Máximos e Mínimos

Um dos principais usos do processo de diferenciação é descobrir sob quais condições o valor da coisa diferenciada torna-se um máximo ou um mínimo. Isso é frequentemente extremamente importante em questões de engenharia, onde é muito desejável saber quais condições farão com que o custo de operação seja um mínimo, ou farão com que a eficiência seja um máximo.

Agora, para começar com um caso concreto, tomemos a equação $y = x^{2} - 4 x + 7.$

Ao atribuir uma série de valores sucessivos a $x$ , e encontrar os valores correspondentes de $y$ , podemos ver prontamente que a equação representa uma curva com um mínimo.

$x$	0	1	2	3	4	5
$y$	7	4	3	4	7	12

Estes valores estão plotados na figura seguinte, que mostra que $y$ tem aparentemente um valor mínimo de $3$ , quando $x$ é igualado a $2$ . Mas você tem certeza de que o mínimo ocorre em $2$ , e não em $2 \frac{1}{4}$ ou em $1 \frac{3}{4}$ ?

É claro que seria possível, com qualquer expressão algébrica, calcular uma série de valores e, desta forma, chegar gradualmente ao valor particular que pode ser um máximo ou um mínimo.

Aqui está outro exemplo:

Seja $y = 3 x - x^{2}$ .

Calcule alguns valores assim:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	5
$y$	$- 4$	$0$	$2$	$2$	0	$- 4$	$- 10$

Plote estes valores como na figura seguinte.

Será evidente que haverá um máximo em algum lugar entre $x = 1$ e $x = 2$ ; e a coisa parece como se o valor máximo de $y$ devesse ser cerca de $2 \frac{1}{4}$ . Tente alguns valores intermediários. Se $x = 1 \frac{1}{4}$ , $y = 2.187$ ; se $x = 1 \frac{1}{2}$ , $y = 2.25$ ; se $x = 1.6$ , $y = 2.24$ . Como podemos ter certeza de que $2.25$ é o máximo real, ou que ele ocorre exatamente quando $x = 1 \frac{1}{2}$ ?

Agora, pode parecer um malabarismo ter a garantia de que existe uma maneira pela qual se pode chegar diretamente a um valor máximo (ou mínimo) sem fazer uma série de tentativas preliminares ou suposições. E essa maneira depende da diferenciação. Volte ao capítulo anterior para as observações sobre a Fig. 10.8 e a Fig. 10.9, e você verá que sempre que uma curva atinge sua altura máxima ou mínima, nesse ponto seu $\frac{d y}{d x} = 0$ . Agora, isso nos dá a pista para o truque desejado. Quando lhe for apresentada uma equação, e você quiser encontrar aquele valor de $x$ que tornará seu $y$ um mínimo (ou um máximo), primeiro diferencie-a e, tendo feito isso, escreva seu $\frac{d y}{d x}$ como igual a zero e, em seguida, resolva para $x$ . Coloque este valor particular de $x$ na equação original e você obterá o valor de $y$ procurado. Este processo é comumente chamado de “igualar a zero”.

Processo para encontrar os máximos ou mínimos de uma função

Diferencie $y$ em relação a $x$ (encontre $\frac{d y}{d x}$ ).

Iguale $\frac{d y}{d x}$ a zero e, em seguida, resolva para $x$ .

Colocar o valor particular de $x$ encontrado no Passo 2 na equação original fornece o valor de $y$ que você está procurando.

Para ver como funciona de forma simples, tome o exemplo com o qual este capítulo se inicia.

Exemplo 11.1. Encontre o valor mínimo de $y$ se $y = x^{2} - 4 x + 7.$

Solução. Diferenciando, obtemos: $\frac{d y}{d x} = 2 x - 4.$ Agora iguale isso a zero, assim: $2 x - 4 = 0.$ Resolvendo esta equação para $x$ , obtemos: \begin{align} 2x &= 4, \\ x &= 2. \end{align}

Agora, sabemos que o máximo (ou mínimo) ocorrerá exatamente quando $x = 2$ .

