بیشینه و کمینه

یکی از کاربردهای اصلی فرآیند مشتق‌گیری این است که معلوم شود تحت چه شرایطی مقدار کمّیت مشتق‌گیریشده بیشینه یا کمینه می‌شود. این موضوع غالباً در مسائل مهندسی بسیار حائز اهمیت است، جایی که مطلوب‌ترین چیز دانستن این است که چه شرایطی هزینهٔ کار را به کمینه می‌رساند، یا بازده را بیشینه می‌کند.

اکنون، برای شروع با یک مورد عینی، معادلهٔ $y = x^{2} - 4 x + 7.$ را در نظر می‌گیریم.

با اختصاص دادن چند مقدار متوالی به $x$ ، و یافتن مقادیر متناظر $y$ ، می‌توانیم به‌آسانی ببینیم که این معادله نمایانگر منحنی‌ای با یک کمینه است.

$x$	0	1	2	3	4	5
$y$	7	4	3	4	7	12

این مقادیر در شکل زیر رسم شده‌اند، که نشان می‌دهد $y$ ظاهراً مقدار کمینه‌ای برابر با $3$ دارد، هنگامی که $x$ را برابر با $2$ در نظر بگیریم. اما آیا مطمئن هستید که کمینه در $2$ رخ می‌دهد، و نه در $2 \frac{1}{4}$ یا در $1 \frac{3}{4}$ ؟

البته با هر عبارت جبری می‌توان مقادیر زیادی را محاسبه کرد و از این طریق به‌تدریج به مقدار مشخصی که ممکن است بیشینه یا کمینه باشد رسید.

در اینجا مثال دیگری می‌آید:

فرض کنید $y = 3 x - x^{2}$ .

چند مقدار را بدین‌گونه محاسبه کنید:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	5
$y$	$- 4$	$0$	$2$	$2$	0	$- 4$	$- 10$

این مقادیر را مطابق شکل زیر رسم کنید.

واضح خواهد بود که یک بیشینه در جایی بین $x = 1$ و $x = 2$ وجود خواهد داشت؛ و موضوع به نظر می‌رسد که مقدار بیشینهٔ $y$ باید حدود $2 \frac{1}{4}$ باشد. چند مقدار میانی را امتحان کنید. اگر $x = 1 \frac{1}{4}$ ، آنگاه $y = 2.187$ ؛ اگر $x = 1 \frac{1}{2}$ ، $y = 2.25$ ؛ اگر $x = 1.6$ ، $y = 2.24$ . چگونه می‌توانیم مطمئن باشیم که $2.25$ واقعاً بیشینه است، یا اینکه دقیقاً وقتی $x = 1 \frac{1}{2}$ رخ می‌دهد؟

شاید این شبیه به شعبده‌بازی به نظر برسد که اطمینان دهیم راهی وجود دارد که با آن می‌توان مستقیماً به مقدار بیشینه (یا کمینه) رسید بدون اینکه نیاز به آزمون‌ها یا حدس‌های مقدماتی زیادی باشد. و آن راه وابسته به مشتق‌گیری است. به فصل قبلی بازگردید و نکات مربوط به شکل 10.8 و شکل 10.9 را ملاحظه کنید، خواهید دید که هرگاه یک منحنی یا به ارتفاع بیشینه یا به ارتفاع کمینه خود برسد، در آن نقطه $\frac{d y}{d x} = 0$ است. اکنون این موضوع سرنخ ترفند مطلوب را به ما می‌دهد. وقتی معادله‌ای در برابر شما نهاده می‌شود و می‌خواهید آن مقدار از $x$ را بیابید که $y$ را کمینه (یا بیشینه) می‌کند، نخست از آن مشتق بگیرید، و پس از انجام آن، $\frac{d y}{d x}$ را برابر با صفر قرار دهید، و سپس $x$ را حل کنید. این مقدار مشخص از $x$ را در معادلهٔ اصلی قرار دهید، و آنگاه مقدار مطلوب $y$ را به‌دست خواهید آورد. این فرایند معمولاً «برابر با صفر قرار دادن» نامیده می‌شود.

فرایند یافتن بیشینه‌ها یا کمینه‌های یک تابع

از $y$ نسبت به $x$ مشتق بگیرید ( $\frac{d y}{d x}$ را بیابید).

$\frac{d y}{d x}$ را برابر صفر قرار دهید، و سپس $x$ را حل کنید.

قرار دادن مقدار مشخص $x$ که در مرحلهٔ ۲ یافت شده است در معادلهٔ اصلی، مقدار $y$ را که به دنبال آن هستید به‌دست می‌دهد.

برای دیدن اینکه چقدر ساده کار می‌کند، مثالی را که این فصل با آن شروع می‌شود در نظر بگیرید.

مثال 11.1. مقدار کمینهٔ $y$ را بیابید اگر $y = x^{2} - 4 x + 7.$

راه‌حل. با مشتق‌گیری، به‌دست می‌آوریم: $\frac{d y}{d x} = 2 x - 4.$ اکنون این را برابر صفر قرار دهید، بدین‌گونه: $2 x - 4 = 0.$ با حل این معادله برای $x$ ، داریم:

اکنون، می‌دانیم که بیشینه (یا کمینه) دقیقاً وقتی رخ می‌دهد که $x = 2$ باشد.

با قرار دادن مقدار $x = 2$ در معادلهٔ اصلی، به‌دست می‌آوریم

اکنون به شکل 11.1 نگاه کنید، خواهید دید که کمینه وقتی رخ می‌دهد که $x = 2$ باشد، و این کمینهٔ $y = 3$ است.

مثال دوم را امتحان کنید (شکل 11.2).

