最大值与最小值

微分过程的主要用途之一是找出被微分的量在什么条件下达到最大值或最小值。这在工程问题中通常极为重要，因为非常希望知道什么条件能使工作成本最小化，或使效率最大化。

现在，从一个具体例子开始，让我们取方程 $y = x^{2} - 4 x + 7.$

通过给 $x$ 赋予一系列连续的值，并找出 $y$ 的对应值，我们可以很容易地看出该方程表示一条有最小值的曲线。

$x$	0	1	2	3	4	5
$y$	7	4	3	4	7	12

这些值绘制在下面的图中，该图显示当 $x$ 等于 $2$ 时， $y$ 显然有一个最小值 $3$ 。但是，你确定最小值发生在 $2$ 处，而不是在 $2 \frac{1}{4}$ 或 $1 \frac{3}{4}$ 处吗？

当然，对于任何代数表达式，都可以计算出许多值，并以此方式逐渐得出可能是最大值或最小值的特定值。

这是另一个例子：

设 $y = 3 x - x^{2}$ 。

这样计算几个值：

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	5
$y$	$- 4$	$0$	$2$	$2$	0	$- 4$	$- 10$

将这些值绘制在下面的图中。

很明显，在 $x = 1$ 和 $x = 2$ 之间的某处会有一个最大值；而且看起来 $y$ 的最大值似乎应该是大约 $2 \frac{1}{4}$ 。尝试一些中间值。如果 $x = 1 \frac{1}{4}$ ， $y = 2.187$ ；如果 $x = 1 \frac{1}{2}$ ， $y = 2.25$ ；如果 $x = 1.6$ ， $y = 2.24$ 。我们如何能确定 $2.25$ 是真正的最大值，或者它恰好发生在 $x = 1 \frac{1}{2}$ 时？

现在，向你保证有一种方法可以直接得出最大值（或最小值），而无需进行大量初步尝试或猜测，这听起来可能像变戏法。而这种方法依赖于微分。回顾上一章关于图 10.8 和图 10.9 的评论，你会看到每当一条曲线达到其最大高度或最小高度时，在该点处其 $\frac{d y}{d x} = 0$ 。这给了我们所需技巧的线索。当你面前有一个方程，并且你想找到使它的 $y$ 为最小值（或最大值）的 $x$ 值时，首先对其微分，完成后，将其 $\frac{d y}{d x}$ 写为 等于零，然后解出 $x$ 。将这个特定的 $x$ 值代入原始方程，你将得到所需的 $y$ 值。这个过程通常被称为“令其等于零”。

求函数最大值或最小值的过程

对 $y$ 关于 $x$ 求导（求出 $\frac{d y}{d x}$ ）。

令 $\frac{d y}{d x}$ 等于零，然后解出 $x$ 。

将第 2 步中求出的特定 $x$ 值代入原始方程，即可得到你正在寻找的 $y$ 值。

为了看看它有多么简单，以本章开头的例子为例。

例 11.1。如果 $y = x^{2} - 4 x + 7.$ 求 $y$ 的最小值。

解。微分，得到： $\frac{d y}{d x} = 2 x - 4.$ 现在令其等于零，如下： $2 x - 4 = 0.$ 解这个关于 $x$ 的方程，得到：

现在，我们知道最大值（或最小值）将恰好发生在 $x = 2$ 时。

将值 $x = 2$ 代入原始方程，得到

现在回顾图 11.1，你会看到最小值发生在 $x = 2$ 时，并且这个 $y = 3$ 是最小值。

尝试第二个例子（图 11.2）。

例 11.2。如果 $y = 3 x - x^{2} .$ 求 $y$ 的最大值。

解。微分， $\frac{d y}{d x} = 3 - 2 x .$ 令其等于零， $3 - 2 x = 0,$ 由此得到 $x = 1 \frac{1}{2};$ 并将这个 $x$ 值代入原始方程，我们得到：这恰好给出了我们通过尝试大量值的方法所不确定的信息。

