Um pouco mais sobre curvatura de curvas

No capítulo intitulado Curvatura de Curvas, aprendemos como podemos descobrir para qual lado uma curva se curva, ou seja, se ela se curva para cima ou para baixo em direção à direita. Isso não nos deu nenhuma indicação sobre o quanto a curva se curva, ou, em outras palavras, qual é a sua curvatura.

Por curvatura de uma linha, entendemos a quantidade de flexão ou deflexão que ocorre ao longo de um certo comprimento da linha, digamos ao longo de uma porção da linha cujo comprimento é uma unidade de comprimento (a mesma unidade usada para medir o raio, seja uma polegada, um pé ou qualquer outra unidade). Por exemplo, considere dois caminhos circulares de centro $O$ e O^{\prime} e de comprimentos iguais AB, A^{\prime} B^{\prime} (veja a figura a seguir). Ao passar de $A$ para $B$ ao longo do arco $A B$ do primeiro, muda-se de direção de $A P$ para $B Q$ , já que em $A$ olha-se na direção $A P$ e em $B$ olha-se na direção $B Q$ . Em outras palavras, ao caminhar de $A$ para $B$ , a pessoa gira inconscientemente pelo ângulo $∠ P C Q$ , que é igual ao ângulo $∠ A O B$ . De maneira semelhante, ao passar de A^\prime para B^{\prime}, ao longo do arco A^\prime B^\prime, de comprimento igual a $A B$ , no segundo caminho, a pessoa gira pelo ângulo \angle P^{\prime} C^{\prime} Q^{\prime}, que é igual ao ângulo \angle A^{\prime} O^{\prime} B^{\prime}, obviamente maior que o ângulo correspondente $∠ A O B$ . Portanto, o segundo caminho se curva mais do que o primeiro para um mesmo comprimento.

Figure 1 Figura 1

Esse fato é expresso dizendo que a curvatura do segundo caminho é maior que a do primeiro. Quanto maior o círculo, menor a flexão, ou seja, menor a curvatura. Se o raio do primeiro círculo for $2, 3, 4, \dots$ etc. vezes maior que o raio do segundo, então o ângulo de flexão ou deflexão ao longo de um arco de comprimento unitário será 2, 3, 4 , ... etc. vezes menor no primeiro círculo do que no segundo, ou seja, será $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ etc. da flexão ou deflexão ao longo do arco de mesmo comprimento no segundo círculo. Em outras palavras, a curvatura do primeiro círculo será $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ etc. da curvatura do segundo círculo. Vemos que, à medida que o raio se torna 2, 3, 4, .. etc. vezes maior, a curvatura se torna 2, 3, 4, ... etc. vezes menor, e isso é expresso dizendo que a curvatura de um círculo é inversamente proporcional ao raio do círculo, ou

$curvatura = k \times \frac{1}{raio},$

onde $k$ é uma constante. Convenciona-se tomar $k = 1$ , de modo que $curvatura = \frac{1}{raio},$ sempre.

Se o raio se torna indefinidamente grande, a curvatura se torna $\frac{1}{infinito} =$ zero, pois quando o denominador de uma fração é indefinidamente grande, o valor da fração é indefinidamente pequeno. Por essa razão, os matemáticos às vezes consideram uma linha reta como um arco de círculo de raio infinito, ou de curvatura zero.

No caso de um círculo, que é perfeitamente simétrico e uniforme, de modo que a curvatura é a mesma em todos os pontos de sua circunferência, o método acima para expressar a curvatura é perfeitamente definido. No caso de qualquer outra curva, entretanto, a curvatura não é a mesma em diferentes pontos, e pode diferir consideravelmente até mesmo para dois pontos razoavelmente próximos um do outro. Não seria então preciso tomar a quantidade de flexão ou deflexão entre dois pontos como medida da curvatura do arco entre esses pontos, a menos que esse arco seja muito pequeno, de fato, a menos que seja indefinidamente pequeno.

Se considerarmos então um arco muito pequeno como $A B$ (veja a próxima figura), e se desenharmos um círculo tal que um arco $A B$ desse círculo coincida com o arco $A B$ da curva mais intimamente do que seria o caso com qualquer outro círculo, então a curvatura desse círculo pode ser tomada como a curvatura do arco $A B$ da curva. Quanto menor o arco $A B$ , mais fácil será encontrar um círculo cujo arco coincida mais perfeitamente com o arco $A B$ da curva. Quando $A$ e $B$ estão muito próximos um do outro, de modo que $A B$ é tão pequeno que o comprimento $d s$ do arco $A B$ é praticamente desprezível, então a coincidência dos dois arcos, do círculo e da curva, pode ser considerada como praticamente perfeita, e a curvatura da curva no ponto $A$ (ou $B$ ), sendo então a mesma que a curvatura do círculo, será expressa pelo recíproco do raio desse círculo, ou seja, por $\frac{1}{O A}$ , de acordo com nossa maneira de medir a curvatura, explicada acima.

Figure 2 Figura 2

Agora, a princípio, você pode pensar que, se $A B$ for muito pequeno, então o círculo também deve ser muito pequeno. Um pouco de reflexão, no entanto, o fará perceber que não é necessariamente assim, e que o círculo pode ter qualquer tamanho, dependendo da quantidade de flexão da curva ao longo desse arco muito pequeno $A B$ . De fato, se a curva for quase plana naquele ponto, o círculo será extremamente grande. Esse círculo é chamado de círculo de curvatura, ou círculo osculador no ponto considerado. Seu raio é o raio de curvatura da curva naquele ponto específico.

Se o arco $A B$ é representado por $d s$ e o ângulo $∠ A O B$ por $d θ$ , então, se $r$ é o raio de curvatura,

$d s = r d θ ou \frac{d θ}{d s} = \frac{1}{r} .$

A secante $A B$ forma com o eixo $x$ o ângulo $θ$ , e será visto no pequeno triângulo $△ A B C$ que $\frac{d y}{d x} = \tan θ$ . Quando $A B$ é indefinidamente pequeno, de modo que $B$ praticamente coincide com $A$ , a reta $A B$ torna-se uma tangente à curva no ponto $A$ (ou $B$ ).

Agora, $\tan θ$ depende da posição do ponto $A$ (ou $B$ , que se supõe quase coincidir com ele), isto é, depende de $x$ , ou, em outras palavras, $\tan θ$ é "uma função" de $x$ .

Derivando em relação a $x$ para obter a inclinação (veja aqui), obtemos

$\frac{d (\frac{d y}{d x})}{d x} = \frac{d (\tan θ)}{d x}$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sec^{2} θ \frac{d θ}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} θ} \frac{d θ}{d x}$

(veja aqui);

portanto

$\frac{d θ}{d x} = \cos^{2} θ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} .$

Mas $\frac{d x}{d s} = \cos θ$ , e para $\frac{d θ}{d s}$ pode-se escrever $\frac{d θ}{d x} \times \frac{d x}{d s}$ portanto

$curvatura = \frac{1}{r} = \frac{d θ}{d s} = \frac{d θ}{d x} \times \frac{d x}{d s} = \cos^{3} θ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}{\sec^{3} θ};$

mas $\sec θ = \pm \sqrt{1 + \tan^{2} θ}$ ;¹ logo

$\frac{1}{r} = \pm \frac{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}{{(\sqrt{1 + \tan^{2} θ})}^{3}} = \pm \frac{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}{{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}}^{\frac{3}{2}}}$

e finalmente,

\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle r=\pm \frac{\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}.}

É importante notar que o raio $r$ deve sempre ser positivo, pois um raio negativo não teria sentido físico. Portanto, ao usar a fórmula acima, deve-se selecionar o sinal $+$ se o denominador $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ for positivo e o sinal $-$ se o denominador for negativo, já que o numerador, sendo uma raiz quadrada, é sempre positivo.²

Foi mostrado no capítulo sobre Curvatura de Curvas que se $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ é positivo, a curva é côncava para cima (também chamada de convexa), enquanto que se $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ é negativo, a curva é côncava para baixo (também chamada simplesmente de côncava). Se $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$ , o raio de curvatura é infinitamente grande, isto é, a parte correspondente da curva é um pedaço de reta. Isso necessariamente acontece sempre que uma curva muda gradualmente de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa. O ponto, como $P$ na figura a seguir, onde isso ocorre é chamado de ponto de inflexão.

Figure 3 Figura 3

O centro do círculo de curvatura é chamado de centro de curvatura. Se suas coordenadas são $(x_{1}, y_{1})$ , então a equação do círculo é (veja aqui)

${(x - x_{1})}^{2} + {(y - y_{1})}^{2} = r^{2}$

portanto

$2 (x - x_{1}) d x + 2 (y - y_{1}) d y = 0$

x-x_1+\left(y-y_1\right) \frac{d y}{d x}=0.\tag{1}

Por que derivamos? Para nos livrarmos da constante $r$ . Isso deixa apenas duas constantes desconhecidas $x_{1}$ e $y_{1}$ ; derive novamente; você se livrará de uma delas. Esta última derivação não é tão fácil quanto parece; vamos fazê-la juntos; temos:

$\frac{d (x)}{d x} + \frac{d [(y - y_{1}) \frac{d y}{d x}]}{d x} = 0$

o numerador do segundo termo é um produto; logo, derivá-lo dá

$(y - y_{1}) \frac{d (\frac{d y}{d x})}{d x} + \frac{d y}{d x} \frac{d (y - y_{1})}{d x} = (y - y_{1}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + {(\frac{d y}{d x})}^{2},$

de modo que o resultado da derivação de (1) é

$1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2} + (y - y_{1}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0;$

disso obtemos imediatamente

\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle y_{1}=y+\frac{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}.}

Substituindo em (1), obtemos

$(x - x_{1}) + {y - y - \frac{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}} \frac{d y}{d x} = 0$

\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle x_{1}=x-\frac{\dfrac{d y}{d x}\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}};}

$x_{1}$ e $y_{1}$ dão a posição do centro de curvatura. O uso destas fórmulas será mais bem compreendido acompanhando cuidadosamente alguns exemplos resolvidos.

Example 1.

Exemplo 21.1. Encontre o raio de curvatura e as coordenadas do centro de curvatura da curva $y = 2 x^{2} - x + 3$ no ponto $x = 0$ .

Solução.

Temos

\begin{align} & \frac{d y}{d x}=4 x-1,\qquad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=4 . \\ & r=\frac{\pm\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\left\{1+(4 x-1)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{4}, \end{align}

quando $x = 0$ ; isso se torna

\frac{{1 + (- 1)^{2}}^{\frac{3}{2}}}{4} = \frac{\sqrt{8}}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 .

Se $(x_{1}, y_{1})$ são as coordenadas do centro de curvatura, então

\begin{align} & x_{1}=x-\frac{\dfrac{d y}{d x}\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}=x-\frac{(4 x-1)\left\{1+(4 x-1)^{2}\right\}}{4} \\ & =0-\frac{(-1)\left\{1+(-1)^{2}\right\}}{4}=\frac{1}{2} \end{align}

quando $x = 0, y = 3$ , de modo que

y_{1} = y + \frac{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} = y + \frac{1 + (4 x - 1)^{2}}{4} = 3 + \frac{1 + (- 1)^{2}}{4} = 3 \frac{1}{2} .

A curva e o círculo estão ilustrados abaixo. Os valores podem ser verificados facilmente, já que quando $x = 0, y = 3$ , aqui

x_{1}^{2} + {(y_{1} - 3)}^{2} = r^{2} ou {0.5}^{2} + {0.5}^{2} = 0.5 = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} .

Example 2.

Exemplo 21.2. Encontre o raio de curvatura e a posição do centro de curvatura da curva $y^{2} = m x$ ( $m > 0$ ) no ponto para o qual $y = 0$ .

Solução.

Aqui $y = m^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

\begin{align} & \frac{dy}{d x}=\frac{1}{2} m^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{m^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \text {, } \\[9pt] & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{1}{2} \times \frac{m^{\frac{1}{2}}}{2} x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{m^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} ; \end{align}

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\begin{align} & r=\frac{\pm\left\{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\pm\left\{1+\frac{m}{4 x}\right\}^{\frac{3}{2}}}{-\frac{m^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{5}{2}}}}=\frac{(4 x+m)^{\frac{3}{2}}}{2 m^{\frac{1}{2}}}, \end{align}

tomando o sinal $-$ no numerador, para que $r$ seja positivo.

Já que, quando $y = 0$ , $x = 0$ , obtemos

\begin{align} r=\frac{m^{\frac{3}{2}}}{2 m^{\frac{1}{2}}}=\frac{m}{2}. \end{align}

Além disso, se $(x_{1}, y_{1})$ são as coordenadas do centro,

\begin{align} x_{1}&=x-\frac{\frac{d y}{d x}\left\{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}}{\frac{d^{2} y}{d^{2} x}}\\ &=x-\frac{\frac{m^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}\left\{1+\frac{m}{4 x}\right\}}{-\frac{m^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{3}{3}}}} \\[6pt] & =x+\frac{4 x+m}{2}=3 x+\frac{m}{2} \text {, } \end{align}

quando $x = 0$ , então $x_{1} = \frac{m}{2}$ . Também

\begin{align} y_{1}&=y+\frac{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}\\ &=m^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}-\frac{1+\frac{m}{4 x}}{\frac{m^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}}\\ &=-\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} \end{align}

quando $x = 0, y_{1} = 0$ . Portanto, o centro de curvatura é $(m / 2, 0)$ .

A figura a seguir mostra a curva $y^{2} = m x$ para $m = 1$ e seu círculo de curvatura em $(0, 0)$ .

Example 3.

Exemplo 21.3. Mostre que o círculo é uma curva de curvatura constante.

Solução.

Se $x_{1}, y_{1}$ são as coordenadas do centro, e $R$ é o raio, a equação do círculo em coordenadas retangulares é

{(x - x_{1})}^{2} + {(y - y_{1})}^{2} = R^{2};

isso é facilmente colocado na forma

y = \sqrt{R^{2} - {(x - x_{1})}^{2}} + y_{1} = {R^{2} - {(x - x_{1})}^{2}}^{\frac{1}{2}} + y_{1} .

Para derivar, seja $R^{2} - {(x - x_{1})}^{2} = v$ ; então

y = v^{\frac{1}{2}} + y_{1}, \frac{d y}{d v} = \frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}}, \frac{d v}{d x} = - 2 (x - x_{1}),

\begin{align} \frac{d y}{d x}&=\frac{d y}{d v} \times \frac{d v}{d x}\\[6pt] &=-\frac{1}{2}\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} \times 2\left(x-x_{1}\right) \\[6pt] &=\frac{-\left(x-x_{1}\right)}{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}}. \end{align}

Derive novamente; usando a regra de derivação para uma fração, obtemos

\begin{align} \dfrac{d^2 y}{dx^2}=\frac{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}} \times \frac{d\left\{-\left(x-x_{1}\right)\right\}}{d x}-\left\{-\left(x-x_{1}\right)\right\}\times \frac{d}{d x}\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}}{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2} } \end{align}

(é sempre uma boa ideia escrever a expressão inteira desta maneira ao lidar com uma expressão complicada); isso se simplifica para

\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =\frac{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}(-1)-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}}{\left\{\boldsymbol{R}^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}}}{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}} \\ & =\frac{R^{2}}{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}} ; \end{align}

logo

r = \frac{\pm {1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}}^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} = \frac{{1 + \frac{{(x - x_{1})}^{2}}{R^{2} - {(x - x_{1})}^{2}}}^{\frac{3}{2}}}{{R^{2} - {(x - x_{1})}^{2}}^{\frac{3}{2}}} = \frac{{(R^{2})}^{\frac{3}{2}}}{R^{2}} = R

o raio de curvatura é constante e igual ao raio do círculo.

Example 4.

Exemplo 21.4. Encontre o raio e o centro de curvatura da curva $y = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ nos pontos onde $x = 0, x = 0.5$ e $x = 1.0$ . Encontre também a posição do ponto de inflexão da curva.

Solução.

Aqui

\begin{align} & \quad \frac{d y}{d x}=3 x^{2}-4 x+1, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x-4 . \\[9pt] & r= \frac{\left\{1+\left(3 x^{2}-4 x+1\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{6 x-4}, \\ & x_{1}=x-\frac{\left(3 x^{2}-4 x+1\right)\left\{1+\left(3 x^{2}-4 x+1\right)^{2}\right\}}{6 x-4}, \\ & y_{1}=y+\frac{1+\left(3 x^{2}-4 x+1\right)^{2}}{6 x-4} . \end{align}

Quando $x = 0, y = - 1$ ,

\begin{align} r=\frac{\sqrt{8}}{4}&=\frac{1}{\sqrt{2}}= 0.7071.\\ \quad x_{1}=0+\frac{1}{2}=0.5,& \qquad y_{1}=-1-\frac{1}{2}=-1.5. \end{align}

Vamos escolher dois pontos na curva de cada lado do ponto $(0, - 1)$ , digamos pontos com coordenadas $x$ $- 0.1$ e $0.1$ . Quando $x = - 0.1$ , $y = - 1.121$ . Quando $x = 0.1$ , $y = - 0.919$ . Se considerarmos o círculo passando por esses três pontos: $(0, - 1)$ , $(- 0.1, - 1.121)$ , e $(0.1, - 0.919)$ , podemos determinar que as coordenadas do seu centro são $(0.5, - 1.515)$ , e seu raio é $0.718$ , ³ uma concordância muito boa com o círculo de curvatura. Para melhorar a aproximação, podemos escolher dois outros pontos com coordenadas $x$ mais próximas de $x = 0$ do que $0.1$ — por exemplo, $x = 0.01$ e $x = - 0.01$ — e repetir os cálculos.

A curva $y = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ , seu círculo de curvatura em $x = 0$ , e o círculo passando por $(0, - 1)$ , $(- 0.1, - 1.121)$ e $(0.1, - 0.919)$ são mostrados abaixo.

Quando $x = 0.5, y = - 0.875$ , \begin{align} & r=\frac{-\left\{1+(-0.25)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{-1}= 1.095 \\ & x_{1}=0.5-\frac{-0.25 \times 1.0625}{-1}= 0.2344, \\ & y_{1}=-0.875+\frac{1.0625}{-1}= -1.938. \end{align} Considerando três pontos $(0.4, - 0.856)$ , $(0.5, - 0.875)$ e $(0.6, - 0.904)$ na curva, o círculo que passa por eles tem centro em $(0.2468, - 1.935)$ e raio $1.09$ .

Quando $x = 1, y = - 1$ , \begin{align} & r=\frac{(1+0)^{\frac{3}{2}}}{2}=0.5, \\ & x_{1}=1-\frac{0 \times(1+0)}{2}=1, \\ & y_{1}=-1+\frac{1+0^{2}}{2}=-0.5 . \end{align} Considerando três pontos $(0.9, - 0.919)$ , $(1, - 1)$ e $(1.1, - 0.989)$ na curva, o círculo que passa por eles tem centro em $(0.995, - 0.495)$ e raio $0.5051$ .

No ponto de inflexão $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0, 6 x - 4 = 0$ , e $x = \frac{2}{3};$ logo $y = 0.925$ (veja a Fig. 21.4).

Example 5.

