente (à condition que \(a/b>0\)), et peut être omis. La difficulté consiste maintenant à trouver l'intégrale qui apparaît comme facteur. Pour y remédier, nous avons recours au procédé de l'intégration par parties, dont la formule générale est \(\int u dv = uv - \int v du\). À cet effet, écrivons \[\left\{ \begin{align} u &= e^{\frac{a}{b} t}; \\ dv &= \sin (2\pi nt) \cdot dt. \end{align} \right.\] Nous aurons alors \[\left\{ \begin{align} du &= e^{\frac{a}{b} t} \times \frac{a}{b}\, dt; \\ v &= - \frac{1}{2\pi n} \cos (2\pi nt). \end{align} \right.\]

En insérant ces valeurs, l'intégrale en question devient : \[\begin{align} \int e^{\frac{a}{b} t} &{} \cdot \sin (2 \pi n t) \cdot dt \\ &= -\frac{1}{2 \pi n} \cdot e^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos (2 \pi nt) -\int -\frac{1}{2\pi n} \cos (2 \pi nt) \cdot e^{\frac{a}{b} t} \cdot \frac{a}{b}\, dt \\ &= -\frac{1}{2 \pi n} e^{\frac{a}{b} t} \cos (2 \pi nt) +\frac{a}{2 \pi nb} \int e^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos (2 \pi nt) \cdot dt. \tag{B} \end{align}\]

La dernière intégrale est toujours irréductible. Pour contourner la difficulté, répétez l'intégration par parties du côté gauche, mais en la traitant de manière inverse en écrivant : \[\left\{ \begin{align} u &= \sin (2 \pi n t) ; \\ dv &= e^{\frac{a}{b} t} \cdot dt; \end{align} \right.\] d'où \[\left\{ \begin{align} du &= 2 \pi n \cdot \cos (2 \pi n t) \cdot dt; \\ v &= \frac{b}{a} e ^{\frac{a}{b} t} \end{align} \right.\]

En insérant ces valeurs, nous obtenons \[\begin{align} \int e^{\frac{a}{b} t} &{} \cdot \sin (2 \pi n t) \cdot dt\\ &= \frac{b}{a} \cdot e^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin (2 \pi n t) - \frac{2 \pi n b}{a} \int e^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos (2 \pi n t) \cdot dt. \tag{C} \end{align}\]

En notant que l'intégrale finale insoluble dans (C) est la même que celle dans (B), nous pouvons l'éliminer en multipliant (B) par \(\dfrac{2 \pi nb}{a}\), et en multipliant (C) par \(\dfrac{a}{2 \pi nb}\), et en les additionnant.

Le résultat, une fois simplifié, est : \[\begin{align} \int e^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin (2 \pi n t) \cdot dt &= e^{\frac{a}{b} t} \left\{\frac{ ab \cdot \sin (2 \pi nt) - 2 \pi n b^2 \cdot \cos (2 \pi n t)}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2 } \right\} \tag{D} \end{align}\] En insérant cette valeur dans (A), nous obtenons \[\begin{align} y &= g \left\{\frac{ a \cdot \sin (2 \pi n t) - 2 \pi n b \cdot \cos (2 \pi nt)}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}\right\}. \end{align}\]

Pour simplifier encore davantage, imaginons un angle \(\phi\) tel que \(\tan \phi = \dfrac{2 \pi n b}{ a}\).

Alors \[\sin \phi = \frac{2 \pi nb}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}},\] et \[\cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}.\]

En substituant ceux-ci, nous obtenons : \[\begin{align} y &= g \frac{\cos \phi \cdot \sin (2 \pi nt) - \sin \phi \cdot \cos (2 \pi nt)}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \end{align}\] ce qui peut s'écrire \[y = g \frac{\sin(2 \pi nt - \phi)}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}},\] ce qui est la solution souhaitée.

C'est en effet rien d'autre que l'équation d'un courant électrique alternatif, où \(g\) représente l'amplitude de la force électromotrice, \(n\) la fréquence, \(a\) la résistance, \(b\) le coefficient d'auto-induction du circuit, et \(\phi\) est un angle de retard.