现在，在我们继续讨论任何进一步的情况之前，我们要做两点说明。当你被告知令 $\frac{d y}{d x}$ 等于零时，起初（如果你有自己的判断力的话）你会感到一种抵触，因为你知道 $\frac{d y}{d x}$ 在曲线的不同部分有各种不同的值，取决于它是向上倾斜还是向下倾斜。所以，当你突然被告知写下 $\frac{d y}{d x} = 0,$ 你会反感，并且倾向于说这不可能是真的。现在你必须理解“一个方程”和“一个条件方程”之间的本质区别。通常你处理的是本身成立的方程，但有时，比如当前这些例子，你必须写下不一定成立的方程，只有在满足某些条件时才成立；你写下它们是为了通过求解来找到使它们成立的条件。现在我们想找到当曲线既不向上倾斜也不向下倾斜时 $x$ 的特定值，即在 $\frac{d y}{d x} = 0$ 的那个特定位置。所以，写下 $\frac{d y}{d x} = 0$ 并不意味着它总是 $= 0$ ；而是你把它写下来作为一个条件，以便看看如果 $\frac{d y}{d x}$ 为零， $x$ 会是多少。

第二点说明是（如果你有自己的判断力的话）你可能已经想到的：即，这个备受推崇的令其等于零的过程完全无法告诉你，你由此找到的 $x$ 将给出 $y$ 的最大值还是 $y$ 的最小值。确实如此。它本身不能区分；它为你找到了正确的 $x$ 值，但让你自己去找出相应的 $y$ 是最大值还是最小值。当然，如果你已经绘制了曲线，你就已经知道它会是哪一个。

例如，取方程： $y = 4 x + \frac{1}{x} .$

不用停下来思考它对应什么曲线，对其微分，并令其等于零： $\frac{d y}{d x} = 4 - x^{- 2} = 4 - \frac{1}{x^{2}} = 0;$ 由此得到 $x = \frac{1}{2};$ 并且，代入这个值， $y = 4$

将是最大值或最小值。但是是哪一个呢？稍后你会被告知一种方法，依赖于二次微分（参见第 [Ch:Curvature] 章）。在本章末尾，将介绍另一种方法，它解释了如何根据导数的符号来区分最大值和最小值。但目前，只要你简单地尝试任何其他与找到的值略有不同的 $x$ 值，并看看使用这个改变后的值， $y$ 的对应值是小于还是大于已经找到的值，这就足够了。

尝试另一个关于最大值和最小值的简单问题。假设要求你将任意一个数分成两部分，使得乘积最大？如果你不知道令其等于零的技巧，你会如何处理？我想你可以通过尝试、再尝试的规则来费力解决。设这个数为 $60$ 。你可以尝试将它分成两部分，并将它们相乘。例如， $50$ 乘以 $10$ 是 $500$ ； $52$ 乘以 $8$ 是 $416$ ； $40$ 乘以 $20$ 是 $800$ ； $45$ 乘以 $15$ 是 $675$ ； $30$ 乘以 $30$ 是 $900$ 。这看起来像是一个最大值：尝试改变它。 $31$ 乘以 $29$ 是 $899$ ，这没那么好； $32$ 乘以 $28$ 是 $896$ ，这更差。所以，似乎最大的乘积是通过分成相等的两半得到的。

现在看看微积分告诉你什么。将要分成两部分的数称为 $n$ 。那么如果 $x$ 是一部分，另一部分将是 $n - x$ ，乘积将是 $x (n - x)$ 或 $n x - x^{2}$ 。所以我们写成 $y = n x - x^{2}$ 。现在微分并令其等于零；解出 $x$ ，得到所以现在我们知道，无论数 $n$ 是多少，如果我们希望各部分乘积最大，我们必须将其分成相等的两部分；并且该最大乘积的值将始终是 $= \frac{1}{4} n^{2}$ 。

这是一个非常有用的规则，并且适用于任意数量的因子，因此如果 $𝒎 + 𝒏 + 𝒑 =$ 一个常数，那么当 $𝒎 = 𝒏 = 𝒑$ 时， $𝒎 \times 𝒏 \times 𝒑$ 最大。

