Ecuaciones diferenciales

Ejemplo 23.1. Hallar la solución de la ecuación diferencial $$b\frac{dy}{dx}+ay=0.$$

Solución.

Transponiendo tenemos $$b\frac{dy}{dx}=-ay.$$

Ahora la mera inspección de esta relación nos dice que tenemos que vérnoslas con un caso en el que ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ es proporcional a $y$. Si pensamos en la curva que representará $y$ como función de $x$, será tal que su pendiente en cualquier punto será proporcional a la ordenada (o la coordenada $y$) en ese punto, y será una pendiente negativa si $y$ es positiva. Así que, obviamente, la curva será una curva decreciente (ver aquí) siempre que , y la solución contendrá $e^{-x}$ como factor. Pero, sin presumir de este poco de sagacidad, pongámonos a trabajar.

Como tanto $y$ como $dy$ aparecen en la ecuación y en lados opuestos, no podemos hacer nada hasta que llevemos ambos $y$ y $dy$ a un lado, y $dx$ al otro. Para hacer esto, debemos separar a nuestros compañeros usualmente inseparables $dy$ y $dx$ el uno del otro. $$\frac{dy}{y}=-\frac{a}{b}dx.$$

Una vez realizado el acto, ahora podemos ver que ambos lados han adquirido una forma integrable, porque reconocemos ${\displaystyle \frac{dy}{y}}$, o ${\displaystyle \frac{1}{y}}dy$, como un diferencial que hemos encontrado al diferenciar logaritmos. Así que podemos escribir de inmediato las instrucciones para integrar, $$\int \frac{dy}{y}=\int -\frac{a}{b}dx;$$ y realizando las dos integraciones, tenemos: $$\ln |y|=-\frac{a}{b}x+C,$$ donde $C$ es la constante de integración. Luego, deslogaritmizando, obtenemos: \begin{align} |y|&=e^{-\frac{a}{b} x + C}\\ &=e^C e^{-\frac{a}{b} x}\\ &=B e^{-\frac{a}{b} x} \end{align} donde hemos sustituido $e^C$ por $B$ por simplicidad. Dado que $e^C$ siempre es positivo, sabemos que . Por lo tanto $$y=\pm B{e}^{-\frac{a}{b}x},$$ lo cual puede expresarse como $$y=A{e}^{-\frac{a}{b}x}$$ si permitimos que la constante arbitraria $A$ tome valores positivos o negativos. Además, es importante observar que $A=0$ es una posibilidad viable ya que si $y$ es siempre cero, satisface la ecuación diferencial dada.

Ahora, esta solución parece muy diferente de la ecuación diferencial original a partir de la cual fue construida: sin embargo, para un matemático experto ambas transmiten la misma información sobre la manera en que $y$ depende de $x$.

Ahora, en cuanto a $A$, su significado depende del valor inicial de $y$. Pues si ponemos $x=0$ para ver qué valor tiene entonces $y$, encontramos que esto hace que $y=A{e}^{-0}$; y como $e^{-0}=1$ vemos que $A$ no es otra cosa que el valor particular¹ de $y$ al comienzo. A este podemos llamarlo $y_0$, y así escribir la solución como $$y=y_0{e}^{-\frac{a}{b}x}.$$

Ejemplo 23.2. Tomemos como ejemplo para resolver $$ay+b\frac{dy}{dx}=g,$$ donde $g$ es una constante. De nuevo, al inspeccionar la ecuación se sugerirá, (1) que de alguna manera u otra $e^x$ aparecerá en la solución, y (2) que si en alguna parte de la curva $y$ se vuelve o un máximo o un mínimo, de modo que ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$, entonces $y$ tendrá el valor $={\displaystyle \frac{g}{a}}$. Pero pongámonos a trabajar como antes, separando los diferenciales e intentando transformar la cosa en alguna forma integrable. \begin{align} b\frac{dy}{dx} &= g -ay; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{a}{b}\left(\frac{g}{a}-y\right); \\ \frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}} &= -\frac{a}{b}\, dx. \end{align}

Ahora hemos hecho todo lo posible para tener nada más que $y$ y $dy$ en un lado, y nada más que $dx$ en el otro. Pero, ¿es integrable el resultado del lado izquierdo?

Tiene la misma forma que el resultado anterior; así que, escribiendo las instrucciones para integrar, tenemos: $$\int \frac{dy}{y-{\displaystyle \frac{g}{a}}}=-\int \frac{a}{b}dx;$$ y, realizando la integración, y añadiendo la constante apropiada, $$\ln |y-\frac{g}{a}|=-\frac{a}{b}x+C;$$ de donde $$y-\frac{g}{a}=A{e}^{-\frac{a}{b}x},$$ donde $A=\pm e^C$, y finalmente, $$y=\frac{g}{a}+A{e}^{-\frac{a}{b}x},$$ la cual es la solución.