مثال 11.2. مقدار بیشینهٔ $y$ را بیابید اگر $y = 3 x - x^{2} .$

راه‌حل. با مشتق‌گیری، $\frac{d y}{d x} = 3 - 2 x .$ برابر صفر قرار می‌دهیم، $3 - 2 x = 0,$ از این رو $x = 1 \frac{1}{2};$ و با قرار دادن این مقدار $x$ در معادلهٔ اصلی، می‌یابیم: این دقیقاً اطلاعاتی را به ما می‌دهد که روش آزمون مقادیر زیاد در مورد آن ما را نامطمئن گذاشته بود.

اکنون، پیش از آنکه به موارد بیشتری بپردازیم، باید دو نکته را متذکر شویم. وقتی به شما گفته می‌شود که $\frac{d y}{d x}$ را برابر صفر قرار دهید، در ابتدا (اگر ذکاوتی داشته باشید) نوعی دلخوری احساس می‌کنید، زیرا می‌دانید که $\frac{d y}{d x}$ در بخش‌های مختلف منحنی مقادیر گوناگونی دارد، بسته به اینکه شیب صعودی یا نزولی داشته باشد. بنابراین، وقتی ناگهان به شما گفته می‌شود که بنویسید $\frac{d y}{d x} = 0,$ از این دستور دلخور می‌شوید و تمایل دارید بگویید که این نمی‌تواند درست باشد. اکنون باید تفاوت اساسی بین «یک معادله» و «یک معادلهٔ شرطی» را درک کنید. معمولاً با معادلاتی سروکار دارید که به‌خودی‌خود صادق‌اند، اما در مواردی، که اکنون نمونه‌هایی از آن‌هاست، باید معادلاتی را بنویسید که لزوماً صادق نیستند، بلکه تنها در صورتی صادق می‌شوند که شرایط معینی برقرار شوند؛ و شما آن‌ها را می‌نویسید تا با حل آن‌ها، شرایطی را که آن‌ها را صادق می‌سازد بیابید. اکنون می‌خواهیم مقدار مشخصی از $x$ را بیابیم که در آن منحنی نه شیب صعودی دارد و نه نزولی، یعنی در نقطه‌ای که $\frac{d y}{d x} = 0$ است. بنابراین، نوشتن $\frac{d y}{d x} = 0$ به این معنا نیست که همیشه $= 0$ است؛ بلکه آن را به‌عنوان یک شرط می‌نویسید تا ببینید اگر قرار باشد $\frac{d y}{d x}$ صفر شود، $x$ چه مقداری خواهد داشت.

دومین نکته، که (اگر ذکاوتی داشته باشید) احتمالاً خودتان به آن پی برده‌اید، این است که این فرایند بسیار ستوده‌شدهٔ برابر صفر قرار دادن به‌کلّی قادر نیست به شما بگوید که آیا $x$ ‌ای که بدین‌ترتیب می‌یابید یک مقدار بیشینه از $y$ یا یک مقدار کمینه از $y$ به شما خواهد داد. دقیقاً همین‌طور است. این روش به‌خودی‌خود تمییز نمی‌دهد؛ مقدار درست $x$ را برای شما می‌یابد اما به خودتان واگذار می‌کند تا مشخص کنید که آیا $y$ متناظر یک بیشینه است یا یک کمینه. البته، اگر منحنی را رسم کرده باشید، از قبل می‌دانید که کدام خواهد بود.

برای نمونه، معادلهٔ $y = 4 x + \frac{1}{x} .$ را در نظر بگیرید.

بدون اینکه مکث کنید تا ببینید با چه منحنی‌ای متناظر است، از آن مشتق بگیرید و برابر صفر قرار دهید: $\frac{d y}{d x} = 4 - x^{- 2} = 4 - \frac{1}{x^{2}} = 0;$ از این رو $x = \frac{1}{2};$ و با جایگذاری این مقدار، $y = 4$

یا یک بیشینه خواهد بود یا یک کمینه. اما کدام؟ بعداً روشی به شما ارائه خواهد شد که بر مشتق‌گیری دوم متکی است (به فصل [Ch:Curvature] مراجعه کنید). در انتهای این فصل، روشی جایگزین معرفی خواهد شد که توضیح می‌دهد چگونه بر اساس علامت مشتق بین بیشینه و کمینه تمایز قائل شویم. اما در حال حاضر، همین کافی است که مقدار دیگری از $x$ که اندکی با مقدار یافت‌شده متفاوت است را امتحان کنید، و ببینید که با این مقدار تغییر یافته، مقدار متناظر $y$ کوچکتر یا بزرگتر از مقداری است که قبلاً یافته‌اید.

یک مسئلهٔ سادهٔ دیگر در بیشینه‌ها و کمینه‌ها را امتحان کنید. فرض کنید از شما خواسته شود که عددی را به دو بخش تقسیم کنید، به‌طوری‌که حاصل‌ضرب بیشینه شود؟ اگر ترفند برابر صفر قرار دادن را نمی‌دانستید، چگونه وارد عمل می‌شدید؟ گمان می‌کنم می‌توانستید با قاعدهٔ آزمایشِ پشت سر هم آن را حل کنید. فرض کنید عدد $60$ باشد. می‌توانید تقسیم آن را به دو بخش و ضرب آن‌ها در هم امتحان کنید. بدین‌ترتیب، $50$ بار $10$ برابر است با $500$ ؛ $52$ بار $8$ برابر $416$ ؛ $40$ بار $20$ برابر $800$ ؛ $45$ بار $15$ برابر $675$ ؛ $30$ بار $30$ برابر $900$ . این به نظر بیشینه می‌آید: تغییر آن را امتحان کنید. $31$ بار $29$ برابر $899$ است که به خوبی قبلی نیست؛ و $32$ بار $28$ برابر $896$ است که بدتر است. بنابراین به نظر می‌رسد که بزرگترین حاصل‌ضرب با تقسیم به دو نیمهٔ مساوی به‌دست می‌آید.

اکنون ببینید حسابان چه می‌گوید. بیایید عددی را که باید به دو بخش تقسیم‌شود، $n$ بنامیم. آنگاه اگر $x$ یک بخش باشد، بخش دیگر $n - x$ خواهد بود، و حاصل‌ضرب $x (n - x)$ یا $n x - x^{2}$ می‌شود. بنابراین می‌نویسیم $y = n x - x^{2}$ . اکنون مشتق بگیرید و برابر صفر قرار دهید؛ با حل برای $x$ ، داریم بنابراین اکنون می‌دانیم که صرف‌نظر از اینکه عدد $n$ چه باشد، اگر حاصل‌ضرب بخش‌ها بیشینه شود، باید آن را به دو بخش مساوی تقسیم کنیم؛ و مقدار آن حاصل‌ضرب بیشینه همواره $= \frac{1}{4} n^{2}$ خواهد بود.

این یک قاعدهٔ بسیار مفید است و برای هر تعدادی از عامل‌ها صادق است، به‌گونه‌ای که اگر $𝒎 + 𝒏 + 𝒑 =$ یک عدد ثابت باشد، آنگاه $𝒎 \times 𝒏 \times 𝒑$ زمانی بیشینه است که $𝒎 = 𝒏 = 𝒑$ .

مورد آزمایش

بیایید بی‌درنگ دانش خود را به موردی که می‌توانیم آزمایش کنیم اعمال نماییم.

مثال 11.3. فرض کنید و بیایید بررسی کنیم که این تابع یک بیشینه یا کمینه دارد؛ و اگر چنین است، بیازماییم که بیشینه است یا کمینه.

راه‌حل. با مشتق‌گیری، داریم $\frac{d y}{d x} = 2 x - 1.$ برابر صفر قرار می‌دهیم، $2 x - 1 = 0,$ از این رو $2 x = 1,$ یا $x = \frac{1}{2} .$

یعنی وقتی $x$ را $= \frac{1}{2}$ در نظر بگیریم، مقدار متناظر $y$ یا یک بیشینه خواهد بود یا یک کمینه. بر این اساس، با قرار دادن $x = \frac{1}{2}$ در معادلهٔ اصلی، داریم یا

آیا این یک بیشینه است یا یک کمینه؟ برای آزمون، $x$ را کمی بزرگتر از $\frac{1}{2}$ قرار دهید—مثلاً $x = 0.6$ در نظر بگیرید. آنگاه $y = (0.6)^{2} - 0.6 = 0.36 - 0.6 = - 0.24,$ که بالاتر از $- 0.25$ است؛ و نشان می‌دهد که $y = - 0.25$ یک کمینه است.

منحنی در زیر رسم شده است. همان‌گونه که می‌بینیم، کمینهٔ $y$ برابر با $- \frac{1}{4}$ است که وقتی $x = \frac{1}{2}$ رخ می‌دهد.

مثال‌های بیشتر

مثال بسیار جالبی توسط منحنی‌ای ارائه می‌شود که هم یک بیشینه و هم یک کمینه دارد.

مثال 11.4. منحنی‌ای را در نظر بگیرید که معادلهٔ آن عبارت است از: $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1.$ اکنون $\frac{d y}{d x} = x^{2} - 4 x + 3.$

با برابر صفر قرار دادن، معادلهٔ درجه دوم را به‌دست می‌آوریم، $x^{2} - 4 x + 3 = 0;$ و حل این معادله به ما دو ریشه می‌دهد، یعنی

اکنون، وقتی $x = 3$ ، $y = 1$ ؛ و وقتی $x = 1$ ، $y = 2 \frac{1}{3}$ . اولی یک کمینه و دومی یک بیشینه است.

خود منحنی را می‌توان (همانند شکل زیر) با استفاده از مقادیر محاسبه‌شده، به‌صورت زیر، از معادلهٔ اصلی رسم کرد.

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$- 4 \frac{1}{3}$	$1$	$2 \frac{1}{3}$	$1 \frac{2}{3}$	1	$2 \frac{1}{3}$	$7 \frac{2}{3}$	$19$

تمرین دیگری در بیشینه‌ها و کمینه‌ها توسط مثال زیر ارائه می‌شود:

مثال 11.5. معادله دایره‌ای به شعاع $r$ ( $r \geq 0$ ) با مرکز $C$ در نقطه‌ای با مختصات $x = a$ ، $y = b$ ، همان‌طور که در زیر نشان داده شده است، عبارت است از: $(y - b)^{2} + (x - a)^{2} = r^{2} .$

این می‌تواند به صورت زیر تبدیل شود $y = \pm \sqrt{r^{2} - (x - a)^{2}} + b .$

از قبل می‌دانیم، تنها با نگاه کردن به شکل، که وقتی $x = a$ ، $y$ یا در بیشینه مقدار خود، یعنی $b + r$ ، و یا در کمینه مقدار خود، یعنی $b - r$ خواهد بود. اما بیایید از این دانش استفاده نکنیم؛ بیایید شروع کنیم به یافتن این‌که چه مقداری از $x$ ، $y$ را به یک بیشینه یا کمینه تبدیل می‌کند، با فرآیند مشتق‌گیری و برابر صفر قرار دادن. که ساده می‌شود به

آن‌گاه شرط برای بیشینه یا کمینه بودن $y$ عبارت است از: $\frac{a - x}{\sqrt{r^{2} - (x - a)^{2}}} = 0.$

از آنجا که هیچ مقداری از $x$ مخرج را بی‌نهایت نمی‌کند، تنها شرط برای صفر شدن این است که $x = a .$ با جایگذاری این مقدار در معادله اصلی دایره، خواهیم یافت $y = \pm \sqrt{r^{2}} + b;$ و چون $\sqrt{r^{2}} = | r | = r$ ، دو مقدار برای $y$ حاصل می‌شود،

اولی بیشینه است، در بالا؛ دومی کمینه است، در پایین.

