Dans le chapitre intitulé Courbure des courbes, nous avons appris comment déterminer dans quel sens une courbe s'incurve, c'est-à-dire si elle s'incurve vers le haut ou vers le bas en allant vers la droite. Cela ne nous donnait cependant aucune indication sur l'importance de cette courbure, ou, en d'autres termes, quelle est sa courbure.
Par courbure d'une ligne, nous entendons la quantité de flexion ou de déviation qui a lieu le long d'une certaine longueur de la ligne, disons le long d'une portion de ligne dont la longueur est une unité de longueur (la même unité que celle utilisée pour mesurer le rayon, que ce soit un pouce, un pied ou toute autre unité). Par exemple, considérons deux trajectoires circulaires de centres \(O\) et \(O^{\prime}\) et de longueurs égales \(AB, A^{\prime} B^{\prime}\) (voir la figure suivante). En passant de \(A\) à \(B\) le long de l'arc \(AB\) du premier cercle, on change de direction de \(AP\) à \(B Q\), puisqu'en \(A\) on fait face à la direction \(AP\) et en \(B\) on fait face à la direction \(B Q\). En d'autres termes, en marchant de \(A\) à \(B\), on tourne inconsciemment d'un angle \(\angle P C Q\), qui est égal à l'angle \(\angle A O B\). De même, en passant de \(A^\prime\) à \(B^{\prime}\), le long de l'arc \(A^\prime B^\prime\), de même longueur que \(A B\), sur le second chemin, on tourne d'un angle \(\angle P^{\prime} C^{\prime} Q^{\prime}\), qui est égal à l'angle \(\angle A^{\prime} O^{\prime} B^{\prime}\), manifestement plus grand que l'angle correspondant \(\angle A O B\). Le second chemin s'incurve donc davantage que le premier pour une longueur égale.
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Figure 1
Ce fait s'exprime en disant que la courbure du second chemin est plus grande que celle du premier. Plus le cercle est grand, moins la flexion est importante, c'est-à-dire moins la courbure est grande. Si le rayon du premier cercle est \(2,3,4, \ldots\) etc. fois plus grand que le rayon du second, alors l'angle de flexion ou de déviation le long d'un arc de longueur unité sera 2, 3, 4, ... etc. fois moindre sur le premier cercle que sur le second ; c'est-à-dire qu'il sera \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\) etc. de la flexion ou de la déviation le long de l'arc de même longueur sur le second cercle. En d'autres termes, la courbure du premier cercle sera \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\) etc. de celle du second cercle. Nous voyons que, à mesure que le rayon devient 2, 3, 4, .. etc. fois plus grand, la courbure devient 2, 3, 4, ... etc. fois plus petite, et cela s'exprime en disant que la courbure d'un cercle est inversement proportionnelle au rayon du cercle, ou
\[\text { courbure }=k \times \frac{1}{\text { rayon }},\]
où \(k\) est une constante. Il est convenu de prendre \(k=1\), de sorte que \[\text { courbure }=\frac{1}{\text { rayon }},\] toujours.
Si le rayon devient indéfiniment grand, la courbure devient \(\frac{1}{\text { infini }}=\) zéro, puisque lorsque le dénominateur d'une fraction est indéfiniment grand, la valeur de la fraction est indéfiniment petite. C'est pour cette raison que les mathématiciens considèrent parfois une ligne droite comme un arc de cercle de rayon infini, ou de courbure nulle.
Dans le cas d'un cercle, qui est parfaitement symétrique et uniforme, de sorte que la courbure est la même en tout point de sa circonférence, la méthode ci-dessus pour exprimer la courbure est parfaitement définie. Dans le cas de toute autre courbe, cependant, la courbure n'est pas la même en différents points, et elle peut différer considérablement même pour deux points assez proches l'un de l'autre. Il ne serait alors pas précis de prendre la quantité de flexion ou de déviation entre deux points comme mesure de la courbure de l'arc entre ces points, à moins que cet arc ne soit très petit, en fait, à moins qu'il ne soit infiniment petit.
Si nous considérons alors un très petit arc tel que \(A B\) (voir la figure suivante), et si nous traçons un cercle tel qu'un arc \(AB\) de ce cercle coïncide avec l'arc \(A B\) de la courbe plus étroitement que ce ne serait le cas avec tout autre cercle, alors la courbure de ce cercle peut être prise comme la courbure de l'arc \(AB\) de la courbe. Plus l'arc \(AB\) est petit, plus il sera facile de trouver un cercle dont un arc coïncide le plus étroitement avec l'arc \(A B\) de la courbe. Lorsque \(A\) et \(B\) sont très proches l'un de l'autre, de sorte que \(A B\) est si petit que la longueur \(ds\) de l'arc \(A B\) est pratiquement négligeable, alors la coïncidence des deux arcs, du cercle et de la courbe, peut être considérée comme étant pratiquement parfaite, et la courbure de la courbe au point \(A\) (ou \(B\) ), étant alors la même que la courbure du cercle, sera exprimée par l'inverse du rayon de ce cercle, c'est-à-dire par \(\frac{1}{O A}\), selon notre façon de mesurer la courbure expliquée ci-dessus.
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Figure 2
Maintenant, vous pourriez penser au premier abord que si \(AB\) est très petit, alors le cercle doit être très petit aussi. Un peu de réflexion vous fera cependant percevoir qu'il n'en est nullement ainsi nécessairement, et que le cercle peut avoir n'importe quelle taille, selon la quantité de flexion de la courbe le long de ce très petit arc \(AB\). En fait, si la courbe est presque plate à ce point, le cercle sera extrêmement grand. Ce cercle est appelé le cercle de courbure, ou le cercle osculateur au point considéré. Son rayon est le rayon de courbure de la courbe à ce point particulier.
Si l'arc \(AB\) est représenté par \(d s\) et l'angle \(\angle A O B\) par \(d \theta\), alors, si \(r\) est le rayon de courbure,
\[d s=r d \theta \quad \text { ou } \quad \frac{d \theta}{d s}=\frac{1}{r} .\]
La sécante \(A B\) fait avec l'axe des \(x\) l'angle \(\theta\), et on verra d'après le petit triangle \(\triangle A B C\) que \(\dfrac{d y}{d x}=\tan \theta\). Lorsque \(AB\) est infiniment petit, de sorte que \(B\) coïncide pratiquement avec \(A\), la ligne \(AB\) devient une tangente à la courbe au point \(A\) (ou \(B\) ).
Or, \(\tan \theta\) dépend de la position du point \(A\) (ou \(B\), qui est supposé coïncider presque avec lui), c'est-à-dire qu'il dépend de \(x\), ou, en d'autres termes, \(\tan \theta\) est "une fonction" de \(x\).
