کمی بیشتر دربارهٔ انحنای منحنی‌ها

در فصلی با عنوان انحنای منحنی‌ها، یاد گرفتیم که چگونه می‌توانیم بفهمیم یک منحنی به کدام سمت خم شده است، یعنی آیا رو به بالا یا رو به پایین به سمت راست خم می‌شود. این موضوع هیچ نشانه‌ای از میزان خمیدگی منحنی، یا به عبارت دیگر، مقدار انحنای آن به ما نداد.

منظور ما از انحنای یک خط، مقدار خمیدگی یا انحرافی است که در طول معینی از خط اتفاق می‌افتد، مثلاً در امتداد بخشی از خط که طول آن یک واحد طول است (همان واحدی که برای اندازه‌گیری شعاع استفاده می‌شود، چه یک اینچ، یک فوت، یا هر واحد دیگری باشد). به عنوان مثال، دو مسیر دایره‌ای با مرکز $O$ و و طول‌های مساوی را در نظر بگیرید (به شکل زیر نگاه کنید). هنگام عبور از $A$ به $B$ در امتداد کمان $AB$ از مسیر اول، جهت فرد از $AP$ به $BQ$ تغییر می‌کند، زیرا در $A$ فرد رو به جهت $AP$ و در $B$ رو به جهت $BQ$ قرار دارد. به عبارت دیگر، هنگام راه رفتن از $A$ به $B$، فرد به طور ناخودآگاه به اندازه زاویه $\mathrm{\angle }PCQ$ که برابر با زاویه $\mathrm{\angle }AOB$ است، می‌چرخد. به طور مشابه، هنگام عبور از به در امتداد کمان که طولی برابر با $AB$ دارد، در مسیر دوم، فرد به اندازه زاویه می‌چرخد که برابر با زاویه است و بدیهی است که از زاویه متناظر $\mathrm{\angle }AOB$ بزرگتر است. بنابراین مسیر دوم برای یک طول برابر، بیشتر از مسیر اول خم می‌شود.

این واقعیت با بیان این که انحنای مسیر دوم بیشتر از مسیر اول است، نشان داده می‌شود. هر چه دایره بزرگتر باشد، خمیدگی کمتر است، یعنی انحنا کمتر است. اگر شعاع دایره اول $2,3,4,\dots$ و غیره برابر بزرگتر از شعاع دایره دوم باشد، آنگاه زاویه خمیدگی یا انحراف در امتداد یک کمان با طول واحد در دایره اول 2، 3، 4، ... و غیره برابر کمتر از دایره دوم خواهد بود، یعنی برابر با $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ و غیره از خمیدگی یا انحراف در امتداد کمانی با همان طول در دایره دوم خواهد بود. به عبارت دیگر، انحنای دایره اول $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ و غیره از انحنای دایره دوم خواهد بود. می‌بینیم که با 2، 3، 4، ... و غیره برابر شدن شعاع، انحنا 2، 3، 4، ... و غیره برابر کوچکتر می‌شود و این به این معنی است که انحنای یک دایره با شعاع دایره نسبت عکس دارد، یا

$$\text{ انحنا }=k\times \frac{1}{\text{ شعاع }},$$

که در آن $k$ یک ثابت است. توافق شده است که $k=1$ در نظر گرفته شود، بنابراین همیشه داریم: $$\text{ انحنا }=\frac{1}{\text{ شعاع }}.$$

اگر شعاع به طور نامحدود بزرگ شود، انحنا برابر با $\frac{1}{\text{ بی‌نهایت }}=$ صفر می‌شود، زیرا وقتی مخرج یک کسر به طور نامحدود بزرگ باشد، مقدار کسر به طور نامحدود کوچک است. به همین دلیل ریاضی‌دانان گاهی یک خط راست را به عنوان کمانی از یک دایره با شعاع بی‌نهایت، یا انحنای صفر در نظر می‌گیرند.

