مشتق

در طول حساب دیفرانسیل و انتگرال، ما با کمیت‌هایی که در حال رشد هستند و با نرخ‌های رشد سروکار داریم. ما تمام کمیت‌ها را به دو دسته تقسیم می‌کنیم: ثابت‌ها و متغیرها. آن‌هایی را که مقدار ثابتی برایشان قائل هستیم و آن‌ها را ثابت‌ها می‌نامیم، معمولاً به‌طور جبری با حروف ابتدای الفبا نشان می‌دهیم، مانند $a$، $b$، یا $c$؛ در حالی که آن‌هایی را که قابلیت رشد دارند، یا (به قول ریاضیدانان) “متغیر”، با حروف انتهای الفبا نشان می‌دهیم، مانند $x$، $y$، $z$، $u$، $v$، $w$، یا گاهی $t$.

علاوه بر این، ما معمولاً با بیش از یک متغیر به‌طور همزمان سروکار داریم و به چگونگی وابستگی یک متغیر به متغیر دیگر فکر می‌کنیم: برای مثال، به چگونگی وابستگی ارتفاعی که یک پرتابه به آن می‌رسد به زمان رسیدن به آن ارتفاع فکر می‌کنیم. یا از ما خواسته می‌شود مستطیلی با مساحت معین را در نظر بگیریم و بررسی کنیم که چگونه هر افزایشی در طول آن موجب کاهش متناظری در عرض آن می‌شود. یا به این موضوع فکر می‌کنیم که چگونه هر تغییری در شیب یک نردبان باعث تغییر ارتفاعی می‌شود که به آن می‌رسد.

فرض کنید دو متغیر داریم که به یکدیگر وابسته‌اند. تغییر در یکی، تغییری در دیگری را زیرا این وابستگی به دنبال خواهد داشت. بیایید یکی از متغیرها را $x$ بنامیم، و دیگری را که به آن وابسته است $y$ بنامیم.

فرض کنید $x$ را تغییر دهیم، یعنی یا آن را تغییر می‌دهیم یا تصور می‌کنیم که تغییر کرده است، با افزودن یک ذره به آن که آن را $dx$ می‌نامیم. بدین ترتیب $x$ به $x+dx$ تبدیل می‌شود. سپس، چون $x$ تغییر کرده است، $y$ نیز تغییر خواهد کرد و به $y+dy$ تبدیل خواهد شد. در اینجا ذره $dy$ ممکن است در برخی موارد مثبت و در برخی دیگر منفی باشد؛ و (جز با یک معجزه) هم‌اندازه $dx$ نخواهد بود.

دو مثال بزنیم

مثال ۳.۱. فرض کنید $x$ و $y$ به ترتیب قاعده و ارتفاع یک مثلث قائم‌الزاویه باشند (شکل زیر) که شیب ضلع دیگر آن ثابت و برابر ${30}^{\circ }$ است. اگر فرض کنیم این مثلث منبسط شود اما زوایای خود را مانند ابتدا حفظ کند، آنگاه وقتی قاعده به $x+dx$ افزایش یابد، ارتفاع به $y+dy$ تبدیل می‌شود. در اینجا، افزایش $x$ منجر به افزایش $y$ می‌شود. مثلث کوچکی که ارتفاع آن $dy$ و قاعده آن $dx$ است، با مثلث اصلی متشابه است؛ و واضح است که مقدار نسبت ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ با مقدار نسبت ${\displaystyle \frac{y}{x}}$ یکسان است. از آنجا که زاویه ${30}^{\circ }$ است، دیده می‌شود که در اینجا $$\frac{dy}{dx}=\tan {30}^{\circ }\approx \frac{1}{1.73}.$$

