Funções Inversas e a Exponencial

Considere a seguinte questão: Dado $y = f (x)$ para $a ≦ x ≦ b$ , quando podemos inverter essa relação, ou seja, quando isso significa a mesma coisa que $x = g (y)$ para alguma função $g (y)$ ? Assim, queremos ter $y = f (x)$ se e somente se $x = g (y)$ . Observe que nossa notação significa que $g (y)$ deve atribuir a cada $y$ de um certo domínio exatamente um valor de $x$ . Portanto, se temos $y_{0} = f (x_{1})$ , $y_{0} = f (x_{2})$ , onde $x_{1} \neq x_{2}$ , não podemos definir tal função $g (y)$ em $y_{0}$ . Logo, devemos ter $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ se $x_{1} \neq x_{2}$ . Já conhecemos duas classes importantes de funções que possuem essa propriedade: aquelas que são estritamente crescentes e aquelas que são estritamente decrescentes.

A função cujo gráfico é mostrado abaixo é estritamente crescente para $0 ≦ x ≦ 1$ . A função $g (y)$ , que chamamos de função inversa, é dada por

g (y) = y, 0 ≦ y < 1 / 2

g (y) = y - 1, 3 / 2 ≦ y ≦ 2.

Preferimos, no entanto, restringir nossa atenção a funções que possam ser definidas ao longo de um intervalo inteiro, e não em um intervalo partido como neste caso. Poderíamos eliminar o "salto" em $f (x)$ exigindo que ela seja contínua. Esse requisito nos dá considerável informação sobre a função inversa, por causa do seguinte teorema que será provado mais adiante:

Teorema 1

Seja $f (x)$ contínua para $a ≦ x ≦ b$ . Seja $f (a) < f (b)$ , e seja $f (a) ≦ y_{0} ≦ f (b)$ . Então existe um $x_{0}, a ≦ x_{0} ≦ b$ , tal que $y_{0} = f (x_{0})$ .

Agora seja $f (x)$ contínua e estritamente crescente para $a ≦ x ≦ b$ . (Poderíamos também supor que $f (x)$ é contínua e estritamente decrescente.) Então $f (a) < f (b)$ , e se $a ≦ x ≦ b$ , então $f (a) ≦ f (x) ≦ f (b)$ . Além disso, se $f (a) ≦ y ≦ f (b)$ , existe um $x, a ≦ x ≦ b$ , tal que $y = f (x)$ . Podemos então definir a função inversa $g (y)$ em todo o intervalo $f (a) ≦ y ≦ f (b)$ :

$x = g (y)$ deve significar simplesmente que $y = f (x)$ .

Uma vez que tenhamos dado uma definição precisa de continuidade, será fácil ver que $g (y)$ é contínua. Ela é claramente estritamente crescente.

Por enquanto, suponhamos que $f (x)$ seja também diferenciável; desejamos expressar g'(y) em termos de f'(x)). Suponhamos também a hipótese um pouco mais forte de que f'(x) > 0 para $a ≦ x ≦ b$ . (Por exemplo, $y = x^{3}$ é estritamente crescente para $- 1 ≦ x ≦ 1$ , mas y' = 0 em $0$ . No entanto, vimos que se f'(x) > 0 para todo $x$ de um intervalo, então $f (x)$ é estritamente crescente nesse intervalo.) Então seja $f (a) < y < f (b)$ , e considere

\frac{g (y + h) - g (y)}{h} \cdot

Agora, $y = f (x)$ e $y + h = f (x + k)$ para algum $x$ e $x + k, a ≦ x ≦ b$ , $a ≦ x + k ≦ b$ . Portanto, o quociente diferencial para $g (y)$ é

\frac{(x + k) - x}{f (x + k) - f (x)} = \frac{k}{f (x + k) - f (x)} = \frac{1}{\frac{f (x + k) - f (x)}{k}} \cdot

Pela nossa observação de que $g (y)$ é contínua, a quantidade $g (y + h) - g (y) = k$ tende a $0$ quando $h \to 0$ . Mas quando $k \to 0$ ,

\frac{f (x + k) - f (x)}{k}

tende a f'(x). Portanto, temos

g'(y) = \lim_{h \to 0} \frac{g(y+h) - g(y)}{h} = \frac{1}{f'(x)},

onde $y = f (x), x = g (y)$ . Assim, temos a regra g'(y) = \frac{1}{f'(x)} para diferenciar funções inversas.

Vimos que, para $x > 0, y = \log x$ é contínua e estritamente crescente; além disso, sua derivada $\frac{1}{x} > 0$ para $x > 0$ . Portanto, ela possui uma função inversa, que denotamos temporariamente por $E (y)$ e mais tarde por $e^{y}$ , depois de termos mostrado que suas propriedades justificam essa notação. Assim, definimos $E (y)$ , para qualquer número $y$ , por

$x = E (y)$ se e somente se $y = \log x$ .