Colocando o valor $x = 2$ na equação original, obtemos \begin{align} y &= 2^2 - (4\times2) + 7 \\ &= 4 - 8 + 7 \\ &= 3. \end{align}

Agora olhe novamente para a Fig. 11.1, e você verá que o mínimo ocorre quando $x = 2$ , e que este mínimo de $y = 3$ .

Tente o segundo exemplo (Fig. 11.2).

Exemplo 11.2. Encontre o valor máximo de $y$ se $y = 3 x - x^{2} .$

Solução. Diferenciando, $\frac{d y}{d x} = 3 - 2 x .$ Igualando a zero, $3 - 2 x = 0,$ de onde $x = 1 \frac{1}{2};$ e colocando este valor de $x$ na equação original, encontramos: \begin{align} y &= 4 \frac{1}{2} - \left(1 \frac{1}{2} \times 1 \frac{1}{2}\right), \\ y &= 2 \frac{1}{4}. \end{align} Isso nos dá exatamente a informação sobre a qual o método de tentar uma série de valores nos deixou incertos.

Agora, antes de prosseguirmos para outros casos, temos duas observações a fazer. Quando lhe dizem para igualar $\frac{d y}{d x}$ a zero, você sente a princípio (isto é, se tiver algum juízo próprio) uma espécie de ressentimento, porque você sabe que $\frac{d y}{d x}$ tem todos os tipos de valores diferentes em diferentes partes da curva, dependendo se ela está inclinada para cima ou para baixo. Então, quando de repente lhe dizem para escrever $\frac{d y}{d x} = 0,$ você se ressente e sente-se inclinado a dizer que isso não pode ser verdade. Agora você terá que entender a diferença essencial entre “uma equação” e “uma equação de condição”. Normalmente você está lidando com equações que são verdadeiras em si mesmas, mas, em ocasiões, das quais as presentes são exemplos, você tem que escrever equações que não são necessariamente verdadeiras, mas são verdadeiras apenas se certas condições forem cumpridas; e você as escreve para, ao resolvê-las, encontrar as condições que as tornam verdadeiras. Agora queremos encontrar o valor particular que $x$ tem quando a curva não está inclinada nem para cima nem para baixo, isto é, no lugar particular onde $\frac{d y}{d x} = 0$ . Portanto, escrever $\frac{d y}{d x} = 0$ não significa que seja sempre $= 0$ ; mas você o escreve como uma condição para ver quanto $x$ resultará se $\frac{d y}{d x}$ for zero.

A segunda observação é uma que (se você tiver algum juízo próprio) provavelmente já terá feito: a saber, que este tão elogiado processo de igualar a zero falha inteiramente em dizer se o $x$ que você encontra por meio dele lhe dará um valor máximo de $y$ ou um valor mínimo de $y$ . Exatamente. Ele não discrimina por si só; ele encontra para você o valor correto de $x$ , mas deixa para você descobrir por si mesmo se o $y$ correspondente é um máximo ou um mínimo. É claro que, se você plotou a curva, já sabe qual será.

Por exemplo, tome a equação: $y = 4 x + \frac{1}{x} .$

Sem parar para pensar a qual curva ela corresponde, diferencie-a e iguale a zero: $\frac{d y}{d x} = 4 - x^{- 2} = 4 - \frac{1}{x^{2}} = 0;$ de onde $x = \frac{1}{2};$ e, inserindo este valor, $y = 4$

será um máximo ou então um mínimo. Mas qual? Mais adiante lhe será ensinado um caminho, dependendo de uma segunda diferenciação (veja o Capítulo [Ch:Curvature]). No final deste capítulo, será apresentado um método alternativo, que explica como distinguir entre um máximo e um mínimo com base no sinal da derivada. Mas, no momento, basta que você simplesmente tente qualquer outro valor de $x$ que difira um pouco do encontrado e veja se, com esse valor alterado, o valor correspondente de $y$ é menor ou maior do que o já encontrado.