Si se impone la condición de que $y=0$ cuando $x=0$ podemos hallar $A$; porque entonces la exponencial se vuelve $=1$; y tenemos $$0=\frac{g}{a}+A,$$ o$$A=-\frac{g}{a}.$$

Poniendo este valor, la solución se convierte en $$y=\frac{g}{a}(1-e^{-\frac{a}{b}x}).$$

Pero además, asumiendo que tanto ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ como ${\displaystyle \frac{g}{a}}$ son positivos, si $x$ crece indefinidamente, $y$ crecerá hasta un máximo; porque cuando $x=\mathrm{\infty }$, la exponencial $=0$,² dando $y_{\text{máx.}}={\displaystyle \frac{g}{a}}$. Sustituyendo esto, obtenemos finalmente $$y=y_{\text{máx.}}(1-e^{-\frac{a}{b}x}).$$ Esta curva se representa a continuación.

Este resultado también es importante en la ciencia física.

Ejemplo 23.3. Sea $$b\frac{dy}{dt}+ay=g\cdot \sin (2\pi nt).$$

Encontraremos que ésta es mucho menos manejable que la precedente. Primero dividamos por $b$. $$\frac{dy}{dt}+\frac{a}{b}y=\frac{g}{b}\sin (2\pi nt).$$

Ahora, tal como está, el lado izquierdo no es integrable. Pero puede hacerse que lo sea mediante el artificio —y aquí es donde la habilidad y la práctica sugieren un plan— de multiplicar todos los términos por $e^{\frac{a}{b}t}$, dándonos: $$\frac{dy}{dt}{e}^{\frac{a}{b}t}+\frac{a}{b}y{e}^{\frac{a}{b}t}=\frac{g}{b}{e}^{\frac{a}{b}t}\cdot \sin (2\pi nt),$$ lo cual es lo mismo que $$\frac{dy}{dt}{e}^{\frac{a}{b}t}+y\frac{d(e^{\frac{a}{b}t})}{dt}=\frac{g}{b}{e}^{\frac{a}{b}t}\cdot \sin (2\pi nt);$$ y siendo esto una diferencial perfecta puede integrarse así:—puesto que, si $u=y{e}^{\frac{a}{b}t}$, ${\displaystyle \frac{du}{dt}}={\displaystyle \frac{dy}{dt}}{e}^{\frac{a}{b}t}+y{\displaystyle \frac{d(e^{\frac{a}{b}t})}{dt}}$, $$y{e}^{\frac{a}{b}t}=\frac{g}{b}\int e^{\frac{a}{b}t}\cdot \sin (2\pi nt)\cdot dt+C,$$ o y = \frac{g}{b} e^{-\frac{a}{b} t} \int e^{ \frac{a}{b} t} \cdot \sin (2\pi nt) \cdot dt + Ce^{-\frac{a}{b} t}. \tag{A}

El último término es obviamente un término que se extinguirá a medida que $t$ aumente (siempre que ), y puede omitirse. La dificultad ahora aparece al encontrar la integral que figura como factor. Para abordar esto recurrimos al artificio de la integración por partes, cuya fórmula general es $\int udv=uv-\int vdu$. Para este propósito escribimos \left\{ \begin{align} u &= e^{\frac{a}{b} t}; \\ dv &= \sin (2\pi nt) \cdot dt. \end{align} \right. Entonces tendremos \left\{ \begin{align} du &= e^{\frac{a}{b} t} \times \frac{a}{b}\, dt; \\ v &= - \frac{1}{2\pi n} \cos (2\pi nt). \end{align} \right.

Insertando éstos, la integral en cuestión se convierte en: \begin{align} \int e^{\frac{a}{b} t} &{} \cdot \sin (2 \pi n t) \cdot dt \\ &= -\frac{1}{2 \pi n} \cdot e^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos (2 \pi nt) -\int -\frac{1}{2\pi n} \cos (2 \pi nt) \cdot e^{\frac{a}{b} t} \cdot \frac{a}{b}\, dt \\ &= -\frac{1}{2 \pi n} e^{\frac{a}{b} t} \cos (2 \pi nt) +\frac{a}{2 \pi nb} \int e^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos (2 \pi nt) \cdot dt. \tag{B} \end{align}

La última integral sigue siendo irreducible. Para eludir la dificultad, repitamos la integración por partes del lado izquierdo, pero tratándola de manera inversa escribiendo: \left\{ \begin{align} u &= \sin (2 \pi n t) ; \\ dv &= e^{\frac{a}{b} t} \cdot dt; \end{align} \right. de donde \left\{ \begin{align} du &= 2 \pi n \cdot \cos (2 \pi n t) \cdot dt; \\ v &= \frac{b}{a} e ^{\frac{a}{b} t} \end{align} \right.

Insertando éstos, obtenemos \begin{align} \int e^{\frac{a}{b} t} &{} \cdot \sin (2 \pi n t) \cdot dt\\ &= \frac{b}{a} \cdot e^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin (2 \pi n t) - \frac{2 \pi n b}{a} \int e^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos (2 \pi n t) \cdot dt. \tag{C} \end{align}

Notando que la integral intratable final en (C) es la misma que en (B), podemos eliminarla, multiplicando (B) por ${\displaystyle \frac{2\pi nb}{a}}$, y multiplicando (C) por ${\displaystyle \frac{a}{2\pi nb}}$, y sumándolas.

