Number Magic

18.1 INTRODUÇÃO

18.1.1 O Desafio de Goldbach

Um dos problemas abertos mais famosos da matemática é a conjectura de Goldbach:

Seja $g(n)$ a função que indica de quantas maneiras podemos escrever $n$ como soma de dois primos. Por exemplo, $g(5)=2$, $g(6)=1$ porque $5=2+3=3+2$ e $g(6)=1$ porque $6+3+3$.

18.1.2 Conjectura de Goldbach: Visualizando com o Mathematica

Aqui está o código do Mathematica que permite plotar o cometa, o gráfico da função $g$.

18.1.3 Decifrando Goldbach com Cálculo?

Por que isso é notável? Isso mostra que calcular os números $f(n)$ poderia ser feito de forma elegante usando cálculo, definindo uma função $f$. Usando o teorema de Taylor, podemos calcular os valores $g(n)$. A conjectura de Goldbach é equivalente a \begin{aligned} g^{2 n}(0) \text { é diferente de zero para todo } n \geq 1. \end{aligned} A única coisa que realmente precisaríamos é ter controle sobre a função $f$. Infelizmente, ninguém viu como escrever a função $f$ em termos de funções conhecidas. Mas não é completamente impossível que não exista uma modificação $$f(x)=\sum _{p\text{ primo }}{a}_p{x}^p$$ com $a_p$ positivos tal que $f(x)$ seja expressável usando funções conhecidas. Além disso, se $g(x)=f(x{)}^2$ tivesse derivadas pares positivas, Goldbach seguiria.

18.2 SEMINÁRIO

18.2.1 Truques de Cálculo: Além dos Cálculos

Neste seminário, vemos como o cálculo pode ajudar a computar coisas de forma eficaz e também esperamos obter insights sobre tópicos de natureza mais teórica dos números. Para encontrar a raiz cúbica de $10$, por exemplo, temos $${10}^{1/3}\sim 8^{1/3}+\frac{2}{3\cdot 8^{2/3}}=2+\frac{2}{12}=2,1666\dots$$ O valor real é $2,15443$. Também podemos usar linearização para encontrar raízes exatas

18.2.2 Método de Newton para Raízes: Uma Ferramenta Poderosa

Não pudemos mencionar o método de Newton para encontrar raízes em aula. É um método iterativo simples, mas eficaz. Também podemos fazer isso para encontrar raízes. Para encontrar a raiz cúbica de $9$, por exemplo, começamos com uma primeira aproximação como $2$, então introduzimos a função $f(x)=x^3-9$ para a qual queremos encontrar a raiz, então aplicamos o passo de Newton T(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}. Temos f^{\prime}(x)=3 x^{2} e então $T(x)=x-(x^3-9)/(3x^2)$. Isso dá $T(2)=25/12=2,08333$. Já bem próximo de $9^{1/3}=2,08008$.

18.2.3 O Método de Newton Toma um Rumo Complexo

Há uma história interessante aqui ao aplicar o método de Newton no plano complexo. A função $f(x)=x^3-9$ tem exatamente $3$ raízes no plano complexo. Elas são $9^{1/3}$, $9^{1/3}{e}^{i2\pi /3}$ e $9^{1/3}{e}^{i4\pi /3}$. Verifique que esses três números satisfazem $f(x)=0$! Investigar o método de Newton no complexo na verdade antecedeu a história de Mandelbrot. Pode-se perguntar o que acontece se você aplicar o método de Newton com uma condição inicial dada. A solução terminará em uma das três raízes, mas quais? Ao desenhar isso, vemos o fractal de Newton. Aqui está como você pode plotar o fractal de Newton.¹

18.2.4 Séries Geométricas Desmistificadas

Na prova, você provou $1+3+3^2+\cdots +3^{n-1}=(3^n-1)/2$. Este é um caso especial da fórmula da série geométrica $$1+a+a^2+\cdots +a^n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.$$ Claro, também poderíamos provar essa fórmula por indução. Melhor fazer diretamente:

18.2.5 Convergência em Séries Infinitas

Essas eram todas somas finitas, mas ver o padrão nos permite tomar um limite e calcular a série infinita:

18.2.6 Desbloqueando Séries de Taylor com Séries Infinitas

A série de Taylor de uma função boa é $f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(k)}(0)x^k$. Tendo acabado de ver C), podemos responder à pergunta capciosa:

18.2.7 Derivando Logaritmos com Séries

Como você pode obter do último exercício a seguinte identidade?

18.2.8 Explorando a Série em -1

Agora vamos ver o que acontece em $x=-1$.

18.2.9 Teoria dos Números Encontra o Cálculo

Como é que grandes teóricos dos números como Leonard Euler ou Godfrey Hardy também eram mestres em cálculo? A razão é que muitos resultados de natureza teórica dos números têm relações íntimas com o cálculo. Vamos ver o seguinte problema:

Dica: calcule primeiro a série de Taylor de $f(x)=\arctan (x)$ usando a série de Taylor de $1/(1+x^2)$ (esta última é uma série geométrica), então avalie $f$ em $x=1$.

18.2.10 Função Zeta e a Hipótese de Riemann

$${\mathrm{Li}}_s(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^s}=x+\frac{x^2}{2^s}+\frac{x^3}{3^s}+\cdots$$ é chamada de função polilogaritmo. Para $s=0$ é o Problema D, para $s=1$ é o problema E. Enquanto no cálculo, podemos estar mais interessados na função como uma função de $x$, os teóricos dos números estão mais interessados na função como uma função de $s$ e $s$ é complexo. No caso $x=1$, a função $L{i}_s(x)$ é a função zeta de Riemann $\zeta (s)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^s}$.

A chave de ouro de Euler relaciona $\zeta$ com os primos:

18.2.11 A Identidade da Chave de Ouro de Euler

Primeiro verifique (talvez veja o Problema C) que para um único primo $p$ $$\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}=1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\cdots$$ que é a soma sobre todos os $\frac{1}{n^s}$, onde $n$ tem apenas fatores primos $p$. Então olhe para o produto destes para dois primos $p$, $q$ e veja que isso é a soma sobre todos os $\frac{1}{n^s}$ onde $n$ tem apenas fatores primos $p$ e $q$.

18.2.12 Explorando uma Equivalência Baseada em Cálculo para Goldbach

Voltemos ao tópico da introdução. Lembre-se de que a conjectura de Goldbach diz que todo número par maior que $2$ é a soma de dois primos. Qual é a relação com o cálculo? Defina $g(x)=(f(x){)}^2$ com $$f(x)=\sum _p\frac{x^p}{p!}=\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots$$ Para o seguinte, tente verificar isso cuidadosamente mostrando ambas as direções. Se uma afirmação $A$, $B$ são equivalentes, então isso significa que temos que mostrar duas coisas. Temos que verificar que $A⟹B$ e $B⟹A$.

EXERCÍCIOS