导数

在微积分中，我们始终处理的是不断增长的量和增长率。我们将所有量分为两类：常量和变量。那些我们视为具有固定值并称之为常量的量，通常用字母表开头的字母代数表示，如 $a$、$b$ 或 $c$；而我们认为能够增长，或（如数学家所说）能够“变化”的量，则用字母表末尾的字母表示，如 $x$、$y$、$z$、$u$、$v$、$w$，有时也用 $t$。

此外，我们通常同时处理多个变量，并考虑一个变量依赖于另一个变量的方式：例如，我们考虑抛射体达到的高度如何依赖于达到该高度的时间。或者让我们考虑一个给定面积的矩形，并探究其长度增加将如何迫使宽度相应减小。或者我们考虑梯子倾斜度的任何变化将如何导致其达到的高度变化。

假设我们有两个这样相互依赖的变量。其中一个的变化将引起另一个的变化，因为存在这种依赖关系。我们称其中一个变量为 $x$，另一个依赖于它的为 $y$。

假设我们让 $x$ 变化，也就是说，我们通过给它增加一小部分（我们称之为 $dx$）来改变它或想象它被改变。这样我们使 $x$ 变为 $x+dx$。然后，因为 $x$ 改变了，$y$ 也会改变，变为 $y+dy$。这里 $dy$ 有时为正，有时为负；而且（除非奇迹发生）它的大小不会与 $dx$ 相同。

举两个例子

例 3.1。设 $x$ 和 $y$ 分别是一个直角三角形（下图）的底和高，其另一边的坡度固定为 ${30}^{\circ }$。如果我们假设这个三角形膨胀但保持其角度与最初相同，那么当底增长到 $x+dx$ 时，高变为 $y+dy$。这里，增加 $x$ 导致 $y$ 增加。高为 $dy$、底为 $dx$ 的小三角形与原三角形相似；显然，比值 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 的值与比值 ${\displaystyle \frac{y}{x}}$ 的值相同。由于角度为 ${30}^{\circ }$，可以看出这里 $$\frac{dy}{dx}=\tan {30}^{\circ }\approx \frac{1}{1.73}.$$

图 3.1

例 3.2。在下一个图中，设 $x$ 表示一个固定长度的梯子 $AB$ 底端离墙的水平距离；并设 $y$ 为它沿墙达到的高度。现在 $y$ 显然依赖于 $x$。很容易看出，如果我们把底端 $A$ 稍微拉离墙壁，顶端 $B$ 就会下降一点。让我们用科学的语言说明这一点。如果我们把 $x$ 增加到 $x+dx$，那么 $y$ 将变为 $y+dy$。如果 ，那么 ；也就是说，当 $x$ 获得一个正增量时，$y$ 获得的增量为负。

图 3.2

然而，到底是多少呢？假设梯子这么长：当底端 $A$ 离墙 $19$ 英寸时，顶端 $B$ 刚好离地 $15$ 英尺。现在，如果你把底端再向外拉出 $1$ 英寸，顶端会下降多少？把全部换算成英寸：$x=19$ 英寸，$y=180$ 英寸。现在 $x$ 的增量记为 $dx$，是 $1$ 英寸：即 $x+dx=20$ 英寸。

$y$ 会减小多少？新的高度将为 $y+dy$。如果我们用勾股定理，¹ 就能求出 $dy$ 的值。梯子的长度为 $$\sqrt{(180{)}^2+(19{)}^2}=181\text{ 英寸}.$$ 显然，新的高度 $y+dy$ 将满足 现在 $y$ 是 $180$，所以 $dy$ 大约为 $179.89-180=-0.11$ 英寸。

因此，我们看到使 $dx$ 增加 $1$ 英寸导致 $dy$ 减小约 $0.11$ 英寸。

而 $dy$ 与 $dx$ 的比值可以表示为：$$\frac{dy}{dx}\approx -\frac{0.11}{1}.$$

也很容易看出，（除了在某一特定位置外）$dy$ 的大小会与 $dx$ 不同。

在微分学中，我们一直在寻找，寻找，寻找一个奇妙的东西，一个纯粹的比值，即当 $dy$ 和 $dx$ 都无限小时 $dy$ 与 $dx$ 之比。

这里应注意，我们只有在 $y$ 和 $x$ 以某种方式相关联时，才能求出这个比值 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$，这样每当 $x$ 变化时，$y$ 也随之变化。例如，在第一个例子中，如果三角形的底 $x$ 增加，三角形的高 $y$ 也会增加；在第二个例子中，如果梯脚到墙的距离 $x$ 增加，梯子达到的高度 $y$ 会相应减小，起初缓慢，但随着 $x$ 变大而越来越快。在这些情况下，$x$ 和 $y$ 之间的关系是完全确定的，可以用数学表达式表示，分别为 ${\displaystyle \frac{y}{x}}=\tan {30}^{\circ }$ 和 $x^2+y^2=l^2$（其中 $l$ 是梯子的长度），而 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 在每个例子中都有我们找到的含义。

如果，当 $x$ 像之前一样是梯脚到墙的距离，而 $y$ 不是达到的高度，而是墙的水平长度，或者墙中的砖块数，或者墙建成以来的年数，那么 $x$ 的任何变化自然都不会引起 $y$ 的任何变化；在这种情况下，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 没有任何意义，也不可能为其找到一个表达式。每当我们使用微分 $dx$、$dy$、$dz$ 等时，都暗含着 $x$、$y$、$z$ 等之间存在某种关系，这种关系称为 $x$、$y$、$z$ 等的“函数”；例如，上面给出的两个表达式 ${\displaystyle \frac{y}{x}}=\tan {30}^{\circ }$ 和 $x^2+y^2=l^2$，就是 $x$ 和 $y$ 的函数。这些表达式隐含地（即不直接显示地）包含了用 $y$ 表示 $x$ 或用 $x$ 表示 $y$ 的方法，因此它们被称为 $x$ 和 $y$ 的隐函数；它们可以分别写成 $$y=x\tan {30}^{\circ }\text{或}x=\frac{y}{\tan {30}^{\circ }}$$ 和 $$y=\sqrt{l^2-x^2}\text{或}x=\sqrt{l^2-y^2}.$$

这些最后的表达式明确地（即清楚地）表达了 $x$ 用 $y$ 表示的值，或 $y$ 用 $x$ 表示的值，因此它们被称为 $x$ 或 $y$ 的显函数。例如，$x^2+3=2y-7$ 是 $x$ 和 $y$ 的一个隐函数；它可以写成 $y={\displaystyle \frac{x^2+10}{2}}$（$x$ 的显函数）或 $x=\sqrt{2y-10}$（$y$ 的显函数）。² 我们看到，$x$、$y$、$z$ 等的显函数就是这样一个东西：当 $x$、$y$、$z$ 等变化时（无论是单个变化还是一起变化），它的值也会改变。因此，显函数的值被称为因变量，因为它依赖于函数中其他变量的值；这些其他变量被称为自变量，因为它们的值不是由函数所取的值决定的。例如，如果 $u=x^2\sin \theta$，那么 $x$ 和 $\theta$ 是自变量，而 $u$ 是因变量。

有时，几个量 $x$、$y$、$z$ 之间的确切关系要么未知，要么不便陈述；仅仅知道或便于陈述的是这些变量之间存在某种关系，以至于无法单独改变 $x$、$y$ 或 $z$ 而不影响其他量；此时 $x$、$y$、$z$ 的函数的存在就用记号 $F(x,y,z)$（隐函数）或 $x=F(y,z)$、$y=F(x,z)$、$z=F(x,y)$（显函数）来表示。有时用字母 $f$ 或 $\varphi$ 代替 $F$，所以 $y=F(x)$、$y=f(x)$ 和 $y=\varphi (x)$ 都表示同一个意思，即 $y$ 的值以某种未明确说明的方式依赖于 $x$ 的值。

我们把比值 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 称为“$𝒚$ 关于 $𝒙$ 的导数”。对于这个非常简单的东西，这是一个庄重的科学名称。但是当事物本身如此简单时，我们不会被庄重的名称吓倒。我们不会害怕，只会对这种把名字搞得又长又拗口的愚蠢行为报以简短的咒骂；发泄之后，我们继续研究这个简单的东西本身，即比值 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$。

在你在学校学的普通代数中，你总是在寻找某个未知量，你称之为 $x$ 或 $y$；有时需要同时寻找两个未知量。现在你要学会用一种新的方式去探寻；现在的狐狸既不是 $x$ 也不是 $y$。相反，你要寻找这个叫做 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 的奇妙小兽。寻找 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 值的过程称为“求导”。但要记住，我们想要的是当 $dy$ 和 $dx$ 本身都无限小时这个比值的值。导数的真正值是当它们每一个都被视为无穷小时比值的极限值。

现在我们来学习如何探寻 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$。

如何读导数

千万不要犯初学者的错误，以为 $dx$ 表示 $d$ 乘以 $x$，因为 $d$ 不是一个因子——它表示紧随其后的东西的“一个元素”或“一小部分”。我们这样读 $dx$：“迪艾克斯”。

如果读者没有人在这些方面给予指导，这里可以简单地说，导数按以下方式读出。导数

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 读作“迪外除以迪艾克斯”或“迪外比迪艾克斯”。

${\displaystyle \frac{du}{dt}}$ 读作“迪尤除以迪蒂”。

稍后会遇到二阶导数。它们像这样：

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$；读作“迪二外除以迪艾克斯平方”，

并且它意味着对 $y$ 关于 $x$ 求导的运算已经（或必须）进行两次。

表示函数已被求导的另一种方法是在函数符号上加一撇。因此，如果 $y=F(x)$，这意味着 $y$ 是 $x$ 的某个未指定的函数，我们可以写 来代替 ${\displaystyle \frac{d(F(x))}{dx}}$。类似地， 表示原函数 $F(x)$ 已关于 $x$ 求导两次。

1. 勾股定理指出，在直角三角形中，斜边的平方等于其他两边的平方和。↩︎
2. 这里我们假设了 $x$ 为正。然而，如果已知 $x$ 为负，我们需要将其表示为 $x=-\sqrt{2y-10}$。↩︎