اگر منحنی به گونه‌ای باشد که هیچ نقطه‌ای که بیشینه یا کمینه باشد وجود نداشته باشد، فرآیند برابر صفر قرار دادن، نتیجه‌ای غیرممکن به دست می‌دهد. به عنوان مثال:

مثال 11.6. فرض کنید $y = a x^{3} + b x + c . (a, b > 0)$

آن‌گاه $\frac{d y}{d x} = 3 a x^{2} + b .$

با برابر صفر قرار دادن این، به دست می‌آوریم $3 a x^{2} + b = 0$ ، $x^{2} = \frac{- b}{3 a},$ و $x = \sqrt{\frac{- b}{3 a}} یا x = - \sqrt{\frac{- b}{3 a}}$

که غیرممکن است.¹ بنابراین $y$ هیچ بیشینه یا کمینه‌ای ندارد.

شکل زیر نمودار $y = a x^{3} + b x + c$ را با مقادیر مشخص $a = \frac{1}{5}$ ، $b = \frac{1}{7}$ ، و $c = - 1$ نشان می‌دهد. از شکل مشخص است که تابع $y$ هیچ نقطه بیشینه یا کمینه‌ای ندارد.

چند مثال حل شده بیشتر به شما این توانایی را می‌دهد که به طور کامل بر این جالب‌ترین و مفیدترین کاربرد حسابان مسلط شوید.

مثال 11.7. ابعاد مستطیل با بیشترین مساحت که در دایره‌ای به شعاع $R$ محاط شده است کدامند؟

راه حل. اگر یک ضلع را $x$ بنامیم، $ضلع دیگر = \sqrt{(قطر)^{2} - x^{2}};$ و از آنجا که قطر مستطیل لزوماً یک قطر دایره است، ضلع دیگر $= \sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ (شکل زیر را ببینید).

بنابراین، مساحت مستطیل $S = x \sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ ،

اگر فراموش کرده‌اید چگونه $\sqrt{4 R^{2} - x^{2}}$ را مشتق بگیرید، در اینجا یک راهنمایی است: $4 R^{2} - x^{2} = w$ و $y = \sqrt{w}$ را بنویسید، و $\frac{d y}{d w}$ و $\frac{d w}{d x}$ را بیابید؛ مبارزه کنید، و تنها در صورتی که نتوانستید ادامه دهید به قاعده زنجیری در صفحه مراجعه کنید.

شما به دست خواهید آورد

برای بیشینه یا کمینه باید داشته باشیم $\frac{4 R^{2} - 2 x^{2}}{\sqrt{4 R^{2} - x^{2}}} = 0;$ یعنی، $4 R^{2} - 2 x^{2} = 0$ و $x = R \sqrt{2}$ .

ضلع دیگر $= \sqrt{4 R^{2} - 2 R^{2}} = R \sqrt{2}$ ؛ دو ضلع برابرند؛ شکل یک مربع است که ضلع آن برابر است با قطر مربع ساخته شده بر روی شعاع. در این حالت، البته، با یک بیشینه سروکار داریم.

مثال 11.8. شعاع دهانه یک ظرف مخروطی که طول ضلع شیب‌دار آن $l$ است، وقتی گنجایش ظرف بیشینه باشد چقدر است؟

راه حل. اگر $R$ شعاع و $H$ ارتفاع متناظر باشد، $H = \sqrt{l^{2} - R^{2}}$ (شکل زیر را ببینید). $حجم V = π R^{2} \times \frac{H}{3} = π R^{2} \times \frac{\sqrt{l^{2} - R^{2}}}{3} .$

با ادامه مانند مسئله قبلی، به دست می‌آوریم برای بیشینه یا کمینه.

یا، $2 π R (l^{2} - R^{2}) - π R^{2} = 0$ ، و $R = l \sqrt{\frac{2}{3}}$ ، که مشخصاً برای یک بیشینه است.

مثال 11.9. بیشینه‌ها و کمینه‌های تابع $y = \frac{x}{4 - x} + \frac{4 - x}{x} .$ راه حل. به دست می‌آوریم $\frac{d y}{d x} = \frac{(4 - x) - (- x)}{(4 - x)^{2}} + \frac{- x - (4 - x)}{x^{2}} = 0$ برای بیشینه یا کمینه؛ یا $\frac{4}{(4 - x)^{2}} - \frac{4}{x^{2}} = 0 و x = 2.$

فقط یک مقدار وجود دارد، بنابراین فقط یک بیشینه یا کمینه. $برای برای برای$ بنابراین یک کمینه است.

نمودار $y = \frac{x}{4 - x} + \frac{4 - x}{x}$ در زیر نشان داده شده است.

مثال 11.10. بیشینه‌ها و کمینه‌های تابع $y = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$ را بیابید.

راه حل. مشتق‌گیری فوراً (مثال 9.1 را ببینید) نتیجه می‌دهد $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} = 0$ برای بیشینه یا کمینه.