测试案例

让我们立即将我们的知识应用到一个我们可以测试的案例中。

例 11.3。设让我们找出这个函数是否有最大值或最小值；如果有，测试它是最大值还是最小值。

解。微分，得到 $\frac{d y}{d x} = 2 x - 1.$ 令其等于零，得到 $2 x - 1 = 0,$ 由此得到 $2 x = 1,$ 或 $x = \frac{1}{2} .$

也就是说，当 $x$ 取 $= \frac{1}{2}$ 时， $y$ 的对应值将是最大值或最小值。因此，将 $x = \frac{1}{2}$ 代入原始方程，得到或

这是最大值还是最小值？为了测试它，尝试取 $x$ 比 $\frac{1}{2}$ 稍大一点——比如令 $x = 0.6$ 。那么 $y = (0.6)^{2} - 0.6 = 0.36 - 0.6 = - 0.24,$ 这比 $- 0.25$ 更高；表明 $y = - 0.25$ 是一个最小值。

曲线绘制如下。正如我们所见， $y$ 的最小值是 $- \frac{1}{4}$ ，发生在 $x = \frac{1}{2}$ 时。

更多例子

一个非常有趣的例子是由一条同时具有最大值和最小值的曲线提供的。

例 11.4。考虑一条方程如下的曲线： $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1.$ 现在 $\frac{d y}{d x} = x^{2} - 4 x + 3.$

令其等于零，得到二次方程， $x^{2} - 4 x + 3 = 0;$ 解这个二次方程得到两个根，即

现在，当 $x = 3$ 时， $y = 1$ ；当 $x = 1$ 时， $y = 2 \frac{1}{3}$ 。第一个是最小值，第二个是最大值。

曲线本身可以根据从原始方程计算出的值（如下所示）绘制出来（如下图所示）。

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$- 4 \frac{1}{3}$	$1$	$2 \frac{1}{3}$	$1 \frac{2}{3}$	1	$2 \frac{1}{3}$	$7 \frac{2}{3}$	$19$

关于最大值和最小值的进一步练习，可通过以下示例进行：

示例 11.5。半径为 $r$ （ $r \geq 0$ ）、圆心 $C$ 位于坐标 $x = a$ 、 $y = b$ 的圆的方程如下所示： $(y - b)^{2} + (x - a)^{2} = r^{2} .$

这可以转化为 $y = \pm \sqrt{r^{2} - (x - a)^{2}} + b .$

现在我们事先知道，仅通过观察图形，当 $x = a$ 时， $y$ 要么处于最大值 $b + r$ ，要么处于最小值 $b - r$ 。但我们不要利用这个已知信息；让我们通过微分并令其等于零的过程，来找出使 $y$ 成为最大值或最小值的 $x$ 值。化简为

那么 $y$ 为最大值或最小值的条件是： $\frac{a - x}{\sqrt{r^{2} - (x - a)^{2}}} = 0.$

由于没有任何 $x$ 值能使分母无穷大，因此使该式为零的唯一条件是 $x = a .$ 将此值代入圆的原始方程，我们得到 $y = \pm \sqrt{r^{2}} + b;$ 由于 $\sqrt{r^{2}} = | r | = r$ ，我们得到 $y$ 的两个结果值，

第一个是最大值，在顶部；第二个是最小值，在底部。

如果曲线没有最大值或最小值的位置，那么令其等于零的过程将产生一个不可能的结果。例如：

示例 11.6。设 $y = a x^{3} + b x + c . (a, b > 0)$

那么 $\frac{d y}{d x} = 3 a x^{2} + b .$

令其等于零，我们得到 $3 a x^{2} + b = 0$ ， $x^{2} = \frac{- b}{3 a},$ 以及 $x = \sqrt{\frac{- b}{3 a}} 或 x = - \sqrt{\frac{- b}{3 a}}$

这是不可能的。¹ 因此 $y$ 没有最大值也没有最小值。

下图描绘了 $y = a x^{3} + b x + c$ 在特定值 $a = \frac{1}{5}$ 、 $b = \frac{1}{7}$ 和 $c = - 1$ 下的图形。从图中可以明显看出，函数 $y$ 没有任何最大值或最小值点。

