En este capítulo nos ponemos a trabajar para encontrar soluciones a algunas ecuaciones diferenciales importantes, utilizando para ello los procedimientos mostrados en los capítulos precedentes.
El principiante, que ahora sabe cuán fáciles son la mayoría de esos procedimientos en sí mismos, aquí comenzará a darse cuenta de que la integración es un arte. Como en todas las artes, también en ésta, la habilidad sólo se adquiere mediante una práctica diligente y regular. Quien desee alcanzar esa facilidad debe resolver ejemplos, y más ejemplos, y aún más ejemplos, como los que se encuentran en abundancia en todos los tratados habituales de Cálculo. Nuestro propósito aquí debe ser ofrecer la introducción más breve al trabajo serio.
Ejemplo 23.1. Hallar la solución de la ecuación diferencial b \frac{dy}{dx}+ay = 0.
Solución.
Transponiendo tenemos b \frac{dy}{dx} = -ay.
Ahora la mera inspección de esta relación nos dice que tenemos que vérnoslas con un caso en el que \dfrac{dy}{dx} es proporcional a y. Si pensamos en la curva que representará y como función de x, será tal que su pendiente en cualquier punto será proporcional a la ordenada (o la coordenada y) en ese punto, y será una pendiente negativa si y es positiva. Así que, obviamente, la curva será una curva decreciente (ver aquí) siempre que a/b>0, y la solución contendrá e^{-x} como factor. Pero, sin presumir de este poco de sagacidad, pongámonos a trabajar.
Como tanto y como dy aparecen en la ecuación y en lados opuestos, no podemos hacer nada hasta que llevemos ambos y y dy a un lado, y dx al otro. Para hacer esto, debemos separar a nuestros compañeros usualmente inseparables dy y dx el uno del otro. \frac{dy}{y} = - \frac{a}{b}\, dx.
Una vez realizado el acto, ahora podemos ver que ambos lados han adquirido una forma integrable, porque reconocemos \dfrac{dy}{y}, o \dfrac{1}{y}\, dy, como un diferencial que hemos encontrado al diferenciar logaritmos. Así que podemos escribir de inmediato las instrucciones para integrar, \int \frac{dy}{y} = \int -\frac{a}{b}\, dx; y realizando las dos integraciones, tenemos: \ln |y| = -\frac{a}{b} x + C, donde C es la constante de integración. Luego, deslogaritmizando, obtenemos: \begin{align} |y|&=e^{-\frac{a}{b} x + C}\\ &=e^C e^{-\frac{a}{b} x}\\ &=B e^{-\frac{a}{b} x} \end{align} donde hemos sustituido e^C por B por simplicidad. Dado que e^C siempre es positivo, sabemos que B>0. Por lo tanto y=\pm B e^{-\frac{a}{b} x}, lo cual puede expresarse como y=A e^{-\frac{a}{b}x} si permitimos que la constante arbitraria A tome valores positivos o negativos. Además, es importante observar que A = 0 es una posibilidad viable ya que si y es siempre cero, satisface la ecuación diferencial dada.
Ahora, esta solución parece muy diferente de la ecuación diferencial original a partir de la cual fue construida: sin embargo, para un matemático experto ambas transmiten la misma información sobre la manera en que y depende de x.
Ahora, en cuanto a A, su significado depende del valor inicial de y. Pues si ponemos x = 0 para ver qué valor tiene entonces y, encontramos que esto hace que y = A e^{-0}; y como e^{-0} = 1 vemos que A no es otra cosa que el valor particular1 de y al comienzo. A este podemos llamarlo y_0, y así escribir la solución como y = y_0 e^{-\frac{a}{b} x}.