El resultado, una vez despejado, es: \begin{align} \int e^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin (2 \pi n t) \cdot dt &= e^{\frac{a}{b} t} \left\{\frac{ ab \cdot \sin (2 \pi nt) - 2 \pi n b^2 \cdot \cos (2 \pi n t)}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2 } \right\} \tag{D} \end{align} Insertando este valor en (A), obtenemos \begin{align} y &= g \left\{\frac{ a \cdot \sin (2 \pi n t) - 2 \pi n b \cdot \cos (2 \pi nt)}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}\right\}. \end{align}

Para simplificar aún más, imaginemos un ángulo $\varphi$ tal que $\tan \varphi ={\displaystyle \frac{2\pi nb}{a}}$.

Entonces $$\sin \varphi =\frac{2\pi nb}{\sqrt{a^2+4{\pi }^2{n}^2{b}^2}},$$ y $$\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^2+4{\pi }^2{n}^2{b}^2}}.$$

Sustituyendo éstos, obtenemos: \begin{align} y &= g \frac{\cos \phi \cdot \sin (2 \pi nt) - \sin \phi \cdot \cos (2 \pi nt)}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \end{align} lo cual puede escribirse $$y=g\frac{\sin (2\pi nt-\varphi )}{\sqrt{a^2+4{\pi }^2{n}^2{b}^2}},$$ la cual es la solución deseada.

Esta no es otra que la ecuación de una corriente eléctrica alterna, donde $g$ representa la amplitud de la fuerza electromotriz, $n$ la frecuencia, $a$ la resistencia, $b$ el coeficiente de autoinducción del circuito, y $\varphi$ es un ángulo de desfase.

Ejemplo 23.4. Supongamos que $$Mdx+Ndy=0.$$

Podríamos integrar esta expresión directamente, si $M$ fuera una función de $x$ solamente, y $N$ una función de $y$ solamente; pero, si ambos $M$ y $N$ son funciones que dependen tanto de $x$ como de $y$, ¿cómo vamos a integrarla? ¿Es ella misma una diferencial exacta? Es decir: ¿han sido formados $M$ y $N$ cada uno por diferenciación parcial a partir de alguna función común $U$, o no? Si lo han sido, entonces \left\{ \begin{align} \frac{\partial U}{\partial x} = M, \\ \frac{\partial U}{\partial y} = N. \end{align} \right. Y si tal función común existe, entonces $$\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy$$ es una diferencial exacta (comparar el capítulo sobre diferenciación parcial).

Ahora la prueba del asunto es ésta. Si la expresión es una diferencial exacta, debe cumplirse que $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x};$$ porque entonces $$\frac{\partial \left({\displaystyle \frac{\partial U}{\partial x}}\right)}{\partial y}=\frac{\partial \left({\displaystyle \frac{\partial U}{\partial y}}\right)}{\partial x}$$ lo cual es necesariamente cierto.

[Nota—A menudo escribimos ${\displaystyle \frac{\partial \left({\displaystyle \frac{\partial U}{\partial x}}\right)}{\partial y}}$ como ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}U}{\partial y\partial x}}$. Por lo tanto, la ecuación anterior se escribe como $$\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x\partial y}.$$ La derivada parcial izquierda significa que primero diferenciamos $U$ con respecto a $x$ y luego diferenciamos el resultado con respecto a $y$, mientras que en el lado derecho, el orden de diferenciación está invertido. En general, el orden de diferenciación para las funciones con las que tratamos aquí es indiferente. Así que ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}U}{\partial y\partial x}}$ y ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}U}{\partial x\partial y}}$ son iguales.]

Tomemos como ilustración la ecuación $$(1+3xy)dx+x^{2}dy=0.$$

¿Es ésta una diferencial exacta o no? Apliquemos la prueba. \left\{ \begin{align} &\frac{\partial(1 + 3xy)}{\partial y}&&=3x, \\ &\dfrac{\partial (x^2)}{\partial x} &&= 2x, \end{align} \right. los cuales no coinciden. Por lo tanto, no es una diferencial exacta, y las dos funciones $1+3xy$ y $x^2$ no han provenido de una función original común.

Es posible en tales casos descubrir, sin embargo, un factor integrante, es decir, un factor tal que si ambos se multiplican por este factor, la expresión se convertirá en una diferencial exacta. No hay una regla única para descubrir tal factor integrante; pero la experiencia generalmente sugerirá uno. En el presente caso $2x$ actuará como tal. Multiplicando por $2x$, obtenemos $$(2x+6x^{2}y)dx+2x^{3}dy=0.$$

Ahora apliquemos la prueba a esto. \left\{ \begin{align} & \frac{\partial (2x + 6x^2y)}{\partial y}&&=6x^2, \\ &\dfrac{\partial(2x^3)}{\partial x} &&= 6x^2, \end{align} \right. lo cual coincide. Por consiguiente, ésta es una diferencial exacta, y puede ser integrada.