Funciones inversas y la exponencial

Considere la siguiente pregunta: Dado $y = f (x)$ para $a ≦ x ≦ b$ , ¿cuándo podemos invertir esta relación, es decir, cuándo significa esto lo mismo que $x = g (y)$ para alguna función $g (y)$ ? Así queremos tener $y = f (x)$ si y solo si $x = g (y)$ . Observe que nuestra notación significa que $g (y)$ debe asignar a cada $y$ de cierto dominio exactamente un valor de $x$ . Por lo tanto, si tenemos $y_{0} = f (x_{1})$ , $y_{0} = f (x_{2})$ , donde $x_{1} \neq x_{2}$ , no podemos definir tal función $g (y)$ en $y_{0}$ . Así que debemos tener $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ si $x_{1} \neq x_{2}$ . Ya conocemos dos clases importantes de funciones que tienen esta propiedad: las que son estrictamente crecientes y las que son estrictamente decrecientes.

La función cuya gráfica se muestra abajo es estrictamente creciente para $0 ≦ x ≦ 1$ . La función $g (y)$ , que llamamos la función inversa, está dada por

g (y) = y, 0 ≦ y < 1 / 2

g (y) = y - 1, 3 / 2 ≦ y ≦ 2.

Preferimos, sin embargo, restringir nuestra atención a funciones que pueden definirse a lo largo de un intervalo completo, en lugar de sobre un intervalo discontinuo como en este caso. Podríamos eliminar el "salto" en $f (x)$ exigiendo que sea continua. Este requisito nos da información considerable sobre la función inversa, debido al siguiente teorema que se demostrará más adelante:

Teorema 1

Sea $f (x)$ continua para $a ≦ x ≦ b$ . Sean $f (a) < f (b)$ , y $f (a) ≦ y_{0} ≦ f (b)$ . Entonces existe un $x_{0}, a ≦ x_{0} ≦ b$ , tal que $y_{0} = f (x_{0})$ .

Ahora sea $f (x)$ continua y estrictamente creciente para $a ≦ x ≦ b$ . (También podríamos suponer que $f (x)$ es continua y estrictamente decreciente.) Entonces $f (a) < f (b)$ , y si $a ≦ x ≦ b$ , entonces $f (a) ≦ f (x) ≦ f (b)$ . Además, si $f (a) ≦ y ≦ f (b)$ , existe un $x, a ≦ x ≦ b$ , tal que $y = f (x)$ . Podemos entonces definir la función inversa $g (y)$ en todo el intervalo $f (a) ≦ y ≦ f (b)$ :

$x = g (y)$ debe significar simplemente que $y = f (x)$ .

Una vez que hayamos dado una definición precisa de continuidad, será fácil ver que $g (y)$ es continua. Claramente es estrictamente creciente.

Por el momento, supongamos que $f (x)$ es también diferenciable; deseamos expresar g'(y) en términos de f'(x). Hagamos también el supuesto algo más fuerte de que f'(x) > 0 para $a ≦ x ≦ b$ . (Por ejemplo, $y = x^{3}$ es estrictamente creciente para $- 1 ≦ x ≦ 1$ , pero y' = 0 en $0$ . Sin embargo, hemos visto que si f'(x) > 0 para todo $x$ de un intervalo, entonces $f (x)$ es estrictamente creciente allí.) Entonces sea $f (a) < y < f (b)$ , y considere

\frac{g (y + h) - g (y)}{h} \cdot

Ahora $y = f (x)$ y $y + h = f (x + k)$ para algunos $x$ y $x + k, a ≦ x ≦ b$ , $a ≦ x + k ≦ b$ . Por lo tanto, el cociente de diferencias para $g (y)$ es

\frac{(x + k) - x}{f (x + k) - f (x)} = \frac{k}{f (x + k) - f (x)} = \frac{1}{\frac{f (x + k) - f (x)}{k}} \cdot

Por nuestra observación de que $g (y)$ es continua, la cantidad $g (y + h) - g (y) = k$ tiende a $0$ cuando $h \to 0$ . Pero cuando $k \to 0$ ,

\frac{f (x + k) - f (x)}{k}

tiende a f'(x). Por lo tanto, tenemos

g'(y) = \lim_{h \to 0} \frac{g(y+h) - g(y)}{h} = \frac{1}{f'(x)},

donde $y = f (x), x = g (y)$ . Así tenemos la regla g'(y) = \frac{1}{f'(x)} para diferenciar funciones inversas.

Hemos visto que para $x > 0, y = \log x$ es continua y estrictamente creciente; además, su derivada $\frac{1}{x} > 0$ para $x > 0$ . Por lo tanto, tiene una función inversa, que denotamos temporalmente por $E (y)$ y más adelante por $e^{y}$ , después de haber mostrado que sus propiedades le dan derecho a esta notación. Así, definimos $E (y)$ , para cualquier número $y$ , mediante

$x = E (y)$ si y solo si $y = \log x$ .