Ejemplo 23.2. Tomemos como ejemplo para resolver ay + b \frac{dy}{dx} = g, donde g es una constante. De nuevo, al inspeccionar la ecuación se sugerirá, (1) que de alguna manera u otra e^x aparecerá en la solución, y (2) que si en alguna parte de la curva y se vuelve o un máximo o un mínimo, de modo que \dfrac{dy}{dx} = 0, entonces y tendrá el valor = \dfrac{g}{a}. Pero pongámonos a trabajar como antes, separando los diferenciales e intentando transformar la cosa en alguna forma integrable. \begin{align} b\frac{dy}{dx} &= g -ay; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{a}{b}\left(\frac{g}{a}-y\right); \\ \frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}} &= -\frac{a}{b}\, dx. \end{align}
Ahora hemos hecho todo lo posible para tener nada más que y y dy en un lado, y nada más que dx en el otro. Pero, ¿es integrable el resultado del lado izquierdo?
Tiene la misma forma que el resultado anterior; así que, escribiendo las instrucciones para integrar, tenemos: \int{\frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}}} = - \int{\frac{a}{b}\, dx}; y, realizando la integración, y añadiendo la constante apropiada, \ln\left|y-\frac{g}{a}\right| = -\frac{a}{b}x + C; de donde y-\frac{g}{a} = Ae^{-\frac{a}{b}x}, donde A=\pm e^C, y finalmente, y = \frac{g}{a} + Ae^{-\frac{a}{b}x}, la cual es la solución.
Si se impone la condición de que y = 0 cuando x = 0 podemos hallar A; porque entonces la exponencial se vuelve = 1; y tenemos 0 = \frac{g}{a} + A, oA = -\frac{g}{a}.
Poniendo este valor, la solución se convierte en y = \frac{g}{a} (1-e^{-\frac{a}{b} x}).
Pero además, asumiendo que tanto \dfrac{a}{b} como \dfrac{g}{a} son positivos, si x crece indefinidamente, y crecerá hasta un máximo; porque cuando x=\infty, la exponencial = 0,2 dando y_{\text{máx.}} = \dfrac{g}{a}. Sustituyendo esto, obtenemos finalmente y = y_{\text{máx.}}(1-e^{-\frac{a}{b} x}). Esta curva se representa a continuación.
Este resultado también es importante en la ciencia física.
Ejemplo 23.3. Sea b\frac{dy}{dt} + a y = g \cdot \sin (2\pi nt).
Encontraremos que ésta es mucho menos manejable que la precedente. Primero dividamos por b. \frac{dy}{dt} + \frac{a}{b}y = \frac{g}{b} \sin (2\pi nt).
Ahora, tal como está, el lado izquierdo no es integrable. Pero puede hacerse que lo sea mediante el artificio —y aquí es donde la habilidad y la práctica sugieren un plan— de multiplicar todos los términos por e^{\frac{a}{b} t}, dándonos: \frac{dy}{dt} e^{\frac{a}{b} t} + \frac{a}{b} y e^{\frac{a}{b} t} = \frac{g}{b} e^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin (2 \pi nt), lo cual es lo mismo que \frac{dy}{dt} e^{\frac{a}{b} t} + y \frac{d(e^{\frac{a}{b} t})}{dt} = \frac{g}{b} e^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin (2 \pi nt); y siendo esto una diferencial perfecta puede integrarse así:—puesto que, si u = ye^{\frac{a}{b} t}, \dfrac{du}{dt} = \dfrac{dy}{dt} e^{\frac{a}{b} t} + y \dfrac{d(e^{\frac{a}{b} t})}{dt}, y e^{\frac{a}{b} t} = \frac{g}{b} \int e^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin (2 \pi nt) \cdot dt + C, o y = \frac{g}{b} e^{-\frac{a}{b} t} \int e^{ \frac{a}{b} t} \cdot \sin (2\pi nt) \cdot dt + Ce^{-\frac{a}{b} t}. \tag{A}
El último término es obviamente un término que se extinguirá a medida que t aumente (siempre que a/b>0), y puede omitirse. La dificultad ahora aparece al encontrar la integral que figura como factor. Para abordar esto recurrimos al artificio de la integración por partes, cuya fórmula general es \int u dv = uv - \int v du. Para este propósito escribimos \left\{ \begin{align} u &= e^{\frac{a}{b} t}; \\ dv &= \sin (2\pi nt) \cdot dt. \end{align} \right. Entonces tendremos \left\{ \begin{align} du &= e^{\frac{a}{b} t} \times \frac{a}{b}\, dt; \\ v &= - \frac{1}{2\pi n} \cos (2\pi nt). \end{align} \right.
