Magie des Nombres

18.1 INTRODUCTION

18.1.1 Le défi de Goldbach

L'un des problèmes ouverts les plus célèbres en mathématiques est la conjecture de Goldbach :

Soit $g(n)$ la fonction qui donne le nombre de façons d'écrire $n$ comme somme de deux nombres premiers. Par exemple $g(5)=2$, $g(6)=1$ car $5=2+3=3+2$ et $g(6)=1$ car $6+3+3$.

18.1.2 Conjecture de Goldbach : Visualisation avec Mathematica

Voici un code Mathematica qui permet de tracer la comète, le graphe de la fonction $g$.

18.1.3 Résoudre Goldbach avec le calcul différentiel ?

Pourquoi est-ce remarquable ? Cela montre que le calcul des nombres $f(n)$ pourrait être fait élégamment en utilisant le calcul différentiel en définissant une fonction $f$. En utilisant le théorème de Taylor, nous pouvons calculer les entrées $g(n)$. La conjecture de Goldbach est équivalente à \begin{aligned} g^{2 n}(0) \text { est non nul pour tout } n \geq 1. \end{aligned} La seule chose dont nous aurions vraiment besoin est de maîtriser la fonction $f$. Malheureusement, personne n'a vu comment exprimer la fonction $f$ en termes de fonctions connues. Mais il n'est pas complètement désespéré de penser qu'il pourrait exister une modification $$f(x)=\sum _{p\text{ premier }}{a}_p{x}^p$$ avec $a_p$ positifs telle que $f(x)$ soit exprimable à l'aide de fonctions connues. De plus, si $g(x)=f(x{)}^2$ avait toutes ses dérivées paires positives, Goldbach en découlerait.

18.2 SÉMINAIRE

18.2.1 Astuces de calcul : au-delà des calculs

Dans ce séminaire, nous voyons comment le calcul différentiel peut aider à calculer des choses efficacement et espérons également obtenir un aperçu de sujets de nature plus arithmétique. Pour trouver la racine cubique de $10$ par exemple, nous avons $${10}^{1/3}\sim 8^{1/3}+\frac{2}{3\cdot 8^{2/3}}=2+\frac{2}{12}=2.1666\dots$$ La valeur réelle est $2.15443$. Nous pouvons aussi utiliser la linéarisation pour trouver des racines exactes

18.2.2 Méthode de Newton pour les racines : un outil puissant

Nous ne pouvions pas ne pas mentionner la méthode de Newton pour trouver des racines en cours. C'est une méthode itérative simple mais efficace. Nous pouvons également l'utiliser pour trouver des racines. Pour trouver la racine cubique de $9$ par exemple, nous partons d'une première approximation comme $2$, puis nous introduisons la fonction $f(x)=x^3-9$ dont nous cherchons la racine, puis nous appliquons l'étape de Newton T(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}. Nous avons f^{\prime}(x)=3 x^{2} et donc $T(x)=x-(x^3-9)/(3x^2)$. Cela donne $T(2)=25/12=2.08333$. Déjà assez proche de $9^{1/3}=2.08008$.

18.2.3 La méthode de Newton prend un tournant complexe

Il y a une histoire intéressante ici lorsqu'on applique la méthode de Newton dans le plan complexe. La fonction $f(x)=x^3-9$ a exactement $3$ racines dans le plan complexe. Ce sont $9^{1/3}$, $9^{1/3}{e}^{i2\pi /3}$ et $9^{1/3}{e}^{i4\pi /3}$. Vérifiez que ces trois nombres satisfont $f(x)=0$ ! L'étude de la méthode de Newton dans le plan complexe a en réalité précédé l'histoire de Mandelbrot. On peut se demander ce qui se passe si on applique la méthode de Newton avec une condition initiale donnée. La solution finira dans l'une des trois racines, mais lesquelles ? En traçant cela, nous voyons la fractale de Newton. Voici comment vous pouvez tracer la fractale de Newton.¹

18.2.4 Séries géométriques démystifiées

Dans l'examen, vous avez prouvé $1+3+3^2+\cdots +3^{n-1}=(3^n-1)/2$. C'est un cas particulier de la formule de la série géométrique $$1+a+a^2+\cdots +a^n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.$$ Bien sûr, nous pourrions aussi prouver cette formule par récurrence. Mieux vaut le faire directement :

18.2.5 Convergence des séries infinies

C'étaient toutes des sommes finies, mais observer le motif nous permet de prendre une limite et de calculer la série infinie :

18.2.6 Découvrir les séries de Taylor avec les séries infinies

La série de Taylor d'une fonction régulière est $f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(k)}(0)x^k$. Ayant juste regardé C), on peut répondre à la question piège :

18.2.7 Dériver les logarithmes avec des séries

Comment peut-on obtenir à partir du dernier exercice l'identité suivante ?

18.2.8 Exploration de la série en -1

Voyons maintenant ce qui se passe en $x=-1$.

18.2.9 La théorie des nombres rencontre le calcul différentiel

Comment se fait-il que de grands théoriciens des nombres comme Leonard Euler ou Godfrey Hardy aient aussi été des maîtres du calcul différentiel ? La raison est que de nombreux résultats de nature arithmétique ont des relations intimes avec le calcul différentiel. Regardons le problème suivant :

Indice : calculez d'abord la série de Taylor de $f(x)=\arctan (x)$ en utilisant la série de Taylor de $1/(1+x^2)$ (cette dernière est une série géométrique), puis évaluez $f$ en $x=1$.

18.2.10 Fonction zêta et l'hypothèse de Riemann

$${\mathrm{Li}}_s(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^s}=x+\frac{x^2}{2^s}+\frac{x^3}{3^s}+\cdots$$ est appelée la fonction polylogarithme. Pour $s=0$ c'est le problème D, pour $s=1$ c'est le problème E. Alors qu'en calcul différentiel, nous pourrions être plus intéressés par la fonction en tant que fonction de $x$, les théoriciens des nombres sont plus intéressés par la fonction en tant que fonction de $s$ et $s$ est complexe. Dans le cas $x=1$, la fonction $L{i}_s(x)$ est la fonction zêta de Riemann $\zeta (s)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^s}$.

La clé d'or d'Euler relie $\zeta$ aux nombres premiers :

18.2.11 L'identité de la clé d'or d'Euler

Vérifiez d'abord (peut-être en regardant le problème C) que pour un seul nombre premier $p$ $$\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}=1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\cdots$$ ce qui est la somme de tous les $\frac{1}{n^s}$ où $n$ n'a que $p$ comme facteur premier. Regardez ensuite le produit de ceux-ci pour deux nombres premiers $p$, $q$ et voyez que c'est la somme de tous les $\frac{1}{n^s}$ où $n$ n'a que $p$ et $q$ comme facteurs premiers.

18.2.12 Exploration d'une équivalence avec le calcul différentiel pour Goldbach

Revenons au sujet de l'introduction. Rappelez-vous que la conjecture de Goldbach affirme que tout nombre pair supérieur à $2$ est la somme de deux nombres premiers. Quel est le lien avec le calcul différentiel ? Définissons $g(x)=(f(x){)}^2$ avec $$f(x)=\sum _p\frac{x^p}{p!}=\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots$$ Pour ce qui suit, essayez de le vérifier soigneusement en montrant les deux directions. Si une affirmation $A$, $B$ sont équivalentes alors cela signifie que nous devons montrer deux choses. Nous devons vérifier que $A⟹B$ et $B⟹A$.

EXERCICES