Exemple 23.4. Supposons que \[M\, dx + N\, dy = 0.\]

Nous pourrions intégrer cette expression directement, si \(M\) était une fonction de \(x\) seulement, et \(N\) une fonction de \(y\) seulement ; mais, si \(M\) et \(N\) sont tous deux des fonctions qui dépendent à la fois de \(x\) et \(y\), comment devons-nous l'intégrer ? Est-ce elle-même une différentielle exacte ? C'est-à-dire : \(M\) et \(N\) ont-ils été formés chacun par dérivation partielle à partir d'une fonction commune \(U\), ou non ? S'ils l'ont été, alors \[\left\{ \begin{align} \frac{\partial U}{\partial x} = M, \\ \frac{\partial U}{\partial y} = N. \end{align} \right.\] Et si une telle fonction commune existe, alors \[\frac{\partial U}{\partial x}\, dx + \frac{\partial U}{\partial y}\, dy\] est une différentielle exacte (comparez avec le chapitre sur la différentiation partielle).

Maintenant, le critère est le suivant. Si l'expression est une différentielle exacte, il doit être vrai que \[\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x};\] car alors \[\dfrac{\partial\left(\dfrac{\partial U}{\partial x}\right)}{\partial y}=\dfrac{\partial\left(\dfrac{\partial U}{\partial y}\right)}{\partial x}\] ce qui est nécessairement vrai.

[Note — Nous écrivons souvent \(\dfrac{\partial\left(\dfrac{\partial U}{\partial x}\right)}{\partial y}\) sous la forme \(\dfrac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}\). Par conséquent, l'équation ci-dessus s'écrit \[\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}.\] La dérivée partielle de gauche signifie que nous dérivons d'abord \(U\) par rapport à \(x\), puis que nous dérivons le résultat par rapport à \(y\), tandis que sur le côté droit, l'ordre de dérivation est inversé. En général, l'ordre de dérivation pour les fonctions que nous traitons ici n'a pas d'importance. Ainsi, \(\dfrac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}\) et \(\dfrac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}\) sont égales.]

Prenons pour illustration l'équation \[(1 + 3 xy)\, dx + x^2\, dy = 0.\]

S'agit-il d'une différentielle exacte ou non ? Appliquez le test. \[\left\{ \begin{align} &\frac{\partial(1 + 3xy)}{\partial y}&&=3x, \\ &\dfrac{\partial (x^2)}{\partial x} &&= 2x, \end{align} \right.\] qui ne concordent pas. Par conséquent, ce n'est pas une différentielle exacte, et les deux fonctions \(1+3xy\) et \(x^2\) ne proviennent pas d'une fonction originale commune.

Il est toutefois possible dans de tels cas de découvrir un facteur intégrant, c'est-à-dire un facteur tel que si les deux sont multipliés par ce facteur, l'expression deviendra une différentielle exacte. Il n'existe pas de règle unique pour découvrir un tel facteur intégrant ; mais l'expérience en suggérera généralement un. Dans le cas présent, \(2x\) agira comme tel. En multipliant par \(2x\), nous obtenons \[(2x + 6x^2y)\, dx + 2x^3\, dy = 0.\]

Appliquez maintenant le test à ceci. \[\left\{ \begin{align} & \frac{\partial (2x + 6x^2y)}{\partial y}&&=6x^2, \\ &\dfrac{\partial(2x^3)}{\partial x} &&= 6x^2, \end{align} \right.\] ce qui concorde. Par conséquent, il s'agit d'une différentielle exacte, et elle peut être intégrée.

Nous cherchons \(U\) tel que \[dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy=(2x+6x^2y)\, dx + 2x^3\, dy\] ou \[\frac{\partial U}{\partial x}=2x+6x^2y\quad\text{and}\quad \frac{\partial U}{\partial y}=2x^3\] Pour trouver \(U\) intégrons les deux côtés de \(\dfrac{\partial U}{\partial y}=2x^3\) par rapport à \(y\). \(\displaystyle \int 2x^3\,dy\) donne \(2x^3y\) mais nous devrions ajouter la constante d'intégration. Cependant, dans ce cas, la constante d'intégration est, en général, une fonction de \(x\), disons \(w=f(x)\) car la dérivée de \(w\) par rapport à \(y\) est nulle. C'est-à-dire, \[\frac{\partial (2x^3y+w)}{\partial y}=\frac{\partial (2x^3y)}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial y}=2x^3.\] Ceci est plus général que d'ajouter \(C\). Pour déterminer \(w\), différencions \(U\) par rapport à \(x\) et comparons le résultat avec \(2x+6x^2y\) : \[\frac{\partial(2x^3y+w)}{\partial x}=6x^2y+\frac{dw}{dx}.\] En comparant ce résultat avec \(2x+6x^2y\), nous réalisons que nous devons avoir \[\frac{dw}{dx}=2x\] D'où \[w=\int 2x\,dx=x^2+C\] et \[U=2x^3y+w=2x^3y+x^2+C\] Parce que la différentielle totale de \(U\) ou \(dU\) est nulle, \(U\) doit être une constante, disons \(K\). Par conséquent, la solution de l'équation différentielle donnée est \[U=2x^3y+x^2+C=K.\] Nous pouvons combiner les deux constantes \(C\) et \(K\) et écrire la solution sous la forme \[2x^3y+x^2=C_1,\] où \(C_1\) est une constante arbitraire. Nous pouvons déterminer \(C_1\), si nous connaissons la valeur de \(y\) en \(x=0\) (ou tout autre point).