Insertando éstos, la integral en cuestión se convierte en: \begin{align} \int e^{\frac{a}{b} t} &{} \cdot \sin (2 \pi n t) \cdot dt \\ &= -\frac{1}{2 \pi n} \cdot e^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos (2 \pi nt) -\int -\frac{1}{2\pi n} \cos (2 \pi nt) \cdot e^{\frac{a}{b} t} \cdot \frac{a}{b}\, dt \\ &= -\frac{1}{2 \pi n} e^{\frac{a}{b} t} \cos (2 \pi nt) +\frac{a}{2 \pi nb} \int e^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos (2 \pi nt) \cdot dt. \tag{B} \end{align}
La última integral sigue siendo irreducible. Para eludir la dificultad, repitamos la integración por partes del lado izquierdo, pero tratándola de manera inversa escribiendo: \left\{ \begin{align} u &= \sin (2 \pi n t) ; \\ dv &= e^{\frac{a}{b} t} \cdot dt; \end{align} \right. de donde \left\{ \begin{align} du &= 2 \pi n \cdot \cos (2 \pi n t) \cdot dt; \\ v &= \frac{b}{a} e ^{\frac{a}{b} t} \end{align} \right.
Insertando éstos, obtenemos \begin{align} \int e^{\frac{a}{b} t} &{} \cdot \sin (2 \pi n t) \cdot dt\\ &= \frac{b}{a} \cdot e^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin (2 \pi n t) - \frac{2 \pi n b}{a} \int e^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos (2 \pi n t) \cdot dt. \tag{C} \end{align}
Notando que la integral intratable final en (C) es la misma que en (B), podemos eliminarla, multiplicando (B) por \dfrac{2 \pi nb}{a}, y multiplicando (C) por \dfrac{a}{2 \pi nb}, y sumándolas.
El resultado, una vez despejado, es: \begin{align} \int e^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin (2 \pi n t) \cdot dt &= e^{\frac{a}{b} t} \left\{\frac{ ab \cdot \sin (2 \pi nt) - 2 \pi n b^2 \cdot \cos (2 \pi n t)}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2 } \right\} \tag{D} \end{align} Insertando este valor en (A), obtenemos \begin{align} y &= g \left\{\frac{ a \cdot \sin (2 \pi n t) - 2 \pi n b \cdot \cos (2 \pi nt)}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}\right\}. \end{align}
Para simplificar aún más, imaginemos un ángulo \phi tal que \tan \phi = \dfrac{2 \pi n b}{ a}.
Entonces \sin \phi = \frac{2 \pi nb}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, y \cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}.
Sustituyendo éstos, obtenemos: \begin{align} y &= g \frac{\cos \phi \cdot \sin (2 \pi nt) - \sin \phi \cdot \cos (2 \pi nt)}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \end{align} lo cual puede escribirse y = g \frac{\sin(2 \pi nt - \phi)}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, la cual es la solución deseada.
Esta no es otra que la ecuación de una corriente eléctrica alterna, donde g representa la amplitud de la fuerza electromotriz, n la frecuencia, a la resistencia, b el coeficiente de autoinducción del circuito, y \phi es un ángulo de desfase.
Ejemplo 23.4. Supongamos que M\, dx + N\, dy = 0.
Podríamos integrar esta expresión directamente, si M fuera una función de x solamente, y N una función de y solamente; pero, si ambos M y N son funciones que dependen tanto de x como de y, ¿cómo vamos a integrarla? ¿Es ella misma una diferencial exacta? Es decir: ¿han sido formados M y N cada uno por diferenciación parcial a partir de alguna función común U, o no? Si lo han sido, entonces \left\{ \begin{align} \frac{\partial U}{\partial x} = M, \\ \frac{\partial U}{\partial y} = N. \end{align} \right. Y si tal función común existe, entonces \frac{\partial U}{\partial x}\, dx + \frac{\partial U}{\partial y}\, dy es una diferencial exacta (comparar el capítulo sobre diferenciación parcial).