再多几个工作示例将帮助你彻底掌握这个微积分中最有趣且最有用的应用。

示例 11.7。内接于半径为 $R$ 的圆中的最大面积矩形的边长是多少？

解。如果一条边称为 $x$ ， $另一条边 = \sqrt{(对角线)^{2} - x^{2}};$ 由于矩形的对角线必然是直径，因此另一条边 $= \sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ （见下图）。

那么，矩形面积 $S = x \sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ ， $使用乘积法则$

如果你忘记了如何对 $\sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ 求导，这里有一个提示：设 $4 R^{2} - x^{2} = w$ 和 $y = \sqrt{w}$ ，然后求 $\frac{d y}{d w}$ 和 $\frac{d w}{d x}$ ；自己尝试解决，如果实在无法进行，请参考第页的链式法则。

你将得到

对于最大值或最小值，我们必须有 $\frac{4 R^{2} - 2 x^{2}}{\sqrt{4 R^{2} - x^{2}}} = 0;$ 即 $4 R^{2} - 2 x^{2} = 0$ 且 $x = R \sqrt{2}$ 。

另一条边 $= \sqrt{4 R^{2} - 2 R^{2}} = R \sqrt{2}$ ；两条边相等；该图形是一个正方形，其边长等于以半径为边长的正方形的对角线。在这种情况下，我们处理的当然是一个最大值。

示例 11.8。当圆锥形容器的容量最大时，其开口半径是多少？已知其斜边长度为 $l$ 。

。

解。如果 $R$ 是半径， $H$ 是相应的高度，则 $H = \sqrt{l^{2} - R^{2}}$ （见下图）。 $体积 V = π R^{2} \times \frac{H}{3} = π R^{2} \times \frac{\sqrt{l^{2} - R^{2}}}{3} .$

按照上一个问题的方法，我们得到对于最大值或最小值。

或者， $2 π R (l^{2} - R^{2}) - π R^{2} = 0$ ，并且 $R = l \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，显然是最大值。

示例 11.9。求函数 $y = \frac{x}{4 - x} + \frac{4 - x}{x}$ 的最大值和最小值。解。我们得到 $\frac{d y}{d x} = \frac{(4 - x) - (- x)}{(4 - x)^{2}} + \frac{- x - (4 - x)}{x^{2}} = 0$ 对于最大值或最小值；或者 $\frac{4}{(4 - x)^{2}} - \frac{4}{x^{2}} = 0 且 x = 2.$

只有一个值，因此只有一个最大值或最小值。 $对于对于对于$ 因此它是一个最小值。

$y = \frac{x}{4 - x} + \frac{4 - x}{x}$ 的图形如下所示。

示例 11.10。求函数 $y = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$ 的最大值和最小值。

解。求导立即得到（参见示例 9.1） $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} = 0$ 对于最大值或最小值。

因此 $\sqrt{1 + x} = \sqrt{1 - x}$ 且 $x = 0$ ，这是唯一解。

对于 $x = 0$ ， $y = 2$ 。

对于 $x = \pm 0.5$ ， $y = \sqrt{1.5} + \sqrt{0.5} \approx 1.932$ ，所以这是一个最大值。

$y = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$ 的图形如下所示。

示例 11.11。求函数 $y = \frac{x^{2} - 5}{2 x - 4}$ 的最大值和最小值。

解。我们有 $\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x - 4) \times 2 x - (x^{2} - 5) 2}{(2 x - 4)^{2}} = 0$ 对于最大值或最小值；或者 $\frac{2 x^{2} - 8 x + 10}{(2 x - 4)^{2}} = 0;$ 或者 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ ；其解为 $x = \frac{5}{2} \pm \sqrt{- 1} .$