بنابراین $\sqrt{1 + x} = \sqrt{1 - x}$ و $x = 0$ ، تنها راه حل

برای $x = 0$ ، $y = 2$ .

برای $x = \pm 0.5$ ، $y = \sqrt{1.5} + \sqrt{0.5} \approx 1.932$ ، بنابراین این یک بیشینه است.

نمودار $y = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$ در زیر نشان داده شده است.

مثال 11.11. بیشینه‌ها و کمینه‌های تابع $y = \frac{x^{2} - 5}{2 x - 4} .$ را بیابید.

راه حل. داریم $\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x - 4) \times 2 x - (x^{2} - 5) 2}{(2 x - 4)^{2}} = 0$ برای بیشینه یا کمینه؛ یا $\frac{2 x^{2} - 8 x + 10}{(2 x - 4)^{2}} = 0;$ یا $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ ؛ که جواب‌های آن $x = \frac{5}{2} \pm \sqrt{- 1} .$

از آنجا که اینها موهومی هستند، هیچ مقدار حقیقی از $x$ وجود ندارد که $\frac{d y}{d x} = 0$ شود؛ بنابراین نه بیشینه‌ای وجود دارد و نه کمینه‌ای.

شکل زیر نمودار $y = \frac{x^{2} - 5}{2 x - 4}$ را نشان می‌دهد.

مثال 11.12. بیشینه‌ها و کمینه‌های تابع $(y - x^{2})^{2} = x^{5} .$ را بیابید.

راه حل. این می‌تواند به صورت $y = x^{2} \pm x^{\frac{5}{2}}$ نوشته شود. $\frac{d y}{d x} = 2 x \pm \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} = 0 برای بیشینه یا کمینه;$ یعنی، $x (2 \pm \frac{5}{2} x^{\frac{1}{2}}) = 0$ ، که برای $x = 0$ و برای $2 \pm \frac{5}{2} x^{\frac{1}{2}} = 0$ ، یعنی برای $x = \frac{16}{25}$ برقرار است. بنابراین دو جواب وجود دارد.

ابتدا $x = 0$ را در نظر بگیرید. اگر $x = - 0.5$ ، $y = 0.25 \pm \sqrt{- (0.5)^{5}}$ ، و اگر $x = + 0.5$ ، $y = 0.25 \pm \sqrt{(0.5)^{5}}$ . در یک طرف $y$ موهومی است؛ یعنی هیچ مقداری از $y$ وجود ندارد که بتواند با یک نمودار نمایش داده شود؛ بنابراین نمودار کاملاً در طرف راست محور $y$ قرار دارد (شکل زیر را ببینید).

با رسم نمودار معلوم می‌شود که منحنی به مبدأ می‌رود، گویی یک کمینه در آنجا وجود دارد؛ اما به جای ادامه دادن در آن سوی، همان‌طور که برای یک کمینه باید انجام دهد، مسیر خود را بازمی‌گرداند (تشکیل چیزی را می‌دهد که "نوک تیز" نامیده می‌شود). بنابراین، هیچ کمینه‌ای وجود ندارد، اگرچه شرط برای یک کمینه، یعنی $\frac{d y}{d x} = 0$ ، برقرار است. بنابراین لازم است همیشه با گرفتن یک مقدار در هر طرف بررسی کنیم.

حال، اگر $x = \frac{16}{25} = 0.64$ را در نظر بگیریم. اگر $x = 0.64$ ، $y = 0.7373$ و $y = 0.0819$ ؛ اگر $x = 0.6$ ، $y$ برابر می‌شود با $0.6389$ و $0.0811$ ؛ و اگر $x = 0.7$ ، $y$ برابر می‌شود با $0.8996$ و $0.0804$ .

این نشان می‌دهد که دو شاخه از منحنی وجود دارد؛ شاخه بالایی از یک بیشینه عبور نمی‌کند، اما شاخه پایینی عبور می‌کند.

برای خودتان مثال‌های دیگری بسازید. موضوعات کمی وجود دارند که چنین ثروتی از مثال‌های جالب ارائه دهند.

تمرین‌ها

تمرین 11.1. چه مقادیری از $x$ $y$ را به یک بیشینه و یک کمینه تبدیل می‌کنند، اگر $y = \frac{x^{2}}{x + 1}$ ؟

پاسخ

کمینه: $x = 0$ ، $y = 0$ ؛ بیشینه: $x = - 2$ ، $y = - 4$ .

راه حل

$\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = 0 یا x = - 2.$

وقتی $x = 0$ ، $y = 0$ .

وقتی $x = - 0.1$ ، $y \approx 0.009$ .

وقتی $x = 0.1$ ، $y \approx 0.011$ .

بنابراین $y = 0$ یک کمینه است که در $x = 0$ رخ می‌دهد.

وقتی $x = - 2$ ، $y = - 4$ .

وقتی $x = - 1.9$ ، $y \approx - 4.011$ .

وقتی $x = - 2.1$ ، $y \approx - 4.009$ .

بنابراین، $y = - 4$ یک بیشینه است که در $x = - 2$ رخ می‌دهد.

نمودار $y = \frac{x^{2}}{x + 1}$ در زیر نشان داده شده است.

تمرین 11.2. چه مقداری از $x$ $y$ را در معادله $y = \frac{x}{a^{2} + x^{2}}$ به یک بیشینه تبدیل می‌کند؟

پاسخ

$x = a$ .