Ahora la prueba del asunto es ésta. Si la expresión es una diferencial exacta, debe cumplirse que \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}; porque entonces \dfrac{\partial\left(\dfrac{\partial U}{\partial x}\right)}{\partial y}=\dfrac{\partial\left(\dfrac{\partial U}{\partial y}\right)}{\partial x} lo cual es necesariamente cierto.
[Nota—A menudo escribimos \dfrac{\partial\left(\dfrac{\partial U}{\partial x}\right)}{\partial y} como \dfrac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}. Por lo tanto, la ecuación anterior se escribe como \frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}. La derivada parcial izquierda significa que primero diferenciamos U con respecto a x y luego diferenciamos el resultado con respecto a y, mientras que en el lado derecho, el orden de diferenciación está invertido. En general, el orden de diferenciación para las funciones con las que tratamos aquí es indiferente. Así que \dfrac{\partial^2 U}{\partial y\partial x} y \dfrac{\partial^2 U}{\partial x\partial y} son iguales.]
Tomemos como ilustración la ecuación (1 + 3 xy)\, dx + x^2\, dy = 0.
¿Es ésta una diferencial exacta o no? Apliquemos la prueba. \left\{ \begin{align} &\frac{\partial(1 + 3xy)}{\partial y}&&=3x, \\ &\dfrac{\partial (x^2)}{\partial x} &&= 2x, \end{align} \right. los cuales no coinciden. Por lo tanto, no es una diferencial exacta, y las dos funciones 1+3xy y x^2 no han provenido de una función original común.
Es posible en tales casos descubrir, sin embargo, un factor integrante, es decir, un factor tal que si ambos se multiplican por este factor, la expresión se convertirá en una diferencial exacta. No hay una regla única para descubrir tal factor integrante; pero la experiencia generalmente sugerirá uno. En el presente caso 2x actuará como tal. Multiplicando por 2x, obtenemos (2x + 6x^2y)\, dx + 2x^3\, dy = 0.
Ahora apliquemos la prueba a esto. \left\{ \begin{align} & \frac{\partial (2x + 6x^2y)}{\partial y}&&=6x^2, \\ &\dfrac{\partial(2x^3)}{\partial x} &&= 6x^2, \end{align} \right. lo cual coincide. Por consiguiente, ésta es una diferencial exacta, y puede ser integrada.
Buscamos U tal que dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy=(2x+6x^2y)\, dx + 2x^3\, dy o \frac{\partial U}{\partial x}=2x+6x^2y\quad\text{y}\quad \frac{\partial U}{\partial y}=2x^3 Para hallar U, integremos ambos lados de \dfrac{\partial U}{\partial y}=2x^3 respecto a y. \displaystyle \int 2x^3\,dy da 2x^3y pero debemos sumar la constante de integración. Sin embargo, en este caso, la constante de integración, en general, es una función de x, digamos w=f(x) porque la derivada de w respecto a y es cero. Es decir, \frac{\partial (2x^3y+w)}{\partial y}=\frac{\partial (2x^3y)}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial y}=2x^3. Esto es más general que agregar C. Para determinar w, diferenciemos U respecto a x y comparemos el resultado con 2x+6x^2y: \frac{\partial(2x^3y+w)}{\partial x}=6x^2y+\frac{dw}{dx}. Al comparar este resultado con 2x+6x^2y, nos damos cuenta de que debemos tener \frac{dw}{dx}=2x Luego w=\int 2x\,dx=x^2+C y U=2x^3y+w=2x^3y+x^2+C Como la diferencial total de U o dU es cero, U debe ser una constante, digamos K. Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial dada es U=2x^3y+x^2+C=K. Podemos combinar las dos constantes C y K y escribir la solución como 2x^3y+x^2=C_1, donde C_1 es una constante arbitraria. Podemos determinar C_1, si conocemos el valor de y en x=0 (o en cualquier otro punto).
