معادلات دیفرانسیل

مثال ۲۳.۱. جواب معادله دیفرانسیل $$b\frac{dy}{dx}+ay=0.$$ را بیابید.

جواب.

با جابجایی داریم $$b\frac{dy}{dx}=-ay.$$

اکنون صرف نگاه به این رابطه به ما می‌گوید که با حالتی سروکار داریم که در آن ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ متناسب با $y$ است. اگر به منحنی که $y$ را به عنوان تابعی از $x$ نشان می‌دهد فکر کنیم، به گونه‌ای خواهد بود که شیب آن در هر نقطه متناسب با عرض (یا مختصه $y$) در آن نقطه خواهد بود و اگر $y$ مثبت باشد، شیب منفی خواهد بود. بنابراین بدیهی است که منحنی یک منحنی محوشونده خواهد بود (به اینجا مراجعه کنید) به شرطی که ، و جواب شامل $e^{-x}$ به عنوان یک عامل خواهد بود. اما، بدون تکیه بر این ذکاوت، بیایید دست به کار شویم.

از آنجایی که هر دو $y$ و $dy$ در معادله و در طرف‌های مخالف ظاهر می‌شوند، تا زمانی که هر دو $y$ و $dy$ را به یک طرف و $dx$ را به طرف دیگر نبریم، نمی‌توانیم کاری انجام دهیم. برای انجام این کار، باید همراهان معمولاً جدانشدنی خود یعنی $dy$ و $dx$ را از یکدیگر جدا کنیم. $$\frac{dy}{y}=-\frac{a}{b}dx.$$

پس از انجام این کار، اکنون می‌توانیم ببینیم که هر دو طرف به شکلی درآمده‌اند که قابل انتگرال‌گیری است، زیرا ${\displaystyle \frac{dy}{y}}$ یا ${\displaystyle \frac{1}{y}}dy$ را به عنوان یک دیفرانسیل می‌شناسیم که هنگام مشتق‌گیری از لگاریتم‌ها با آن مواجه شده‌ایم. بنابراین می‌توانیم بلافاصله دستورالعمل‌های انتگرال‌گیری را بنویسیم، $$\int \frac{dy}{y}=\int -\frac{a}{b}dx;$$ و با انجام دو انتگرال‌گیری، داریم: $$\ln |y|=-\frac{a}{b}x+C,$$ که در آن $C$ ثابت انتگرال‌گیری است. سپس، با حذف لگاریتم، به دست می‌آوریم: که در آن برای سادگی $e^C$ را با $B$ جایگزین کرده‌ایم. از آنجایی که $e^C$ همیشه مثبت است، می‌دانیم . از این رو $$y=\pm B{e}^{-\frac{a}{b}x},$$ که می‌تواند به صورت $$y=A{e}^{-\frac{a}{b}x}$$ بیان شود اگر اجازه دهیم ثابت دلخواه $A$ مقادیر مثبت یا منفی بگیرد. علاوه بر این، توجه به این نکته مهم است که $A=0$ یک احتمال قابل قبول است زیرا اگر $y$ همیشه صفر باشد، معادله دیفرانسیل داده شده را برآورده می‌کند.

اکنون، این جواب کاملاً با معادله دیفرانسیل اصلی که از آن ساخته شده است متفاوت به نظر می‌رسد: با این حال برای یک ریاضیدان متخصص هر دو اطلاعات یکسانی را در مورد نحوه وابستگی $y$ به $x$ منتقل می‌کنند.

حال، در مورد $A$، معنای آن به مقدار اولیه $y$ بستگی دارد. زیرا اگر $x=0$ قرار دهیم تا ببینیم $y$ چه مقداری دارد، می‌یابیم که این باعث می‌شود $y=A{e}^{-0}$؛ و از آنجایی که $e^{-0}=1$ می‌بینیم که $A$ چیزی نیست جز مقدار خاص^۱ $y$ در شروع. می‌توانیم این را $y_0$ بنامیم و بنابراین جواب را به صورت $$y=y_0{e}^{-\frac{a}{b}x}.$$ بنویسیم.