شکل ۳.۱

مثال ۳.۲. فرض کنید $x$ در شکل بعدی، فاصله افقی انتهای پایینی یک نردبان به طول ثابت $AB$ از دیوار را نشان دهد؛ و $y$ ارتفاعی باشد که نردبان روی دیوار می‌رود. حال $y$ به وضوح به $x$ بستگی دارد. به راحتی می‌توان دید که اگر انتهای پایینی $A$ را کمی از دیوار دورتر بکشیم، انتهای بالایی $B$ کمی پایین‌تر خواهد آمد. بگذارید این را به زبان علمی بیان کنیم. اگر $x$ را به $x+dx$ افزایش دهیم، آنگاه $y$ به $y+dy$ تبدیل می‌شود. اگر باشد، آنگاه ؛ یعنی وقتی $x$ یک افزایش مثبت دریافت می‌کند، افزایشی که برای $y$ حاصل می‌شود منفی است.

شکل ۳.۲

بله، اما چقدر؟ فرض کنید نردبان آنقدر بلند بود که وقتی انتهای پایینی $A$ $19$ اینچ از دیوار فاصله داشت، انتهای بالایی $B$ درست $15$ فوت از زمین فاصله می‌گرفت. حال، اگر انتهای پایینی را $1$ اینچ بیشتر بیرون بکشید، انتهای بالایی چقدر پایین می‌آید؟ همه را به اینچ تبدیل کنید: $x=19$ اینچ، $y=180$ اینچ. حال افزایش $x$ که آن را $dx$ می‌نامیم، $1$ اینچ است: یا $x+dx=20$ اینچ.

$y$ چقدر کاهش خواهد یافت؟ ارتفاع جدید $y+dy$ خواهد بود. اگر ارتفاع را با قضیه فیثاغورس محاسبه کنیم،¹ در آن صورت خواهیم توانست بفهمیم $dy$ چقدر خواهد بود. طول نردبان $$\sqrt{(180{)}^2+(19{)}^2}=181\text{ اینچ}$$ است. واضح است که در این صورت، ارتفاع جدید، یعنی $y+dy$، چنان خواهد بود که اکنون $y$ برابر $180$ است، بنابراین $dy$ تقریباً $179.89-180=-0.11$ اینچ می‌شود.

بنابراین می‌بینیم که افزایش $dx$ به اندازه $1$ اینچ، منجر به کاهش $dy$ به اندازه تقریباً $0.11$ اینچ شده است.

و نسبت $dy$ به $dx$ را می‌توان چنین بیان کرد: $$\frac{dy}{dx}\approx -\frac{0.11}{1}.$$

همچنین به راحتی می‌توان دید که (به جز در یک موقعیت خاص) $dy$ اندازه‌ای متفاوت از $dx$ خواهد داشت.

اکنون در سراسر حساب دیفرانسیل، ما به دنبال یک چیز کنجکاوانه، یک نسبت صرف، یعنی نسبتی که $dy$ به $dx$ دارد وقتی هر دوی آن‌ها به طور نامحدودی کوچک هستند، می‌گردیم، می‌گردیم، می‌گردیم.

در اینجا باید توجه داشت که ما فقط زمانی می‌توانیم این نسبت ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ را بیابیم که $y$ و $x$ به نحوی به یکدیگر مرتبط باشند، به طوری که هرگاه $x$ تغییر کند، $y$ نیز تغییر کند. برای مثال، در مثال اولی که ذکر شد، اگر قاعده $x$ مثلث بلندتر شود، ارتفاع $y$ مثلث نیز بزرگتر می‌شود، و در مثال دوم، اگر فاصله $x$ پای نردبان از دیوار افزایش یابد، ارتفاع $y$ که نردبان بدان می‌رسد به طور متناظری کاهش می‌یابد، در ابتدا به آرامی، اما با افزایش $x$ سریع‌تر و سریع‌تر. در این موارد، رابطه بین $x$ و $y$ کاملاً معین است، می‌توان آن را به صورت ریاضی بیان کرد، که به ترتیب ${\displaystyle \frac{y}{x}}=\tan {30}^{\circ }$ و $x^2+y^2=l^2$ (که در آن $l$ طول نردبان است) می‌باشد، و ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ همان معنایی را دارد که در هر مورد یافتیم.