در مورد یک دایره، که کاملاً متقارن و یکنواخت است، به طوری که انحنا در هر نقطه از محیط آن یکسان است، روش فوق برای بیان انحنا کاملاً معین است. اما در مورد هر منحنی دیگری، انحنا در نقاط مختلف یکسان نیست و ممکن است حتی برای دو نقطه که نسبتاً به یکدیگر نزدیک هستند، تفاوت قابل توجهی داشته باشد. بنابراین دقیق نخواهد بود که مقدار خمیدگی یا انحراف بین دو نقطه را به عنوان معیاری از انحنای کمان بین آن دو نقطه در نظر بگیریم، مگر اینکه این کمان بسیار کوچک باشد، در واقع، مگر اینکه به طور نامحدودی کوچک باشد.

اگر در این صورت کمان بسیار کوچکی مانند $AB$ را در نظر بگیریم (به شکل بعدی نگاه کنید)، و اگر چنان دایره‌ای رسم کنیم که کمان $AB$ از این دایره نسبت به هر دایره دیگری تطابق بیشتری با کمان $AB$ از منحنی داشته باشد، در آن صورت انحنای این دایره را می‌توان به عنوان انحنای کمان $AB$ منحنی در نظر گرفت. هر چه کمان $AB$ کوچکتر باشد، یافتن دایره‌ای که کمانی از آن بیشترین تطابق را با کمان $AB$ منحنی داشته باشد، آسان‌تر خواهد بود. هنگامی که $A$ و $B$ بسیار به هم نزدیک باشند، به طوری که $AB$ چنان کوچک شود که طول $ds$ کمان $AB$ عملاً قابل چشم‌پوشی باشد، در آن صورت می‌توان تطابق دو کمان (دایره و منحنی) را عملاً کامل در نظر گرفت و انحنای منحنی در نقطه $A$ (یا $B$) که در آن هنگام با انحنای دایره برابر است، با معکوس شعاع این دایره، یعنی با $\frac{1}{OA}$ بیان می‌شود، که مطابق با روش اندازه‌گیری انحنای ماست که در بالا توضیح داده شد.

اکنون، در ابتدا، ممکن است فکر کنید که اگر $AB$ بسیار کوچک است، دایره نیز باید بسیار کوچک باشد. با این حال، کمی تفکر باعث می‌شود متوجه شوید که این مسئله اصلاً ضروری نیست و دایره می‌تواند هر اندازه‌ای داشته باشد که به میزان خمیدگی منحنی در امتداد این کمان بسیار کوچک $AB$ بستگی دارد. در واقع، اگر منحنی در آن نقطه تقریباً مسطح باشد، دایره به شدت بزرگ خواهد بود. این دایره دایره انحنا، یا دایره بوسان در نقطه مورد نظر نامیده می‌شود. شعاع آن شعاع انحنای منحنی در آن نقطه خاص است.

اگر کمان $AB$ با $ds$ و زاویه $\mathrm{\angle }AOB$ با $d\theta$ نشان داده شود، در صورتی که $r$ شعاع انحنا باشد،

$$ds=rd\theta \text{ یا }\frac{d\theta }{ds}=\frac{1}{r}.$$

خط قاطع $AB$ با محور $x$ زاویه $\theta$ می‌سازد، و از مثلث کوچک $\mathrm{△}ABC$ دیده می‌شود که ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=\tan \theta$. وقتی $AB$ به طور نامحدودی کوچک باشد، به طوری که $B$ عملاً بر $A$ منطبق شود، خط $AB$ مماس بر منحنی در نقطه $A$ (یا $B$) خواهد شد.

اکنون، $\tan \theta$ به موقعیت نقطه $A$ (یا $B$، که فرض می‌شود تقریباً بر آن منطبق است) بستگی دارد، یعنی به $x$ وابسته است، یا به عبارت دیگر، $\tan \theta$ "تابعی" از $x$ است.