En dérivant par rapport à \(x\) pour obtenir la pente (voir ici), nous obtenons
\[\frac{d\left(\dfrac{d y}{d x}\right)}{d x}=\frac{d(\tan \theta)}{d x}\]
soit
\[\quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sec ^{2} \theta \frac{d \theta}{d x}=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\ \frac{d \theta}{d x}\]
(voir ici);
d'où
\[\frac{d \theta}{d x}=\cos ^{2} \theta \frac{d^{2} y}{dx^{2}} .\]
Mais \(\dfrac{d x}{d s}=\cos \theta\), et pour \(\dfrac{d \theta}{d s}\) on peut écrire \(\dfrac{d \theta}{d x} \times \dfrac{d x}{d s}\) donc
\[\text{courbure}=\frac{1}{r}=\frac{d \theta}{d s}=\frac{d \theta}{d x} \times \frac{d x}{d s}=\cos ^{3} \theta \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}{\sec ^{3} \theta} ;\]
mais \(\sec \theta=\pm \sqrt{1+\tan ^{2} \theta}\);1 d'où
\[\frac{1}{r}=\pm\frac{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}{\left(\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}\right)^{3}}=\pm\frac{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}{\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}\]
et finalement,
\[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle r=\pm \frac{\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}.}\]
Il est important de noter que le rayon \(r\) doit toujours être positif, car un rayon négatif n'aurait aucun sens physique. Par conséquent, lors de l'utilisation de la formule ci-dessus, il faut choisir le signe \(+\) si le dénominateur \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) est positif et le signe \(-\) si le dénominateur est négatif, car le numérateur, étant une racine carrée, est toujours positif.2
Il a été montré dans le chapitre sur la Courbure des courbes que si \(\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}\) est positif, la courbe est concave vers le haut (aussi appelée convexe), tandis que si \(\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}\) est négatif, la courbe est concave vers le bas (aussi appelée simplement concave). Si \(\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=0\), le rayon de courbure est infiniment grand, c'est-à-dire que la portion correspondante de la courbe est un morceau de ligne droite. Cela se produit nécessairement chaque fois qu'une courbe change progressivement de concave vers le haut à concave vers le bas ou vice versa. Le point, comme \(P\) dans la figure suivante, où cela se produit est appelé un point d'inflexion.
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Figure 3
Le centre du cercle de courbure est appelé le centre de courbure. Si ses coordonnées sont \((x_{1}, y_{1})\), alors l'équation du cercle est (voir ici)
\[\left(x-x_1\right)^2+\left(y-y_1\right)^2=r^2\]
d'où
\[2\left(x-x_1\right) d x+2\left(y-y_1\right) d y=0\]
et
\[x-x_1+\left(y-y_1\right) \frac{d y}{d x}=0.\tag{1}\]
Pourquoi avons-nous dérivé ? Pour éliminer la constante \(r\). Cela ne laisse que deux constantes inconnues \(x_1\) et \(y_{1}\) ; dérivez à nouveau ; vous vous débarrasserez de l'une d'elles. Cette dernière dérivation n'est pas aussi facile qu'il y paraît ; faisons-le ensemble ; nous avons :
\[\frac{d(x)}{d x}+\frac{d\left[\left(y-y_{1}\right) \dfrac{d y}{d x}\right]}{d x}=0\]
le numérateur du second terme est un produit ; donc en le dérivant on obtient
\[\left(y-y_{1}\right) \frac{d\left(\dfrac{d y}{d x}\right)}{d x}+\frac{d y}{d x} \frac{d\left(y-y_{1}\right)}{d x}=\left(y-y_{1}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2} \text {, }\]
de sorte que le résultat de la dérivation de (1) est
\[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0 ;\]
de ceci nous obtenons immédiatement
\[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle y_{1}=y+\frac{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}.}\]
En remplaçant dans (1), nous obtenons
\[\left(x-x_{1}\right)+\left\{y-y-\frac{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}\right\} \frac{d y}{d x}=0\]
\[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle x_{1}=x-\frac{\dfrac{d y}{d x}\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}};}\]
\(x_{1}\) et \(y_{1}\) donnent la position du centre de courbure. L'utilisation de ces formules sera mieux comprise en parcourant attentivement quelques exemples résolus.
Exemple 21.1. Trouver le rayon de courbure et les coordonnées du centre de courbure de la courbe \(y=2 x^{2}-x+3\) au point \(x=0\).
Solution.
Nous avons
\[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=4 x-1,\qquad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=4 . \\ & r=\frac{\pm\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\left\{1+(4 x-1)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{4}, \end{align}\]
quand \(x=0\); cela devient
\[\frac{\left\{1+(-1)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{4}=\frac{\sqrt{8 } }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707.\]
Si \((x_{1}, y_{1})\) sont les coordonnées du centre de courbure alors
\[\begin{align} & x_{1}=x-\frac{\dfrac{d y}{d x}\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}=x-\frac{(4 x-1)\left\{1+(4 x-1)^{2}\right\}}{4} \\ & =0-\frac{(-1)\left\{1+(-1)^{2}\right\}}{4}=\frac{1}{2} \end{align}\]
quand \(x=0, y=3\), de sorte que
\[y_{1}=y+\frac{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}=y+\frac{1+(4 x-1)^{2}}{4}=3+\frac{1+(-1)^{2}}{4}=3 \frac{1}{2}.\]
La courbe et le cercle sont illustrés ci-dessous. Les valeurs peuvent être vérifiées facilement, car puisque lorsque \(x=0, y=3\), ici
\[x_{1}^{2}+\left(y_{1}-3\right)^{2}=r^{2} \quad \text { ou } \quad 0.5^{2}+0.5^{2}=0.5=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}.\]
Exemple 21.2. Trouver le rayon de courbure et la position du centre de courbure de la courbe \(y^{2}=m x\) (\(m>0\)) au point pour lequel \(y=0\).
Solution.
Ici \(y=m^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}\)
\[\begin{align} & \frac{dy}{d x}=\frac{1}{2} m^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{m^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \text {, } \\[9pt] & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{1}{2} \times \frac{m^{\frac{1}{2}}}{2} x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{m^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} ; \end{align}\]
d'où
\[\begin{align} & r=\frac{\pm\left\{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\pm\left\{1+\frac{m}{4 x}\right\}^{\frac{3}{2}}}{-\frac{m^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{5}{2}}}}=\frac{(4 x+m)^{\frac{3}{2}}}{2 m^{\frac{1}{2}}}, \end{align}\]
en prenant le signe \(-\) au numérateur, de façon à avoir \(r\) positif.