Tente outro problema simples de máximos e mínimos. Suponha que lhe pedissem para dividir qualquer número em duas partes, de modo que o produto fosse um máximo? Como você faria isso se não conhecesse o truque de igualar a zero? Suponho que você poderia resolver pela regra de tentar, tentar e tentar novamente. Seja $60$ o número. Você pode tentar dividi-lo em duas partes e multiplicá-las. Assim, $50$ vezes $10$ é $500$ ; $52$ vezes $8$ é $416$ ; $40$ vezes $20$ é $800$ ; $45$ vezes $15$ é $675$ ; $30$ vezes $30$ é $900$ . Isso parece um máximo: tente variar. $31$ vezes $29$ é $899$ , o que não é tão bom; e $32$ vezes $28$ é $896$ , o que é pior. Portanto, parece que o maior produto será obtido dividindo em duas metades iguais.

Agora veja o que o cálculo lhe diz. Seja o número a ser dividido em duas partes chamado de $n$ . Então, se $x$ é uma parte, a outra será $n - x$ , e o produto será $x (n - x)$ ou $n x - x^{2}$ . Então escrevemos $y = n x - x^{2}$ . Agora diferencie e iguale a zero; \begin{align} \dfrac{dy}{dx} = n - 2x = 0 \end{align} Resolvendo para $x$ , obtemos \begin{align} \dfrac{n}{2} = x. \end{align} Então agora sabemos que qualquer que seja o número $n$ , devemos dividi-lo em duas partes iguais se o produto das partes deve ser um máximo; e o valor desse produto máximo será sempre $= \frac{1}{4} n^{2}$ .

Esta é uma regra muito útil e se aplica a qualquer número de fatores, de modo que se $𝒎 + 𝒏 + 𝒑 =$ um número constante, $𝒎 \times 𝒏 \times 𝒑$ é um máximo quando $𝒎 = 𝒏 = 𝒑$ .

Caso de Teste

Vamos aplicar imediatamente nosso conhecimento a um caso que possamos testar.

Exemplo 11.3. Seja \begin{align} y &= x^2 - x; \end{align} e vamos descobrir se esta função tem um máximo ou um mínimo; e, se tiver, testar se é um máximo ou um mínimo.

Solução. Diferenciando, obtemos $\frac{d y}{d x} = 2 x - 1.$ Igualando a zero, obtemos $2 x - 1 = 0,$ de onde $2 x = 1,$ ou $x = \frac{1}{2} .$

Isto quer dizer que, quando $x$ é igualado a $= \frac{1}{2}$ , o valor correspondente de $y$ será um máximo ou um mínimo. Consequentemente, colocando $x = \frac{1}{2}$ na equação original, obtemos \begin{align} y &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}, \\ \end{align} ou \begin{align} y &= -\frac{1}{4}. \end{align}

Isso é um máximo ou um mínimo? Para testar, tente colocar $x$ um pouco maior que $\frac{1}{2}$ ,—digamos, faça $x = 0.6$ . Então $y = (0.6)^{2} - 0.6 = 0.36 - 0.6 = - 0.24,$ que está mais acima do que $- 0.25$ ; mostrando que $y = - 0.25$ é um mínimo.

A curva está plotada abaixo. Como podemos ver, o mínimo de $y$ é $- \frac{1}{4}$ , que ocorre quando $x = \frac{1}{2}$ .

Outros Exemplos

Um exemplo muito interessante é proporcionado por uma curva que tem tanto um máximo quanto um mínimo.

Exemplo 11.4. Considere uma curva cuja equação é: $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1.$ Agora $\frac{d y}{d x} = x^{2} - 4 x + 3.$

Igualando a zero, obtemos a quadrática, $x^{2} - 4 x + 3 = 0;$ e resolver a quadrática nos dá duas raízes, a saber: \left\{\begin{align} x &= 3 \\ x &= 1. \end{align}\right.

Agora, quando $x = 3$ , $y = 1$ ; e quando $x = 1$ , $y = 2 \frac{1}{3}$ . O primeiro destes é um mínimo, o segundo um máximo.

A própria curva pode ser plotada (como na figura seguinte) a partir dos valores calculados, como abaixo, da equação original.

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$- 4 \frac{1}{3}$	$1$	$2 \frac{1}{3}$	$1 \frac{2}{3}$	1	$2 \frac{1}{3}$	$7 \frac{2}{3}$	$19$

Um exercício adicional em máximos e mínimos é proporcionado pelo seguinte exemplo:

Exemplo 11.5. A equação de um círculo de raio $r$ ( $r \geq 0$ ), tendo seu centro $C$ no ponto cujas coordenadas são $x = a$ , $y = b$ , como ilustrado abaixo, é: $(y - b)^{2} + (x - a)^{2} = r^{2} .$

Isto pode ser transformado em $y = \pm \sqrt{r^{2} - (x - a)^{2}} + b .$

Agora sabemos de antemão, por mera inspeção da figura, que quando $x = a$ , $y$ estará em seu valor máximo, $b + r$ , ou então em seu valor mínimo, $b - r$ . Mas não tiremos vantagem deste conhecimento; vamos tratar de encontrar qual valor de $x$ tornará $y$ um máximo ou um mínimo, pelo processo de diferenciação e igualando a zero. \begin{align} \frac{dy}{dx} &=\pm \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{r^2-(x-a)^2}} \times (2a-2x), \end{align} que se reduz a \begin{align} \frac{dy}{dx} &=\pm \frac{a-x}{\sqrt{r^2-(x-a)^2}}. \end{align}

Então a condição para $y$ ser máximo ou mínimo é: $\frac{a - x}{\sqrt{r^{2} - (x - a)^{2}}} = 0.$

Como nenhum valor de $x$ tornará o denominador infinito, a única condição para resultar em zero é $x = a .$ Inserindo este valor na equação original do círculo, encontramos $y = \pm \sqrt{r^{2}} + b;$ e como $\sqrt{r^{2}} = | r | = r$ , temos dois valores resultantes de $y$ , \begin{cases} y=b+r \\ y=b-r. \end{cases}

O primeiro destes é o máximo, no topo; o segundo o mínimo, na base.

Se a curva for tal que não haja lugar que seja um máximo ou mínimo, o processo de igualar a zero produzirá um resultado impossível. Por exemplo:

Exemplo 11.6. Seja $y = a x^{3} + b x + c . (a, b > 0)$

Então $\frac{d y}{d x} = 3 a x^{2} + b .$

Igualando isto a zero, obtemos $3 a x^{2} + b = 0$ , $x^{2} = \frac{- b}{3 a},$ e $x = \sqrt{\frac{- b}{3 a}} ou x = - \sqrt{\frac{- b}{3 a}}$

o que é impossível.¹ Portanto $y$ não possui máximo nem mínimo.

A figura seguinte ilustra o gráfico de $y = a x^{3} + b x + c$ com valores específicos para $a = \frac{1}{5}$ , $b = \frac{1}{7}$ , e $c = - 1$ . É evidente pela figura que a função $y$ não possui quaisquer pontos de máximo ou mínimo.

Mais alguns exemplos resolvidos permitirão que você domine completamente esta aplicação muito interessante e útil do cálculo.

Exemplo 11.7. Quais são os lados do retângulo de área máxima inscrito em um círculo de raio $R$ ?

Solução. Se um lado for chamado de $x$ , $o outro lado = \sqrt{(diagonal)^{2} - x^{2}};$ e como a diagonal do retângulo é necessariamente um diâmetro, o outro lado $= \sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ (veja a figura seguinte).

Então, a área do retângulo $S = x \sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ , \frac{dS}{dx} = x \times \dfrac{d\left(\sqrt{4R^2 - x^2}\,\right)}{dx} + \sqrt{4R^2 - x^2} \times \dfrac{d(x)}{dx}.\tag{Use a Regra do Produto}

Se você esqueceu como diferenciar $\sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ , aqui está uma dica: escreva $4 R^{2} - x^{2} = w$ e $y = \sqrt{w}$ , e procure $\frac{d y}{d w}$ e $\frac{d w}{d x}$ ; lute com isso, e somente se não conseguir avançar, consulte a Regra da Cadeia na página .

Você obterá \begin{align} \dfrac{dS}{dx} &= x \times \left( -\dfrac{x}{\sqrt{4R^2 - x^2}} \right)+ \sqrt{4R^2 - x^2}\\ &= \dfrac{4R^2 - 2x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}}. \end{align}

Para máximo ou mínimo devemos ter $\frac{4 R^{2} - 2 x^{2}}{\sqrt{4 R^{2} - x^{2}}} = 0;$ isto é, $4 R^{2} - 2 x^{2} = 0$ e $x = R \sqrt{2}$ .

O outro lado $= \sqrt{4 R^{2} - 2 R^{2}} = R \sqrt{2}$ ; os dois lados são iguais; a figura é um quadrado cujo lado é igual à diagonal do quadrado construído sobre o raio. Neste caso trata-se, obviamente, de um máximo.

Exemplo 11.8. Qual é o raio da abertura de um vaso cônico

Da mesma forma, se $x > - a$ , então $a^{2} - x^{2} > 0$ e, portanto, $\frac{d y}{d x} > 0$ Se $x < - a$ , então $a^{2} - x^{2} < 0$ e, portanto, $\frac{d y}{d x} < 0$ . Portanto, $x = - a$ faz de $y$ um mínimo de $- a / 2$ .

Podemos reescrever a equação dada como $y = \frac{x}{a^{2} (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})}$ ou $\frac{y}{a} = \frac{\frac{x}{a}}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}}$

Agora podemos facilmente traçar $\frac{y}{a}$ versus $\frac{x}{a}$ (veja a figura a seguir). Como podemos ver, o gráfico atinge um máximo em $\frac{x}{a} = 1$ e um mínimo em $\frac{x}{a} = - 1$ . O valor máximo de $\frac{y}{a}$ é $0.5$ e o valor mínimo de $\frac{y}{a}$ é $- 0.5$ .

Exercício 11.3. Uma linha de comprimento $p$ deve ser cortada em $4$ partes e montada como um retângulo. Mostre que a área do retângulo será máxima se cada um de seus lados for igual a $\frac{1}{4} p$ .

Solução

Seja:
$y =$ comprimento do retângulo
$x =$ largura do retângulo

Queremos maximizar a área $A = x y$ enquanto

$2 x + 2 y = p$

Podemos expressar $A$ apenas em termos de $x$

\begin{align} & 2 x+2 y=p \Rightarrow y=\frac{p}{2}-x \\ & A=x y=x\left(\frac{p}{2}-x\right)=\frac{p}{2} x-x^{2} \end{align}

Para encontrar o máximo de $A$

$\frac{d A}{d x} = \frac{p}{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{p}{4}$

quando $x = \frac{p}{4}, y = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{p}{4}$ .

Portanto, a área do retângulo $A$ será máxima se o comprimento de cada lado for $\frac{P}{4}$ .

Exercício 11.4. Um pedaço de corda de $30$ polegadas de comprimento tem suas duas extremidades unidas e é esticado por $3$ estacas para formar um triângulo. Qual é a maior área triangular que pode ser cercada pela corda?

[Dica: Aplique a regra que você aprendeu aqui para dividir um número em três partes de modo que o produto seja máximo]

Resposta

$25 \sqrt{3}$ polegadas quadradas.