راه حل

$y = \frac{x}{a^{2} + x^{2}} که در آن a > 0$ آن‌گاه $\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = a یا x = - a$

برای اینکه ببینیم کدام مقدار $x$ $y$ را بیشینه و کدام مقدار $x$ $y$ را کمینه می‌کند، بهتر است از آزمون مشتق اول استفاده کنیم:

اگر $x > a$ ، آن‌گاه $a^{2} - x^{2} < 0$ و بنابراین $\frac{d y}{d x} < 0$ اگر $x < a$ ، آن‌گاه $a^{2} - x^{2} > 0$ و بنابراین $\frac{d y}{d x} > 0$

از آزمون مشتق اول نتیجه می‌شود که $x = a$ متناظر با یک بیشینه $y = a / 2$ است.

به طور مشابه، اگر $x > - a$ ، آنگاه $a^{2} - x^{2} > 0$ و بنابراین $\frac{d y}{d x} > 0$ . اگر $x < - a$ ، آنگاه $a^{2} - x^{2} < 0$ و بنابراین $\frac{d y}{d x} < 0$ . بنابراین $x = - a$ مقدار $y$ را به یک کمینه‌ی $- a / 2$ تبدیل می‌کند.

می‌توانیم معادله‌ی داده شده را به صورت $y = \frac{x}{a^{2} (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})}$ یا $\frac{y}{a} = \frac{\frac{x}{a}}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}}$ بازنویسی کنیم.

حال می‌توانیم به سادگی نمودار $\frac{y}{a}$ را بر حسب $\frac{x}{a}$ رسم کنیم (شکل زیر را ببینید). همانطور که مشاهده می‌شود، نمودار به یک بیشینه در $\frac{x}{a} = 1$ و به یک کمینه در $\frac{x}{a} = - 1$ می‌رسد. مقدار بیشینه‌ی $\frac{y}{a} = 0.5$ و مقدار کمینه‌ی $\frac{y}{a}$ برابر $- 0.5$ است.

تمرین 11.3. یک خط به طول $p$ قرار است به $4$ قسمت بریده شود و به صورت یک مستطیل در کنار هم قرار گیرند. نشان دهید که مساحت مستطیل زمانی بیشینه خواهد بود که هر یک از اضلاع آن برابر با $\frac{1}{4} p$ باشد.

راه‌حل

فرض کنید:
$y =$ طول مستطیل
$x =$ عرض مستطیل

می‌خواهیم مساحت $A = x y$ را با شرط زیر بیشینه کنیم

$2 x + 2 y = p$

می‌توانیم $A$ را بر حسب $x$ به تنهایی بیان کنیم

برای یافتن بیشینه‌ی $A$

$\frac{d A}{d x} = \frac{p}{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{p}{4}$

وقتی $x = \frac{p}{4}$ ، $y = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{p}{4}$ .

بنابراین مساحت مستطیل $A$ زمانی بیشینه خواهد بود که طول هر ضلع برابر $\frac{P}{4}$ باشد.

تمرین 11.4. یک تکه نخ به طول $30$ اینچ دو سرش به هم وصل شده و توسط $3$ میخ کشیده می‌شود تا یک مثلث تشکیل شود. بزرگترین مساحت مثلثی که می‌توان با نخ محصور کرد چقدر است؟

[راهنمایی: از قاعده‌ای که اینجا برای تقسیم یک عدد به سه قسمت به طوری که حاصل‌ضرب بیشینه شود آموختید، استفاده کنید]

پاسخ

$25 \sqrt{3}$ اینچ مربع.

راه‌حل

فرض کنید $a, b, c$ طول اضلاع مثلث باشند. مساحت از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید

$مساحت = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$

که در آن $s$ نصف محیط یا $s = \frac{a + b + c}{3}$ است. در این مسئله

$A = \sqrt{15 (15 - a) (15 - b) (15 - c)}$

$A$ زمانی بیشینه است که $15 - a = 15 - b = 15 - c$ یا $a = b = c$

بنابراین مساحت بیشینه برابر است با $A = \sqrt{15 (15 - 10) (15 - 10) (15 - 10)} = \sqrt{15 \times 5^{3}} = 25 \sqrt{3} .$

تمرین 11.5. منحنی متناظر با معادله‌ی $y = \frac{10}{x} + \frac{10}{8 - x};$ را رسم کنید؛ همچنین $\frac{d y}{d x}$ را بیابید، و مقدار $x$ را که $y$ را کمینه می‌کند استنتاج کنید؛ و آن مقدار کمینه‌ی $y$ را بیابید.

پاسخ

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{(8 - x)^{2}}$ ؛ $x = 4$ ؛ $y = 5$ .

راه‌حل

$y = \frac{10}{x} + \frac{10}{8 - x} = 10 x^{- 1} + 10 (8 - x)^{- 1}$

از روی نمودار مشخص است که $x = 4$ مقدار $y$ را کمینه می‌کند.

وقتی $x = 4$ ، $y = \frac{10}{4} + \frac{10}{4} = 5$ .

تمرین 11.6. اگر $y = x^{5} - 5 x$ ، بیابید چه مقادیری از $x$ مقدار $y$ را بیشینه یا کمینه می‌کند.

پاسخ

بیشینه برای $x = - 1$ ؛ کمینه برای $x = 1$ .

راه‌حل

$y = x^{5} - 5 x$

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 5 = 5 (x^{4} - 1) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

وقتی $x = 2$ ، $y = 22$

وقتی $x = 1$ ، $y = - 4$

وقتی $x = 0$ ، $y = 0$

وقتی $x = - 1$ ، $y = 4$

وقتی $x = - 2$ ، $y = - 22$

بنابراین $y = 4$ یک بیشینه است که در $x = - 1$ رخ می‌دهد و $y = - 4$ یک کمینه است که در $x = 1$ رخ می‌دهد.

نمودار $y = x^{5} - 5 x$ در زیر نشان داده شده است.

