خلاقیت

12.1 مقدمه

12.1.1 ریاضیدانان چگونه اثبات‌ها را پیدا می‌کنند؟

تاکنون چند اثبات دیده‌اید. ممکن است تعجب کنید که اثبات چگونه پیدا شده است؟ به عنوان مثال، ما نابرابری کوشی-شوارتز را دیده‌ایم $|v\cdot w|\le |v||w|$. چگونه به این ایده رسیدند که ابتدا $|w|=1$ را فرض کنند، سپس $a=v\cdot w$ را تعریف کنند و به $$0\le (v-aw)\cdot (v-aw)=|v{|}^2-a^2?$$ نگاه کنند؟ در این مورد، ورودی حیاتی از یک تصویر بصری می‌آید، زیرا می‌توانیم $v-aw$ را به عنوان یک بردار عمود بر بردار $w$ ببینیم. اگر به شما مسئله اثبات نابرابری کوشی-شوارتز داده شود بدون اینکه اثبات را جستجو کنید، این یک کار بسیار دشوار است. دشوار است زیرا نیاز به یک ایده دارد. به دست آوردن ایده‌ها همان چیزی است که خلاقیت درباره آن است.

12.2 سمینار

12.2.1 تسلط بر امتحانات میان‌ترم با نقشه‌های ذهنی

در یک هفته بیشتر از این، ما باید به اولین میان‌ترم خود فکر کنیم، بیایید دانش انباشته شده تاکنون را سازماندهی کنیم. ما می‌توانیم این کار را به روش‌های مختلف انجام دهیم. یک تکنیک نقشه ذهنی است. این امکان را می‌دهد که حجم زیادی از محتوا را در یک تصویر سازماندهی کنیم و ارتباطاتی را ببینیم که در غیر این صورت ممکن است از دست بروند. در شکل (12.2) ما شروع به ساخت چنین نقشه ذهنی کردیم. شاخه‌های زیادی هنوز کم هستند، حتی شاخه‌های اصلی. همچنین می‌توان با یک ورودی مانند "ماتریس" شروع کرد، آن را در مرکز قرار داد و سپس به اشیا، تعاریف یا نتایج دیگر ارتباط برقرار کرد.

12.2.2 دانش: جرقه خلاقیت

این چه ربطی به خلاقیت دارد؟ معلوم می‌شود که برای خلاق بودن، باید یک پایه بارور از دانش داشت. نمی‌توان بلوک‌های ساختمانی جدید را بدون داشتن و درک برخی از آن‌ها مونتاژ کرد. برای اثبات اینکه دانش مهم است، می‌توان به علم کامپیوتر و به‌ویژه حوزه هوش مصنوعی (AI) نگاه کرد. یکی از پیشگامان بزرگ هوش مصنوعی، ماروین مینسکی، زمانی نوشت: "بهترین راه برای حل یک مسئله این است که بدانیم چگونه آن را حل کنیم". پارادایم‌های مدرن در یادگیری ماشین تأیید می‌کنند که برای آموزش یک موجودیت هوش مصنوعی، باید دانش زیادی را به آن تغذیه کرد تا با آن کار کند. سپس مدل‌های جدید از طریق برازش داده‌ها، روش‌های گرادیان کاهشی یا الگوریتم‌های پیچیده‌تر به دست می‌آیند.¹

12.2.3 چوب‌های دشوار

برای نشان دادن اینکه چقدر به دست آوردن یک راه‌حل جدید می‌تواند دشوار باشد، مسئله زیر را امتحان کنید. البته، اگر پاسخ را بدانید یا قبلاً آن را دیده باشید، می‌تواند آسان باشد. اگر هرگز آن را ندیده باشید، می‌تواند بسیار سخت باشد. مهم است که سعی کنید راه‌حل را حداقل نیم ساعت پیدا کنید، حتی اگر موفق نشوید.

12.2.4 گشودن خلاقیت پنهان: درس‌هایی از فریتز زویکی

یافتن اثبات‌های قضایا نیاز به خلاقیت دارد. خلاقیت نه "خدادادی" است و نه ارثی؛ می‌توان آن را مانند هر چیز دیگری آموزش داد. برای تأیید این ادعا، به دانشمندی اشاره می‌کنیم که خلاقیت خود را نشان داده است با کشف چیزهای جدیدی که قبلاً هیچ‌کس به آن فکر نکرده بود. این دانشمند سوئیسی فریتز زویکی است که در کلتک تدریس می‌کرد و کتاب "همه یک نابغه" را نوشت. چرا زویکی "اعتبار خیابانی" دارد؟ خوب، او نه تنها فوق‌العاده خلاق بود، بلکه تکنیک‌های خلاقیتی را توسعه داد و به اشتراک گذاشت که کار می‌کنند و از آن زمان هم در صنعت و هم در آکادمی استفاده شده‌اند.