Solução

Sejam $a, b, c$ os comprimentos dos lados de um triângulo. A área é dada por

$Area = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$

Onde $s$ é a metade do perímetro ou $s = \frac{a + b + c}{3}$ . Neste problema

$A = \sqrt{15 (15 - a) (15 - b) (15 - c)}$

$A$ é máximo se $15 - a = 15 - b = 15 - c$ ou $a = b = c$

\begin{align} & a+b+c=3 a=30 \\ \Rightarrow & a=b=c=10 . \end{align}

A área máxima é, portanto, $A = \sqrt{15 (15 - 10) (15 - 10) (15 - 10)} = \sqrt{15 \times 5^{3}} = 25 \sqrt{3} .$

Exercício 11.5. Trace a curva correspondente à equação $y = \frac{10}{x} + \frac{10}{8 - x};$ encontre também $\frac{d y}{d x}$ , e deduza o valor de $x$ que tornará $y$ um mínimo; e encontre esse valor mínimo de $y$ .

Resposta

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{(8 - x)^{2}}$ ; $x = 4$ ; $y = 5$ .

Solução

$y = \frac{10}{x} + \frac{10}{8 - x} = 10 x^{- 1} + 10 (8 - x)^{- 1}$

\begin{align} \frac{d y}{d x} & =-10 x^{-2}+10(8-x)^{-2}=\frac{10}{(8-x)^{2}}-\frac{10}{x^{2}} \\ & =\frac{10 x^{2}-10(8-x)^{2}}{x^{2}(8-x)^{2}} \\ & =\frac{10 x^{2}-10\left(64-16 x+x^{2}\right)}{x^{2}(8-x)^{2}} \\ & =\frac{160 x-640}{x^{2}(8-x)^{2}}=\frac{160(x-4)}{x^{2}\left(8-x^{2}\right)} \\ \frac{d y}{dx} & =0 \Leftrightarrow x=4 \end{align}

Pelo gráfico, fica claro que $x = 4$ torna $y$ um mínimo

Quando $x = 4, y = \frac{10}{4} + \frac{10}{4} = 5$ .

Exercício 11.6. Se $y = x^{5} - 5 x$ , encontre quais valores de $x$ tornarão $y$ um máximo ou um mínimo.

Resposta

Máx. para $x = - 1$ ; mín. para $x = 1$ .

Solução

$y = x^{5} - 5 x$

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 5 = 5 (x^{4} - 1) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

quando $x = 2, y = 22$

quando $x = 1, y = - 4$

quando $x = 0, y = 0$

quando $x = - 1, y = 4$

quando $x = - 2, y = - 22$

Portanto, <

Vimos que onde quer que uma curva “suave” atinja sua altura máxima ou mínima, $\frac{d y}{d x}$ é zero. No entanto, o inverso não é verdadeiro. Ou seja, se a derivada em um ponto é zero, a curva não atinge necessariamente sua altura máxima ou mínima. Por exemplo, considere $y = x^{3}$ . Então $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$ é zero para $x = 0$ , mas $y$ não tem máximo ou mínimo quando $x = 0$ (veja a figura a seguir).

Agora considere a função y=|x|=\left\{\begin{align} &x, && \text{if }x\geq 0\\ &-x, &&\text{if }x<0 \end{align}\right. O gráfico desta função é mostrado abaixo.

Está claro que esta “curva” tem um mínimo na origem; no entanto, na origem $\frac{d y}{d x}$ não existe porque um pouco à direita da origem $\frac{d y}{d x} = 1$ e um pouco à esquerda da origem $\frac{d y}{d x} = - 1$ .

Hence, in a more general case, we can say that se uma curva tem um máximo ou mínimo, então nesse ponto ou $\frac{𝒅 𝒚}{𝒅 𝒙}$ é zero ou $\frac{𝒅 𝒚}{𝒅 𝒙}$ não existe. Se em alguns pontos $\frac{d y}{d x}$ não existe, também devemos examinar esses pontos para verificar se são um máximo ou um mínimo.