تمرین 11.7. کوچکترین مربعی که می‌توان در یک مربع مفروض محاط کرد کدام است؟

پاسخ

نقاط میانی چهار ضلع را به هم وصل کنید.

راه‌حل

فرض کنید طول ضلع مربع مفروض $L$ باشد.

مساحت مربع محاطی برابر $A = c^{2}$ است اما $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . بنابراین

$A = a^{2} + b^{2}$

از آنجایی که $a + b = L$ ، داریم

$A = a^{2} + (L - a)^{2}$

برای کمینه کردن $A$ ،

$\frac{d A}{d a} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{L}{2}$

مساحت مربع محاطی وقتی کمینه است که $a = \frac{L}{2}$ یا به عبارتی نقاط میانی چهار ضلع را به هم وصل کنیم.

تمرین 11.8. در یک مخروط مفروض که ارتفاع آن برابر با شعاع قاعده است، یک استوانه محاط کنید به طوری که (الف) حجم آن بیشینه باشد؛ (ب) مساحت جانبی آن بیشینه باشد؛ (ج) مساحت کل آن بیشینه باشد.

پاسخ

$r = \frac{2}{3} R$ ، $r = \frac{R}{2}$ ، بیشینه ندارد.

راه‌حل

فرض کنید

$R =$ شعاع قاعده و ارتفاع مخروط

$r =$ شعاع استوانه

$h =$ ارتفاع استوانه

$\frac{r}{R} = \frac{R - h}{R} یا r = R - h$

(الف)

حجم وقتی بیشینه است که $r = \frac{2}{3} R$

(ب) مساحت جانبی $A = 2 π r h$

مساحت جانبی بیشینه وقتی به دست می‌آید که $r = \frac{R}{2}$ .

(ج) مساحت کل

نمودار $S$ بر حسب $r$ یک خط راست با شیب $2 π R$ است، که در آن $r$ بین $0 < r < R$ تغییر می‌کند.

از شکل بالا مشخص است که مساحت کل، $S$ ، هیچ بیشینه‌ای ندارد.

تمرین 11.9. در یک کره‌ی مفروض، یک استوانه محاط کنید به طوری که (الف) حجم آن بیشینه باشد؛ (ب) مساحت جانبی آن بیشینه باشد؛ (ج) مساحت کل آن بیشینه باشد.

پاسخ

$r = R \sqrt{\frac{2}{3}}$ ، $r = \frac{R}{\sqrt{2}}$ ، $r \approx 0.8506 R$ .

راه‌حل

از هندسه (شکل بالا را ببینید)

$r^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2} = R^{2}$ یا $h = 2 \sqrt{R^{2} - r^{2}}$

(الف) $حجم V = π r^{2} h = 2 π r^{2} \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ $\frac{d V}{d r} = 4 π r \sqrt{R^{2} - r^{2}} + 2 π r^{2} \frac{- 2 r}{2 \sqrt{R^{2} - r^{2}}}$ یا بنابراین، $\frac{d V}{d r} = 0 \Leftrightarrow r = 0 یا r = \sqrt{\frac{2}{3}} R$

$V$ وقتی بیشینه است که $r = \sqrt{\frac{2}{3}} R$

(ب) مساحت جانبی $A = 2 π r h$ یا $A = 4 π r \sqrt{R^{2} - r^{2}}$

بنابراین، $\frac{d A}{d r} = 0 \Leftrightarrow r = \frac{R}{\sqrt{2}}$

$A$ برای $r = \frac{R}{\sqrt{2}}$ بیشینه است.

(ج) مساحت کل

یا $5 r^{4} - 5 R^{2} r^{2} + R^{4} = 0$ این یک معادله‌ی درجه دوم بر حسب $r$ است

$\begin{matrix} r^{2} = \frac{5 R^{2} \pm \sqrt{25 R^{4} - 20 R^{4}}}{10} = \frac{5 R^{2} \pm \sqrt{5} R^{2}}{10} \\ r = R \sqrt{\frac{5 \pm \sqrt{5}}{10}} \end{matrix}$

حال بررسی می‌کنیم که آیا هر دو مقدار $r$ در معادله‌ی اصلی صدق می‌کنند

$R^{2} - 2 r^{2} + r \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 0$

مشخص می‌شود که تنها $r = R \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{10}}$ در این معادله صدق می‌کند.

بنابراین، مساحت کل برای

$r = R \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{10}} \approx 0.8507 R$

بیشینه است.

تمرین 11.10. در یک کره‌ی مفروض، یک مخروط محاط کنید که حجم آن بیشینه باشد.

پاسخ

$r = \frac{R \sqrt{8}}{3}$ که در آن $R$ شعاع کره است. حجم بیشینه برابر $\frac{32}{81} R^{3}$ است.

راه‌حل

$یا$

بنابراین

$\frac{d V}{d r} = 0 \Leftrightarrow r = 0 یا r = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} R$

$r = 0$ و $r = - \frac{\sqrt{8}}{3} R$ قابل قبول نیستند

$r = \frac{\sqrt{8}}{3} R$ حجم $V$ را بیشینه می‌کند

تمرین 11.11. جریان $C$ تولید شده توسط یک باتری از $N$ پیل ولتایی مشابه برابر است با $C = \frac{n \times E}{R + \frac{r n^{2}}{N}}$ ، که در آن $E$ ، $R$ ، $r$ ثابت هستند و $n$ تعداد پیل‌هایی است که به صورت سری به هم وصل شده‌اند. نسبت $n$ به $N$ را برای زمانی که جریان بیشینه است بیابید.