Si $y = \log x$ , entonces

E'(y) = \frac{1}{(\log x)'} = \frac{1}{1/x} = x = E(y),

o E'(y) = E(y). Ya hemos atribuido esta propiedad a $e^{y}$ . También vemos que $E (y) > 0$ para todo $y$ , y que $E (0) = 1$ . Cuando $y$ es muy negativo, $E (y)$ está cerca de $0$ , y cuando $y$ es grande y positivo, también lo es $E (y)$ . Ahora, $E (y_{1} + y_{2})$ es ese número $x$ cuyo logaritmo es $y_{1} + y_{2}$ . Pero si $\log x_{1} = y_{1}, \log x_{2} = y_{2}$ , entonces $\log (x_{1} x_{2}) = y_{1} + y_{2}$ , como hemos visto. Por lo tanto, el número deseado es $x_{1} x_{2}$ , es decir, $E (y_{1}) E (y_{2})$ , y tenemos la relación

E (y_{1} + y_{2}) = E (y_{1}) E (y_{2}) \cdot

Se sigue que para cualquier entero positivo $n, E (n) = E (1)^{n}$ . Así hemos recuperado algunas de las propiedades similares a las exponenciales de esta función. Definamos un número $e$ mediante $e = E (1)$ , de modo que $e$ es ese número tal que $\log e = 1$ . Entonces vemos que para enteros positivos $n, E (n) = e^{n}$ . Acordamos extender esta notación a todo $y$ , y escribir $e^{y} = E (y)$ . Así, $e^{y} > 0$ para todo $y, e^{0} = 1,$

e^{y_1 + y_2} = e^{y_1} e^{y_2}, \quad (e^y)' = e^y \cdot

Como se indicó antes, ahora podemos definir $a^{b}$ para $a > 0$ mediante $a^{b} = e^{b \log a}$ . Entonces

a^{b_{1} + b_{2}} = e^{(b_{1} + b_{2}) \log a} = e^{b_{1} \log a + b_{2} \log a} = e^{b_{1} \log a} e^{b_{2} \log a} = a^{b_{1}} a^{b_{2}},

y de manera similar podemos mostrar que

(a^{b})^{c} = a^{b c}; a^{0} = 1; a^{1} = a; a^{n} = a \underset{n}{\underset{⏟}{\cdot a \cdot \dots \cdot}} a,

$n$ un entero positivo;

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} \cdot

Es de interés introducir algunas otras funciones inversas, notablemente las de las funciones trigonométricas. Es obvio por su comportamiento periódico que estas funciones no son ni estrictamente crecientes ni estrictamente decrecientes; pero todo esto significa que no podemos esperar definir una función inversa cuyos valores (cuyo rango, en lenguaje más técnico) cubran todo el eje $x$ . Por ejemplo, la función $y = \sin x$ es estrictamente creciente para

- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2},

y y' > 0 excepto en los extremos. Los valores van desde $y = - 1$ hasta $y = 1$ . Por lo tanto, podemos definir una función inversa de $y = \sin x$ , escrita como $x = \arcsin y$ , para $- 1 ≦ y ≦ 1$ . Sus valores están entre $x = - \frac{π}{2}$ y $x = \frac{π}{2}$ . Su derivada es

\frac{1}{(\sin x)'} = \frac{1}{\cos x} \cdot

Quisiéramos expresar esto en términos de $y$ . Dado que $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ , y dado que $\cos x > 0$ para $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ , tenemos

\cos x = \sqrt{1 - \sin^{2} x} = \sqrt{1 - y^{2}} \cdot

Así

( \arcsin y)' = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}, \quad -1 < y < 1 \cdot

Asimismo, $x = \arccos y$ está definida para $- 1 ≦ y ≦ 1$ y toma valores entre $x = 0$ y $x = π$ . (Aquí usamos la función inversa de una función estrictamente decreciente.)

Por el proceso anterior,

( \arccos y)' = \frac{-1}{\sqrt{1 - y^2}}, \quad -1 < y < 1 \cdot

$x = \arctan y$ está definida de manera similar, en este caso para todo $y$ , usando el hecho de que $y = \tan x$ es estrictamente creciente para

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} \cdot

Este es entonces el rango de valores de $x = \arctan y$ . Como antes,

( \arctan y)' = \frac{1}{1 + y^2} \cdot

Como observación final, añadamos que las únicas funciones de la forma $x^{a}$ para las que teníamos una definición realmente adecuada al principio de este curso eran aquellas para las que $a$ era un entero. Para $n$ un entero positivo, la función $y = x^{n}$ es continua y estrictamente creciente para $x ≧ 0$ si $n$ es par, para todo $x$ si $n$ es impar. Así tenemos la función inversa $x = y^{1 / n}$ , definida como arriba: $x = y^{1 / n}$ si y solo si $y = x^{n}$ . Finalmente, podemos definir

x^{m / n} = (x^{1 / n})^{m} = (x^{m})^{1 / n},

para $m$ y $n$ positivos; y para $b$ un número racional negativo, definir

x^{b} = \frac{1}{x^{- b}}, x \neq 0 \cdot

Así, $x^{b}$ está definida para $b$ racional; aún no hemos definido $x^{a}$ para $a$ arbitrario. Esto se logra usando $x^{a} = e^{a \log x}$ . Dado que esta definición coincide con la ya dada para $a$ racional, podemos usarla como la definición general. Entonces tenemos

\begin{aligned} (x^a)' &= (e^{a \log x})' \\ &= e^{a \log x} \cdot \frac{a}{x} \\ &= e^{a \log x} \cdot a \cdot e^{-\log x} \\ &= a \cdot e^{(a-1) \log x} = a x^{a-1},\\ \end{aligned}

es decir, (x^a)' = a x^{a-1} para todo $a$ .

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