Exemple 23.5. Soit \(\dfrac{d^2 y}{dt^2} + n^2 y = 0\).

Dans ce cas, nous avons une équation différentielle du second ordre, dans laquelle \(y\) apparaît sous la forme d'une dérivée du second ordre, ainsi qu'en personne.

En transposant, nous avons \(\dfrac{d^2 y}{dt^2} = - n^2 y\).

Il en ressort que nous avons affaire à une fonction telle que sa dérivée seconde est proportionnelle à elle-même, mais avec un signe inversé. Au chapitre 15, nous avons trouvé qu'il existait une telle fonction — à savoir le sinus (ou le cosinus également) qui possédait cette propriété. Ainsi, sans plus attendre, nous pouvons en déduire que la solution sera de la forme \(y = A \sin (pt + q)\). Cependant, mettons-nous au travail.

Multiplions les deux côtés de l'équation originale par \(2\dfrac{dy}{dt}\), ce qui nous donne \(2\dfrac{d^2 y}{dt^2}\, \dfrac{dy}{dt} + 2n^2 y \dfrac{dy}{dt} = 0\), et, comme \[2 \frac{d^2y}{dt^2}\, \frac{dy}{dt} = \frac{d \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}{dt},\] nous pouvons écrire \[\frac{d \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}{dt}+2n^2y\frac{dy}{dt}=0\] ou \[d\left(\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2\right)+2n^2 ydy=0.\] L'intégration nous donne \[\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+n^2 (y^2-C^2)=0\] où \(C\) est une constante. Ensuite, en prenant les racines carrées, \[\frac{dy}{dt} = -n \sqrt{ y^2 - C^2}\quad \text{and}\quad \frac{dy}{\sqrt{C^2 - y^2}} = n \cdot dt.\]

Mais il peut être démontré que \[\frac{1}{\sqrt{C^2 - y^2}} = \frac{d (\arcsin \dfrac{y}{C})}{dy};\] d'où, en passant des angles aux sinus, \[\arcsin \frac{y}{C} = nt + C_1\quad \text{and}\quad y = C \sin (nt + C_1),\] où \(C_1\) est un angle constant qui apparaît par intégration.

Ou, de préférence, ceci peut être écrit \[y = A \sin nt + B \cos nt,\] ce qui est la solution.

Exemple 23.6. Résoudre \(\dfrac{d^2 y}{dx^2} - n^2 y = 0\).

Solution. Ici, nous avons manifestement affaire à une fonction \(y\) telle que son second coefficient différentiel est proportionnel à elle-même. La seule fonction que nous connaissons possédant cette propriété est la fonction exponentielle (voir [unchanged]), et nous pouvons donc être certains que la solution de l'équation sera de cette forme.

En procédant comme précédemment, en multipliant par \(2 \dfrac{dy}{dx}\), et en intégrant, nous obtenons \(2\dfrac{d^2 y}{dx^2}\, \dfrac{dy}{dx} - 2n^2 y \dfrac{dy}{dx}=0\), et, comme \[\begin{gathered} 2\frac{d^2 y}{dx^2}\, \frac{dy}{dx} = \frac{d \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}{dx},\quad \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - n^2 (y^2 + c^2) = 0, \\ \frac{dy}{dx} - n \sqrt{y^2 + c^2} = 0, \end{gathered}\] où \(c\) est une constante, et \(\dfrac{dy}{\sqrt{y^2 + c^2}} = n\, dx\).