Puisque, quand \(y=0\), \(x =0\), nous obtenons
\[\begin{align} r=\frac{m^{\frac{3}{2}}}{2 m^{\frac{1}{2}}}=\frac{m}{2}. \end{align}\]
De plus, si \((x_{1}, y_{1})\) sont les coordonnées du centre,
\[\begin{align} x_{1}&=x-\frac{\frac{d y}{d x}\left\{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}}{\frac{d^{2} y}{d^{2} x}}\\ &=x-\frac{\frac{m^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}\left\{1+\frac{m}{4 x}\right\}}{-\frac{m^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{3}{3}}}} \\[6pt] & =x+\frac{4 x+m}{2}=3 x+\frac{m}{2} \text {, } \end{align}\]
quand \(x=0\), alors \(x_{1}=\frac{m}{2}\). Aussi
\[\begin{align} y_{1}&=y+\frac{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}\\ &=m^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}-\frac{1+\frac{m}{4 x}}{\frac{m^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}}\\ &=-\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} \end{align}\]
quand \(x=0, y_{1}=0\). Par conséquent, le centre de courbure est \((m/2,0)\).
La figure suivante montre la courbe \(y^2=mx\) pour \(m=1\) et son cercle de courbure en \((0,0)\).
Exemple 21.3. Montrer que le cercle est une courbe de courbure constante.
Solution.
Si \(x_{1}, y_{1}\) sont les coordonnées du centre, et \(R\) est le rayon, l'équation du cercle en coordonnées rectangulaires est
\[\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}=R^{2} ;\]
ceci est facilement mis sous la forme
\[y=\sqrt{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}}+y_{1}=\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}+y_1.\]
Pour dériver, posons \(R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}=v\); alors
\[y=v^{\frac{1}{2}}+y_{1}, \quad \frac{d y}{d v}=\frac{1}{2} v^{-\frac{1}{2}}, \quad \frac{d v}{d x}=-2\left(x-x_{1}\right),\]
\[\begin{align} \frac{d y}{d x}&=\frac{d y}{d v} \times \frac{d v}{d x}\\[6pt] &=-\frac{1}{2}\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} \times 2\left(x-x_{1}\right) \\[6pt] &=\frac{-\left(x-x_{1}\right)}{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}}. \end{align}\]
Dérivons à nouveau ; en utilisant la règle de dérivation d'une fraction, nous obtenons
\[\begin{align} \dfrac{d^2 y}{dx^2}=\frac{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}} \times \frac{d\left\{-\left(x-x_{1}\right)\right\}}{d x}-\left\{-\left(x-x_{1}\right)\right\}\times \frac{d}{d x}\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}}{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2} } \end{align}\] (c'est toujours une bonne idée d'écrire l'expression entière de cette manière lorsqu'on traite une expression compliquée); ceci se simplifie en
\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =\frac{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}(-1)-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}}{\left\{\boldsymbol{R}^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}}}{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}} \\ & =\frac{R^{2}}{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}} ; \end{align}\]
d'où
\[r=\frac{\pm\left\{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\left\{1+\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}}{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}=\frac{\left(R^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{R^{2}}=R\]
le rayon de courbure est constant et égal au rayon du cercle.
Exemple 21.4. Trouver le rayon et le centre de courbure de la courbe \(y=x^{3}-2 x^{2}+x-1\) aux points où \(x=0, x=0.5\) et \(x=1.0\). Trouver aussi la position du point d'inflexion de la courbe.
Solution.
Ici
\[\begin{align} & \quad \frac{d y}{d x}=3 x^{2}-4 x+1, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x-4 . \\[9pt] & r= \frac{\left\{1+\left(3 x^{2}-4 x+1\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{6 x-4}, \\ & x_{1}=x-\frac{\left(3 x^{2}-4 x+1\right)\left\{1+\left(3 x^{2}-4 x+1\right)^{2}\right\}}{6 x-4}, \\ & y_{1}=y+\frac{1+\left(3 x^{2}-4 x+1\right)^{2}}{6 x-4} . \end{align}\]
Quand \(x=0, y=-1\),
\[\begin{align} r=\frac{\sqrt{8}}{4}&=\frac{1}{\sqrt{2}}= 0.7071.\\ \quad x_{1}=0+\frac{1}{2}=0.5,& \qquad y_{1}=-1-\frac{1}{2}=-1.5. \end{align}\]
Choisissons deux points sur la courbe de part et d'autre du point \((0,-1)\), disons des points avec des coordonnées \(x\) de \(-0.1\) et \(0.1\). Quand \(x=-0.1\), \(y=-1.121\). Quand \(x=0.1\), \(y=-0.919\). Si nous considérons le cercle passant par ces trois points : \((0,-1)\), \((-0.1,-1.121)\), et \((0.1,-0.919)\), nous pouvons déterminer les coordonnées de son centre comme étant \((0.5, -1.515)\), et son rayon comme étant \(0.718\), 3 une très bonne concordance avec le cercle de courbure. Pour améliorer l'approximation, nous pouvons choisir deux autres points avec des coordonnées \(x\) plus proches de \(x=0\) que \(0.1\)—par exemple, \(x=0.01\) et \(x=-0.01\)—et répéter les calculs.
La courbe \(y=x^{3}-2 x^{2}+x-1\), son cercle de courbure en \(x=0\), et le cercle passant par \((0,-1)\), \((-0.1,-1.121)\) et \((0.1,-0.919)\) sont montrés ci-dessous.
Quand \(x=0.5, y=-0.875\), \[\begin{align} & r=\frac{-\left\{1+(-0.25)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{-1}= 1.095 \\ & x_{1}=0.5-\frac{-0.25 \times 1.0625}{-1}= 0.2344, \\ & y_{1}=-0.875+\frac{1.0625}{-1}= -1.938. \end{align}\] En considérant trois points \((0.4,-0.856)\), \((0.5,-0.875)\), et \((0.6,-0.904)\) sur la courbe, le cercle passant par ces points a pour centre \((0.2468, -1.935)\) et pour rayon \(1.09\).
Quand \(x=1, y=-1\), \[\begin{align} & r=\frac{(1+0)^{\frac{3}{2}}}{2}=0.5, \\ & x_{1}=1-\frac{0 \times(1+0)}{2}=1, \\ & y_{1}=-1+\frac{1+0^{2}}{2}=-0.5 . \end{align}\] En considérant trois points \((0.9,-0.919)\), \((1,-1)\), et \((1.1,-0.989)\) sur la courbe, le cercle passant par ces points a pour centre \((0.995, -0.495)\) et pour rayon \(0.5051\).
Au point d'inflexion \(\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=0,6 x-4=0\), et \(x=\frac{2}{3} ;\) d'où \(y=0.925\) (voir Fig. 21.4).
Exemple 21.5. Trouver le rayon et le centre de courbure de la courbe \(y=\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)\),4 au point pour lequel \(x=0\). (Cette courbe est appelée la chaînette, car une chaîne suspendue adopte exactement la même pente.)
