曲线曲率再谈

在名为《曲线的曲率》的一章中，我们学习了如何判断曲线的弯曲方向，即它是向右上方还是向右下方弯曲。但这完全没有告诉我们曲线弯曲的程度，换句话说，也就是它的曲率是多少。

所谓直线的曲率，我们指的是沿线段的一定长度（比如长度为一个长度单位的部分，即与测量半径相同的单位，无论是英寸、英尺还是其他单位）发生的弯曲或偏转量。例如，考虑中心为 $O$ 和 且长度相等的两条圆形路径 （见下图）。当沿着第一条路径的圆弧 $AB$ 从 $A$ 走到 $B$ 时，方向从 $AP$ 变到了 $BQ$，因为在 $A$ 点面朝 $AP$ 方向，而在 $B$ 点面朝 $BQ$ 方向。换句话说，从 $A$ 走到 $B$ 时，人们不知不觉地转过了角度 $\mathrm{\angle }PCQ$，它等于角度 $\mathrm{\angle }AOB$。类似地，沿着第二条路径上长度与 $AB$ 相等的弧 从 走到 时，人们转过了角度 ，它等于角度 ，显然大于相应的角度 $\mathrm{\angle }AOB$。因此，对于相同的长度，第二条路径比第一条路径弯曲得更厉害。

这一事实可以表述为第二条路径的曲率大于第一条路径的曲率。圆越大，弯曲越小，即曲率越小。如果第一个圆的半径比第二个圆的半径大 2, 3, 4, ... 倍，那么沿着单位长度的圆弧的弯曲或偏转角度在第一个圆上将比第二个圆上小 2, 3, 4, ... 倍，即它是第二个圆上相同长度圆弧的弯曲或偏转量的 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ 等。换句话说，第一个圆的曲率将是第二个圆曲率的 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ 等。我们看到，当半径变大 2, 3, 4, .. 倍时，曲率变小 2, 3, 4, ... 倍，这可以用圆的曲率与圆的半径成反比来表示，或者

$$\text{ 曲率 }=k\times \frac{1}{\text{ 半径 }},$$

其中 $k$ 为常数。通常约定取 $k=1$，因此对于圆总是：$$\text{ 曲率 }=\frac{1}{\text{ 半径 }},$$

如果半径变得无限大，曲率就变成 $\frac{1}{\text{ 无穷大 }}=$ 零，因为当分数的分母无限大时，分数的值无限小。因此，数学家有时将直线视为半径无限大或曲率为零的圆弧。

对于一个完美对称和均匀的圆，其圆周上每个点的曲率都是相同的，上述表达曲率的方法是非常明确的。然而，对于任何其他曲线，不同点处的曲率是不同的，即使是相距很近的两个点，其曲率也可能有很大差异。因此，将两点之间的弯曲或偏转量作为衡量这两点之间圆弧曲率的标准是不准确的，除非这段圆弧非常小，事实上，除非它无限小。

如果我们考虑一个极小的弧 $AB$（见下图），并且如果我们可以画出一个圆，使得该圆的一段弧 $AB$ 与曲线的弧 $AB$ 的重合度比任何其他圆都要高，那么该圆的曲率就可以作为曲线弧 $AB$ 的曲率。弧 $AB$ 越小，就越容易找到一个圆弧最接近曲线弧 $AB$ 的圆。当 $A$ 和 $B$ 非常接近，使得 $AB$ 小到可以忽略其弧长 $ds$ 时，这两个弧（圆弧和曲线弧）的重合度可以认为几乎是完美的，并且此时在点 $A$（或 $B$ ）处曲线的曲率与该圆的曲率相同，由该圆的半径的倒数来表示，即 $\frac{1}{OA}$，这是根据我们上面解释的曲率测量方法得出的。

起初你可能会认为，如果 $AB$ 非常小，那么圆也必须非常小。然而，稍加思考你会发现事实并非必然如此，圆可以有任何大小，这取决于曲线沿着这段极小弧 $AB$ 的弯曲程度。事实上，如果曲线在那个点几乎是平直的，这个圆将非常大。这个圆被称为在该点处的**曲率圆**，或**密切圆**。它的半径就是曲线在该特定点处的**曲率半径**。

如果弧 $AB$ 用 $ds$ 表示，角度 $\mathrm{\angle }AOB$ 用 $d\theta$ 表示，那么，如果 $r$ 是曲率半径，

$$ds=rd\theta \text{ 或 }\frac{d\theta }{ds}=\frac{1}{r}。$$

割线 $AB$ 与 $x$ 轴成 $\theta$ 角，从小三角形 $\mathrm{△}ABC$ 中可以看出 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=\tan \theta$。当 $AB$ 无限小时，即 $B$ 实际上与 $A$ 重合，直线 $AB$ 成为曲线在点 $A$（或 $B$ ）处的切线。