مثال ۲۳.۲. بیایید به عنوان مثال برای حل $$ay+b\frac{dy}{dx}=g,$$ در نظر بگیریم، که در آن $g$ یک ثابت است. باز هم، بررسی معادله نشان خواهد داد، (۱) که به نحوی $e^x$ وارد جواب خواهد شد، و (۲) که اگر در هر بخشی از منحنی $y$ به یک بیشینه یا کمینه برسد، به طوری که ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$، آنگاه $y$ مقدار $={\displaystyle \frac{g}{a}}$ را خواهد داشت. اما بیایید مانند قبل دست به کار شویم، دیفرانسیل‌ها را جدا کنیم و سعی کنیم چیز را به شکلی قابل انتگرال‌گیری تبدیل کنیم.

اکنون تمام تلاش خود را کرده‌ایم تا چیزی جز $y$ و $dy$ در یک طرف و چیزی جز $dx$ در طرف دیگر نداشته باشیم. اما آیا نتیجه در طرف چپ قابل انتگرال‌گیری است؟

این همان شکلی است که نتیجه قبلی داشت؛ بنابراین، با نوشتن دستورالعمل‌های انتگرال‌گیری، داریم: $$\int \frac{dy}{y-{\displaystyle \frac{g}{a}}}=-\int \frac{a}{b}dx;$$ و با انجام انتگرال‌گیری و اضافه کردن ثابت مناسب، $$\ln |y-\frac{g}{a}|=-\frac{a}{b}x+C;$$ از این رو $$y-\frac{g}{a}=A{e}^{-\frac{a}{b}x},$$ که در آن $A=\pm e^C$، و در نهایت، $$y=\frac{g}{a}+A{e}^{-\frac{a}{b}x},$$ که جواب است.

اگر شرطی گذاشته شود که $y=0$ وقتی $x=0$ است می‌توانیم $A$ را پیدا کنیم؛ زیرا در آن صورت تابع نمایی $=1$ می‌شود؛ و داریم $$0=\frac{g}{a}+A,$$ یا $$A=-\frac{g}{a}.$$

با قرار دادن این مقدار، جواب به صورت $$y=\frac{g}{a}(1-e^{-\frac{a}{b}x}).$$ در می‌آید.

اما علاوه بر این، با فرض مثبت بودن هر دو ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ و ${\displaystyle \frac{g}{a}}$، اگر $x$ به طور نامحدود رشد کند، $y$ به یک بیشینه خواهد رسید؛ زیرا وقتی $x=\mathrm{\infty }$، تابع نمایی $=0$ می‌شود،^۲ که $y_{\text{max.}}={\displaystyle \frac{g}{a}}$ را به دست می‌دهد. با جایگزینی این، در نهایت به دست می‌آوریم $$y=y_{\text{max.}}(1-e^{-\frac{a}{b}x}).$$ این منحنی در زیر رسم شده است.

این نتیجه در علوم فیزیک نیز اهمیت دارد.

مثال ۲۳.۳. فرض کنید $$b\frac{dy}{dt}+ay=g\cdot \sin (2\pi nt).$$

خواهیم دید که این بسیار کمتر از قبلی قابل حل است. ابتدا بر $b$ تقسیم کنید. $$\frac{dy}{dt}+\frac{a}{b}y=\frac{g}{b}\sin (2\pi nt).$$

اکنون، به همین صورت، طرف چپ قابل انتگرال‌گیری نیست. اما می‌توان با یک شگرد - و اینجاست که مهارت و تمرین یک طرح را پیشنهاد می‌کند - با ضرب کردن تمام عبارات در $e^{\frac{a}{b}t}$ آن را قابل انتگرال‌گیری کرد، که به ما می‌دهد: $$\frac{dy}{dt}{e}^{\frac{a}{b}t}+\frac{a}{b}y{e}^{\frac{a}{b}t}=\frac{g}{b}{e}^{\frac{a}{b}t}\cdot \sin (2\pi nt),$$ که همان است با $$\frac{dy}{dt}{e}^{\frac{a}{b}t}+y\frac{d(e^{\frac{a}{b}t})}{dt}=\frac{g}{b}{e}^{\frac{a}{b}t}\cdot \sin (2\pi nt);$$ و این یک دیفرانسیل کامل است و می‌توان به این صورت انتگرال‌گیری کرد: - زیرا، اگر $u=y{e}^{\frac{a}{b}t}$، ${\displaystyle \frac{du}{dt}}={\displaystyle \frac{dy}{dt}}{e}^{\frac{a}{b}t}+y{\displaystyle \frac{d(e^{\frac{a}{b}t})}{dt}}$، $$y{e}^{\frac{a}{b}t}=\frac{g}{b}\int e^{\frac{a}{b}t}\cdot \sin (2\pi nt)\cdot dt+C,$$ یا