Ejemplo 23.5. Sea \dfrac{d^2 y}{dt^2} + n^2 y = 0.
En este caso tenemos una ecuación diferencial de segundo orden, en la que y aparece en forma de derivada de segundo orden, así como en sí misma.
Transponiendo, tenemos \dfrac{d^2 y}{dt^2} = - n^2 y.
De esto se deduce que tenemos que ver con una función tal que su segunda derivada es proporcional a sí misma, pero con signo opuesto. En el Capítulo 15 encontramos que existía tal función—a saber, el seno (o también el coseno) que poseía esta propiedad. Así, sin más preámbulos, podemos inferir que la solución será de la forma y = A \sin (pt + q). Sin embargo, pongámonos manos a la obra.
Multiplicamos ambos lados de la ecuación original por 2\dfrac{dy}{dt}, obteniendo 2\dfrac{d^2 y}{dt^2}\, \dfrac{dy}{dt} + 2n^2 y \dfrac{dy}{dt} = 0, y, como 2 \frac{d^2y}{dt^2}\, \frac{dy}{dt} = \frac{d \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}{dt}, podemos escribir \frac{d \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}{dt}+2n^2y\frac{dy}{dt}=0 o d\left(\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2\right)+2n^2 ydy=0. Integrando obtenemos \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+n^2 (y^2-C^2)=0 donde C es una constante. Luego, tomando las raíces cuadradas, \frac{dy}{dt} = -n \sqrt{ y^2 - C^2}\quad \text{y}\quad \frac{dy}{\sqrt{C^2 - y^2}} = n \cdot dt.
Pero se puede demostrar que \frac{1}{\sqrt{C^2 - y^2}} = \frac{d (\arcsin \dfrac{y}{C})}{dy}; de donde, pasando de ángulos a senos, \arcsin \frac{y}{C} = nt + C_1\quad \text{y}\quad y = C \sin (nt + C_1), donde C_1 es un ángulo constante que aparece por integración.
O, preferiblemente, esto puede escribirse y = A \sin nt + B \cos nt, que es la solución.
Ejemplo 23.6. Resolver \dfrac{d^2 y}{dx^2} - n^2 y = 0.
Solución. Aquí evidentemente tenemos que tratar con una función y que es tal que su segundo coeficiente diferencial es proporcional a sí misma. La única función que conocemos que tiene esta propiedad es la función exponencial (ver [unchanged]), y por lo tanto podemos estar seguros de que la solución de la ecuación será de esa forma.
Procediendo como antes, multiplicando por 2 \dfrac{dy}{dx} e integrando, obtenemos 2\dfrac{d^2 y}{dx^2}\, \dfrac{dy}{dx} - 2n^2 y \dfrac{dy}{dx}=0, y, como \begin{gathered} 2\frac{d^2 y}{dx^2}\, \frac{dy}{dx} = \frac{d \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}{dx},\quad \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - n^2 (y^2 + c^2) = 0, \\ \frac{dy}{dx} - n \sqrt{y^2 + c^2} = 0, \end{gathered} donde c es una constante, y \dfrac{dy}{\sqrt{y^2 + c^2}} = n\, dx.
Ahora, siw = \ln ( y+ \sqrt{y^2+ c^2}) = \ln u, \begin{gathered} \frac{dw}{du} = \frac{1}{u},\quad \frac{du}{dy} = 1 + \frac{y}{\sqrt{y^2 + c^2}} = \frac{y + \sqrt{ y^2 + c^2}}{\sqrt{y^2 + c^2}} \end{gathered} y \frac{dw}{dy}=\frac{dw}{du}\cdot\frac{du}{dy} = \frac{1}{\sqrt{ y^2 + c^2}}.