O Teste da Primeira Derivada

No capítulo anterior, aprendemos que se $\frac{d y}{d x} > 0$ , a curva é ascendente e se $\frac{d y}{d x} < 0$ , a curva é descendente. Agora note que se a curva para de subir e começa a descer em um ponto, então $y$ tem um máximo nesse ponto (por exemplo, o ponto $A$ na figura a seguir). Por outro lado, se a curva muda de descendente para ascendente, então $y$ tem um mínimo (por exemplo, o ponto $B$ na figura a seguir). No entanto, se o sinal de $\frac{d y}{d x}$ for o mesmo em ambos os lados de um ponto, a curva continuará a subir ou descer e, portanto, não pode ter um máximo ou mínimo nesse ponto (por exemplo, o ponto $C$ na figura a seguir).

Portanto,

O Teste da Primeira Derivada

Se $\frac{d y}{d x} > 0$ imediatamente à esquerda de um ponto e $\frac{d y}{d x} < 0$ imediatamente à sua direita, então $y$ neste ponto é um máximo.

Se $\frac{d y}{d x} < 0$ imediatamente à esquerda de um ponto e $\frac{d y}{d x} > 0$ imediatamente à sua direita, então $y$ neste ponto é um mínimo.

Se o sinal da derivada for o mesmo em ambos os lados de um ponto, então $y$ naquele ponto não é nem um máximo nem um mínimo.

Isso é chamado de Teste da Primeira Derivada. Ele nos fornece um método para descobrir se o valor de $x$ que encontramos ao igualar $\frac{d y}{d x}$ a zero resulta em um máximo ou um mínimo. No próximo capítulo, aprenderemos como usar a segunda derivada para distinguir entre um máximo e um mínimo.

Exemplo 11.13. Encontre os máximos e mínimos da função $y = \frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)^{3}} .$

Solução. Primeiro, encontramos a derivada de $y$ \frac{dy}{dx}=\frac{2(x-1)(x+1)^3-3(x+1)^2(x-1)^2}{(x+1)^6}\tag{Quotient Rule} ou \begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac{2(x-1)(x+1)-3(x-1)^2}{(x+1)^4}\\ &=\frac{(x-1)[2(x+1)-3(x-1)]}{(x+1)^4}\\ &=\frac{(x-1)(5-x)}{(x+1)^4} \end{align} Portanto, para $x = 1$ e $x = 5$ , temos $\frac{d y}{d x} = 0$ .

Para determinar se cada um desses valores de $x$ resulta em um máximo ou mínimo, podemos aplicar o Teste da Primeira Derivada. Considerando o sinal da derivada para valores de $x$ que são ligeiramente menores que $1$ e ligeiramente maiores que $1$ , temos:

\left.\begin{align} \text{When }x<1, \ \dfrac{dy}{dx}=\frac{(-)(+)}{+}=-\\ \text{When }x>1, \ \dfrac{dy}{dx}=\frac{(+)(+)}{+}=+ \end{align}\right\} Portanto $x = 1$ corresponde a um mínimo $y = 0$ .

Da mesma forma, considerando o sinal da derivada para os valores de $x$ que são ligeiramente menores que $5$ e ligeiramente maiores que $5$ , obtemos: \left.\begin{align} \text{When }x<5, \ \dfrac{dy}{dx}=\frac{(+)(+)}{+}=+\\ \text{When }x>5, \ \dfrac{dy}{dx}=\frac{(+)(-)}{+}=- \end{align}\right\} Portanto $x = 5$ corresponde a um máximo $y = \frac{2}{27}$ .

Esta curva está plotada abaixo.

Máximos e Mínimos

Caso de Teste

Outros Exemplos

O Teste da Primeira Derivada

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