آخرین جمله بدیهی است که جمله‌ای است که با افزایش $t$ از بین خواهد رفت (به شرط ) و می‌توان آن را نادیده گرفت. مشکل اکنون در یافتن انتگرالی است که به عنوان یک عامل ظاهر می‌شود. برای مقابله با این، به تکنیک انتگرال‌گیری جزء به جزء متوسل می‌شویم، که فرمول کلی آن $\int udv=uv-\int vdu$ است. برای این منظور می‌نویسیم سپس خواهیم داشت

با قرار دادن این‌ها، انتگرال مورد نظر به صورت زیر در می‌آید:

آخرین انتگرال همچنان تقلیل‌ناپذیر است. برای دور زدن دشواری، انتگرال‌گیری جزء به جزء طرف چپ را تکرار کنید، اما این بار به روش معکوس با نوشتن: از این رو

با قرار دادن این‌ها، به دست می‌آوریم

با توجه به اینکه انتگرال نهایی غیرقابل حل در (C) همان است که در (B) است، می‌توانیم آن را با ضرب (B) در ${\displaystyle \frac{2\pi nb}{a}}$ و ضرب (C) در ${\displaystyle \frac{a}{2\pi nb}}$ و جمع آن‌ها حذف کنیم.

نتیجه، پس از ساده‌سازی، به این صورت است: با قرار دادن این مقدار در (A)، به دست می‌آوریم

برای ساده‌سازی بیشتر، بیایید زاویه‌ای $\varphi$ را تصور کنیم به طوری که $\tan \varphi ={\displaystyle \frac{2\pi nb}{a}}$.

آنگاه $$\sin \varphi =\frac{2\pi nb}{\sqrt{a^2+4{\pi }^2{n}^2{b}^2}},$$ و $$\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^2+4{\pi }^2{n}^2{b}^2}}.$$

با جایگزینی این‌ها، به دست می‌آوریم: که می‌توان به صورت $$y=g\frac{\sin (2\pi nt-\varphi )}{\sqrt{a^2+4{\pi }^2{n}^2{b}^2}},$$ نوشت که جواب مورد نظر است.

این در واقع چیزی نیست جز معادله یک جریان الکتریکی متناوب، که در آن $g$ نشان‌دهنده دامنه نیروی محرکه الکتریکی، $n$ فرکانس، $a$ مقاومت، $b$ ضریب خودالقایی مدار، و $\varphi$ یک زاویه تاخیر است.

مثال ۲۳.۴. فرض کنید که $$Mdx+Ndy=0.$$

می‌توانستیم این عبارت را مستقیماً انتگرال‌گیری کنیم، اگر $M$ تابعی فقط از $x$ و $N$ تابعی فقط از $y$ بود؛ اما، اگر هر دو $M$ و $N$ توابعی باشند که به هر دو $x$ و $y$ وابسته هستند، چگونه آن را انتگرال‌گیری کنیم؟ آیا خود یک دیفرانسیل کامل است؟ یعنی: آیا هر یک از $M$ و $N$ با مشتق‌گیری جزئی از یک تابع مشترک $U$ تشکیل شده‌اند یا خیر؟ اگر چنین باشد، آنگاه و اگر چنین تابع مشترکی وجود داشته باشد، آنگاه $$\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy$$ یک دیفرانسیل کامل است (با فصل مشتق‌گیری جزئی مقایسه کنید).