12.2.5 ماده تاریک و جوک‌های بی‌ادبانه: داستان فریتز زویکی

ابتدا به اعتبارنامه‌ها: فریتز زویکی وجود ماده تاریک، ابرنواخترها (به همراه والتر باد)، ستاره‌های نوترونی، پرتوهای کیهانی کهکشانی، همگرایی گرانشی توسط کهکشان‌ها، و خوشه‌های کهکشانی را پیشنهاد کرد. او همچنین پیشگام فناوری موشکی بود. او اولین شلیک یک شیء ساخته انسان به فضا را پیشنهاد و محقق کرد. هر یک از این دستاوردها به تنهایی شایسته قرار گرفتن در فهرست بزرگترین اخترشناسان تمام دوران‌ها است. با این حال، زویکی چندان شناخته شده نیست. چرا؟ شاید به این دلیل باشد که زویکی عادت داشت همکارانش را "حرامزاده‌های کروی" بنامد. چرا کروی؟ "چون از هر طرف که به آن‌ها نگاه کنی حرامزاده هستند!" جای تعجب نیست که چندان تحسین نمی‌شد...

12.2.6 تکنیک جعبه ریخت‌شناسی

یکی از تکنیک‌ها جعبه ریخت‌شناسی است. بسیار ساده است. یک ماتریس تولید کنید که در آن یک نوع اشیا، ایده‌ها یا فعالیت‌ها در یک طرف و نوع دیگری از اشیا، ایده‌ها یا فعالیت‌ها در طرف دیگر قرار دارد. حالا، فقط ماتریس را مرور کنید و به دنبال ارتباطات باشید. در اینجا یک ماتریس نمونه است:

12.2.7 ایده‌های فضایی وحشی زویکی

حالا ببینید زویکی چه پیشنهادی داد: شلیک به ماه (او در واقع این کار را با موشک‌های V2 استفاده‌شده انجام داد که یک تفنگ واقعی روی خود داشتند. در انتهای سوختن، تفنگ شلیک می‌شد و گلوله به فضا می‌رفت)، او سفر با حفر بزرگ در زمین را پیشنهاد کرد (این اکنون توسط شرکتی که توسط ایلان ماسک تأسیس شده محقق شده است) و سفر با خورشید (پیشنهاد این بود که با حرکت دادن کل منظومه شمسی به یک ستاره نزدیک سفر کنیم).

12.2.8 بازاندیشی ایده سفر خورشیدی زویکی

ورودی ماتریس "حفر خورشید" ممکن است هنگام تحقق ایده سفر فضایی زویکی مطرح شود. ممکن است مجبور باشیم بخشی از خورشید را به طور متفاوت هدف قرار دهیم تا سوختن نامتقارن را ایجاد کنیم و در نتیجه سفری انجام دهیم. به هر حال، یک حوزه کامل مهندسی وجود دارد، "مهندسی کلان". در سال ۱۹۹۷، من در یک مقاله (به مناسبت صدمین سالگرد تولد زویکی) پیشنهاد کردم که ایده زویکی با ایجاد عمدی همجوشی و شکافت نامتقارن در خورشید اجرا شود. این در یک کتاب مهندسی کلان ذکر شده است.²

12.2.9 از کاشی‌های حمام تا پازل‌های گیلاس

در اینجا یک مسئله زیبا از یک دوره ریاضی $101$ که چند سال پیش توسط سباستین واسی تدریس می‌شد، قرار داده شده است. قرض گرفتن یک مسئله از یک دوره دیگر، نکته چندانی برای خلاقیت ندارد: اما این مسئله آنقدر زیباست که نمی‌توان از دستش داد. این یک مثال از اثبات استقرایی است که نیاز به خلاقیت دارد. سعی کنید آن را حل کنید.

تمرینات

در تمام سوالات زیر، خلاقیت کلید است. شیء شما باید اصیل باشد. اشکالی ندارد که یک شیء شناخته شده را تغییر دهید. و البته، از فناوری استفاده کنید تا بتوان خلقتان را تحسین کرد.

تذکر: طبق آپوکریفای کرانتز (صفحه ۷۹)، بخش‌های الف) و ب) زمانی به عنوان یک امتحان هندسه جبری در اینجا در هاروارد داده شده بودند. شایعه شده که بعداً در بخش فلسفه هاروارد نیز استفاده شد، جایی که (و این هم خلاقانه است) بخش ج) اضافه شد. تا آنجا که می‌دانیم، دادن تکلیف نوشتن یک تکلیف امتحانی یک نوآوری است! یورکا! ما خلاق بودیم.