با مشتق‌گیری نسبت به $x$ برای بدست آوردن شیب (به اینجا مراجعه کنید)، خواهیم داشت:

$$\frac{d\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}{dx}=\frac{d(\tan \theta )}{dx}$$

یا

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}={\sec }^2\theta \frac{d\theta }{dx}=\frac{1}{{\cos }^2\theta }\frac{d\theta }{dx}$$

(به اینجا مراجعه کنید)؛

بنابراین

$$\frac{d\theta }{dx}={\cos }^2\theta \frac{d^{2}y}{d{x}^2}.$$

اما ${\displaystyle \frac{dx}{ds}}=\cos \theta$، و به جای ${\displaystyle \frac{d\theta }{ds}}$ می‌توان نوشت ${\displaystyle \frac{d\theta }{dx}}\times {\displaystyle \frac{dx}{ds}}$ بنابراین

$$\text{انحنا}=\frac{1}{r}=\frac{d\theta }{ds}=\frac{d\theta }{dx}\times \frac{dx}{ds}={\cos }^3\theta \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}}{{\sec }^3\theta };$$

اما $\sec \theta =\pm \sqrt{1+{\tan }^2\theta }$؛¹ بنابراین

$$\frac{1}{r}=\pm \frac{{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}}{{\left(\sqrt{1+{\tan }^2\theta }\right)}^3}=\pm \frac{{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}}{{\{1+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}$$

و در نهایت،

ذکر این نکته مهم است که شعاع $r$ باید همیشه مثبت باشد، زیرا شعاع منفی مفهوم فیزیکی نخواهد داشت. بنابراین، هنگام استفاده از فرمول فوق، باید علامت $+$ را انتخاب کنید در صورتی که مخرج کسر ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ مثبت باشد و علامت $-$ را اگر مخرج منفی باشد، زیرا صورت کسر، که یک جذر است، همواره مثبت است.²

در فصل مربوط به انحنای منحنی‌ها نشان داده شده است که اگر ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ مثبت باشد، منحنی دارای تقعر رو به بالا (که محدب نیز نامیده می‌شود) است، در حالی که اگر ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ منفی باشد، منحنی دارای تقعر رو به پایین (که به سادگی مقعر نیز نامیده می‌شود) است. اگر ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}=0$، شعاع انحنا بی‌نهایت بزرگ است، یعنی بخش متناظر منحنی تکه‌ای از یک خط راست است. این امر لزوماً زمانی اتفاق می‌افتد که یک منحنی به تدریج از تقعر رو به بالا به تقعر رو به پایین تغییر حالت می‌دهد یا برعکس. نقطه‌ای مانند $P$ در شکل زیر، که این اتفاق در آن رخ می‌دهد، نقطه عطف نامیده می‌شود.

مرکز دایره انحنا را مرکز انحنا می‌نامند. اگر مختصات آن $(x_1,y_1)$ باشد، معادله دایره به صورت زیر است (به اینجا مراجعه کنید)

$${(x-x_1)}^2+{(y-y_1)}^2=r^2$$

بنابراین

$$2(x-x_1)dx+2(y-y_1)dy=0$$

و

چرا ما مشتق گرفتیم؟ تا از شر ثابت $r$ خلاص شویم. این امر تنها دو ثابت نامعلوم $x_1$ و $y_1$ را باقی می‌گذارد؛ دوباره مشتق بگیرید؛ از یکی از آن‌ها خلاص خواهید شد. این مشتق‌گیری آخر آنطور که به نظر می‌رسد آسان نیست؛ بیایید آن را با هم انجام دهیم؛ داریم:

$$\frac{d(x)}{dx}+\frac{d\left[(y-y_1){\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right]}{dx}=0$$

صورت کسرِ جمله دوم یک حاصل‌ضرب است؛ از این رو مشتق گرفتن از آن نتیجه می‌دهد

$$(y-y_1)\frac{d\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}{dx}+\frac{dy}{dx}\frac{d(y-y_1)}{dx}=(y-y_1)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\text{, }$$