现在，$\tan \theta$ 取决于点 $A$（或几乎与其重合的 $B$）的位置，也就是说，它取决于 $x$，或者换句话说，$\tan \theta$ 是 $x$ 的“函数”。

对 $x$ 求导以求斜率（见此处），我们得到

$$\frac{d\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}{dx}=\frac{d(\tan \theta )}{dx}$$

或

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}={\sec }^2\theta \frac{d\theta }{dx}=\frac{1}{{\cos }^2\theta }\frac{d\theta }{dx}$$

（见此处）；

因此

$$\frac{d\theta }{dx}={\cos }^2\theta \frac{d^{2}y}{d{x}^2}。$$

但是 ${\displaystyle \frac{dx}{ds}}=\cos \theta$，对于 ${\displaystyle \frac{d\theta }{ds}}$ 我们可以写成 ${\displaystyle \frac{d\theta }{dx}}\times {\displaystyle \frac{dx}{ds}}$ 因此

$$\text{曲率}=\frac{1}{r}=\frac{d\theta }{ds}=\frac{d\theta }{dx}\times \frac{dx}{ds}={\cos }^3\theta \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}}{{\sec }^3\theta }；$$

但是 $\sec \theta =\pm \sqrt{1+{\tan }^2\theta }$；¹ 因此

$$\frac{1}{r}=\pm \frac{{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}}{{\left(\sqrt{1+{\tan }^2\theta }\right)}^3}=\pm \frac{{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}}{{\{1+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}$$

最后，

值得注意的是，半径 $r$ 必须始终为正，因为负的半径没有物理意义。因此，在使用上述公式时，如果分母 ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ 为正，则必须选择 $+$ 号，如果分母为负，则必须选择 $-$ 号，因为作为平方根的分子始终为正。²

在曲线的曲率一章中已经证明，如果 ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ 为正，则曲线是向上凹的（也称为凸），而如果 ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ 为负，则曲线向下凹（也简称为凹）。如果 ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}=0$，则曲率半径无限大，即对应部分的曲线是一段直线。每当曲线从向上凹逐渐变为向下凹或反之亦然时，必然发生这种情况。像下图中 $P$ 这样发生这种现象的点被称为**拐点**。

曲率圆的中心被称为曲率中心。如果它的坐标是 $(x_1,y_1)$，那么圆的方程是（见此处）

$${(x-x_1)}^2+{(y-y_1)}^2=r^2$$

因此

$$2(x-x_1)dx+2(y-y_1)dy=0$$

并且

我们为什么要对其求导？为了消除常数 $r$。这样只剩下两个未知的常数 $x_1$ 和 $y_1$；再次求导；你就能消除其中一个。这最后一次求导并不像看起来那么容易；让我们一起来做；我们有：

$$\frac{d(x)}{dx}+\frac{d\left[(y-y_1){\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right]}{dx}=0$$

第二项的分子是一个乘积；因此对其求导得到

$$(y-y_1)\frac{d\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}{dx}+\frac{dy}{dx}\frac{d(y-y_1)}{dx}=(y-y_1)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\text{ ， }$$

所以对方程 (1) 求导的结果是

$$1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2+(y-y_1)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0；$$

由此我们立刻得到

代入方程 (1) 中，我们得到

$$(x-x_1)+\{y-y-\frac{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}\}\frac{dy}{dx}=0$$

$x_1$ 和 $y_1$ 给出了曲率中心的位置。通过仔细阅读几个例题，将能最好地理解这些公式的使用。

Example 1.

例 21.1。求曲线 $y=2x^2-x+3$ 在 $x=0$ 点处的曲率半径和曲率中心坐标。

解。

我们有

$$$$

当 $x=0$ 时；这变成

$$$$

$$\frac{{\{1+(-1{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}{4}=\frac{\sqrt{8}}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707。$$

如果 $(x_1,y_1)$ 是曲率中心的坐标，那么

$$$$

当 $x=0,y=3$ 时，所以

$$$$

$$y_1=y+\frac{1+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}^2}{{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}}=y+\frac{1+(4x-1{)}^2}{4}=3+\frac{1+(-1{)}^2}{4}=3\frac{1}{2}。$$

曲线和圆如下图所示。可以很容易验证这些值，因为当 $x=0,y=3$ 时，这里

$$$$

$$x_1^2+{(y_1-3)}^2=r^2\text{ 或 }{0.5}^2+{0.5}^2=0.5={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2。$$

Example 2.