اکنون آزمایش موضوع این است. اگر عبارت یک دیفرانسیل کامل باشد، باید درست باشد که $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x};$$ زیرا در آن صورت $$\frac{\partial \left({\displaystyle \frac{\partial U}{\partial x}}\right)}{\partial y}=\frac{\partial \left({\displaystyle \frac{\partial U}{\partial y}}\right)}{\partial x}$$ که لزوماً درست است.

[توجه - ما اغلب ${\displaystyle \frac{\partial \left({\displaystyle \frac{\partial U}{\partial x}}\right)}{\partial y}}$ را به صورت ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}U}{\partial y\partial x}}$ می‌نویسیم. بنابراین، معادله فوق به صورت $$\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x\partial y}.$$ نوشته می‌شود. مشتق جزئی سمت چپ به این معنی است که ابتدا $U$ را نسبت به $x$ مشتق می‌گیریم و سپس نتیجه را نسبت به $y$ مشتق می‌گیریم، در حالی که در سمت راست، ترتیب مشتق‌گیری معکوس است. به طور کلی، ترتیب مشتق‌گیری برای توابعی که در اینجا با آن‌ها سروکار داریم بی‌اهمیت است. بنابراین ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}U}{\partial y\partial x}}$ و ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}U}{\partial x\partial y}}$ برابر هستند.]

به عنوان مثال، معادله $$(1+3xy)dx+x^{2}dy=0.$$ را در نظر بگیرید.

آیا این یک دیفرانسیل کامل است یا خیر؟ آزمایش را اعمال کنید. که مطابقت ندارند. بنابراین، یک دیفرانسیل کامل نیست، و دو تابع $1+3xy$ و $x^2$ از یک تابع اصلی مشترک نیامده‌اند.

با این حال، در چنین مواردی می‌توان یک عامل انتگرال‌ساز را کشف کرد، یعنی عاملی که اگر هر دو در این عامل ضرب شوند، عبارت به یک دیفرانسیل کامل تبدیل شود. هیچ قانون واحدی برای کشف چنین عامل انتگرال‌سازی وجود ندارد؛ اما تجربه معمولاً یکی را پیشنهاد خواهد کرد. در مثال حاضر $2x$ به عنوان چنین عاملی عمل خواهد کرد. با ضرب در $2x$، به دست می‌آوریم $$(2x+6x^{2}y)dx+2x^{3}dy=0.$$

اکنون آزمایش را روی این اعمال کنید. که مطابقت دارد. از این رو این یک دیفرانسیل کامل است و می‌توان آن را انتگرال‌گیری کرد.

ما به دنبال $U$ هستیم به طوری که $$dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy=(2x+6x^{2}y)dx+2x^{3}dy$$ یا $$\frac{\partial U}{\partial x}=2x+6x^{2}y\text{and}\frac{\partial U}{\partial y}=2x^3$$ برای یافتن $U$، بیایید هر دو طرف ${\displaystyle \frac{\partial U}{\partial y}}=2x^3$ را نسبت به $y$ انتگرال بگیریم. ${\displaystyle \int 2x^{3}dy}$ نتیجه می‌دهد $2x^{3}y$ اما باید ثابت انتگرال‌گیری را اضافه کنیم. با این حال، در این حالت، ثابت انتگرال‌گیری، به طور کلی، تابعی از $x$ است، مثلاً $w=f(x)$ زیرا مشتق $w$ نسبت به $y$ صفر است. یعنی، $$\frac{\partial (2x^{3}y+w)}{\partial y}=\frac{\partial (2x^{3}y)}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial y}=2x^3.$$ این کلی‌تر از اضافه کردن $C$ است. برای تعیین $w$، بیایید $U$ را نسبت به $x$ مشتق بگیریم و نتیجه را با $2x+6x^{2}y$ مقایسه کنیم: $$\frac{\partial (2x^{3}y+w)}{\partial x}=6x^{2}y+\frac{dw}{dx}.$$ با مقایسه این نتیجه با $2x+6x^{2}y$، متوجه می‌شویم که باید داشته باشیم $$\frac{dw}{dx}=2x$$ از این رو $$w=\int 2xdx=x^2+C$$ و $$U=2x^{3}y+w=2x^{3}y+x^2+C$$ از آنجا که دیفرانسیل کل $U$ یا $dU$ صفر است، $U$ باید یک ثابت باشد، مثلاً $K$. از این رو، جواب معادله دیفرانسیل داده شده عبارت است از $$U=2x^{3}y+x^2+C=K.$$ می‌توانیم دو ثابت $C$ و $K$ را ترکیب کرده و جواب را به صورت $$2x^{3}y+x^2=C_1,$$ بنویسیم، که در آن $C_1$ یک ثابت دلخواه است. می‌توانیم $C_1$ را تعیین کنیم، اگر مقدار $y$ را در $x=0$ (یا هر نقطه دیگر) بدانیم.

مثال 23.5. فرض کنید ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}+n^{2}y=0$.

در این حالت ما یک معادله دیفرانسیل از مرتبه دوم داریم، که در آن $y$ هم به صورت مشتق مرتبه دوم و هم به صورت خودش ظاهر می‌شود.

با جابجایی، داریم ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}=-n^{2}y$.

از این به نظر می‌رسد که با تابعی سروکار داریم که مشتق دوم آن متناسب با خودش است، اما با علامت معکوس. در فصل 15 دریافتیم که چنین تابعی وجود دارد—یعنی سینوس (یا کسینوس نیز) که این ویژگی را دارد. بنابراین، بدون معطلی، می‌توانیم نتیجه بگیریم که جواب به شکل $y=A\sin (pt+q)$ خواهد بود. با این حال، بیایید به کار بپردازیم.

هر دو طرف معادله اصلی را در $2{\displaystyle \frac{dy}{dt}}$ ضرب کنید، که به ما می‌دهد $2{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}{\displaystyle \frac{dy}{dt}}+2n^{2}y{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=0$، و از آنجا که $$2\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\frac{dy}{dt}=\frac{d{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}{dt},$$ می‌توانیم بنویسیم $$\frac{d{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}{dt}+2n^{2}y\frac{dy}{dt}=0$$ یا $$d\left({\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2\right)+2n^{2}ydy=0.$$ انتگرال‌گیری به ما می‌دهد $${\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+n^2(y^2-C^2)=0$$ که در آن $C$ یک ثابت است. سپس، با گرفتن ریشه‌های مربع، $$\frac{dy}{dt}=-n\sqrt{y^2-C^2}\text{and}\frac{dy}{\sqrt{C^2-y^2}}=n\cdot dt.$$

اما می‌توان نشان داد که $$\frac{1}{\sqrt{C^2-y^2}}=\frac{d(\arcsin {\displaystyle \frac{y}{C}})}{dy};$$ از این رو، با عبور از زاویه‌ها به سینوس‌ها، $$\arcsin \frac{y}{C}=nt+C_1\text{and}y=C\sin (nt+C_1),$$ که در آن $C_1$ یک زاویه ثابت است که از انتگرال‌گیری به دست می‌آید.

یا، ترجیحاً، این را می‌توان به صورت $$y=A\sin nt+B\cos nt,$$ نوشت که جواب است.

مثال 23.6. معادله ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}-n^{2}y=0$ را حل کنید.

حل. در اینجا واضح است که با تابع $y$ سروکار داریم که ضریب دیفرانسیل دوم آن متناسب با خودش است. تنها تابعی که می‌شناسیم و این ویژگی را دارد، تابع نمایی است (رجوع کنید به [تغییرنکرده])، و بنابراین می‌توانیم مطمئن باشیم که جواب معادله به آن شکل خواهد بود.

با ادامه مانند قبل، با ضرب در $2{\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ و انتگرال‌گیری، به دست می‌آوریم $2{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}-2n^{2}y{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$، و از آنجا که $$\begin{array}{c}2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\frac{dy}{dx}=\frac{d{\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}^2}{dx},{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2-n^2(y^2+c^2)=0,\\ \frac{dy}{dx}-n\sqrt{y^2+c^2}=0,\end{array}$$ که در آن $c$ یک ثابت است، و ${\displaystyle \frac{dy}{\sqrt{y^2+c^2}}}=ndx$.