Maintenant, si\(w = \ln ( y+ \sqrt{y^2+ c^2}) = \ln u\), \[\begin{gathered} \frac{dw}{du} = \frac{1}{u},\quad \frac{du}{dy} = 1 + \frac{y}{\sqrt{y^2 + c^2}} = \frac{y + \sqrt{ y^2 + c^2}}{\sqrt{y^2 + c^2}} \end{gathered}\] et \[\frac{dw}{dy}=\frac{dw}{du}\cdot\frac{du}{dy} = \frac{1}{\sqrt{ y^2 + c^2}}.\]

Par conséquent, en intégrant, cela nous donne \[\begin{align} \ln (y + \sqrt{y^2 + c^2} ) &= nx + \ln C, \\ y + \sqrt{y^2 + c^2} &= C e^{nx}. \tag*{(1)} \end{align}\] Maintenant \[( y + \sqrt{y^2 + c^2} ) \times ( -y + \sqrt{y^2 + c^2} ) =-y^2+(y^2+c^2)= c^2 ;\] d'où \[-y + \sqrt{y^2 + c^2} =\frac{c^2}{y + \sqrt{y^2 + c^2}}= \frac{c^2}{C e^{nx}}=\dfrac{c^2}{C} e^{-nx}. \tag*{(2)}\]

En soustrayant (2) de (1) et en divisant par \(2\), nous avons alors \[y = \frac{1}{2} C e^{nx} - \frac{1}{2}\, \frac{c^2}{C} e^{-nx},\] ce qui s'écrit plus commodément \[y = A e^{nx} + B e^{-nx}.\] Ou bien, la solution, qui à première vue ne semble pas avoir de rapport avec l'équation originale, montre que \(y\) se compose de deux termes, dont l'un croît logarithmiquement à mesure que \(x\) augmente, et d'un second terme qui s'atténue à mesure que \(x\) augmente.

Exemple 23.7. Soit \[b \frac{d^2y}{dt^2} + a \frac{dy}{dt} + gy = 0.\]

L'examen de cette expression montrera que, si \(b = 0\), elle a la forme de l'Exemple 23.1, dont la solution était une exponentielle négative. D'autre part, si \(a = 0\), sa forme devient la même que celle de l'Exemple 23.6, dont la solution est la somme d'une exponentielle positive et d'une exponentielle négative. Il n'est donc pas très surprenant de constater que la solution du présent exemple est \[\begin{align} y &= (e^{-mt})(A e^{nt} + B e^{-nt}), \end{align}\] où \[\begin{align} m &= \frac{a}{2b}\quad \text{and}\quad n = \sqrt{\frac{a^2}{4b^2}} - \frac{g}{b}. \end{align}\]

Les étapes par lesquelles cette solution est obtenue ne sont pas données ici ; elles peuvent être trouvées dans des traités avancés ou des livres sur les équations différentielles.

Exemple 23.8. \[\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2y}{\partial x^2}.\]

Il a été vu que cette équation était dérivée de l'originale \[y = F(x+at) + f(x-at),\] où \(F\) et \(f\) étaient des fonctions arbitraires quelconques de \(t\).

Une autre façon de la traiter est de la transformer par un changement de variables en \[\frac{\partial^2y}{\partial u \, \partial v} = 0,\] où \(u = x + at\), et \(v = x - at\), menant à la même solution générale. Si nous considérons un cas dans lequel \(F\) s'annule, alors nous avons simplement \[y = f(x-at);\] et cela indique simplement que, au temps \(t = 0\), \(y\) est une fonction particulière de \(x\), et peut être considéré comme signifiant que la courbe de la relation de \(y\) à \(x\) a une forme particulière. Ensuite, tout changement dans la valeur de \(t\) équivaut simplement à une modification de l'origine à partir de laquelle \(x\) est compté. C'est-à-dire qu'il indique que, la forme de la fonction étant conservée, elle se propage le long de la direction \(x\) avec une vitesse uniforme \(a\) ; de sorte que quelle que soit la valeur de l'ordonnée \(y\) à un instant donné \(t_0\) en un point particulier \(x_0\), la même valeur de \(y\) apparaîtra à l'instant suivant \(t_1\) en un point plus éloigné, dont l'abscisse est \(x_0 + a(t_1 - t_0)\). Dans ce cas, l'équation simplifiée représente la propagation d'une onde (de n'importe quelle forme) à une vitesse uniforme le long de la direction \(x\) .

Si l'équation différentielle avait été écrite \[m \frac{\partial^2y}{\partial t^2} = k\, \frac{\partial^2y}{\partial x^2},\] la solution aurait été la même, mais la vitesse de propagation aurait eu la valeur \[a = \sqrt{\frac{k}{m}}.\]