Solution. L'équation de la courbe peut être écrite
\[y=\frac{a}{2} e^{\frac{x}{a}}+\frac{a}{2} e^{-\frac{x}{a}}\]
alors (voir ces exemples),
\[\frac{d y}{d x}=\frac{a}{2} \times \frac{1}{a} e^{\frac{x}{a}}-\frac{a}{2} \times \frac{1}{a} e^{-\frac{x}{a}}=\frac{1}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right) .\]
De même
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}= \frac{1}{2 a}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)=\frac{1}{2 a} \times \frac{2 y}{a}=\frac{y}{a^{2}},\]
\[r =\frac{\left\{1+\frac{1}{4}\left(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\frac{y}{a^{2}}}=\frac{a^{2}}{8 y} \sqrt{\left(2+e^{\frac{2 x}{a}}+e^{-\frac{2 x}{a}}\right)^{3},}\]
puisque \(e^{\frac{x}{a}-\frac{x}{a}}=e^{0}=1\), ou
\[\begin{align} & \qquad r=\frac{a^{2}}{8 y} \sqrt{\left(2 e^{\frac{x}{a}-\frac{x}{a}}+e^{\frac{2 x}{a}}+e^{-\frac{2 x}{a}}\right)^{3}}=\frac{a^{2}}{8 y} \sqrt{\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)^{6}}=\frac{y^{2}}{a}, \end{align}\]
quand \(x=0\), \(y=\frac{a}{2}\left(e^{0}+e^{0}\right)=a\), et \(\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{2}\left(e^{0}-e^{0}\right)=0\); d'où
\[r=\frac{a^{2}}{a}=a.\]
Le rayon de courbure au sommet est égal à la constante \(a\).
Aussi
\[\begin{align} & x_{1}=0-\frac{0(1+0)}{\frac{1}{a}}=0, \\ & y_{1}=y+\frac{1+0}{\frac{1}{a}}=a+a=2 a . \end{align}\]
Vous êtes maintenant suffisamment familier avec ce type de problème pour résoudre les exercices suivants par vous-même. Il vous est conseillé de vérifier vos réponses en traçant soigneusement la courbe et en construisant le cercle de courbure, comme expliqué dans l'exemple 22.4.
Exercices
Exercice 21.1. Trouver le rayon de courbure et la position du centre de courbure de la courbe \(y=e^{x}\) au point pour lequel \(x=0\).
Réponse
\(r=2 \sqrt{2}\), \(x_{1}=-2\), \(y_{1}=3\).
Solution
\[y=e^{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=e^{x} \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{x}\]
Quand \(x=0,\) \[y=\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=1\]
Nous insérons simplement ces nombres dans les formules pour \(r, x_{1}\), et \(y_{1}\)
\[\begin{align} & r=\frac{\left(1+1^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{1}=2^{\frac{3}{2}}=2 \sqrt{2} \\ & x_{1}=0-\frac{1\left(1+1^{2}\right)}{1}=-2 \\ & y_{1}=1+\frac{1+1^{2}}{1}=3 \end{align}\]
Exercice 21.2. Trouver le rayon et le centre de courbure de la courbe \(y=x\left(\frac{x}{2}-1\right)\) au point pour lequel \(x=2\).
Réponse
\(r=2\sqrt{2}\approx 2.83\), \(x_{1}=0\), \(y_{1}=2\).
Solution
\[\begin{align} & y=x\left(\frac{x}{2}-1\right)=\frac{x^{2}}{2}-x \\ & \frac{d y}{d x}=x-1 \quad, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=1 \end{align}\]
Quand \(x=2,\) \[y=0, \quad \frac{d y}{d x}=1, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=1.\]
Nous mettons simplement ces nombres dans les formules pour \(r, x_{1}\), et \(y_{1}\)
\[\begin{align} & r=\frac{\left(1+1^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{1}=2^{\frac{3}{2}}=2 \sqrt{2} \\ & x_{1}=2-\frac{1\left(1+1^{2}\right)}{1}=0 \\ & y_{1}=0+\frac{1+1^{2}}{1}=2 \end{align}\]
Exercice 21.3. Trouver le ou les points de courbure unitaire sur la courbe \(y=x^{2}\).
Réponse
\(x\approx \pm 0.383\), \(y=0.147\)
Solution
\[y=x^{2} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 x \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2\] Puisque \(\text{courbure}=\dfrac{1}{\text{rayon}}=\dfrac{1}{r}\), si \(\text{courbure}=1\), alors \(r=1\) ou \[r=\frac{\left(1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\left(1+4 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{2}=1\]
En résolvant l'équation ci-dessus pour \(x\) : \[\left(1+4 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=2\] \[1+4 x^{2}=2^{\frac{2}{3}}\] \[4 x^{2}=2^{\frac{2}{3}}-1\]
\[x= \pm \frac{1}{2} \sqrt{2^{\frac{2}{3}}-1} \approx \pm 0.383\]
Quand \(x \approx \pm 0.383\), \(y \approx 0.147\).
Nous avons résolu le problème, mais si nous souhaitons tracer le cercle de courbure (aussi connu sous le nom de cercle osculateur), nous devons déterminer \(x_1\) et \(y_1\) quand \(x \approx \pm 0.383\) et \(y \approx 0.147\) :
\[x_1=x-\frac{2x\left[1+(2x)^2\right]^2}{2}\] \[y_1=x^2+\frac{1+(2x)^2}{2}\]
Quand \(x\approx 0.383\) et \(y \approx 0.147\) : \[x_1\approx 0.225,\quad y_1\approx 0.941\]
Quand \(x\approx -0.383\) et \(y \approx 0.147\) : \[x_1\approx -0.225,\quad y_1\approx 0.941\]
Le graphe de \(y=x^2\) et les deux cercles osculateurs avec des rayons de \(1\) sont montrés ci-dessous :
Exercice 21.4. Trouver le rayon et le centre de courbure de la courbe \(x y=m\), au point pour lequel \(x=\sqrt{m}\).
Réponse
\(r=2\), \(x_{1}=y_{1}=2 \sqrt{m}\).
Solution
\[x y=m\quad\text{ ou }\quad y=m x^{-1}\]
\[\frac{d y}{d x}=-m x^{-2}, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 m x^{-3}=\frac{2 m}{x^{3}}\]
Quand \(x=\sqrt{m}\),
\[y=\sqrt{m},\quad \frac{d y}{d x}=-1, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{2}{\sqrt{m}}\]
D'où \[\begin{align} & r=\frac{\left(1+(-1)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{2}{\sqrt{m}}}=\frac{\sqrt{m}}{2} 2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2 m} \\ & x_{1}=\sqrt{m}-\frac{(-1)\left(1+(-1)^{2}\right)}{\frac{2}{\sqrt{m}}}=2 \sqrt{m} \\ & y_{1}=\sqrt{m}+\frac{1+(-1)^{2}}{\frac{2}{\sqrt{m}}}=2 \sqrt{m} \end{align}\]
Exercice 21.5. Trouver le rayon et le centre de courbure de la courbe \(y^{2}=4 a x\) au point pour lequel \(x=0\).
Réponse
\(r=2 a\), \(x_{1}=2 a+3x\), \(y_{1}=-\dfrac{2 x^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}\) quand \(x=0\), \(x_{1}=2 a\), \(y_{1}=0\).
Solution
Dans l'Exemple 160, nous avons montré que si \(y^{2}=m x\), alors
\[r=\frac{m}{2}, \quad x_{1}=3 x+\frac{m}{2}, y_{1}=-\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}}\]
Par comparaison, nous réalisons que si \(y^{2}=4 a x\), alors
\[r=2 a, \quad x_{1}=3 x+2 a, \quad y_{1}=-\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{a}}\]
Quand \(y=0, x=0\). Par conséquent
\[r=2 a, \quad x_{1}=2 a, \quad y_{1}=0.\]
Exercice 21.6. Trouver le rayon et le centre de courbure de la courbe \(y=x^{3}\) aux points pour lesquels \(x=\pm 0.9\) et aussi \(x=0\).
Réponse
Quand \(x=0\), \(r=y_{1}=\) infini, \(x_{1}=0\).
Quand \(x=+0.9, r=3 \cdot 36, x_{1}=-2 \cdot 21, y_{1}=+2.01\).
Quand \(x=-0.9\), \(r=3.36\), \(x_{1}=+2.21\), \(y=-2.01\).
Solution
\[y=x^{3} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=3 x^{2} \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x\]
Quand \(x=0.9\),
\[y=0.729, \quad \frac{d y}{d x}=2.43, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=5.4\]
D'où
\[\begin{align} & r=\frac{\left(1+2.43^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{5.4} \approx 3.36 \\ & x_{1}=0.9-\frac{2.43\left(1+2.43^{2}\right)}{5.4} \approx-2.21 \\ & y_{1}=0.729+\frac{1+2.43^{2}}{5.4} \approx 2.01 \end{align}\]
Quand \(x=-0.9\)
\[y=-0.729,\quad \frac{d y}{d x}=2.43,\quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-5.4\]
D'où \[\begin{align} & r=-\frac{\left(1+2.43^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{5.4} \approx 3.36 \\ & x_{1}=-0.9-\frac{2.43\left(1+2.43^{2}\right)}{-5.4} \approx 2.21 \\ & y_{1}=-0.729+\frac{1+2.43^{2}}{-5.4} \approx-2.01 \end{align}\]
Quand \(x=0\) \[y=0, \quad \frac{d y}{d x}=0, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0\] D'où \[\begin{align} & r=\frac{\left(1+0^{2}\right)^{3 / 2}}{0}=\infty \\ & x_{1}=x-\frac{3 x^{2}\left(1+9 x^{4}\right)}{6 x}=x-\frac{1}{2} x\left(1+9 x^{4}\right) \end{align}\]
Si nous remplaçons \(x=0\) dans l'expression ci-dessus pour \(x_1\), nous obtenons \(x_{1}=0\)
\[y_{1}=y+\frac{1+(3 x)^{2}}{6 x}\]
Si nous remplaçons \(x=0, y=0\) dans l'équation ci-dessus, nous obtenons \(y_{1}=0+\frac{1}{0}=\infty\)
Exercice 21.7. Trouver le rayon de courbure et les coordonnées du centre de courbure de la courbe \(y=x^{2}-x+2\) aux deux points pour lesquels \(x=0\) et \(x=1\), respectivement. Trouver aussi la valeur maximale ou minimale de \(y\). Vérifier graphiquement tous vos résultats.
Réponse
Quand \(x=0\), \(r=\sqrt{2}\approx 1.41\), \(x_{1}=1, y_{1}=3\).
Quand \(x=1\), \(r=\sqrt{2} \approx 1.41\), \(x_{1}=0, y_{1}=3\).
Minimum \(=1.75\).
Solution
\[y=x^{2}-x+2\]
Alors
\[\frac{d y}{d x}=2 x-1 \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2\]
Quand \(x=0\), \[y=2,\quad \frac{d y}{d x}=-1,\quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2\]
\[\begin{align} & r=\frac{\left(1+(-1)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{2}=\sqrt{2} \approx 1.41 \\ & x_{1}=0-\frac{(-1)\left(1+(-1)^{2}\right)}{2}=1 \\ & y_{1}=2+\frac{1+(-1)^{2}}{2}=3 \end{align}\]
Quand \(x=1\) \[y=2,\quad \frac{d y}{d x}=1,\quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2\] D'où, \[\begin{align} & r=\frac{\left(1+1^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{2}=\sqrt{2} \approx 1.41 \\ & x_{1}=1-\frac{1\left(1+1^{2}\right)}{2}=0 \\ & y_{1}=2+\frac{1+1^{2}}{2}=3 \end{align}\]
Pour trouver la valeur maximale ou minimale de \(y\)
\[\frac{d y}{d x}=2 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}=0.5\]
Puisque \(\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=2>0\), la courbe est concave vers le haut et la valeur de \(y\) à \(x=0.5\), qui est \[y=0.5^{2}-0.5+2=1.75\] est la valeur minimale de \(y\).
Exercice 21.8. Trouver le rayon de courbure et les coordonnées du centre de courbure de la courbe \(y=x^{3}-x-1\) aux points pour lesquels \(x=-2, x=0\), et \(x=1\).
Réponse
Pour \(x=-2\), \(r\approx 112.3\), \(x_{1}\approx 109.8\), \(y_{1}\approx -17.2\).
Pour \(x=0\), \(r=x_{1}=y_{1}=\) infini.
Pour \(x=1\), \(r\approx1.86\), \(x_{1}\approx -0.67\), \(y_{1}\approx -0.17\).
Solution
\[y=x^{3}-x-1 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=3 x^{2}-1 \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x\]
Quand \(x=-2\), \[y=-7, \quad \frac{d y}{d x}=11, \frac{d^{2} y}{d x}=-12\]
\[\begin{align} & r=-\frac{\left(1+11^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{-12} \approx 112.3 \\ & x_{1}=-2-\frac{11\left(1+11^{2}\right)}{-12} \approx 109.8 \\ & y_{1}=-7+\frac{1+11^{2}}{-12} \approx-17.2 \end{align}\]
Quand \(x=0\), \[y=-1, \quad \frac{d y}{d x}=-1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0\]
D'où, \[\begin{align} & r=\frac{\left(1+(-1)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{0}=\infty \\ & x_{1}=0-\frac{(-1)\left(1+(-1)^{2}\right)}{0}=\infty \\ & y_{1}=-1+\frac{1+(-1)^{2}}{0}=\infty \end{align}\]
Quand \(x=1\) \[y=-1, \frac{d y}{d x}=2, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6\]
\[\begin{align} & r=\frac{\left(1+2^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{6} \approx 1.86 \\ & x_{1}=1-\frac{2\left(1+2^{2}\right)}{6}=-\frac{2}{3} \approx-0.67\\ &y_{1}=-1+\frac{1+2}{6}=-\frac{1}{6} \approx-0.17 \end{align}\]
Exercice 21.9. Trouver les coordonnées du ou des points d'inflexion de la courbe \(y=x^{3}+x^{2}+1\).
Réponse
\(x=-\frac{1}{3}\approx -0.33\), \(y=\frac{29}{27}\approx +1.08\)
Solution
\[y=x^{3}+x^{2}+1\]
\[\frac{d y}{d x}=3 x^{2}+2 x, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x+2\]
Pour trouver le(s) point(s) d'inflexion
\[\begin{gathered} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x+2=0 \\ x=-\frac{1}{3} \end{gathered}\]
Si \(x<\frac{-1}{3}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}<0\) et si \(x>-\frac{1}{3}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}>0\).
Par conséquent, le sens de la concavité change en \(x=-\frac{1}{3}\).
Quand \(x=-\frac{1}{3}, y=\frac{29}{27} \approx 1.07\).
D'où, \(\left(-\frac{1}{3}, \frac{29}{27}\right)\) est le point d'inflexion.
Exercice 21.10. Trouver le rayon de courbure et les coordonnées du centre de courbure de la courbe \(y=\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{1}{2}}\) aux points pour lesquels \(x=1.2\), \(x=2\), et \(x=2.5\). Quelle est cette courbe ?
Réponse
\(r=1\), \(x=2\), \(y=0\) pour tous les points. Un cercle.
Solution
\[y =\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{1}{2}}\]
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{2}(4-2 x)\left(4 x-x^{2}-3\right)^{-\frac{1}{2}}\\ &=(2-x)\left(4 x-x^{2}-3\right)^{-\frac{1}{2}} \end{align}\]
\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\left(4 x-x^{2}-3\right)^{-\frac{1}{2}}-(2-x)^{2}\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{-3}{2}} \\ & =\frac{-\left(4 x-x^{2}-3\right)-(2-x)^{2}}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}} \\ & =\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}} \end{align}\]
Au lieu de calculer \(r\), \(x_1\), et \(y_1\) pour les points donnés, nous trouvons les formules générales pour eux dans ce cas :
\[\begin{align} & r=\frac{\left(1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right)^{2}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} \\ & =-\frac{\left(1+\frac{(2-x)^{2}}{4 x-x^{2}-3}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}} \\ & =\frac{\left(\frac{4 x-x^{2}-3+\left(4-4 x-x^{2}\right)}{4 x-x^{2}-3}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}}\\ & =1 \end{align}\] \[\begin{align} x_{1}&=x-\frac{\frac{2-x}{\sqrt{4 x-x^{2}-3}}\left(1+\frac{(2-x)^{2}}{4 x-x^{2}-3}\right)}{\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}} \\ &=x+(2-x)\\ &=2 \end{align}\] \[\begin{align} y_{1}&=y+\frac{1+\frac{(2-x)^{2}}{4 x-x^{2}-3}}{\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}}\\ & =y+\frac{\frac{1}{4 x-x^{2}-3}}{\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}} \\ & =y-\sqrt{4 x-x^{2}-3} \\ & =0 \end{align}\]
Par conséquent, pour tous les points \(r=1, x_{1}=2, y_{1}=0\). C'est l'équation d'un cercle. Pour le voir notez
\[\begin{gathered} y=\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{1}{2}} \\ y^{2}=4 x-x^{2}-3 \\ x^{2}-4 x+y^{2}=-3 \\ x^{2}-4 x+4+y^{2}=1 \\ (x-2)^{2}+y^{2}=1 \end{gathered}\]
La dernière équation est celle d'un cercle de rayon 1 et de centre \((2,1)\).
Exercice 21.11. Trouver le rayon et le centre de courbure de la courbe \(y=x^{3}-3 x^{2}+2 x+1\) aux points pour lesquels \(x=0, x=+1.5\). Trouver aussi la position du point d'inflexion.
Réponse
Quand \(x=0\), \(r\approx1.86,\ x_{1}\approx 1.67,\ y_{1}\approx 0.17\).
Quand \(x=1.5\), \(r\approx 0.365\), \(x_{1}\approx 1.59\), \(y_{1}\approx 0.98\).
\(x=1\), \(y=1\) pour une courbure nulle.
Solution
\[y =x^{3}-3 x^{2}+2 x+1\]
\[\frac{d y}{d x} =3 x^{2}-6 x+1, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x-6\]
Quand \(x=0\) \[y=0, \quad \frac{d y}{d x}=2, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-6\]
D'où, \[\begin{align} & r=-\frac{\left(1+2^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{-6}=\frac{5^{\frac{3}{2}}}{6}=\frac{5 \sqrt{5}}{6} \approx 1.86 \\ & x_{1}=0-\frac{2\left(1+2^{2}\right)}{-6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \approx 1.67 \\ & y_{1}=1+\frac{1+2^{2}}{-6}=\frac{1}{6} \approx 0.17 \end{align}\]
Quand \(x=1.5\),
\[y=\frac{5}{8}, \quad \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{4} \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=3\]
\[\begin{align} & r=\frac{\left(1+\frac{1}{16}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{17 \sqrt{17}}{192} \approx 0.365 \\ & x_{1}=1.5-\frac{-\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{16}\right)}{3}=\frac{305}{192} \approx 1.59 \\ & y_{1}=\frac{5}{8}+\frac{1+\frac{1}{16}}{3}=\frac{47}{48} \approx 0.98 \end{align}\]
En \(x = 1\), la dérivée seconde \(\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x-6\) passe de négatif à positif, indiquant un changement de concavité de vers le bas à vers le haut. Quand \(x = 1\), la valeur correspondante de \(y\) est \(y = 1\). Par conséquent, le point \((1, 1)\) est un point d'inflexion sur la courbe.
Exercice 21.12. Trouver le rayon et le centre de courbure de la courbe \(y=\sin \theta\) aux points pour lesquels \(\theta=\frac{\pi}{4}\) et \(\theta=\frac{\pi}{2}\). Trouver la position du point d'inflexion.
Réponse
Quand \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\), \(r=1\), \(\theta_{1}=\frac{\pi}{2}\), \(y_{1}=0\).
Quand \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\), \(r\approx 2.598\), \(\theta_{1}\approx 2.285\), \(y_{1}\approx -1.41\)
Solution
\(y=\sin \theta\)
\[\frac{d y}{d \theta}=\cos \theta, \quad \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-\sin \theta\]
Notez que dans cet exercice, nous n'utilisons pas les coordonnées polaires. Nous utilisons les coordonnées cartésiennes régulières, mais au lieu de \(x_{1}\) la variable indépendante est notée \(\theta\). Par conséquent,
\[\begin{align} & r= \pm \frac{\left(1+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}} \\ & \theta_{1}=\theta-\frac{\frac{d y}{d \theta}\left[1+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}\right]}{\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}} \\ & y_{1}=y+\frac{1+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}}{\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}} \end{align}\]
Quand \(\theta=\frac{\pi}{4}\)
\[y=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \frac{d y}{d \theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\] D'où \[\begin{align} & r=-\frac{\left(1+\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{-1}{\sqrt{2}}}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \approx 2.598\\ & \theta_{1}=\frac{\pi}{4}-\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1+\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\pi+6}{4} \approx 2.285 \\ & y_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\sqrt{2} \approx-1.414 \end{align}\]
Quand \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\), \[y=1, \quad \frac{d y}{d \theta}=0, \quad \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-1.\] D'où, \[\begin{align} & r=-\frac{(1+0)^{\frac{3}{2}}}{-1}=1 \\ & \theta_{1}=\frac{\pi}{2}-\frac{0\left(1+0^{2}\right)}{-1}=\frac{\pi}{2} \\ & y_{1}=1+\frac{1+0^{2}}{-1}=0 \end{align}\]
Exercice 21.13. Tracer un cercle de rayon 3 , dont le centre a pour coordonnées \(x=1\), \(y=0\). Déduire l'équation d'un tel cercle à partir des premiers principes (voir ici). Trouver par le calcul le rayon de courbure et les coordonnées du centre de courbure pour plusieurs points appropriés, aussi précisément que possible, et vérifier que vous obtenez les valeurs connues.
Solution
L'équation d'un cercle de rayon \(R\) et de centre \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) est
\[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R^{2}\]
Par conséquent, dans ce cas
\[(x-1)^{2}+y^{2}=R^{2},\quad (R=3)\]
Dérivons par rapport à \(x\)
\[2(x-1)+2 y \frac{d y}{d x}=0\]
Par conséquent
\[\frac{d y}{d x}=-\frac{x-1}{y}.\]
Dérivons à nouveau en utilisant la règle du quotient
\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\frac{y-\frac{d y}{d x}(x-1)}{y^{2}} \\ & =-\frac{y+\frac{(x-1)^{2}}{y}}{y^{2}} \\ & =-\frac{y^{2}+(x-1)^{2}}{y^{3}} \\ & =-\frac{R^{2}}{y^{3}} \end{align}\]
Rayon de courbure :
\[\begin{align} r & =\frac{\left[1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}} \\ & =-\frac{\left[1+\dfrac{(x-1)^{2}}{y^{2}}\right]^{\frac{3}{2}}}{-\dfrac{R^{2}}{y^{3}}} \\ & =\frac{\left(\dfrac{R^{2}}{y^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{R^{2}}{y^{2}}}\\ &=\frac{\dfrac{R^{3}}{y^2}}{\dfrac{R^{2}}{y^{2}}}=R \end{align}\]
Centre de courbure :
\[\begin{align} x_{1} & =x-\frac{-\frac{x-1}{y}\left(1+\frac{(x-1)^{2}}{y^{2}}\right)}{-\frac{R^{2}}{y^{3}}} \\ & =x-\frac{\frac{x-1}{y^{3}}\left((x-1)^{2}+y^{2}\right)}{\frac{R^{2}}{y^{3}}} \\ & =x-\frac{(x-1) R^{2}}{R^{2}}\\ & =x-(x-1)=1. \end{align}\] \[\begin{align} y_{1} & =y+\frac{1+\frac{(x-1)^{2}}{y^{2}}}{-\frac{R^{2}}{y^{3}}} \\ & =y-\frac{y^{2}+(x-1)^{2}}{y^{2}} \\ & =y-\frac{\dfrac{R^{2}}{y^{3}}}{\dfrac{R^{2}}{y^{2}}} \\ & =y-y=0. \end{align}\] D'où le centre de courbure est \((1,0)\).
Exercice 21.14. Trouver le rayon et le centre de courbure de la courbe \(y=\cos \theta\) aux points pour lesquels \(\theta=0\), \(\theta=\dfrac{\pi}{4},\) et \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\).
Réponse
Quand \(\theta=0\), \(r=1\), \(\theta_{1}=0\), \(y_{1}=0\).
Quand \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\), \(r\approx 2.598\), \(\theta_{1}\approx 0.7146\), \(y_{1}\approx -1.41\).
Quand \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\), \(r=\theta_{1}=y_{1}=\) infini.
Solution
\[y=\cos \theta\]
Encore une fois, similaire à l'exercice 12, nous utilisons les coordonnées cartésiennes, mais la variable indépendante est notée \(\theta\), au lieu de \(x\)
\[y=\cos \theta \Rightarrow \frac{d y}{d \theta}=-\sin \theta \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-\cos \theta\]
Quand \(\theta=0\) \[y=1, \quad \frac{d y}{d x}=0, \quad \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-1.\] D'où, \[\begin{align} & r=-\frac{\left(1+0^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{-1}=1 \\ & \theta_{1}=0-\frac{0\left(1+0^{2}\right)}{-1}=0 \\ & y_{1}=1+\frac{1+0^{2}}{-1}=0 \end{align}\]
Quand \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\),
\[y=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.\] D'où, \[\begin{align} & r=-\frac{\left(1+\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{-1}{\sqrt{2}}}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \approx 2.598 \\ & \theta_{1}=\frac{\pi}{4}-\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1+\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\pi}{4}-\frac{3}{2} \approx-0.715\\ & y_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\sqrt{2} \approx-1.414 \end{align}\]
Quand \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\), \[y=0, \quad \frac{d y}{d \theta}=-1, \quad \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=0.\] D'où, \[\begin{align} & r=\frac{(1+1)^{\frac{3}{2}}}{0}=\infty \\ & \theta_{1}=\frac{\pi}{2}-\frac{-1(1+1)}{0}=\infty\\ & y_{1}=0+\frac{1+1}{0}=\infty \end{align}\]
Exercice 21.15. Trouver le rayon et le centre de courbure de l'ellipse \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\) aux points pour lesquels \(x=0\) et aux points pour lesquels \(y=0\).
Réponse
\(r^{\cdot}=\dfrac{\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{a^{4} b^{4}}\), où \(x=0\), \(r=\dfrac{a^{2}}{b}\), \(x_{1}=0\), \(y_{1}=\dfrac{b^{2}-a^{2}}{b}\).
Solution
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]
En multipliant les deux côtés par \(a^2b^2\), nous obtenons \[b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}\]
En dérivant les deux côtés de \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) par rapport à \(x\), nous obtenons \[\begin{align} & 2 b^{2} x+2 a^{2} y \frac{d y}{d x}=0 \\ & \frac{d y}{d x}=-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x}{y} \end{align}\]
En dérivant la dernière équation par rapport à \(x\) en utilisant la règle du quotient, nous obtenons
\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{y-\frac{d y}{d x} x}{y^{2}} \\ & =-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{y+\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x}{y}}{y^{2}} \\ & =-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{a^{2} y^{2}+b^{2} x^{2}}{a^{2} y^{3}} \\ & =-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} y^{3}}=-\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}} \end{align}\]
D'où \[\begin{align} r & = \pm \frac{\left(1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} \\ & =\frac{\left(1+\frac{b^{4}}{a^{4}} \frac{x^{2}}{y^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}}}=\frac{\left(\frac{a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}}{a^{4} y^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{b^{4}}{a^{2} y^{2}}} \\ & =\frac{\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{a^{4} b^{4}} \end{align}\]
\[\begin{align} x_{1} & =x-\frac{-\frac{a^{2}}{\bar{y}}\left(1+\frac{a}{a^{4}} \frac{x}{y^{2}}\right)}{-\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}}} \\ & =x-\frac{\frac{b^{2}}{a^{6}} \frac{x}{y^{3}}\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right)}{\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}}} \\ & =x-\frac{x}{a^{4} b^{2}}\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right) \end{align}\]
\[\begin{align} y_{1} & =y+\frac{1+\frac{b^{4}}{a^{4}} \frac{x^{2}}{y^{2}}}{-\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}}} \\ & =y-\frac{y}{a^{2} b^{4}}\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right) \\ & =y-\frac{\frac{1}{a^{4} y^{2}}\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right)}{a^{4} y^{3}} \end{align}\]
Quand \(x=0\), alors \(y=+b\) ou \(y=-b\)
Quand \(x=0\) et \(y=b\)
\[r=\frac{1}{a^{4} b^{4}}\left(a^{4} b^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{a^{2}}{b}\]
\[\begin{align} & x_{1}=0-0=0 \\ & y_{1}=b-\frac{b}{a^{2} b^{4}}\left(a^{4} b^{2}\right)=b-\frac{a^{2}}{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{b} \end{align}\]
Quand \(x=0\) et \(y=-b\)
\[\begin{align} & y=-b \\ & r=\frac{a^{2}}{b}, \quad x_{1}=0 \quad y_{1}=-b+\frac{a^{2}}{b}=\frac{a^{2}-b^{2}}{b} \end{align}\]
Quand \(y=0\), alors \(x=a\) ou \(x=-a\)
Quand \(x=a\) et \(y=0\)
\[\begin{align} & r=\frac{1}{a^{4} b^{4}}\left(b^{4} a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{b^{6} a^{3}}{a^{4} b^{4}}=\frac{b^{2}}{a} \\ & x_{1}=a-\frac{a}{a^{4} b^{2}}\left(0+b^{4} a^{2}\right)=a-\frac{b^{2}}{a}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a} \\ & y_{1}=0-0=0 \end{align}\]
Quand \(x=-a\) et \(y=0\)
\[r=\frac{b^{2}}{a}, \quad x_{1}=\frac{b^{2}-a^{2}}{a}, \quad y_{1}=0\]
Selon \(\theta\), cela peut être \(+\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}\) ou \(-\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}\).↩︎
Alternativement, on peut écrire \[r= \frac{\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\left|\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}\right|},\] où \(\left|\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}\right|\) désigne la valeur absolue de \(\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}\). Pour la définition de la valeur absolue, voir page .↩︎
Soit \(C\) de coordonnées \((a,b)\) le centre de ce cercle dont le rayon est \(r\). Alors l'équation de ce cercle est
\[(a-x)^2+(b-y)^2=r^2\]
Puisque le point \((0,-1)\) se trouve sur ce cercle, ses coordonnées doivent satisfaire l'équation de ce cercle. Ainsi,
\[a^2+(b+1)^2=r^2 \tag{1}\]
De même, puisque \((-0.1,-1.121)\) et \((0.1,-0.919)\) satisfont aussi cette équation, nous avons
\[(a+0.1)^2+(b+1.121)^2=r^2 \tag{2}\]
\[(a-0.1)^2+(b+0.919)^2=r^2 \tag{3}\]
Si nous soustrayons l'éq. (1) de (2) et (1) de (3) et utilisons \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\), nous obtenons \[\left\{ \begin{align} &0.1(2a+0.1)+0.121 (2b+2.121)=0\\ &-0.1(2a-0.1)-0.081(2b+1.919)=0 \end{align} \right.\] ou \[\left\{ \begin{align} &0.2a+0.241b=-0.266641\\ &-0.2a-0.162 b=0.145439 \end{align} \right.\] En résolvant ces deux équations pour les deux inconnues \(a\) et \(b\), nous pouvons trouver les coordonnées du centre : \[a=0.499974, \quad b=-1.51502\] À partir de l'éq. (1), le rayon de ce cercle est \[r=\sqrt{(0.499974-0)^2+(-1.51502+1)^2}= 0.717788\]↩︎
Notez que \(y=\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)=a\cosh \frac{x}{a}\). Pour les définitions des fonctions hyperboliques voir ici.↩︎
![Logo](data:image/svg+xml,<?xml version="1.0" encoding="utf-8" standalone="no"?>%0A<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN"%0A "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">%0A<svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="907.2pt" height="386.374843pt" viewBox="0 0 907.2 386.374843" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1">%0A <g id="figure_1">%0A <g id="patch_1">%0A <path d="M 0 386.374843 %0AL 907.2 386.374843 %0AL 907.2 -0 %0AL 0 -0 %0AL 0 386.374843 %0Az%0A" style="fill: none"/>%0A </g>%0A <g id="axes_1">%0A <g id="patch_2">%0A <path d="M 367.323255 30.020542 %0AL 391.543219 30.020542 %0AL 505.645931 212.584882 %0AL 481.425967 212.584882 %0Az%0A" clip-path="url(%23p7d9eacca36)" style="fill: %2300a1ff"/>%0A </g>%0A <g id="patch_3">%0A <path d="M 367.323255 30.020542 %0AL 391.543219 30.020542 %0AL 277.440506 212.584882 %0AL 253.220542 212.584882 %0Az%0A" clip-path="url(%23p7d9eacca36)" style="fill: %2300a1ff"/>%0A </g>%0A <g id="patch_4">%0A <path d="M 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