Exemplo 21.5. Encontre o raio e o centro de curvatura da curva $y = \frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} + e^{- \frac{x}{a}})$ ,⁴ no ponto para o qual $x = 0$ . (Esta curva é chamada de catenária, já que uma corrente suspensa assume exatamente a mesma inclinação.)

Solução. A equação da curva pode ser escrita

y = \frac{a}{2} e^{\frac{x}{a}} + \frac{a}{2} e^{- \frac{x}{a}}

então (veja estes exemplos),

\frac{d y}{d x} = \frac{a}{2} \times \frac{1}{a} e^{\frac{x}{a}} - \frac{a}{2} \times \frac{1}{a} e^{- \frac{x}{a}} = \frac{1}{2} (e^{\frac{x}{a}} - e^{- \frac{x}{a}}) .

De maneira similar

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{2 a} (e^{\frac{x}{a}} + e^{- \frac{x}{a}}) = \frac{1}{2 a} \times \frac{2 y}{a} = \frac{y}{a^{2}},

r = \frac{{1 + \frac{1}{4} {(e^{\frac{x}{a}} - e^{- \frac{x}{a}})}^{2}}^{\frac{3}{2}}}{\frac{y}{a^{2}}} = \frac{a^{2}}{8 y} \sqrt{{(2 + e^{\frac{2 x}{a}} + e^{- \frac{2 x}{a}})}^{3},}

já que $e^{\frac{x}{a} - \frac{x}{a}} = e^{0} = 1$ , ou

\begin{align} & \qquad r=\frac{a^{2}}{8 y} \sqrt{\left(2 e^{\frac{x}{a}-\frac{x}{a}}+e^{\frac{2 x}{a}}+e^{-\frac{2 x}{a}}\right)^{3}}=\frac{a^{2}}{8 y} \sqrt{\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)^{6}}=\frac{y^{2}}{a}, \end{align}

quando $x = 0$ , $y = \frac{a}{2} (e^{0} + e^{0}) = a$ , e $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (e^{0} - e^{0}) = 0$ ; logo

r = \frac{a^{2}}{a} = a .

O raio de curvatura no vértice é igual à constante $a$ .

Também

\begin{align} & x_{1}=0-\frac{0(1+0)}{\frac{1}{a}}=0, \\ & y_{1}=y+\frac{1+0}{\frac{1}{a}}=a+a=2 a . \end{align}

Você agora está suficientemente familiarizado com este tipo de problema para resolver os seguintes exercícios por si mesmo. Recomenda-se que você verifique suas respostas traçando cuidadosamente a curva e construindo o círculo de curvatura, conforme explicado no Exemplo 22.4.

Exercícios

Exercise 1.

Exercício 21.1. Encontre o raio de curvatura e a posição do centro de curvatura da curva $y = e^{x}$ no ponto para o qual $x = 0$ .

Resposta

$r = 2 \sqrt{2}$ , $x_{1} = - 2$ , $y_{1} = 3$ .

Solução

$y = e^{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = e^{x} \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = e^{x}$

Quando $x = 0,$ $y = \frac{d y}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 1$

Basta inserir esses números nas fórmulas para $r, x_{1}$ , e $y_{1}$

\begin{align} & r=\frac{\left(1+1^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{1}=2^{\frac{3}{2}}=2 \sqrt{2} \\ & x_{1}=0-\frac{1\left(1+1^{2}\right)}{1}=-2 \\ & y_{1}=1+\frac{1+1^{2}}{1}=3 \end{align}

Exercise 2.

Exercício 21.2. Encontre o raio e o centro de curvatura da curva $y = x (\frac{x}{2} - 1)$ no ponto para o qual $x = 2$ .

Resposta

$r = 2 \sqrt{2} \approx 2.83$ , $x_{1} = 0$ , $y_{1} = 2$ .

Solución

\begin{align} & y=x\left(\frac{x}{2}-1\right)=\frac{x^{2}}{2}-x \\ & \frac{d y}{d x}=x-1 \quad, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=1 \end{align}

Quando $x = 2,$ $y = 0, \frac{d y}{d x} = 1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 1.$

Basta colocar esses números nas fórmulas para $r, x_{1}$ e $y_{1}$

\begin{align} & r=\frac{\left(1+1^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{1}=2^{\frac{3}{2}}=2 \sqrt{2} \\ & x_{1}=2-\frac{1\left(1+1^{2}\right)}{1}=0 \\ & y_{1}=0+\frac{1+1^{2}}{1}=2 \end{align}

Exercise 3.

Exercício 21.3. Encontre o ponto ou pontos de curvatura unitária na curva $y = x^{2}$ .

Resposta

$x \approx \pm 0.383$ , $y = 0.147$

Solução

$y = x^{2} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 2 x \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2$ Como $curvatura = \frac{1}{raio} = \frac{1}{r}$ , se $curvatura = 1$ , então $r = 1$ ou $r = \frac{{(1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} = \frac{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2} = 1$

Resolvendo a equação acima para $x$ : ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}} = 2$ $1 + 4 x^{2} = 2^{\frac{2}{3}}$ $4 x^{2} = 2^{\frac{2}{3}} - 1$

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2^{\frac{2}{3}} - 1} \approx \pm 0.383$

Quando $x \approx \pm 0.383$ , $y \approx 0.147$ .

Temos resolvido o problema, mas se desejamos desenhar o círculo de curvatura (também conhecido como círculo osculador), precisamos determinar $x_{1}$ e $y_{1}$ quando $x \approx \pm 0.383$ e $y \approx 0.147$ :

$x_{1} = x - \frac{2 x {[1 + (2 x)^{2}]}^{2}}{2}$ $y_{1} = x^{2} + \frac{1 + (2 x)^{2}}{2}$

Quando $x \approx 0.383$ e $y \approx 0.147$ : $x_{1} \approx 0.225, y_{1} \approx 0.941$

Quando $x \approx - 0.383$ e $y \approx 0.147$ : $x_{1} \approx - 0.225, y_{1} \approx 0.941$

O gráfico de $y = x^{2}$ e os dois círculos osculadores com raios iguais a $1$ são mostrados abaixo:

Exercise 4.

Exercício 21.4. Encontre o raio e o centro de curvatura da curva $x y = m$ , no ponto para o qual $x = \sqrt{m}$ .

Resposta

$r = 2$ , $x_{1} = y_{1} = 2 \sqrt{m}$ .

Solução

$x y = m ou y = m x^{- 1}$

$\frac{d y}{d x} = - m x^{- 2}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 m x^{- 3} = \frac{2 m}{x^{3}}$

Quando $x = \sqrt{m}$ ,

$y = \sqrt{m}, \frac{d y}{d x} = - 1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{2}{\sqrt{m}}$

Logo \begin{align} & r=\frac{\left(1+(-1)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{2}{\sqrt{m}}}=\frac{\sqrt{m}}{2} 2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2 m} \\ & x_{1}=\sqrt{m}-\frac{(-1)\left(1+(-1)^{2}\right)}{\frac{2}{\sqrt{m}}}=2 \sqrt{m} \\ & y_{1}=\sqrt{m}+\frac{1+(-1)^{2}}{\frac{2}{\sqrt{m}}}=2 \sqrt{m} \end{align}

Exercise 5.

Exercício 21.5. Encontre o raio e o centro de curvatura da curva $y^{2} = 4 a x$ no ponto para o qual $x = 0$ .

Resposta

$r = 2 a$ , $x_{1} = 2 a + 3 x$ , $y_{1} = - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$ quando $x = 0$ , $x_{1} = 2 a$ , $y_{1} = 0$ .

Solução

No Exemplo 160, demonstramos que se $y^{2} = m x$ , então

$r = \frac{m}{2}, x_{1} = 3 x + \frac{m}{2}, y_{1} = - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}}$

Por comparação, percebemos que se $y^{2} = 4 a x$ , então

$r = 2 a, x_{1} = 3 x + 2 a, y_{1} = - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{a}}$

Quando $y = 0, x = 0$ . Portanto

$r = 2 a, x_{1} = 2 a, y_{1} = 0.$

Exercise 6.

Exercício 21.6. Encontre o raio e o centro de curvatura da curva $y = x^{3}$ nos pontos para os quais $x = \pm 0.9$ e também $x = 0$ .

Resposta

Quando $x = 0$ , $r = y_{1} =$ infinito, $x_{1} = 0$ .
Quando $x = + 0.9, r = 3 \cdot 36, x_{1} = - 2 \cdot 21, y_{1} = + 2.01$ .
Quando $x = - 0.9$ , $r = 3.36$ , $x_{1} = + 2.21$ , $y = - 2.01$ .

Solução

$y = x^{3} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x$

Quando $x = 0.9$ ,

$y = 0.729, \frac{d y}{d x} = 2.43, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 5.4$

Logo

\begin{align} & r=\frac{\left(1+2.43^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{5.4} \approx 3.36 \\ & x_{1}=0.9-\frac{2.43\left(1+2.43^{2}\right)}{5.4} \approx-2.21 \\ & y_{1}=0.729+\frac{1+2.43^{2}}{5.4} \approx 2.01 \end{align}

Quando $x = - 0.9$

$y = - 0.729, \frac{d y}{d x} = 2.43, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 5.4$

Logo \begin{align} & r=-\frac{\left(1+2.43^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{5.4} \approx 3.36 \\ & x_{1}=-0.9-\frac{2.43\left(1+2.43^{2}\right)}{-5.4} \approx 2.21 \\ & y_{1}=-0.729+\frac{1+2.43^{2}}{-5.4} \approx-2.01 \end{align}

Quando $x = 0$ $y = 0, \frac{d y}{d x} = 0, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$ Logo \begin{align} & r=\frac{\left(1+0^{2}\right)^{3 / 2}}{0}=\infty \\ & x_{1}=x-\frac{3 x^{2}\left(1+9 x^{4}\right)}{6 x}=x-\frac{1}{2} x\left(1+9 x^{4}\right) \end{align}

Se substituirmos $x = 0$ na expressão acima para $x_{1}$ , obtemos $x_{1} = 0$

$y_{1} = y + \frac{1 + (3 x)^{2}}{6 x}$

Se substituirmos $x = 0, y = 0$ na equação acima, obtemos $y_{1} = 0 + \frac{1}{0} = \infty$

Exercise 7.

Exercício 21.7. Encontre o raio de curvatura e as coordenadas do centro de curvatura da curva $y = x^{2} - x + 2$ nos dois pontos para os quais $x = 0$ e $x = 1$ , respectivamente. Encontre também o valor máximo ou mínimo de $y$ . Verifique graficamente todos os seus resultados.

Resposta

Quando $x = 0$ , $r = \sqrt{2} \approx 1.41$ , $x_{1} = 1, y_{1} = 3$ .
Quando $x = 1$ , $r = \sqrt{2} \approx 1.41$ , $x_{1} = 0, y_{1} = 3$ .
Mínimo $= 1.75$ .

Solução

$y = x^{2} - x + 2$

Então

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 1 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2$

Quando $x = 0$ , $y = 2, \frac{d y}{d x} = - 1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2$

\begin{align} & r=\frac{\left(1+(-1)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{2}=\sqrt{2} \approx 1.41 \\ & x_{1}=0-\frac{(-1)\left(1+(-1)^{2}\right)}{2}=1 \\ & y_{1}=2+\frac{1+(-1)^{2}}{2}=3 \end{align}

Quando $x = 1$ $y = 2, \frac{d y}{d x} = 1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2$ Logo, \begin{align} & r=\frac{\left(1+1^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{2}=\sqrt{2} \approx 1.41 \\ & x_{1}=1-\frac{1\left(1+1^{2}\right)}{2}=0 \\ & y_{1}=2+\frac{1+1^{2}}{2}=3 \end{align}

Para encontrar o valor máximo ou mínimo de $y$

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} = 0.5$

Como $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 > 0$ , a curva é côncava para cima e o valor de $y$ em $x = 0.5$ , o qual é $y = {0.5}^{2} - 0.5 + 2 = 1.75$ é o valor mínimo de $y$ .

Exercise 8.

Exercício 21.8. Encontre o raio de curvatura e as coordenadas do centro de curvatura da curva $y = x^{3} - x - 1$ nos pontos para os quais $x = - 2, x = 0$ , e $x = 1$ .

Resposta

Para $x = - 2$ , $r \approx 112.3$ , $x_{1} \approx 109.8$ , $y_{1} \approx - 17.2$ .
Para $x = 0$ , $r = x_{1} = y_{1} =$ infinito.
Para $x = 1$ , $r \approx 1.86$ , $x_{1} \approx - 0.67$ , $y_{1} \approx - 0.17$ .

Solução

$y = x^{3} - x - 1 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 1 \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x$

Quando $x = - 2$ , $y = - 7, \frac{d y}{d x} = 11, \frac{d^{2} y}{d x} = - 12$

\begin{align} & r=-\frac{\left(1+11^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{-12} \approx 112.3 \\ & x_{1}=-2-\frac{11\left(1+11^{2}\right)}{-12} \approx 109.8 \\ & y_{1}=-7+\frac{1+11^{2}}{-12} \approx-17.2 \end{align}

Quando $x = 0$ , $y = - 1, \frac{d y}{d x} = - 1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$

Logo, \begin{align} & r=\frac{\left(1+(-1)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{0}=\infty \\ & x_{1}=0-\frac{(-1)\left(1+(-1)^{2}\right)}{0}=\infty \\ & y_{1}=-1+\frac{1+(-1)^{2}}{0}=\infty \end{align}

Quando $x = 1$ $y = - 1, \frac{d y}{d x} = 2, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6$

\begin{align} & r=\frac{\left(1+2^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{6} \approx 1.86 \\ & x_{1}=1-\frac{2\left(1+2^{2}\right)}{6}=-\frac{2}{3} \approx-0.67\\ &y_{1}=-1+\frac{1+2}{6}=-\frac{1}{6} \approx-0.17 \end{align}

Exercise 9.

Exercício 21.9. Encontre as coordenadas do ponto ou pontos de inflexão da curva $y = x^{3} + x^{2} + 1$ .

Resposta

$x = - \frac{1}{3} \approx - 0.33$ , $y = \frac{29}{27} \approx + 1.08$

Solução

$y = x^{3} + x^{2} + 1$

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2 x, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x + 2$

Para encontrar o(s) ponto(s) de inflexão

$\begin{matrix} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x + 2 = 0 \\ x = - \frac{1}{3} \end{matrix}$

Se $x < \frac{- 1}{3}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0$ e se $x > - \frac{1}{3}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0$ .

Portanto, a direção da concavidade muda em $x = - \frac{1}{3}$ .

Quando $x = - \frac{1}{3}, y = \frac{29}{27} \approx 1.07$ .

Portanto, $(- \frac{1}{3}, \frac{29}{27})$ é o ponto de inflexão.

Exercise 10.

Exercício 21.10. Encontre o raio de curvatura e as coordenadas do centro de curvatura da curva $y = {(4 x - x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$ nos pontos para os quais $x = 1.2$ , $x = 2$ , e $x = 2.5$ . O que é esta curva?

Resposta

$r = 1$ , $x = 2$ , $y = 0$ para todos os pontos. Um círculo.

Solução

$y = {(4 x - x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$

\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{2}(4-2 x)\left(4 x-x^{2}-3\right)^{-\frac{1}{2}}\\ &=(2-x)\left(4 x-x^{2}-3\right)^{-\frac{1}{2}} \end{align}

\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\left(4 x-x^{2}-3\right)^{-\frac{1}{2}}-(2-x)^{2}\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{-3}{2}} \\ & =\frac{-\left(4 x-x^{2}-3\right)-(2-x)^{2}}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}} \\ & =\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}} \end{align}

Em vez de calcular $r$ , $x_{1}$ e $y_{1}$ para os pontos dados, encontramos as fórmulas gerais para eles neste caso:

\begin{align} & r=\frac{\left(1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right)^{2}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} \\ & =-\frac{\left(1+\frac{(2-x)^{2}}{4 x-x^{2}-3}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}} \\ & =\frac{\left(\frac{4 x-x^{2}-3+\left(4-4 x-x^{2}\right)}{4 x-x^{2}-3}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}}\\ & =1 \end{align} \begin{align} x_{1}&=x-\frac{\frac{2-x}{\sqrt{4 x-x^{2}-3}}\left(1+\frac{(2-x)^{2}}{4 x-x^{2}-3}\right)}{\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}} \\ &=x+(2-x)\\ &=2 \end{align} \begin{align} y_{1}&=y+\frac{1+\frac{(2-x)^{2}}{4 x-x^{2}-3}}{\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}}\\ & =y+\frac{\frac{1}{4 x-x^{2}-3}}{\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}} \\ & =y-\sqrt{4 x-x^{2}-3} \\ & =0 \end{align}

Portanto, para todos os pontos $r = 1, x_{1} = 2, y_{1} = 0$ . Esta é a equação de um círculo. Para ver isso, note que

$\begin{matrix} y = {(4 x - x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}} \\ y^{2} = 4 x - x^{2} - 3 \\ x^{2} - 4 x + y^{2} = - 3 \\ x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} = 1 \\ (x - 2)^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}$

A última é a equação de um círculo de raio 1 e de centro $(2, 1)$ .

Exercise 11.

Exercício 21.11. Encontre o raio e o centro de curvatura da curva $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ nos pontos para os quais $x = 0, x = + 1.5$ . Encontre também a posição do ponto de inflexão.

Resposta

Quando $x = 0$ , $r \approx 1.86, x_{1} \approx 1.67, y_{1} \approx 0.17$ .
Quando $x = 1.5$ , $r \approx 0.365$ , $x_{1} \approx 1.59$ , $y_{1} \approx 0.98$ .
$x = 1$ , $y = 1$ para curvatura zero.

Solução

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1$

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x + 1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x - 6$

Quando $x = 0$ $y = 0, \frac{d y}{d x} = 2, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 6$

Logo, \begin{align} & r=-\frac{\left(1+2^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{-6}=\frac{5^{\frac{3}{2}}}{6}=\frac{5 \sqrt{5}}{6} \approx 1.86 \\ & x_{1}=0-\frac{2\left(1+2^{2}\right)}{-6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \approx 1.67 \\ & y_{1}=1+\frac{1+2^{2}}{-6}=\frac{1}{6} \approx 0.17 \end{align}

Quando $x = 1.5$ ,

$y = \frac{5}{8}, \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 3$

\begin{align} & r=\frac{\left(1+\frac{1}{16}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{17 \sqrt{17}}{192} \approx 0.365 \\ & x_{1}=1.5-\frac{-\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{16}\right)}{3}=\frac{305}{192} \approx 1.59 \\ & y_{1}=\frac{5}{8}+\frac{1+\frac{1}{16}}{3}=\frac{47}{48} \approx 0.98 \end{align}

Em $x = 1$ , a segunda derivada $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x - 6$ muda de negativa para positiva, indicando uma mudança na concavidade de para baixo para para cima. Quando $x = 1$ , o valor correspondente de $y$ é $y = 1$ . Portanto, o ponto $(1, 1)$ é um ponto de inflexão na curva.

Exercise 12.

Exercício 21.12. Encontre o raio e o centro de curvatura da curva $y = \sin θ$ nos pontos para os quais $θ = \frac{π}{4}$ e $θ = \frac{π}{2}$ . Encontre a posição do ponto de inflexão.

Resposta

Quando $θ = \frac{π}{2}$ , $r = 1$ , $θ_{1} = \frac{π}{2}$ , $y_{1} = 0$ .
Quando $θ = \frac{π}{4}$ , $r \approx 2.598$ , $θ_{1} \approx 2.285$ , $y_{1} \approx - 1.41$

Solução

$y = \sin θ$

$\frac{d y}{d θ} = \cos θ, \frac{d^{2} y}{d θ^{2}} = - \sin θ$

Note que neste exercício, não estamos usando coordenadas polares. Estamos usando as coordenadas cartesianas regulares, mas em vez de $x_{1}$ a variável independente é denotada por $θ$ . Portanto,

\begin{align} & r= \pm \frac{\left(1+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}} \\ & \theta_{1}=\theta-\frac{\frac{d y}{d \theta}\left[1+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}\right]}{\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}} \\ & y_{1}=y+\frac{1+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}}{\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}} \end{align}

Quando $θ = \frac{π}{4}$

$y = \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{d y}{d θ} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{d^{2} y}{d θ^{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ Logo \begin{align} & r=-\frac{\left(1+\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{-1}{\sqrt{2}}}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \approx 2.598\\ & \theta_{1}=\frac{\pi}{4}-\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1+\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\pi+6}{4} \approx 2.285 \\ & y_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\sqrt{2} \approx-1.414 \end{align}

Quando $θ = \frac{π}{2}$ , $y = 1, \frac{d y}{d θ} = 0, \frac{d^{2} y}{d θ^{2}} = - 1.$ Logo, \begin{align} & r=-\frac{(1+0)^{\frac{3}{2}}}{-1}=1 \\ & \theta_{1}=\frac{\pi}{2}-\frac{0\left(1+0^{2}\right)}{-1}=\frac{\pi}{2} \\ & y_{1}=1+\frac{1+0^{2}}{-1}=0 \end{align}

Exercise 13.

Exercício 21.13. Desenhe um círculo de raio 3, cujo centro tem como coordenadas $x = 1$ , $y = 0$ . Deduza a equação de tal círculo a partir dos primeiros princípios (veja aqui). Encontre através de cálculo o raio de curvatura e as coordenadas do centro de curvatura para vários pontos adequados, o mais exatamente possível, e verifique se você obtém os valores conhecidos.

Solução

A equação de um círculo de raio $R$ e centro $(x_{0}, y_{0})$ é

${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = R^{2}$

Portanto, neste caso

$(x - 1)^{2} + y^{2} = R^{2}, (R = 3)$

Derive em relação a $x$

$2 (x - 1) + 2 y \frac{d y}{d x} = 0$

Portanto

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x - 1}{y} .$

Derivando novamente usando a regra do quociente resulta em

\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\frac{y-\frac{d y}{d x}(x-1)}{y^{2}} \\ & =-\frac{y+\frac{(x-1)^{2}}{y}}{y^{2}} \\ & =-\frac{y^{2}+(x-1)^{2}}{y^{3}} \\ & =-\frac{R^{2}}{y^{3}} \end{align}

Raio de curvatura:

\begin{align} r & =\frac{\left[1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}} \\ & =-\frac{\left[1+\dfrac{(x-1)^{2}}{y^{2}}\right]^{\frac{3}{2}}}{-\dfrac{R^{2}}{y^{3}}} \\ & =\frac{\left(\dfrac{R^{2}}{y^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{R^{2}}{y^{2}}}\\ &=\frac{\dfrac{R^{3}}{y^2}}{\dfrac{R^{2}}{y^{2}}}=R \end{align}

Centro de curvatura:

\begin{align} x_{1} & =x-\frac{-\frac{x-1}{y}\left(1+\frac{(x-1)^{2}}{y^{2}}\right)}{-\frac{R^{2}}{y^{3}}} \\ & =x-\frac{\frac{x-1}{y^{3}}\left((x-1)^{2}+y^{2}\right)}{\frac{R^{2}}{y^{3}}} \\ & =x-\frac{(x-1) R^{2}}{R^{2}}\\ & =x-(x-1)=1. \end{align} \begin{align} y_{1} & =y+\frac{1+\frac{(x-1)^{2}}{y^{2}}}{-\frac{R^{2}}{y^{3}}} \\ & =y-\frac{y^{2}+(x-1)^{2}}{y^{2}} \\ & =y-\frac{\dfrac{R^{2}}{y^{3}}}{\dfrac{R^{2}}{y^{2}}} \\ & =y-y=0. \end{align} Portanto o centro de curvatura é $(1, 0)$ .

Exercise 14.

Exercício 21.14. Encontre o raio e o centro de curvatura da curva $y = \cos θ$ nos pontos para os quais $θ = 0$ , $θ = \frac{π}{4},$ e $θ = \frac{π}{2}$ .

Resposta

Quando $θ = 0$ , $r = 1$ , $θ_{1} = 0$ , $y_{1} = 0$ .
Quando $θ = \frac{π}{4}$ , $r \approx 2.598$ , $θ_{1} \approx 0.7146$ , $y_{1} \approx - 1.41$ .
Quando $θ = \frac{π}{2}$ , $r = θ_{1} = y_{1} =$ infinito.

Solução

$y = \cos θ$

Novamente, de forma semelhante ao exercício 12, estamos usando as coordenadas cartesianas, mas a variável independente é denotada por $θ$ , em vez de $x$

$y = \cos θ \Rightarrow \frac{d y}{d θ} = - \sin θ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d θ^{2}} = - \cos θ$

Quando $θ = 0$ $y = 1, \frac{d y}{d x} = 0, \frac{d^{2} y}{d θ^{2}} = - 1.$ Logo, \begin{align} & r=-\frac{\left(1+0^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{-1}=1 \\ & \theta_{1}=0-\frac{0\left(1+0^{2}\right)}{-1}=0 \\ & y_{1}=1+\frac{1+0^{2}}{-1}=0 \end{align}

Quando $θ = \frac{π}{4}$ ,

$y = \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2}} .$ Logo, \begin{align} & r=-\frac{\left(1+\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{-1}{\sqrt{2}}}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \approx 2.598 \\ & \theta_{1}=\frac{\pi}{4}-\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1+\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\pi}{4}-\frac{3}{2} \approx-0.715\\ & y_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\sqrt{2} \approx-1.414 \end{align}

Quando $θ = \frac{π}{2}$ , $y = 0, \frac{d y}{d θ} = - 1, \frac{d^{2} y}{d θ^{2}} = 0.$ Logo, \begin{align} & r=\frac{(1+1)^{\frac{3}{2}}}{0}=\infty \\ & \theta_{1}=\frac{\pi}{2}-\frac{-1(1+1)}{0}=\infty\\ & y_{1}=0+\frac{1+1}{0}=\infty \end{align}

Exercise 15.

Exercício 21.15. Encontre o raio de curvatura e o centro de curvatura da elipse $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ nos pontos para os quais $x = 0$ e nos pontos para os quais $y = 0$ .

Resposta

$r^{\cdot} = \frac{{(a^{4} y^{2} + b^{4} x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{a^{4} b^{4}}$ , onde $x = 0$ , $r = \frac{a^{2}}{b}$ , $x_{1} = 0$ , $y_{1} = \frac{b^{2} - a^{2}}{b}$ .

Solução

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Multiplicando ambos os lados por $a^{2} b^{2}$ , obtemos $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$

Derivando ambos os lados de $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ com relação a $x$ , obtemos \begin{align} & 2 b^{2} x+2 a^{2} y \frac{d y}{d x}=0 \\ & \frac{d y}{d x}=-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x}{y} \end{align}

Derivando a última equação com relação a $x$ usando a regra do quociente, obtemos

\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{y-\frac{d y}{d x} x}{y^{2}} \\ & =-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{y+\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x}{y}}{y^{2}} \\ & =-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{a^{2} y^{2}+b^{2} x^{2}}{a^{2} y^{3}} \\ & =-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} y^{3}}=-\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}} \end{align}

Logo \begin{align} r & = \pm \frac{\left(1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} \\ & =\frac{\left(1+\frac{b^{4}}{a^{4}} \frac{x^{2}}{y^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}}}=\frac{\left(\frac{a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}}{a^{4} y^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{b^{4}}{a^{2} y^{2}}} \\ & =\frac{\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{a^{4} b^{4}} \end{align}

\begin{align} x_{1} & =x-\frac{-\frac{a^{2}}{\bar{y}}\left(1+\frac{a}{a^{4}} \frac{x}{y^{2}}\right)}{-\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}}} \\ & =x-\frac{\frac{b^{2}}{a^{6}} \frac{x}{y^{3}}\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right)}{\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}}} \\ & =x-\frac{x}{a^{4} b^{2}}\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right) \end{align}

\begin{align} y_{1} & =y+\frac{1+\frac{b^{4}}{a^{4}} \frac{x^{2}}{y^{2}}}{-\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}}} \\ & =y-\frac{y}{a^{2} b^{4}}\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right) \\ & =y-\frac{\frac{1}{a^{4} y^{2}}\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right)}{a^{4} y^{3}} \end{align}

Quando $x = 0$ , então $y = + b$ ou $y = - b$

Quando $x = 0$ e $y = b$

$r = \frac{1}{a^{4} b^{4}} {(a^{4} b^{2})}^{\frac{3}{2}} = \frac{a^{2}}{b}$

\begin{align} & x_{1}=0-0=0 \\ & y_{1}=b-\frac{b}{a^{2} b^{4}}\left(a^{4} b^{2}\right)=b-\frac{a^{2}}{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{b} \end{align}

Quando $x = 0$ e $y = - b$

\begin{align} & y=-b \\ & r=\frac{a^{2}}{b}, \quad x_{1}=0 \quad y_{1}=-b+\frac{a^{2}}{b}=\frac{a^{2}-b^{2}}{b} \end{align}

Quando $y = 0$ , então $x = a$ ou $x = - a$

Quando $x = a$ e $y = 0$

\begin{align} & r=\frac{1}{a^{4} b^{4}}\left(b^{4} a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{b^{6} a^{3}}{a^{4} b^{4}}=\frac{b^{2}}{a} \\ & x_{1}=a-\frac{a}{a^{4} b^{2}}\left(0+b^{4} a^{2}\right)=a-\frac{b^{2}}{a}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a} \\ & y_{1}=0-0=0 \end{align}

Quando $x = - a$ e $y = 0$

$r = \frac{b^{2}}{a}, x_{1} = \frac{b^{2} - a^{2}}{a}, y_{1} = 0$

1. Dependendo de $θ$ , isso pode ser $+ \sqrt{1 + \tan^{2} θ}$ ou $- \sqrt{1 + \tan^{2} θ}$ .↩︎

2. Alternativamente, pode-se escrever $r = \frac{{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}}^{\frac{3}{2}}}{| \frac{d^{2} y}{d x^{2}} |},$ onde $| \frac{d^{2} y}{d x^{2}} |$ denota o valor absoluto de $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Para a definição do valor absoluto, veja a página .↩︎

3. Seja $C$ com coordenadas $(a, b)$ o centro deste círculo cujo raio é $r$ . Então a equação deste círculo é

$(a - x)^{2} + (b - y)^{2} = r^{2}$

Como o ponto $(0, - 1)$ encontra-se neste círculo, suas coordenadas devem satisfazer a equação deste círculo. Assim,

$\begin{matrix} (1) & a^{2} + (b + 1)^{2} = r^{2} \end{matrix}$

De forma semelhante, como $(- 0.1, - 1.121)$ e $(0.1, - 0.919)$ também satisfazem esta equação, temos

$\begin{matrix} (2) & (a + 0.1)^{2} + (b + 1.121)^{2} = r^{2} \end{matrix}$

$\begin{matrix} (3) & (a - 0.1)^{2} + (b + 0.919)^{2} = r^{2} \end{matrix}$

Se subtrairmos a Eq. (1) de (2) e (1) de (3) e usarmos $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ , obtemos ${\begin{aligned} 0.1 (2 a + 0.1) + 0.121 (2 b + 2.121) = 0 \\ - 0.1 (2 a - 0.1) - 0.081 (2 b + 1.919) = 0 \end{aligned}$ ou ${\begin{aligned} 0.2 a + 0.241 b = - 0.266641 \\ - 0.2 a - 0.162 b = 0.145439 \end{aligned}$ Resolvendo essas duas equações para duas incógnitas $a$ e $b$ , podemos encontrar as coordenadas do centro: $a = 0.499974, b = - 1.51502$ Da Eq. (1), o raio deste círculo é $r = \sqrt{(0.499974 - 0)^{2} + (- 1.51502 + 1)^{2}} = 0.717788$ ↩︎

4. Note que $y = \frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} + e^{- \frac{x}{a}}) = a \cosh \frac{x}{a}$ . Para as definições das funções hiperbólicas, veja aqui.↩︎

Um pouco mais sobre curvatura de curvas

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