به طوری که نتیجه مشتق گرفتن از (1) برابر است با

$$1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2+(y-y_1)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0;$$

از این معادله بلافاصله نتیجه می‌گیریم

با جایگذاری در (1)، به دست می‌آوریم

$$(x-x_1)+\{y-y-\frac{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}\}\frac{dy}{dx}=0$$

$x_1$ و $y_1$ موقعیت مرکز انحنا را می‌دهند. استفاده از این فرمول‌ها با بررسی دقیق چند مثال حل شده بهتر مشخص می‌شود.

Example 1.

مثال 21.1. شعاع انحنا و مختصات مرکز انحنای منحنی $y=2x^2-x+3$ را در نقطه $x=0$ بیابید.

راه حل.

داریم

$$$$

وقتی $x=0$؛ این عبارت تبدیل می‌شود به

$$$$

$$\frac{{\{1+(-1{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}{4}=\frac{\sqrt{8}}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707.$$

اگر $(x_1,y_1)$ مختصات مرکز انحنا باشند آنگاه

$$$$

وقتی $x=0,y=3$، به طوری که

$$$$

$$y_1=y+\frac{1+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}^2}{{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}}=y+\frac{1+(4x-1{)}^2}{4}=3+\frac{1+(-1{)}^2}{4}=3\frac{1}{2}.$$

منحنی و دایره در زیر ترسیم شده‌اند. مقادیر را می‌توان به راحتی بررسی کرد، زیرا وقتی $x=0,y=3$، در اینجا

$$$$

$$x_1^2+{(y_1-3)}^2=r^2\text{ یا }{0.5}^2+{0.5}^2=0.5={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2.$$

Example 2.

مثال 21.2. شعاع انحنا و موقعیت مرکز انحنای منحنی $y^2=mx$ () را در نقطه‌ای که برای آن $y=0$ بیابید.

راه حل.

در اینجا $y=m^{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}$

$$$$

بنابراین

$$$$

علامت $-$ در صورت کسر را انتخاب می‌کنیم تا $r$ مثبت باشد.

از آنجایی که، وقتی $y=0$، $x=0$، به دست می‌آوریم

$$$$

همچنین، اگر $(x_1,y_1)$ مختصات مرکز باشند،

$$$$

وقتی $x=0$، آنگاه $x_1=\frac{m}{2}$. همچنین

$$$$

وقتی $x=0,y_1=0$. بنابراین، مرکز انحنا $(m/2,0)$ است.

شکل زیر منحنی $y^2=mx$ برای $m=1$ و دایره انحنای آن در $(0,0)$ را نشان می‌دهد.

Example 4.

مثال 21.4. شعاع و مرکز انحنای منحنی $y=x^3-2x^2+x-1$ را در نقاطی که $x=0,x=0.5$ و $x=1.0$ بیابید. همچنین موقعیت نقطه عطف منحنی را پیدا کنید.

راه حل.

در اینجا

$$$$

وقتی $x=0,y=-1$،

$$$$

بیایید دو نقطه روی منحنی در دو طرف نقطه $(0,-1)$ انتخاب کنیم، مثلاً نقاطی با مختصات $x$ برابر با $-0.1$ و $0.1$. وقتی $x=-0.1$، $y=-1.121$. وقتی $x=0.1$، $y=-0.919$. اگر دایره‌ای را در نظر بگیریم که از این سه نقطه می‌گذرد: $(0,-1)$، $(-0.1,-1.121)$ و $(0.1,-0.919)$، می‌توانیم تعیین کنیم که مختصات مرکز آن $(0.5,-1.515)$ و شعاع آن $0.718$ است، ³ که توافق بسیار خوبی با دایره انحنا دارد. برای بهبود تقریب، می‌توانیم دو نقطه دیگر با مختصات $x$ نزدیک‌تر به $x=0$ نسبت به $0.1$ — مثلاً، $x=0.01$ و $x=-0.01$ — انتخاب کرده و محاسبات را تکرار کنیم.

