جادوی اعداد

18.1 مقدمه

18.1.1 چالش گلدباخ

یکی از مشهورترین مسائل حل‌نشده ریاضیات، حدس گلدباخ است:

اجازه دهید $g(n)$ تابعی را نشان دهد که می‌گوید به چند طریق می‌توانیم $n$ را به صورت مجموع دو عدد اول بنویسیم. برای مثال $g(5)=2$، $g(6)=1$ زیرا $5=2+3=3+2$ و $g(6)=1$ زیرا $6+3+3$.

18.1.2 حدس گلدباخ: بصری‌سازی با Mathematica

در اینجا کد Mathematica وجود دارد که به ما اجازه می‌دهد دنباله‌دار را رسم کنیم، نمودار تابع $g$.

18.1.3 شکستن گلدباخ با حسابان؟

چرا این قابل توجه است؟ این نشان می‌دهد که محاسبه اعداد $f(n)$ می‌تواند به خوبی با استفاده از حسابان و با تعریف تابع $f$ انجام شود. با استفاده از قضیه تیلور می‌توانیم ورودی‌های $g(n)$ را محاسبه کنیم. حدس گلدباخ معادل است با تنها چیزی که واقعاً نیاز داریم، تسلط بر تابع $f$ است. متأسفانه، هیچ‌کس نتوانسته است تابع $f$ را بر حسب توابع شناخته‌شده بنویسد. اما کاملاً ناامیدکننده نیست که یک اصلاح‌شده $$f(x)=\sum _{p\text{ prime }}{a}_p{x}^p$$ با $a_p$ مثبت وجود نداشته باشد به طوری که $f(x)$ با استفاده از توابع شناخته‌شده قابل بیان باشد. همچنین، اگر $g(x)=f(x{)}^2$ مشتقات زوج مثبت داشته باشد، آنگاه گلدباخ نتیجه می‌شود.

18.2 سمینار

18.2.1 ترفندهای حسابان: فراتر از محاسبات

در این سمینار، می‌بینیم که چگونه حسابان می‌تواند به محاسبه مؤثر چیزها کمک کند و همچنین امیدواریم بینشی نسبت به موضوعاتی که بیشتر ماهیت نظریه اعدادی دارند، به دست آوریم. برای مثال برای یافتن ریشه سوم $10$، داریم $${10}^{1/3}\sim 8^{1/3}+\frac{2}{3\cdot 8^{2/3}}=2+\frac{2}{12}=2.1666\dots$$ مقدار واقعی $2.15443$ است. همچنین می‌توانیم از خطی‌سازی برای یافتن ریشه‌های دقیق استفاده کنیم

18.2.2 روش نیوتن برای ریشه‌ها: ابزاری قدرتمند

ما نتوانستیم روش نیوتن برای یافتن ریشه‌ها را در کلاس ذکر کنیم. این یک روش تکراری ساده اما مؤثر است. همچنین می‌توانیم از آن برای یافتن ریشه‌ها استفاده کنیم. برای مثال برای یافتن ریشه سوم $9$، با یک تقریب اولیه مانند $2$ شروع می‌کنیم، سپس تابع $f(x)=x^3-9$ را که می‌خواهیم ریشه آن را بیابیم معرفی می‌کنیم، سپس گام نیوتن را اعمال می‌کنیم. داریم و بنابراین $T(x)=x-(x^3-9)/(3x^2)$. این نتیجه می‌دهد $T(2)=25/12=2.08333$. که در حال حاضر کاملاً نزدیک به $9^{1/3}=2.08008$ است.

18.2.3 روش نیوتن پیچیده می‌شود

یک داستان جالب در اینجا وجود دارد وقتی روش نیوتن را در صفحه مختلط اعمال می‌کنیم. تابع $f(x)=x^3-9$ دقیقاً $3$ ریشه در صفحه مختلط دارد. آن‌ها $9^{1/3}$، $9^{1/3}{e}^{i2\pi /3}$ و $9^{1/3}{e}^{i4\pi /3}$ هستند. بررسی کنید که این سه عدد در $f(x)=0$ صدق می‌کنند! بررسی روش نیوتن در مختلط در واقع پیش از داستان مندلبرو بود. می‌توان تعجب کرد که چه اتفاقی می‌افتد اگر روش نیوتن را با یک شرط اولیه داده‌شده اعمال کنید. پاسخ به یکی از سه ریشه ختم خواهد شد، اما کدام یک؟ وقتی این را رسم می‌کنیم، فراکتال نیوتن را می‌بینیم. در اینجا نحوه رسم فراکتال نیوتن آورده شده است.¹