例 21.2。求曲线 $y^2=mx$ () 在 $y=0$ 点处的曲率半径和曲率中心的位置。

解。

这里 $y=m^{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}$

$$$$

因此

$$$$

分子取 $-$ 号，以便使 $r$ 为正。

因为，当 $y=0$ 时， $x=0$，我们得到

$$$$

此外，如果 $(x_1,y_1)$ 是中心的坐标，

$$$$

当 $x=0$ 时，那么 $x_1=\frac{m}{2}$。并且

$$$$

当 $x=0$ 时， $y_1=0$。因此，曲率中心为 $(m/2,0)$。

下图展示了当 $m=1$ 时的曲线 $y^2=mx$ 及其在 $(0,0)$ 处的曲率圆。

Example 4.

例 21.4。求曲线 $y=x^3-2x^2+x-1$ 在 $x=0,x=0.5$ 和 $x=1.0$ 点处的曲率半径和曲率中心。并求出曲线拐点的位置。

解。

这里

$$$$

当 $x=0,y=-1$ 时，

$$$$

让我们在点 $(0,-1)$ 两侧的曲线上选择两个点，比如横坐标分别为 $-0.1$ 和 $0.1$ 的点。当 $x=-0.1$ 时，$y=-1.121$。当 $x=0.1$ 时，$y=-0.919$。如果我们考虑穿过这三个点：$(0,-1)$、$(-0.1,-1.121)$ 和 $(0.1,-0.919)$ 的圆，我们可以算出其中心坐标为 $(0.5,-1.515)$，半径为 $0.718$， ³ 这与曲率圆非常吻合。为了提高近似度，我们可以选择横坐标比 $0.1$ 更接近 $x=0$ 的另外两点——例如 $x=0.01$ 和 $x=-0.01$——然后重复计算。

曲线 $y=x^3-2x^2+x-1$、其在 $x=0$ 处的曲率圆以及穿过 $(0,-1)$、$(-0.1,-1.121)$ 和 $(0.1,-0.919)$ 的圆如下所示。

当 $x=0.5,y=-0.875$ 时， 考虑曲线上的三个点 $(0.4,-0.856)$、$(0.5,-0.875)$ 和 $(0.6,-0.904)$，穿过它们的圆其中心为 $(0.2468,-1.935)$，半径为 $1.09$。

当 $x=1,y=-1$ 时， 考虑曲线上的三个点 $(0.9,-0.919)$、$(1,-1)$ 和 $(1.1,-0.989)$，穿过它们的圆其中心为 $(0.995,-0.495)$，半径为 $0.5051$。

在拐点处 ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}=0,6x-4=0$，且 $x=\frac{2}{3};$ 因此 $y=0.925$（见图 21.4）。

练习题

Exercise 1.

练习 21.1。求曲线 $y=e^x$ 在 $x=0$ 点处的曲率半径及曲率中心的位置。

 

答案

$r=2\sqrt{2}$，$x_1=-2$，$y_1=3$。

 

 

解析

$$y=e^x\Rightarrow \frac{dy}{dx}=e^x\Rightarrow \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=e^x$$

 

当 $x=0$ 时， $$y=\frac{dy}{dx}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=1$$

我们将这些数字代入 $r,x_1$ 和 $y_1$ 的公式中

 

 

Exercise 3.

练习 21.3。求曲线 $y=x^2$ 中曲率为 1 的点。

 

答案

$x\approx \pm 0.383$，$y=0.147$

 

 

解析

$$y=x^2\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x\Rightarrow \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2$$ 因为 曲率$={\displaystyle \frac{1}{\text{半径}}}={\displaystyle \frac{1}{r}}$，如果 曲率$=1$，则 $r=1$ 或 $$r=\frac{{(1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}=\frac{{(1+4x^2)}^{\frac{3}{2}}}{2}=1$$

 

解上述关于 $x$ 的方程： $${(1+4x^2)}^{\frac{3}{2}}=2$$ $$1+4x^2=2^{\frac{2}{3}}$$ $$4x^2=2^{\frac{2}{3}}-1$$

$$x=\pm \frac{1}{2}\sqrt{2^{\frac{2}{3}}-1}\approx \pm 0.383$$

当 $x\approx \pm 0.383$ 时，$y\approx 0.147$。

问题已经解出，但如果我们想画出曲率圆（即密切圆），我们需要确定当 $x\approx \pm 0.383$ 和 $y\approx 0.147$ 时的 $x_1$ 和 $y_1$：

$$x_1=x-\frac{2x{[1+(2x{)}^2]}^2}{2}$$ $$y_1=x^2+\frac{1+(2x{)}^2}{2}$$

当 $x\approx 0.383$ 且 $y\approx 0.147$ 时： $$x_1\approx 0.225,y_1\approx 0.941$$

当 $x\approx -0.383$ 且 $y\approx 0.147$ 时： $$x_1\approx -0.225,y_1\approx 0.941$$

曲线 $y=x^2$ 以及两个半径为 1 的密切圆的图像如下所示：