منحنی $y=x^3-2x^2+x-1$، دایره انحنای آن در $x=0$، و دایره‌ای که از نقاط $(0,-1)$، $(-0.1,-1.121)$ و $(0.1,-0.919)$ می‌گذرد در زیر نشان داده شده‌اند.

وقتی $x=0.5,y=-0.875$، با در نظر گرفتن سه نقطه $(0.4,-0.856)$، $(0.5,-0.875)$ و $(0.6,-0.904)$ روی منحنی، دایره گذرنده از آن‌ها دارای مرکز $(0.2468,-1.935)$ و شعاع $1.09$ است.

وقتی $x=1,y=-1$، با در نظر گرفتن سه نقطه $(0.9,-0.919)$، $(1,-1)$ و $(1.1,-0.989)$ روی منحنی، دایره گذرنده از آن‌ها دارای مرکز $(0.995,-0.495)$ و شعاع $0.5051$ است.

در نقطه عطف ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}=0,6x-4=0$، و $x=\frac{2}{3};$ بنابراین $y=0.925$ (به شکل 21.4 مراجعه کنید).

تمرین‌ها

Exercise 1.

تمرین 21.1. شعاع انحنا و موقعیت مرکز انحنای منحنی $y=e^x$ را در نقطه‌ای که $x=0$ بیابید.

 

جواب

$r=2\sqrt{2}$، $x_1=-2$، $y_1=3$.

 

 

راه حل

$$y=e^x\Rightarrow \frac{dy}{dx}=e^x\Rightarrow \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=e^x$$

 

وقتی $x=0،$ $$y=\frac{dy}{dx}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=1$$

کافی است این اعداد را در فرمول‌های $r،x_1$ و $y_1$ جایگذاری کنیم.

 

 

Exercise 3.

تمرین 21.3. نقطه یا نقاطی با انحنای واحد را در منحنی $y=x^2$ بیابید.

 

جواب

$x\approx \pm 0.383$، $y=0.147$

 

 

راه حل

$$y=x^2\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x\Rightarrow \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2$$ از آنجایی که $\text{انحنا}={\displaystyle \frac{1}{\text{شعاع}}}={\displaystyle \frac{1}{r}}$، اگر $\text{انحنا}=1$ باشد، آنگاه $r=1$ یا $$r=\frac{{(1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}=\frac{{(1+4x^2)}^{\frac{3}{2}}}{2}=1$$

 

حل معادله فوق برای $x$: $${(1+4x^2)}^{\frac{3}{2}}=2$$ $$1+4x^2=2^{\frac{2}{3}}$$ $$4x^2=2^{\frac{2}{3}}-1$$

$$x=\pm \frac{1}{2}\sqrt{2^{\frac{2}{3}}-1}\approx \pm 0.383$$

وقتی $x\approx \pm 0.383$، $y\approx 0.147$.

ما مسئله را حل کردیم، اما اگر بخواهیم دایره انحنا (که با نام دایره بوسان نیز شناخته می‌شود) را رسم کنیم، باید مقادیر $x_1$ و $y_1$ را در زمانی که $x\approx \pm 0.383$ و $y\approx 0.147$ است، تعیین کنیم:

$$x_1=x-\frac{2x{[1+(2x{)}^2]}^2}{2}$$ $$y_1=x^2+\frac{1+(2x{)}^2}{2}$$

وقتی $x\approx 0.383$ و $y\approx 0.147$: $$x_1\approx 0.225,y_1\approx 0.941$$

وقتی $x\approx -0.383$ و $y\approx 0.147$: $$x_1\approx -0.225,y_1\approx 0.941$$

نمودار $y=x^2$ و دو دایره بوسان با شعاع $1$ در زیر نشان داده شده است: