Uno de los principales usos del proceso de diferenciación es averiguar bajo qué condiciones el valor de lo que se diferencia alcanza su máximo o mínimo. Esto es a menudo muy importante en cuestiones de ingeniería, donde es muy deseable saber qué condiciones harán que el costo de funcionamiento sea un mínimo, o que la eficiencia sea un máximo.
Ahora, para comenzar con un caso concreto, tomemos la ecuación y = x^2 - 4x + 7.
Asignando una serie de valores sucesivos a x, y encontrando los valores correspondientes de y, podemos ver fácilmente que la ecuación representa una curva con un mínimo.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 7 | 4 | 3 | 4 | 7 | 12 |
Estos valores se representan en la siguiente figura, que muestra que y tiene aparentemente un valor mínimo de 3, cuando x es igual a 2. Pero, ¿está seguro de que el mínimo ocurre en 2, y no en 2 \frac{1}{4} o en 1 \frac{3}{4}?
Por supuesto, sería posible con cualquier expresión algebraica trabajar muchos valores, y así llegar gradualmente al valor particular que pueda ser un máximo o un mínimo.
Aquí hay otro ejemplo:
Sea y = 3x - x^2.
Calcule algunos valores de la siguiente manera:
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | -4 | 0 | 2 | 2 | 0 | -10 |
Represente estos valores como en la figura siguiente.
Será evidente que habrá un máximo en algún lugar entre x = 1 y x = 2; y parece como si el valor máximo de y debiera ser aproximadamente 2 \frac{1}{4}. Pruebe algunos valores intermedios. Si x = 1 \frac{1}{4}, y = 2.187; si x = 1 \frac{1}{2}, y = 2.25; si x = 1.6, y = 2.24. ¿Cómo podemos estar seguros de que 2.25 es realmente el máximo, o de que ocurre exactamente cuando x = 1 \frac{1}{2}?
Ahora bien, puede sonar como un truco decir que hay una manera por la cual uno puede llegar directamente a un valor máximo (o mínimo) sin hacer muchas pruebas preliminares o suposiciones. Y esa manera depende de diferenciar. Mire de nuevo el capítulo anterior para los comentarios sobre la Fig. 10.8 y la Fig. 10.9, y verá que cada vez que una curva alcanza su altura máxima o mínima, en ese punto su \dfrac{dy}{dx} = 0. Ahora, esto nos da la pista del truco que se desea. Cuando se le presenta una ecuación, y desea encontrar ese valor de x que hará que su y sea un mínimo (o un máximo), primero diferencie, y una vez hecho esto, escriba su \dfrac{dy}{dx} como igual a cero, y luego resuelva para x. Ponga este valor particular de x en la ecuación original, y luego obtendrá el valor requerido de y. Este proceso se llama comúnmente “igualar a cero”.
Proceso de encontrar los máximos o mínimos de una función
Diferencie y con respecto a x (encuentre \dfrac{dy}{dx}).
Iguale \dfrac{dy}{dx} a cero, y luego resuelva para x.
Poner el valor particular de x encontrado en el Paso 2 en la ecuación original da el valor de y que busca.
Para ver qué tan simple funciona, tome el ejemplo con el que comienza este capítulo.
Ejemplo 11.1. Encuentre el valor mínimo de y si y = x^2 - 4x + 7.
Solución. Diferenciando, obtenemos: \dfrac{dy}{dx} = 2x - 4. Ahora iguale esto a cero, así: 2x - 4 = 0. Resolviendo esta ecuación para x, obtenemos: \begin{align} 2x &= 4, \\ x &= 2. \end{align}
Ahora, sabemos que el máximo (o mínimo) ocurrirá exactamente cuando x=2.
Poniendo el valor x=2 en la ecuación original, obtenemos \begin{align} y &= 2^2 - (4\times2) + 7 \\ &= 4 - 8 + 7 \\ &= 3. \end{align}
Ahora mire hacia atrás en la Fig. 11.1, y verá que el mínimo ocurre cuando x = 2, y que este mínimo de y = 3.
Pruebe el segundo ejemplo (Fig. 11.2).
Ejemplo 11.2. Encuentre el valor máximo de y si y = 3x - x^2.
Solución. Diferenciando, \frac{dy}{dx} = 3 - 2x. Igualando a cero, 3 - 2x = 0, de donde x = 1 \frac{1}{2}; y al poner este valor de x en la ecuación original, encontramos: \begin{align} y &= 4 \frac{1}{2} - \left(1 \frac{1}{2} \times 1 \frac{1}{2}\right), \\ y &= 2 \frac{1}{4}. \end{align} Esto nos da exactamente la información sobre la cual el método de intentar muchos valores nos dejaba inciertos.
