Elements of Theory of Plasticity

Plasticidad describe el comportamiento de un material que permanece deformado permanentemente después de que se retira una fuerza externa. Muchas sustancias, como la arcilla o los metales dúctiles, se vuelven plásticas una vez que la tensión supera un cierto umbral. Esto difiere de los materiales frágiles, que generalmente se fracturan en lugar de estirarse cuando las fuerzas alcanzan un límite. Cabe destacar que, mientras que la fractura suele ser inducida por tensiones normales que separan el material, la deformación plástica es impulsada principalmente por tensiones de corte que deslizan las capas de material unas sobre otras.

Históricamente, los ingenieros estudiaron la plasticidad principalmente para garantizar que las estructuras permanecieran elásticas y volvieran a su forma original. Si bien predecir el inicio de la plasticidad es simple si un cuerpo se estira en una sola dirección, las estructuras del mundo real enfrentan tensiones complejas en muchas direcciones a la vez. Necesitamos la teoría de la plasticidad para determinar exactamente cuándo y dónde las partes de un material bajo carga compleja comenzarán a ceder y volverse plásticas.

Además, al observar un metal dúctil típico, la zona elástica es muy pequeña en comparación con cuánto puede estirarse el material antes de romperse. Los ingenieros se dieron cuenta de que esforzarse por mantener el material estrictamente en la zona elástica desperdicia gran parte de su potencial de carga y absorción de energía. Por lo tanto, el diseño moderno utiliza la teoría de la plasticidad para acceder de manera segura a este potencial.

Por qué los ingenieros necesitan la teoría de la plasticidad

Los ingenieros necesitan la teoría de la plasticidad por tres razones principales: primera, para calcular con precisión cuándo los materiales cederán bajo fuerzas complejas y multidireccionales; segunda, para diseñar estructuras más seguras que puedan absorber enormes cantidades de energía durante eventos extremos como choques de automóviles o terremotos sin colapsar; y tercera, para simular procesos de fabricación donde el objetivo es remodelar permanentemente el metal.

Por qué modelar el comportamiento plástico es mucho más complicado que el comportamiento elástico

Modelar y comprender la deformación plástica es significativamente más complejo que la elasticidad lineal por varias razones:

1. No linealidad: La deformación plástica es inherentemente no lineal. En matemáticas y física, los sistemas no lineales son generalmente más difíciles de resolver que los lineales, de manera similar a cómo las ecuaciones diferenciales no lineales son mucho más difíciles de resolver que las ecuaciones diferenciales lineales. Si bien existen métodos establecidos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, no existe un método universal para las ecuaciones no lineales.
2. Dependencia de la trayectoria: En la elasticidad lineal, la tensión está determinada de manera única por la deformación actual. Sin embargo, en plasticidad, un mismo estado de deformación puede asociarse con diversos valores de tensión dependiendo de la historia de carga. Dado que el comportamiento del material depende de la trayectoria, no podemos simplemente relacionar la tensión total con la deformación total; en cambio, debemos relacionar los incrementos de tensión con los incrementos de deformación.
3. Variabilidad constitutiva: El comportamiento plástico varía fundamentalmente de un material a otro. Además, diversos parámetros, como la temperatura, la velocidad de carga y el tamaño de grano, pueden alterar fundamentalmente el comportamiento plástico de un material. En contraste, la elasticidad lineal es uniforme en todos los materiales, difiriendo solo por sus constantes de cumplimiento (la pendiente de la curva tensión-deformación).
4. Irreversibilidad y disipación de energía: La deformación elástica es un proceso conservativo; la energía almacenada en el material es esencialmente energía potencial que se recupera completamente al descargar. Sin embargo, la deformación plástica es disipativa. La energía se pierde permanentemente (en su mayoría convertida en calor) y no puede recuperarse. Esto significa que el modelado plástico debe satisfacer estrictas leyes termodinámicas para garantizar que el modelo sea físicamente válido, añadiendo una capa de complejidad termodinámica que no está presente en la elasticidad.
5. No linealidad geométrica y grandes deformaciones: En la elasticidad lineal, se supone que las deformaciones son infinitesimales. Esto permite importantes simplificaciones: el equilibrio se calcula sobre la forma original, y todas las definiciones de tensión/deformación esencialmente coinciden. En plasticidad, estas suposiciones pueden fallar debido a grandes estiramientos y rotaciones, introduciendo dos capas de complejidad:
   • Distinción de configuraciones: Dado que la geometría cambia significativamente, no podemos suponer una forma fija. Debemos distinguir estrictamente entre la configuración de referencia (no deformada) y la configuración actual (deformada), y aplicar el equilibrio sobre un cuerpo que se mueve y deforma continuamente.
   • Multiplicidad de medidas de tensión y deformación: Mientras que una sola definición es suficiente para deformaciones pequeñas, las grandes deformaciones requieren medidas específicas para garantizar precisión física y equilibrio energético (conjugación de trabajo):
     • Tensión de Cauchy: Definida sobre la configuración actual (fuerza por área actual).
     • Tensiones de Piola-Kirchhoff: Mapeadas de vuelta a la configuración de referencia. La primera tensión de Piola-Kirchhoff relaciona la fuerza actual con el área original, mientras que la segunda tensión de Piola-Kirchhoff transforma el propio vector de fuerza para tener en cuenta la rotación del material.
     • Conjugación: Cada medida de tensión debe emparejarse con una tasa de deformación matemáticamente correspondiente para garantizar que el cálculo del trabajo interno sea correcto.