Se $y = \log x$ , então

E'(y) = \frac{1}{(\log x)'} = \frac{1}{1/x} = x = E(y),

ou seja, E'(y) = E(y). Já atribuímos essa propriedade a $e^{y}$ . Vemos também que $E (y) > 0$ para todo $y$ , e que $E (0) = 1$ . Quando $y$ é muito negativo, $E (y)$ está próximo de $0$ , e quando $y$ é grande e positivo, $E (y)$ também é. Agora, $E (y_{1} + y_{2})$ é aquele número $x$ cujo log é $y_{1} + y_{2}$ . Mas se $\log x_{1} = y_{1}, \log x_{2} = y_{2}$ , então $\log (x_{1} x_{2}) = y_{1} + y_{2}$ , como vimos. Logo, o número desejado é $x_{1} x_{2}$ , ou seja, $E (y_{1}) E (y_{2})$ , e temos a relação

E (y_{1} + y_{2}) = E (y_{1}) E (y_{2}) \cdot

Segue que, para qualquer inteiro positivo $n, E (n) = E (1)^{n}$ . Assim, recuperamos algumas das propriedades semelhantes às exponenciais dessa função. Vamos definir um número $e$ por $e = E (1)$ , de modo que $e$ é aquele número tal que $\log e = 1$ . Então vemos que, para inteiros positivos $n, E (n) = e^{n}$ . Concordamos em estender essa notação a todo $y$ , e escrever $e^{y} = E (y)$ . Assim, $e^{y} > 0$ para todo $y, e^{0} = 1,$

e^{y_1 + y_2} = e^{y_1} e^{y_2}, \quad (e^y)' = e^y \cdot

Como indicado anteriormente, podemos agora definir $a^{b}$ para $a > 0$ por $a^{b} = e^{b \log a}$ . Então

a^{b_{1} + b_{2}} = e^{(b_{1} + b_{2}) \log a} = e^{b_{1} \log a + b_{2} \log a} = e^{b_{1} \log a} e^{b_{2} \log a} = a^{b_{1}} a^{b_{2}},

e, de maneira semelhante, podemos mostrar que

(a^{b})^{c} = a^{b c}; a^{0} = 1; a^{1} = a; a^{n} = a \underset{n}{\underset{⏟}{\cdot a \cdot \dots \cdot}} a,

$n$ um inteiro positivo;

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} \cdot

É interessante introduzir algumas outras funções inversas, notadamente as das funções trigonométricas. É óbvio, a partir de seu comportamento periódico, que essas funções não são nem estritamente crescentes nem estritamente decrescentes; mas tudo isso significa é que não podemos esperar definir uma função inversa cujos valores (cuja imagem, em linguagem mais técnica) cubram todo o eixo $x$ . Por exemplo, a função $y = \sin x$ é estritamente crescente para

- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2},

e y' > 0 exceto nos pontos extremos. Os valores vão de $y = - 1$ a $y = 1$ . Logo, podemos definir uma função inversa de $y = \sin x$ , escrita como $x = \arcsin y$ , para $- 1 ≦ y ≦ 1$ . Seus valores estão entre $x = - \frac{π}{2}$ e $x = \frac{π}{2}$ . Sua derivada é

\frac{1}{(\sin x)'} = \frac{1}{\cos x} \cdot

Gostaríamos de expressar isso em termos de $y$ . Como $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ , e como $\cos x > 0$ para $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ , temos

\cos x = \sqrt{1 - \sin^{2} x} = \sqrt{1 - y^{2}} \cdot

Assim,

( \arcsin y)' = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}, \quad -1 < y < 1 \cdot

Da mesma forma, $x = \arccos y$ é definida para $- 1 ≦ y ≦ 1$ e assume valores entre $x = 0$ e $x = π$ . (Aqui usamos a função inversa de uma função estritamente decrescente.)

Pelo processo acima,

( \arccos y)' = \frac{-1}{\sqrt{1 - y^2}}, \quad -1 < y < 1 \cdot

$x = \arctan y$ é definida de maneira semelhante, neste caso para todo $y$ , usando o fato de que $y = \tan x$ é estritamente crescente para

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} \cdot

Este é então o intervalo de valores de $x = \arctan y$ . Como antes,

( \arctan y)' = \frac{1}{1 + y^2} \cdot

Como observação final, acrescentemos que as únicas funções da forma $x^{a}$ para as quais tínhamos uma definição realmente adequada no início deste curso eram aquelas para as quais $a$ era um inteiro. Para $n$ um inteiro positivo, a função $y = x^{n}$ é contínua e estritamente crescente para $x ≧ 0$ se $n$ é par, e para todo $x$ se $n$ é ímpar. Assim, temos a função inversa $x = y^{1 / n}$ , definida como acima: $x = y^{1 / n}$ se e somente se $y = x^{n}$ . Finalmente, podemos definir

x^{m / n} = (x^{1 / n})^{m} = (x^{m})^{1 / n},

para $m$ e $n$ positivos; e para $b$ um número racional negativo, definir

x^{b} = \frac{1}{x^{- b}}, x \neq 0 \cdot

Assim, $x^{b}$ está definida para $b$ racional; ainda não definimos $x^{a}$ para $a$ arbitrário. Isso é feito usando $x^{a} = e^{a \log x}$ . Como essa definição coincide com a já dada para $a$ racional, podemos usá-la como a definição geral. Então temos

\begin{aligned} (x^a)' &= (e^{a \log x})' \\ &= e^{a \log x} \cdot \frac{a}{x} \\ &= e^{a \log x} \cdot a \cdot e^{-\log x} \\ &= a \cdot e^{(a-1) \log x} = a x^{a-1},\\ \end{aligned}

ou seja, (x^a)' = a x^{a-1} para todo $a$ .

Funções Inversas e a Exponencial

Links Rápidos

Mídias Sociais