Por lo tanto, integrando, esto nos da \begin{align} \ln (y + \sqrt{y^2 + c^2} ) &= nx + \ln C, \\ y + \sqrt{y^2 + c^2} &= C e^{nx}. \tag*{(1)} \end{align} Ahora ( y + \sqrt{y^2 + c^2} ) \times ( -y + \sqrt{y^2 + c^2} ) =-y^2+(y^2+c^2)= c^2 ; de donde -y + \sqrt{y^2 + c^2} =\frac{c^2}{y + \sqrt{y^2 + c^2}}= \frac{c^2}{C e^{nx}}=\dfrac{c^2}{C} e^{-nx}. \tag*{(2)}
Restando (2) de (1) y dividiendo por 2, obtenemos y = \frac{1}{2} C e^{nx} - \frac{1}{2}\, \frac{c^2}{C} e^{-nx}, que se escribe más convenientemente como y = A e^{nx} + B e^{-nx}. O, la solución, que a primera vista no parece tener nada que ver con la ecuación original, muestra que y consta de dos términos, uno de los cuales crece logarítmicamente a medida que x aumenta, y un segundo término que se desvanece a medida que x aumenta.
Ejemplo 23.7. Sea b \frac{d^2y}{dt^2} + a \frac{dy}{dt} + gy = 0.
Un examen de esta expresión mostrará que, si b = 0, tiene la forma del Ejemplo 23.1, cuya solución era una exponencial negativa. Por otro lado, si a = 0, su forma se vuelve igual a la del Ejemplo 23.6, cuya solución es la suma de una exponencial positiva y una negativa. Por lo tanto, no es muy sorprendente encontrar que la solución del presente ejemplo es \begin{align} y &= (e^{-mt})(A e^{nt} + B e^{-nt}), \end{align} donde \begin{align} m &= \frac{a}{2b}\quad \text{y}\quad n = \sqrt{\frac{a^2}{4b^2}} - \frac{g}{b}. \end{align}
Los pasos mediante los cuales se llega a esta solución no se dan aquí; se pueden encontrar en tratados avanzados o libros sobre ecuaciones diferenciales.
Ejemplo 23.8. \frac{\partial^2y}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2y}{\partial x^2}.
Se vio que esta ecuación se derivaba de la original y = F(x+at) + f(x-at), donde F y f eran funciones arbitrarias de t.
Otra forma de abordarla es transformarla mediante un cambio de variables en \frac{\partial^2y}{\partial u \, \partial v} = 0, donde u = x + at, y v = x - at, lo que conduce a la misma solución general. Si consideramos un caso en el que F se anula, entonces tenemos simplemente y = f(x-at); y esto simplemente establece que, en el tiempo t = 0, y es una función particular de x, y puede considerarse como que la curva de la relación de y con x tiene una forma particular. Entonces, cualquier cambio en el valor de t equivale simplemente a una alteración en el origen desde el cual se mide x. Es decir, indica que, conservándose la forma de la función, ésta se propaga a lo largo de la dirección x con una velocidad uniforme a; de modo que cualquiera que sea el valor de la ordenada y en cualquier instante particular t_0 en cualquier punto particular x_0, el mismo valor de y aparecerá en el tiempo subsiguiente t_1 en un punto más adelante, cuya abscisa es x_0 + a(t_1 - t_0). En este caso, la ecuación simplificada representa la propagación de una onda (de cualquier forma) a una velocidad uniforme a lo largo de la dirección x.
Si la ecuación diferencial se hubiera escrito m \frac{\partial^2y}{\partial t^2} = k\, \frac{\partial^2y}{\partial x^2}, la solución habría sido la misma, pero la velocidad de propagación habría tenido el valor a = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Ahora ha sido conducido personalmente a través de las fronteras hacia la tierra encantada. Y para que tenga una referencia práctica de los principales resultados, el autor, al despedirse, se complace en presentarle un pasaporte en forma de una colección conveniente de formas estándar. En la columna del medio se presentan varias de las funciones que ocurren con mayor frecuencia. Los resultados de derivarlas se muestran a la izquierda; los resultados de integrarlas se muestran a la derecha. ¡Que le sean útiles!