پاسخ

$n = \sqrt{\frac{N R}{r}}$ .

راه‌حل

قاعده‌ی خارج قسمت برای بیشینه کردن جریان، قرار دهید $\frac{d C}{d n} = 0$

یا

$\begin{matrix} E (R + \frac{r}{N} n^{2}) - \frac{2 E r}{N} n^{2} = 0 \\ \frac{E r}{N} n^{2} = E R \\ \Rightarrow n = \sqrt{\frac{R}{r} N} \end{matrix}$

یا

$\frac{n}{\sqrt{N}} = \sqrt{\frac{R}{r}}$

$C$ وقتی بیشینه است که $\frac{n}{\sqrt{N}} = \sqrt{\frac{R}{r}}$ .

بیشتر درباره‌ی بیشینه‌ها و کمینه‌ها

دیدیم که هرگاه یک منحنی «هموار» به حداکثر یا حداقل ارتفاع خود برسد، $\frac{d y}{d x}$ صفر است. با این حال، عکس این قضیه درست نیست. یعنی اگر مشتق در یک نقطه صفر باشد، منحنی لزوماً به حداکثر یا حداقل ارتفاع خود نمی‌رسد. برای مثال، $y = x^{3}$ را در نظر بگیرید. آنگاه $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$ برای $x = 0$ صفر است، اما $y$ در $x = 0$ هیچ حداکثر یا حداقلی ندارد (شکل زیر را ببینید).

اکنون تابع را در نظر بگیرید. نمودار این تابع در زیر نشان داده شده است.

واضح است که این «منحنی» در مبدأ یک حداقل دارد؛ با این حال، در مبدأ $\frac{d y}{d x}$ وجود ندارد زیرا کمی به سمت راست مبدأ $\frac{d y}{d x} = 1$ و کمی به سمت چپ مبدأ $\frac{d y}{d x} = - 1$ است.

بنابراین، در حالتی کلی‌تر، می‌توان گفت که اگر یک منحنی حداکثر یا حداقلی داشته باشد، آنگاه در آن نقطه یا $\frac{𝒅 𝒚}{𝒅 𝒙}$ صفر است یا $\frac{𝒅 𝒚}{𝒅 𝒙}$ وجود ندارد. اگر در برخی نقاط $\frac{d y}{d x}$ وجود نداشته باشد، باید آن نقاط را نیز برای حداکثر یا حداقل بودن بررسی کنیم.

آزمون مشتق اول

در فصل قبل آموختیم که اگر $\frac{d y}{d x} > 0$ باشد، منحنی صعودی است و اگر $\frac{d y}{d x} < 0$ باشد، منحنی نزولی است. اکنون توجه کنید که اگر منحنی در نقطه‌ای از صعود باز ایستد و شروع به نزول کند، آنگاه $y$ در آن نقطه یک حداکثر دارد (برای مثال، نقطه $A$ در شکل زیر). برعکس، اگر منحنی از نزول به صعود تغییر کند، آنگاه $y$ یک حداقل دارد (برای مثال، نقطه $B$ در شکل زیر). با این حال، اگر علامت $\frac{d y}{d x}$ در دو طرف یک نقطه یکسان باشد، منحنی به صعود یا نزول ادامه خواهد داد و بنابراین نمی‌تواند در آن نقطه حداکثر یا حداقلی داشته باشد (برای مثال، نقطه $C$ در شکل زیر).

بنابراین،

آزمون مشتق اول

اگر $\frac{d y}{d x} > 0$ بلافاصله در سمت چپ یک نقطه و $\frac{d y}{d x} < 0$ بلافاصله در سمت راست آن باشد، آنگاه $y$ در این نقطه یک حداکثر است.

اگر $\frac{d y}{d x} < 0$ بلافاصله در سمت چپ یک نقطه و $\frac{d y}{d x} > 0$ بلافاصله در سمت راست آن باشد، آنگاه $y$ در این نقطه یک حداقل است.

اگر علامت مشتق در دو طرف یک نقطه یکسان باشد، آنگاه $y$ در آن نقطه نه حداکثر است و نه حداقل.

این آزمون مشتق اول نامیده می‌شود. این آزمون روشی برای تشخیص اینکه مقداری از $x$ که با صفر قرار دادن $\frac{d y}{d x}$ می‌یابیم، حداکثر یا حداقل می‌دهد، در اختیار ما قرار می‌دهد. در فصل بعد خواهیم آموخت که چگونه از مشتق دوم برای تمایز بین حداکثر و حداقل استفاده کنیم.

مثال 11.13. حداکثرها و حداقل‌های تابع $y = \frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)^{3}} .$ را بیابید.

حل. ابتدا مشتق $y$ را می‌یابیم: $قاعده خارج قسمت$ یا بنابراین، برای $x = 1$ و $x = 5$ ، داریم $\frac{d y}{d x} = 0$ .

برای تعیین اینکه هر یک از این مقادیر $x$ حداکثر یا حداقل می‌دهد، می‌توانیم آزمون مشتق اول را اعمال کنیم. با در نظر گرفتن علامت مشتق برای مقادیری از $x$ که کمی کمتر از $1$ و کمی بیشتر از $1$ هستند، داریم:

$وقتی وقتی$ بنابراین $x = 1$ متناظر با یک حداقل $y = 0$ است.

به طور مشابه، با در نظر گرفتن علامت مشتق برای مقادیر $x$ که کمی کمتر از $5$ و کمی بیشتر از $5$ هستند، به دست می‌آوریم: $وقتی وقتی$ بنابراین $x = 5$ متناظر با یک حداکثر $y = \frac{2}{27}$ است.

این منحنی در زیر رسم شده است.