这些解是虚数，因此没有实数 $x$ 能使 $\frac{d y}{d x} = 0$ ；因此既没有最大值也没有最小值。

下图显示了 $y = \frac{x^{2} - 5}{2 x - 4}$ 的图形。

示例 11.12。求函数 $(y - x^{2})^{2} = x^{5}$ 的最大值和最小值。

解。这可以写成 $y = x^{2} \pm x^{\frac{5}{2}}$ 。 $\frac{d y}{d x} = 2 x \pm \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} = 0 对于最大值或最小值;$ 即 $x (2 \pm \frac{5}{2} x^{\frac{1}{2}}) = 0$ ，当 $x = 0$ 以及 $2 \pm \frac{5}{2} x^{\frac{1}{2}} = 0$ 即 $x = \frac{16}{25}$ 时成立。因此有两个解。

首先考虑 $x = 0$ 。如果 $x = - 0.5$ ， $y = 0.25 \pm \sqrt{- (0.5)^{5}}$ ，如果 $x = + 0.5$ ， $y = 0.25 \pm \sqrt{(0.5)^{5}}$ 。在一侧 $y$ 是虚数；也就是说，没有可以用图形表示的 $y$ 值；因此图形完全位于 $y$ 轴的右侧（见下图）。

在绘制图形时，会发现曲线到达原点，好像那里有一个最小值；但它并没有像最小值应该做的那样继续延伸，而是折返（形成了所谓的“尖点”）。因此，尽管满足最小值的条件，即 $\frac{d y}{d x} = 0$ ，但并没有最小值。因此，总是需要通过取两侧的值来检查。

现在，如果我们取 $x = \frac{16}{25} = 0.64$ 。如果 $x = 0.64$ ， $y = 0.7373$ 和 $y = 0.0819$ ；如果 $x = 0.6$ ， $y$ 变为 $0.6389$ 和 $0.0811$ ；如果 $x = 0.7$ ， $y$ 变为 $0.8996$ 和 $0.0804$ 。

这表明曲线有两个分支；上面的分支没有经过最大值，但下面的分支经过了。

自己再举一些例子。很少有主题能提供如此丰富的有趣示例。

练习

练习 11.1。如果 $y = \frac{x^{2}}{x + 1}$ ，哪些 $x$ 值会使 $y$ 成为最大值和最小值？

答案

最小值： $x = 0$ ， $y = 0$ ；最大值： $x = - 2$ ， $y = - 4$ 。

解答

$\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = 0 或 x = - 2.$

当 $x = 0$ 时， $y = 0$ 。

当 $x = - 0.1$ 时， $y \approx 0.009$ 。

当 $x = 0.1$ 时， $y \approx 0.011$ 。

因此 $y = 0$ 是当 $x = 0$ 时出现的最小值。

当 $x = - 2$ 时， $y = - 4$ 。

当 $x = - 1.9$ 时， $y \approx - 4.011$ 。

当 $x = - 2.1$ 时， $y \approx - 4.009$ 。

因此， $y = - 4$ 是当 $x = - 2$ 时出现的最大值。

$y = \frac{x^{2}}{x + 1}$ 的图形如下所示。

练习 11.2。在方程 $y = \frac{x}{a^{2} + x^{2}}$ 中，哪个 $x$ 值会使 $y$ 成为最大值？

答案

$x = a$ 。

解答

$y = \frac{x}{a^{2} + x^{2}} 其中 a > 0$ 那么 $\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = a 或 x = - a$

为了确定哪个 $x$ 值使 $y$ 成为最大值，哪个 $x$ 值使 $y$ 成为最小值，最好使用一阶导数检验：

如果 $x > a$ ，则 $a^{2} - x^{2} < 0$ ，因此 $\frac{d y}{d x} < 0$ 如果 $x < a$ ，则 $a^{2} - x^{2} > 0$ ，因此 $\frac{d y}{d x} > 0$

根据一阶导数检验， $x = a$ 对应于最大值 $y = a / 2$ 。

类似地，如果 $x > - a$ ，则 $a^{2} - x^{2} > 0$ ，因此 $\frac{d y}{d x} > 0$ 。如果 $x < - a$ ，则 $a^{2} - x^{2} < 0$ ，因此 $\frac{d y}{d x} < 0$ 。因此 $x = - a$ 使得 $y$ 取得最小值 $- a / 2$ 。

我们可以将给定方程重写为 $y = \frac{x}{a^{2} (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})}$ 或 $\frac{y}{a} = \frac{\frac{x}{a}}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}}$

