Uno de los principales usos del proceso de diferenciación es averiguar bajo qué condiciones el valor de lo que se diferencia alcanza su máximo o mínimo. Esto es a menudo muy importante en cuestiones de ingeniería, donde es muy deseable saber qué condiciones harán que el costo de funcionamiento sea un mínimo, o que la eficiencia sea un máximo.
Ahora, para comenzar con un caso concreto, tomemos la ecuación
Asignando una serie de valores sucesivos a , y encontrando los valores correspondientes de , podemos ver fácilmente que la ecuación representa una curva con un mínimo.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 7 | 4 | 3 | 4 | 7 | 12 |
Estos valores se representan en la siguiente figura, que muestra que tiene aparentemente un valor mínimo de , cuando es igual a . Pero, ¿está seguro de que el mínimo ocurre en , y no en o en ?
Por supuesto, sería posible con cualquier expresión algebraica trabajar muchos valores, y así llegar gradualmente al valor particular que pueda ser un máximo o un mínimo.
Aquí hay otro ejemplo:
Sea .
Calcule algunos valores de la siguiente manera:
| 5 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
Represente estos valores como en la figura siguiente.
Será evidente que habrá un máximo en algún lugar entre y ; y parece como si el valor máximo de debiera ser aproximadamente . Pruebe algunos valores intermedios. Si , ; si , ; si , . ¿Cómo podemos estar seguros de que es realmente el máximo, o de que ocurre exactamente cuando ?
Ahora bien, puede sonar como un truco decir que hay una manera por la cual uno puede llegar directamente a un valor máximo (o mínimo) sin hacer muchas pruebas preliminares o suposiciones. Y esa manera depende de diferenciar. Mire de nuevo el capítulo anterior para los comentarios sobre la Fig. 10.8 y la Fig. 10.9, y verá que cada vez que una curva alcanza su altura máxima o mínima, en ese punto su . Ahora, esto nos da la pista del truco que se desea. Cuando se le presenta una ecuación, y desea encontrar ese valor de que hará que su sea un mínimo (o un máximo), primero diferencie, y una vez hecho esto, escriba su como igual a cero, y luego resuelva para . Ponga este valor particular de en la ecuación original, y luego obtendrá el valor requerido de . Este proceso se llama comúnmente “igualar a cero”.
Proceso de encontrar los máximos o mínimos de una función
Diferencie con respecto a (encuentre ).
Iguale a cero, y luego resuelva para .
Poner el valor particular de encontrado en el Paso 2 en la ecuación original da el valor de que busca.
Para ver qué tan simple funciona, tome el ejemplo con el que comienza este capítulo.
Ejemplo 11.1. Encuentre el valor mínimo de si
Solución. Diferenciando, obtenemos: Ahora iguale esto a cero, así: Resolviendo esta ecuación para , obtenemos: \begin{align} 2x &= 4, \\ x &= 2. \end{align}
Ahora, sabemos que el máximo (o mínimo) ocurrirá exactamente cuando .
Poniendo el valor en la ecuación original, obtenemos \begin{align} y &= 2^2 - (4\times2) + 7 \\ &= 4 - 8 + 7 \\ &= 3. \end{align}
Ahora mire hacia atrás en la Fig. 11.1, y verá que el mínimo ocurre cuando , y que este mínimo de .
Pruebe el segundo ejemplo (Fig. 11.2).
Ejemplo 11.2. Encuentre el valor máximo de si
Solución. Diferenciando, Igualando a cero, de donde y al poner este valor de en la ecuación original, encontramos: \begin{align} y &= 4 \frac{1}{2} - \left(1 \frac{1}{2} \times 1 \frac{1}{2}\right), \\ y &= 2 \frac{1}{4}. \end{align} Esto nos da exactamente la información sobre la cual el método de intentar muchos valores nos dejaba inciertos.
