Índice
- 12.1 INTRODUÇÃO
- 12.2 SEMINÁRIO
- 12.2.1 Domine as Provas Intermediárias com Mapas Mentais
- 12.2.2 Conhecimento: A Faísca da Criatividade
- 12.2.3 Varetas Enganosas
- 12.2.4 Desbloqueando a Criatividade Oculta: Lições de Fritz Zwicky
- 12.2.5 Matéria Escura e Piadas Sujas: A História de Fritz Zwicky
- 12.2.6 A Técnica da Caixa Morfológica
- 12.2.7 Ideias Espaciais Malucas de Zwicky
- 12.2.8 Repensando a Ideia de Viagem Solar de Zwicky
- 12.2.9 De Azulejos de Banheiro a Quebra-cabeças de Cerejas
- EXERCÍCIOS
12.1 INTRODUÇÃO
12.1.1 Como os Matemáticos Encontram Demonstrações?
Você já viu algumas demonstrações até agora. Talvez se pergunte: como a demonstração foi encontrada? Por exemplo, vimos a desigualdade de Cauchy-Schwarz . Como se chegou à ideia de primeiro assumir , depois definir e considerar Nesse caso, a contribuição crucial vem de uma imagem visual, pois podemos ver como um vetor perpendicular ao vetor . Se lhe for dado o problema de demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz sem consultar a demonstração, esta é uma tarefa muito difícil. É difícil porque requer uma ideia. Ter ideias é o que trata a criatividade.
12.2 SEMINÁRIO
12.2.1 Domine as Provas Intermediárias com Mapas Mentais
Em pouco mais de uma semana, teremos que começar a pensar na nossa primeira prova intermediária; vamos organizar o conhecimento acumulado até agora. Podemos fazer isso de várias maneiras. Uma técnica é o mapa mental. Ele permite organizar uma vasta quantidade de conteúdo em uma única imagem e ver conexões que, de outra forma, poderiam passar despercebidas. Na Figura (12.2), começamos a construir tal mapa mental. Ainda faltam muitos ramos, até mesmo os principais. Poderíamos começar também com uma entrada como "matriz", colocá-la no centro e, em seguida, construir conexões com outros objetos, definições ou resultados.
12.2.2 Conhecimento: A Faísca da Criatividade
O que isso tem a ver com criatividade? Acontece que, para ser criativo, é preciso ter uma base fértil de conhecimento. Não se pode montar novos blocos de construção sem antes possuir e compreender alguns. Para demonstrar que o conhecimento é importante, pode-se também olhar para a ciência da computação e, especialmente, para o campo da inteligência artificial (IA). Um dos grandes pioneiros da IA, Marvin Minsky, escreveu certa vez: "a melhor maneira de resolver um problema é saber como resolvê-lo". Os paradigmas modernos em aprendizado de máquina confirmam que, para treinar uma entidade de IA, é preciso fornecer muito conhecimento para trabalhar. Novos modelos surgem então por meio de ajuste de dados, métodos de gradiente descendente ou algoritmos mais sofisticados.1
Problema A: Faça um mapa mental dos fatos mais importantes que apareceram no curso até agora. Faça no papel, em um quadro-negro, quadro branco ou usando software. A Figura (12.2) é um começo. Refine-o o máximo possível.
12.2.3 Varetas Enganosas
Para ilustrar como pode ser difícil obter uma nova solução, tente o seguinte problema. É claro que, se você souber a resposta ou já a tiver visto, pode ser fácil. Se você nunca o viu, pode ser muito difícil. É importante que você tente encontrar a solução por pelo menos meia hora, mesmo que não tenha sucesso.
Problema B: Dadas varetas de mesmo comprimento , organize-as de modo a obter triângulos equiláteros de lado .
12.2.4 Desbloqueando a Criatividade Oculta: Lições de Fritz Zwicky
Encontrar demonstrações de teoremas exige criatividade. A criatividade não é "dada por Deus" nem herdada; ela pode ser treinada como qualquer outra coisa. Para respaldar essa afirmação, recorremos a um cientista que demonstrou criatividade descobrindo coisas novas que ninguém mais havia pensado antes. É o cientista suíço Fritz Zwicky, que lecionou no Caltech e escreveu um livro "Everybody a genius". Por que Zwicky tem "credibilidade"? Bem, ele não apenas era extraordinariamente criativo, como também desenvolveu e divulgou técnicas de criatividade que funcionam e têm sido usadas desde então tanto na indústria quanto na academia.