18.2.4 سری‌های هندسی بی‌ابهام

در امتحان شما ثابت کرده‌اید $1+3+3^2+\cdots +3^{n-1}=(3^n-1)/2$ . این یک مورد خاص از فرمول سری هندسی است $$1+a+a^2+\cdots +a^n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.$$ البته، می‌توانیم این فرمول را با استقرا نیز ثابت کنیم. بهتر است مستقیماً این کار را انجام دهیم:

18.2.5 همگرایی در سری‌های نامتناهی

این‌ها همه مجموع‌های متناهی بودند اما دیدن الگو به ما اجازه می‌دهد که حد بگیریم و سری نامتناهی را محاسبه کنیم:

18.2.6 باز کردن سری تیلور با سری‌های نامتناهی

سری تیلور یک تابع خوب برابر است با $f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(k)}(0)x^k$ . فقط با نگاه به بخش C) می‌توان به سؤال ترفندی پاسخ داد:

18.2.7 استخراج لگاریتم‌ها با سری‌ها

چگونه می‌توانید از تمرین قبلی به اتحاد زیر برسید؟

18.2.8 بررسی سری در 1-

حالا ببینیم در $x=-1$ چه اتفاقی می‌افتد.

18.2.9 نظریه اعداد با حسابان ملاقات می‌کند

چطور است که نظریه‌پردازان بزرگ اعداد مانند لئونارد اویلر یا گادفری هاردی همچنین استادان حسابان بودند؟ دلیل این است که بسیاری از نتایج با ماهیت نظریه اعداد روابط نزدیکی با حسابان دارند. بیایید به مسئله زیر نگاه کنیم:

راهنمایی: ابتدا سری تیلور $f(x)=\arctan (x)$ را با استفاده از سری تیلور $1/(1+x^2)$ (که یک سری هندسی است) محاسبه کنید، سپس $f$ را در $x=1$ ارزیابی کنید.

18.2.10 تابع زتا و فرضیه ریمان

$${\mathrm{Li}}_s(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^s}=x+\frac{x^2}{2^s}+\frac{x^3}{3^s}+\cdots$$ تابع پلی‌لگاریتم نامیده می‌شود. برای $s=0$ همان مسئله D است، برای $s=1$ همان مسئله E است. در حالی که در حسابان، ممکن است بیشتر به تابع به عنوان تابعی از $x$ علاقه‌مند باشیم، نظریه‌پردازان اعداد بیشتر به تابع به عنوان تابعی از $s$ علاقه دارند و $s$ مختلط است. در حالت $x=1$، تابع $L{i}_s(x)$ همان تابع زتای ریمان $\zeta (s)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^s}$ است.

کلید طلایی اویلر $\zeta$ را به اعداد اول مرتبط می‌کند:

18.2.11 اتحاد کلید طلایی اویلر

ابتدا تأیید کنید (شاید به مسئله C نگاه کنید) که برای یک عدد اول $p$ $$\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}=1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\cdots$$ که مجموع روی همه $\frac{1}{n^s}$ است، جایی که $n$ فقط عوامل اول $p$ دارد. سپس به حاصل‌ضرب این‌ها برای دو عدد اول $p$، $q$ نگاه کنید و ببینید که این مجموع روی همه $\frac{1}{n^s}$ است جایی که $n$ فقط عوامل اول $p$ و $q$ دارد.

18.2.12 بررسی معادل‌سازی حسابانی برای گلدباخ

بیایید به موضوع مقدمه بازگردیم. به یاد داشته باشید که حدس گلدباخ می‌گوید هر عدد زوج بزرگتر از $2$ مجموع دو عدد اول است. ارتباط با حسابان چیست؟ تعریف کنید $g(x)=(f(x){)}^2$ با $$f(x)=\sum _p\frac{x^p}{p!}=\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots$$ برای موارد زیر، سعی کنید این را با دقت با نشان دادن هر دو جهت تأیید کنید. اگر یک گزاره $A$، $B$ معادل باشند، این بدان معنی است که باید دو چیز را نشان دهیم. باید تأیید کنیم که $A⟹B$ و $B⟹A$.

تمرین‌ها