حال، اگر $w=\ln (y+\sqrt{y^2+c^2})=\ln u$، $$\begin{array}{c}\frac{dw}{du}=\frac{1}{u},\frac{du}{dy}=1+\frac{y}{\sqrt{y^2+c^2}}=\frac{y+\sqrt{y^2+c^2}}{\sqrt{y^2+c^2}}\end{array}$$ و $$\frac{dw}{dy}=\frac{dw}{du}\cdot \frac{du}{dy}=\frac{1}{\sqrt{y^2+c^2}}.$$

از این رو، با انتگرال‌گیری، این به ما می‌دهد حال $$(y+\sqrt{y^2+c^2})\times (-y+\sqrt{y^2+c^2})=-y^2+(y^2+c^2)=c^2;$$ از این رو

با کم کردن (2) از (1) و تقسیم بر $2$، سپس داریم $$y=\frac{1}{2}C{e}^{nx}-\frac{1}{2}\frac{c^2}{C}{e}^{-nx},$$ که به راحتی‌تر به صورت $$y=A{e}^{nx}+B{e}^{-nx}$$ نوشته می‌شود. یا، جواب، که در نگاه اول به نظر نمی‌رسد ارتباطی با معادله اصلی داشته باشد، نشان می‌دهد که $y$ از دو جمله تشکیل شده است، یکی از آنها با افزایش $x$ به صورت لگاریتمی رشد می‌کند، و جمله دوم با افزایش $x$ از بین می‌رود.

مثال 23.7. فرض کنید $$b\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+a\frac{dy}{dt}+gy=0.$$

بررسی این عبارت نشان می‌دهد که، اگر $b=0$ باشد، شکل مثال 23.1 را دارد که جواب آن یک نمایی منفی بود. از سوی دیگر، اگر $a=0$ باشد، شکل آن مانند مثال 23.6 می‌شود که جواب آن مجموع یک نمایی مثبت و یک نمایی منفی است. بنابراین چندان تعجب‌آور نیست که جواب مثال حاضر عبارت است از که در آن

مراحلی که با آنها این جواب به دست می‌آید در اینجا آورده نشده است؛ آنها را می‌توان در رساله‌های پیشرفته یا کتاب‌های معادلات دیفرانسیل یافت.

مثال 23.8. $$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}.$$

قبلاً دیده شد که این معادله از معادله اصلی $$y=F(x+at)+f(x-at),$$ به دست آمده است، که در آن $F$ و $f$ توابع دلخواهی از $t$ بودند.

روش دیگر برای برخورد با آن این است که آن را با تغییر متغیرها به $$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial u\partial v}=0,$$ تبدیل کنیم، که در آن $u=x+at$، و $v=x-at$، که به همان جواب کلی منجر می‌شود. اگر حالتی را در نظر بگیریم که در آن $F$ صفر شود، آنگاه به سادگی داریم $$y=f(x-at);$$ و این صرفاً بیان می‌کند که، در زمان $t=0$، $y$ یک تابع خاص از $x$ است، و می‌توان آن را به عنوان نشان‌دهنده این در نظر گرفت که منحنی رابطه $y$ با $x$ شکل خاصی دارد. سپس هر تغییری در مقدار $t$ معادل صرفاً تغییری در مبدأیی است که $x$ از آن اندازه‌گیری می‌شود. یعنی، نشان می‌دهد که، با حفظ شکل تابع، در امتداد جهت $x$ با سرعت یکنواخت $a$ منتشر می‌شود؛ بنابراین هر مقدار از مختصات $y$ در هر زمان خاص $t_0$ در هر نقطه خاص $x_0$، همان مقدار $y$ در زمان بعدی $t_1$ در نقطه‌ای جلوتر ظاهر می‌شود که طول آن $x_0+a(t_1-t_0)$ است. در این حالت، معادله ساده‌شده انتشار یک موج (با هر شکلی) را با سرعت یکنواخت در امتداد جهت $x$ نشان می‌دهد.

اگر معادله دیفرانسیل به صورت $$m\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=k\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2},$$ نوشته شده بود، جواب یکسان بود، اما سرعت انتشار مقدار $$a=\sqrt{\frac{k}{m}}$$ را داشت.