现在我们可以轻松绘制 $\frac{y}{a}$ 相对于 $\frac{x}{a}$ 的图形（见下图）。如图所示，图形在 $\frac{x}{a} = 1$ 处达到最大值，在 $\frac{x}{a} = - 1$ 处达到最小值。 $\frac{y}{a}$ 的最大值为 $0.5$ ，最小值为 $- 0.5$ 。

练习 11.3。一根长度为 $p$ 的线段被分成 $4$ 部分，并拼成一个矩形。证明：当矩形的每条边都等于 $\frac{1}{4} p$ 时，矩形的面积最大。

解答

设：
$y =$ 矩形的长度
$x =$ 矩形的宽度

我们希望在满足

$2 x + 2 y = p$

的条件下最大化面积 $A = x y$ 。

我们可以将 $A$ 表示为仅含 $x$ 的形式

为了找到 $A$ 的最大值

$\frac{d A}{d x} = \frac{p}{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{p}{4}$

当 $x = \frac{p}{4}$ 时， $y = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{p}{4}$ 。

因此，如果每条边的长度为 $\frac{P}{4}$ ，则矩形面积 $A$ 将达到最大值。

练习 11.4。一根长度为 $30$ 英寸的绳子两端连接在一起，并用 $3$ 个钉子拉伸成一个三角形。绳子所能围成的最大三角形面积是多少？

[提示：应用你在此处学到的规则 here，将一个数分成三部分，使其乘积最大]

答案

$25 \sqrt{3}$ 平方英寸。

解答

设 $a, b, c$ 为三角形的边长。面积由下式给出

$面积 = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$

其中 $s$ 是半周长，即 $s = \frac{a + b + c}{3}$ 。在这个问题中

$A = \sqrt{15 (15 - a) (15 - b) (15 - c)}$

当 $15 - a = 15 - b = 15 - c$ 或 $a = b = c$ 时， $A$ 取得最大值

因此最大面积为 $A = \sqrt{15 (15 - 10) (15 - 10) (15 - 10)} = \sqrt{15 \times 5^{3}} = 25 \sqrt{3} .$

练习 11.5。绘制方程 $y = \frac{10}{x} + \frac{10}{8 - x};$ 对应的曲线；同时求出 $\frac{d y}{d x}$ ，并推导出使 $y$ 取得最小值的 $x$ 值；并求出 $y$ 的最小值。

答案

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{(8 - x)^{2}}$ ； $x = 4$ ； $y = 5$ 。

解答

$y = \frac{10}{x} + \frac{10}{8 - x} = 10 x^{- 1} + 10 (8 - x)^{- 1}$

从图形可以清楚地看出， $x = 4$ 使得 $y$ 取得最小值

当 $x = 4$ 时， $y = \frac{10}{4} + \frac{10}{4} = 5$ 。

练习 11.6。如果 $y = x^{5} - 5 x$ ，求使 $y$ 取得最大值或最小值的 $x$ 值。

答案

最大值在 $x = - 1$ 处；最小值在 $x = 1$ 处。

解答

$y = x^{5} - 5 x$

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 5 = 5 (x^{4} - 1) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

当 $x = 2$ 时， $y = 22$

当 $x = 1$ 时， $y = - 4$

当 $x = 0$ 时， $y = 0$

当 $x = - 1$ 时， $y = 4$

当 $x = - 2$ 时， $y = - 22$

因此， $y = 4$ 是最大值，出现在 $x = - 1$ 处； $y = - 4$ 是最小值，出现在 $x = 1$ 处。

$y = x^{5} - 5 x$ 的图形如下所示。

练习 11.7。在给定正方形内能内接的最小正方形是什么？

答案

连接四条边的中点。

解答

设给定正方形的边长为 $L$

内接正方形的面积为 $A = c^{2}$ ，但 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 。因此

$A = a^{2} + b^{2}$

由于 $a + b = L$ ，我们有

$A = a^{2} + (L - a)^{2}$

为了最小化 $A$ ，

$\frac{d A}{d a} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{L}{2}$

当 $a = \frac{L}{2}$ 时，即连接四条边的中点时，内接正方形的面积最小。

练习 11.8。在给定的圆锥（其高度等于底面半径）中内接一个圆柱，(a) 使其体积最大；(b) 使其侧面积最大；(c) 使其全面积最大。

答案

$r = \frac{2}{3} R$ ， $r = \frac{R}{2}$ ，无最大值。

解答

设

$R =$ 圆锥的底面半径和高度

$r =$ 圆柱的半径

$h =$ 圆柱的高度

$\frac{r}{R} = \frac{R - h}{R} 或 r = R - h$

(a)

$或$

当 $r = \frac{2}{3} R$ 时体积最大

(b) 侧面积 $A = 2 π r h$

当 $r = \frac{R}{2}$ 时侧面积最大。

(c) 全面积

$S$ 相对于 $r$ 的图形是一条斜率为 $2 π R$ 的直线，其中 $r$ 在 $0 < r < R$ 范围内变化。

从上图可以清楚地看出，全面积 $S$ 没有最大值。

练习 11.9。在给定球体内内接一个圆柱，(a) 使其体积最大；(b) 使其侧面积最大；(c) 使其全面积最大。

答案

$r = R \sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $r = \frac{R}{\sqrt{2}}$ ， $r \approx 0.8506 R$ 。

解答

根据几何关系（见上图）

$r^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2} = R^{2}$ 或 $h = 2 \sqrt{R^{2} - r^{2}}$

(a) $体积 V = π r^{2} h = 2 π r^{2} \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ $\frac{d V}{d r} = 4 π r \sqrt{R^{2} - r^{2}} + 2 π r^{2} \frac{- 2 r}{2 \sqrt{R^{2} - r^{2}}}$ 或因此， $\frac{d V}{d r} = 0 \Leftrightarrow r = 0 或 r = \sqrt{\frac{2}{3}} R$

当 $r = \sqrt{\frac{2}{3}} R$ 时 $V$ 最大

(b) 侧面积 $A = 2 π r h$ 或 $A = 4 π r \sqrt{R^{2} - r^{2}}$

因此， $\frac{d A}{d r} = 0 \Leftrightarrow r = \frac{R}{\sqrt{2}}$

当 $r = \frac{R}{\sqrt{2}}$ 时 $A$ 最大。

(c) 全面积

或 $5 r^{4} - 5 R^{2} r^{2} + R^{4} = 0$ 这是一个关于 $r$ 的二次方程

$\begin{matrix} r^{2} = \frac{5 R^{2} \pm \sqrt{25 R^{4} - 20 R^{4}}}{10} = \frac{5 R^{2} \pm \sqrt{5} R^{2}}{10} \\ r = R \sqrt{\frac{5 \pm \sqrt{5}}{10}} \end{matrix}$

现在让我们检查两个 $r$ 值是否都满足原始方程

$R^{2} - 2 r^{2} + r \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 0$

结果发现只有 $r = R \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{10}}$ 满足此方程。

因此，当

$r = R \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{10}} \approx 0.8507 R$

时全面积最大。

练习 11.10。在给定球体内内接一个体积最大的圆锥。

答案

$r = \frac{R \sqrt{8}}{3}$ ，其中 $R$ 是球的半径。最大体积为 $\frac{32}{81} R^{3}$ 。

解答

$或$

因此

$\frac{d V}{d r} = 0 \Leftrightarrow r = 0 或 r = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} R$

$r = 0$ 和 $r = - \frac{\sqrt{8}}{3} R$ 不可接受

$r = \frac{\sqrt{8}}{3} R$ 使得 $V$ 最大

练习 11.11。由 $N$ 个相同伏打电池组成的电池组提供的电流 $C$ 为 $C = \frac{n \times E}{R + \frac{r n^{2}}{N}}$ ，其中 $E$ 、 $R$ 、 $r$ 是常数， $n$ 是串联的电池数量。求 $n$ 与 $N$ 的比例，使得电流最大。

答案

$n = \sqrt{\frac{N R}{r}}$ 。

解答

商法则为了最大化电流，令 $\frac{d C}{d n} = 0$

或

$\begin{matrix} E (R + \frac{r}{N} n^{2}) - \frac{2 E r}{N} n^{2} = 0 \\ \frac{E r}{N} n^{2} = E R \\ \Rightarrow n = \sqrt{\frac{R}{r} N} \end{matrix}$

或

$\frac{n}{\sqrt{N}} = \sqrt{\frac{R}{r}}$

当 $\frac{n}{\sqrt{N}} = \sqrt{\frac{R}{r}}$ 时 $C$ 最大。

关于最大值和最小值的更多内容

我们看到，每当一条“平滑”曲线达到其最大值或最小值高度时， $\frac{d y}{d x}$ 为零。然而，反之并不成立。也就是说，如果某点的导数为零，曲线不一定达到其最大值或最小值高度。例如，考虑 $y = x^{3}$ 。那么 $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$ 在 $x = 0$ 处为零，但 $y$ 在 $x = 0$ 时没有最大值或最小值（见下图）。

现在考虑函数 $如果如果$ 该函数的图像如下所示。

很明显，这条“曲线”在原点处有一个最小值；然而，在原点处 $\frac{d y}{d x}$ 不存在，因为就在原点右侧一点 $\frac{d y}{d x} = 1$ ，而在原点左侧一点 $\frac{d y}{d x} = - 1$ 。

因此，在更一般的情况下，我们可以说：如果一条曲线有最大值或最小值，那么在该点要么 $\frac{𝒅 𝒚}{𝒅 𝒙}$ 为零，要么 $\frac{𝒅 𝒚}{𝒅 𝒙}$ 不存在。如果在某些点 $\frac{d y}{d x}$ 不存在，我们也必须检查这些点是否为最大值或最小值。

一阶导数检验

在上一章中，我们了解到如果 $\frac{d y}{d x} > 0$ ，曲线是上升的；如果 $\frac{d y}{d x} < 0$ ，曲线是下降的。现在注意，如果曲线在某点停止上升并开始下降，那么 $y$ 在该点有一个最大值（例如，下图中点 $A$ ）。相反，如果曲线从下降变为上升，那么 $y$ 有一个最小值（例如，下图中点 $B$ ）。然而，如果 $\frac{d y}{d x}$ 的符号在某点两侧相同，曲线将继续上升或下降，因此在该点不可能有最大值或最小值（例如，下图中点 $C$ ）。

因此，

一阶导数检验

如果在某点左侧紧邻处 $\frac{d y}{d x} > 0$ ，而在其右侧紧邻处 $\frac{d y}{d x} < 0$ ，那么该点的 $y$ 是最大值。

如果在某点左侧紧邻处 $\frac{d y}{d x} < 0$ ，而在其右侧紧邻处 $\frac{d y}{d x} > 0$ ，那么该点的 $y$ 是最小值。

如果导数在某点两侧符号相同，那么该点的 $y$ 既不是最大值也不是最小值。

这被称为一阶导数检验。它为我们提供了一种方法，来判断通过令 $\frac{d y}{d x}$ 等于零找到的 $x$ 值是给出最大值还是最小值。在下一章中，我们将学习如何使用二阶导数来区分最大值和最小值。

例 11.13。求函数 $y = \frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)^{3}}$ 的最大值和最小值。

解。首先，我们求 $y$ 的导数 $商法则$ 或因此，对于 $x = 1$ 和 $x = 5$ ，我们有 $\frac{d y}{d x} = 0$ 。

为了确定这些 $x$ 值中的每一个是给出最大值还是最小值，我们可以应用一阶导数检验。考虑对于略小于 $1$ 和略大于 $1$ 的 $x$ 值，导数的符号，我们有：

$当当$ 因此 $x = 1$ 对应一个最小值 $y = 0$ 。

类似地，考虑对于略小于 $5$ 和略大于 $5$ 的 $x$ 值，导数的符号，我们得到： $当当$ 因此 $x = 5$ 对应一个最大值 $y = \frac{2}{27}$ 。

该曲线绘制如下。