اگر در حالی که $x$، مانند قبل، فاصله پای نردبان از دیوار است، $y$ به جای ارتفاعی که نردبان به آن می‌رسد، طول افقی دیوار، یا تعداد آجرهای آن، یا تعداد سال‌هایی که از ساخت آن گذشته‌ است باشد، هر تغییری در $x$ طبیعتاً هیچ تغییری در $y$ ایجاد نخواهد کرد؛ در این حالت ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ اصلاً معنایی ندارد و یافتن عبارتی برای آن ممکن نیست. هرگاه از دیفرانسیل‌های $dx$، $dy$، $dz$، و غیره استفاده می‌کنیم، وجود نوعی رابطه بین $x$، $y$، $z$، و غیره، مستلزم است، و این رابطه یک «تابع» در $x$، $y$، $z$، و غیره نامیده می‌شود؛ برای مثال، دو عبارتی که در بالا آورده شد، یعنی ${\displaystyle \frac{y}{x}}=\tan {30}^{\circ }$ و $x^2+y^2=l^2$، توابعی از $x$ و $y$ هستند. این عبارات به طور ضمنی (یعنی بدون اینکه به طور مشخص نشان دهند) وسیله بیان کردن $x$ بر حسب $y$ یا $y$ بر حسب $x$ را شامل می‌شوند، و به همین دلیل آن‌ها را توابع ضمنی در $x$ و $y$ می‌نامند؛ این عبارات را می‌توان به ترتیب به صورت‌های $$y=x\tan {30}^{\circ }\text{یا}x=\frac{y}{\tan {30}^{\circ }}$$ و $$y=\sqrt{l^2-x^2}\text{یا}x=\sqrt{l^2-y^2}$$ نوشت.

این عبارات اخیر به طور صریح (یعنی به طور مشخص) مقدار $x$ بر حسب $y$، یا $y$ بر حسب $x$ را بیان می‌کنند، و به همین دلیل آن‌ها را توابع صریح $x$ یا $y$ می‌نامند. برای مثال $x^2+3=2y-7$ یک تابع ضمنی در $x$ و $y$ است؛ می‌توان آن را به صورت $y={\displaystyle \frac{x^2+10}{2}}$ (تابع صریح $x$) یا $x=\sqrt{2y-10}$ (تابع صریح $y$) نوشت.² می‌بینیم که یک تابع صریح در $x$، $y$، $z$، و غیره، صرفاً چیزی است که مقدار آن وقتی $x$، $y$، $z$، و غیره تغییر می‌کنند، اعم از اینکه هر بار یکی تغییر کند یا چندتایی با هم، تغییر می‌کند. به همین دلیل، مقدار تابع صریح متغیر وابسته نامیده می‌شود، زیرا به مقدار سایر کمیت‌های متغیر در تابع بستگی دارد؛ این متغیرهای دیگر متغیرهای مستقل نامیده می‌شوند زیرا مقدار آن‌ها از مقداری که تابع اختیار می‌کند تعیین نمی‌شود. برای مثال، اگر $u=x^2\sin \theta$، آنگاه $x$ و $\theta$ متغیرهای مستقل، و $u$ متغیر وابسته است.

گاهی رابطه دقیق بین چند کمیت $x$، $y$، $z$ یا مشخص نیست یا بیان آن راحت نیست؛ فقط این مشخص است یا راحت است که بگوییم نوعی رابطه بین این متغیرها وجود دارد، به طوری که نمی‌توان هیچ یک از $x$ یا $y$ یا $z$ را به تنهایی تغییر داد بدون آنکه بر کمیت‌های دیگر تأثیر بگذارد؛ وجود یک تابع در $x$، $y$، $z$ در آن صورت با نماد $F(x,y,z)$ (تابع ضمنی) یا با $x=F(y,z)$، $y=F(x,z)$ یا $z=F(x,y)$ (تابع صریح) نشان داده می‌شود. گاهی به جای $F$ از حرف $f$ یا $\varphi$ استفاده می‌شود، به طوری که $y=F(x)$، $y=f(x)$ و $y=\varphi (x)$ همگی به یک معنا هستند، یعنی مقدار $y$ به نحوی به مقدار $x$ بستگی دارد که بیان نشده است.