12.2.5 Matéria Escura e Piadas Sujas: A História de Fritz Zwicky
Em primeiro lugar, as credenciais: Fritz Zwicky propôs a existência de matéria escura, supernovas (junto com Walter Baade), estrelas de nêutrons, raios cósmicos galácticos, lentes gravitacionais por galáxias e aglomerados de galáxias. Ele também foi um pioneiro na tecnologia de foguetes. Ele propôs e realizou o primeiro disparo de um objeto produzido por humanos a ir para o espaço sideral. Cada uma dessas realizações por si só mereceria estar na lista dos maiores astrônomos de todos os tempos. No entanto, Zwicky não é tão conhecido. Por quê? Talvez tenha a ver com o fato de que Zwicky costumava chamar seus colegas de "bastardos esféricos". Por que esféricos? "Porque são bastardos de qualquer lado que se olhe para eles!" Não é de admirar que não tenha sido muito admirado...
12.2.6 A Técnica da Caixa Morfológica
Uma das técnicas é a caixa morfológica. É muito simples. Produza uma matriz na qual se tenha um tipo de objetos, ideias ou atividades de um lado e outro tipo de objetos, ideias ou atividades. Agora, simplesmente percorra a matriz e procure por conexões. Aqui está uma matriz assim:
| Terra | Lua | Sol | |
|---|---|---|---|
| atirar | |||
| cavar | |||
| viajar |
12.2.7 Ideias Espaciais Malucas de Zwicky
Agora veja o que Zwicky propôs: atirar na Lua (ele realmente fez isso com foguetes V2 usados que tinham uma arma de verdade no topo. Ao final da queima, a arma era disparada, a bala viajaria para o espaço); ele propôs viajar cavando em grande escala pela Terra (isso agora é realizado por uma empresa formada por Elon Musk); viajar com o Sol (a proposta era viajar para uma estrela próxima movendo todo o sistema solar).
12.2.8 Repensando a Ideia de Viagem Solar de Zwicky
A entrada da matriz "cavar sol" pode entrar em cena ao realizar a ideia de viagem espacial de Zwicky. Talvez precisemos atingir parte do Sol de forma diferente para desencadear uma queima assimétrica e, assim, uma viagem. A propósito, existe todo um campo de engenharia, a "macroengenharia". Em 1997, sugeri em um ensaio (por ocasião do centésimo aniversário de Zwicky) implementar a ideia de Zwicky pelo acionamento deliberado de fusão e fissão assimétricas no Sol. Isso é mencionado em um livro de macroengenharia.2
12.2.9 De Azulejos de Banheiro a Quebra-cabeças de Cerejas
Aqui está um belo problema atribuído em um curso de Matemática ministrado há alguns anos por Sebastien Vasey. Pegar um problema emprestado de outro curso não faz muito sentido para a criatividade: mas o problema é belo demais para ser perdido. É um exemplo de uma demonstração por indução que requer alguma criatividade. Tente resolvê-lo.
Problema C: Você tem azulejos de banheiro que têm três quadrados dispostos em forma de . Demonstre que você pode cobrir um piso de banheiro quadrado de comprimento e largura com tais azulejos de forma que um quadrado fique vazio.
Problema D: Martin Gardner escreveu muitos livros com quebra-cabeças. Um deles é "The mathematical magic show" (1977). Na capa do livro da edição alemã (1988), há um quebra-cabeça famoso: você tem uma cereja em um copo construído com palitos de fósforo. Mova dois dos quatro palitos para tirar a cereja do copo. O copo deve ter o mesmo formato de antes. Você não pode mover a cereja. Resolva o quebra-cabeça da cereja.
EXERCÍCIOS
Em todas as questões seguintes, a criatividade é fundamental. Seu objeto deve ser original. É permitido modificar um objeto conhecido. E, claro, use tecnologia para que se possa admirar sua criação.
Exercício 1. Seja criativo e gere sua própria curva parametrizada. Se você gostar o suficiente dela, pode batizá-la com o seu nome.
Exercício 2. Seja criativo e gere sua própria superfície paramétrica. Novamente, se a superfície for criativa o suficiente e a superfície for de fato nova, você merece que a superfície receba o seu nome.
Exercício 3. Seja criativo e gere uma superfície de nível . Aqui também, tente obter algo nunca visto antes.
Exercício 4. Seja criativo e gere seu próprio sistema de coordenadas .
Exercício 5.
- Escreva uma primeira prova!
- faça-a!
- corrija-a!
Observação: De acordo com os Apócrifos de Krantz (página 79), as partes a) e b) foram dadas uma vez como uma prova de geometria algébrica aqui em Harvard. Dizem que depois isso também foi usado no departamento de filosofia de Harvard, onde (e isso também é criativo) a parte c) foi acrescentada. Até onde sabemos, passar como tarefa de casa escrever uma prova é inédito! Heureka! Fomos criativos.