ما نسبت ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ را «مشتق $𝒚$ نسبت به $𝒙$» می‌نامیم. این یک نام علمی پرطمطراق برای این چیز بسیار ساده است. اما ما قرار نیست از این نام‌های پرطمطراق بترسیم، وقتی خود چیزها اینقدر ساده هستند. به جای ترسیدن، ما صرفاً یک نفرین مختصر بر حماقت نام‌گذاری‌های طولانی و قلنبه‌سلنبه می‌فرستیم؛ و بعد از اینکه خیالمان راحت شد، به سراغ خود آن چیز ساده، یعنی نسبت ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ می‌رویم.

در جبر معمولی که در مدرسه یاد گرفتید، شما همیشه به دنبال کمیت مجهولی می‌گشتید که آن را $x$ یا $y$ می‌نامیدید؛ یا گاهی دو کمیت مجهول وجود داشت که باید همزمان پیدا می‌شدند. حالا باید یاد بگیرید که به روش جدیدی به شکار بروید؛ روباه این بار نه $x$ است و نه $y$. در عوض، شما باید به دنبال این توله کنجکاوانه به نام ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ بگردید. فرایند یافتن مقدار ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ «مشتق‌گیری» نامیده می‌شود. اما به خاطر داشته باشید که آنچه مورد نیاز است، مقدار این نسبت وقتی است که هم $dy$ و هم $dx$ خودشان به طور نامحدودی کوچک هستند. مقدار واقعی مشتق، همان مقداری است که در حالت حدی، وقتی هر یک از آن‌ها بی‌نهایت کوچک در نظر گرفته می‌شوند، به آن نزدیک می‌شود.

اکنون بیایید یاد بگیریم که چگونه به جستجوی ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ برویم.

چگونه مشتق‌ها را بخوانیم

هرگز نباید مرتکب اشتباه تازه‌کاری شد که فکر کنید $dx$ به معنای $d$ ضربدر $x$ است، زیرا $d$ یک عامل نیست—بلکه به معنای «یک عنصر از» یا «ذره‌ای از» هر چیزی که بعد از آن می‌آید می‌باشد. $dx$ را اینطور می‌خوانیم: “dee-eks.”

در صورتی که خواننده کسی را ندارد که در چنین مسائلی راهنمایی‌اش کند، در اینجا به سادگی می‌توان گفت که مشتق‌ها به شیوه زیر خوانده می‌شوند. مشتق

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ خوانده می‌شود “dee-wy by dee-eks,” یا “dee-wy over dee-eks.”

${\displaystyle \frac{du}{dt}}$ خوانده می‌شود “dee-you by dee-tee.”

مشتق دوم بعداً ملاقات خواهد شد. آن‌ها اینگونه هستند:

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$؛ که خوانده می‌شود “dee-two-wy over dee-eks-squared،”

و به این معناست که عمل مشتق‌گیری $y$ نسبت به $x$ دو بار انجام شده (یا باید انجام شود).

روش دیگر برای نشان دادن این که یک تابع مشتق‌گیری شده است، افزودن یک آپوستروف به نماد تابع است. بنابراین اگر $y=F(x)$، به این معنی که $y$ یک تابع نامشخص از $x$ است، می‌توانیم را به جای ${\displaystyle \frac{d(F(x))}{dx}}$ بنویسیم. به همین ترتیب، به این معنا خواهد بود که تابع اصلی $F(x)$ نسبت به $x$ دو بار مشتق‌گیری شده است.

1. قضیه فیثاغورس بیان می‌کند که در یک مثلث قائم‌الزاویه، مربع وتر برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگر.↩︎
2. در اینجا فرض کردیم که $x$ مثبت است. با این حال، اگر به ما داده شود که $x$ منفی است، باید آن را به صورت $x=-\sqrt{2y-10}$ بیان کنیم.↩︎