反函数与指数函数

考虑以下问题：给定 $y = f (x)$ ，其中 $a ≦ x ≦ b$ ，我们何时可以逆转这一关系，即它何时与某个函数 $g (y)$ 的 $x = g (y)$ 表示同一件事？因此我们希望有 $y = f (x)$ 当且仅当 $x = g (y)$ 。注意，我们的记号意味着 $g (y)$ 要给某个定义域中的每个 $y$ 分配恰好一个 $x$ 的值。因此，如果我们有 $y_{0} = f (x_{1})$ ， $y_{0} = f (x_{2})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，我们就无法在 $y_{0}$ 处定义这样一个函数 $g (y)$ 。所以当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，必须有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ 。我们已经知道两类具有此性质的重要函数：严格递增的函数和严格递减的函数。

下图所示函数在 $0 ≦ x ≦ 1$ 上是严格递增的。我们称之为反函数的函数 $g (y)$ 由下式给出

g (y) = y, 0 ≦ y < 1 / 2

g (y) = y - 1, 3 / 2 ≦ y ≦ 2.

然而，我们更愿意把注意力限制在可以在整个区间上定义的函数上，而不是像本例中那种分段区间上。我们可以通过要求 $f (x)$ 是连续的来消除 $f (x)$ 中的“跳跃”。这一要求能给我们提供关于反函数的相当多的信息，因为有以下定理（稍后将证明）：

定理 1

设 $f (x)$ 在 $a ≦ x ≦ b$ 上连续。设 $f (a) < f (b)$ ，且 $f (a) ≦ y_{0} ≦ f (b)$ 。则存在 $x_{0}, a ≦ x_{0} ≦ b$ ，使得 $y_{0} = f (x_{0})$ 。

现在设 $f (x)$ 在 $a ≦ x ≦ b$ 上连续且严格递增。（我们也可以假设 $f (x)$ 连续且严格递减。）则 $f (a) < f (b)$ ，且若 $a ≦ x ≦ b$ ，则 $f (a) ≦ f (x) ≦ f (b)$ 。此外，若 $f (a) ≦ y ≦ f (b)$ ，则存在 $x, a ≦ x ≦ b$ ，使得 $y = f (x)$ 。于是我们可以在整个区间 $f (a) ≦ y ≦ f (b)$ 上定义反函数 $g (y)$ ：

$x = g (y)$ 只是意味着 $y = f (x)$ 。

一旦我们给出了连续性的精确定义，就容易看出 $g (y)$ 是连续的。它显然是严格递增的。

目前，让我们假设 $f (x)$ 也是可微的；我们希望用来表示。让我们再做一个稍强的假设：对 $a ≦ x ≦ b$ 有。（例如， $y = x^{3}$ 在 $- 1 ≦ x ≦ 1$ 上严格递增，但在 $0$ 处。然而，我们已经看到，若在区间的所有 $x$ 处都大于 $0$ ，则 $f (x)$ 在该区间上严格递增。）设 $f (a) < y < f (b)$ ，考虑

\frac{g (y + h) - g (y)}{h} \cdot

由于 $y = f (x)$ 且 $y + h = f (x + k)$ ，其中 $x$ 与 $x + k$ 满足 $a ≦ x ≦ b$ ， $a ≦ x + k ≦ b$ 。因此 $g (y)$ 的差商为

\frac{(x + k) - x}{f (x + k) - f (x)} = \frac{k}{f (x + k) - f (x)} = \frac{1}{\frac{f (x + k) - f (x)}{k}} \cdot

根据我们对 $g (y)$ 连续性的讨论，当 $h \to 0$ 时，量 $g (y + h) - g (y) = k$ 趋于 $0$ 。而当 $k \to 0$ 时，

\frac{f (x + k) - f (x)}{k}

趋于。因此我们有

其中 $y = f (x), x = g (y)$ 。于是我们得到了反函数求导的法则。

我们已经看到，对于 $x > 0$ ， $y = \log x$ 是连续且严格递增的；而且它的导数 $\frac{1}{x}$ 在 $x > 0$ 时大于 $0$ 。因此它有一个反函数，我们暂时记为 $E (y)$ ，稍后在我们证明了它的性质配得上这一记号之后，再记为 $e^{y}$ 。于是我们对任意数 $y$ 定义 $E (y)$ 为

$x = E (y)$ 当且仅当 $y = \log x$ 。

若 $y = \log x$ ，则

即。我们已经把这个性质归之于 $e^{y}$ 。我们还看到，对所有 $y$ 都有 $E (y) > 0$ ，且 $E (0) = 1$ 。当 $y$ 取很大的负值时， $E (y)$ 接近 $0$ ；当 $y$ 取很大的正值时， $E (y)$ 也很大。现在， $E (y_{1} + y_{2})$ 是其对数为 $y_{1} + y_{2}$ 的那个数 $x$ 。但如果 $\log x_{1} = y_{1}, \log x_{2} = y_{2}$ ，则正如我们已看到的， $\log (x_{1} x_{2}) = y_{1} + y_{2}$ 。因此所求的数是 $x_{1} x_{2}$ ，即 $E (y_{1}) E (y_{2})$ ，于是我们有关系式

E (y_{1} + y_{2}) = E (y_{1}) E (y_{2}) \cdot

由此可知，对任意正整数 $n, E (n) = E (1)^{n}$ 。这样我们已经恢复了该函数的一部分类似指数的性质。让我们定义一个数 $e$ 为 $e = E (1)$ ，于是 $e$ 就是满足 $\log e = 1$ 的那个数。那么我们看到，对正整数 $n, E (n) = e^{n}$ 。我们约定将这一记号推广到所有的 $y$ ，并记 $e^{y} = E (y)$ 。于是对所有 $y$ 都有 $e^{y} > 0$ ， $e^{0} = 1,$

如前所述，我们现在可以对 $a > 0$ 通过 $a^{b} = e^{b \log a}$ 来定义 $a^{b}$ 。于是

a^{b_{1} + b_{2}} = e^{(b_{1} + b_{2}) \log a} = e^{b_{1} \log a + b_{2} \log a} = e^{b_{1} \log a} e^{b_{2} \log a} = a^{b_{1}} a^{b_{2}},

类似地我们可以证明

(a^{b})^{c} = a^{b c}; a^{0} = 1; a^{1} = a; a^{n} = a \underset{n}{\underset{⏟}{\cdot a \cdot \dots \cdot}} a,

其中 $n$ 为正整数；

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} \cdot

引入其他一些反函数也是很有意义的，尤其是三角函数的反函数。从它们的周期性可以明显看出，这些函数既不严格递增也不严格递减；但这只意味着我们不能指望定义一个其值（用更专业的语言说，其值域）覆盖整条 $x$ 轴的反函数。例如，函数 $y = \sin x$ 在

- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2},

上严格递增，且除端点外。其值从 $y = - 1$ 到 $y = 1$ 。因此我们可以对 $y = \sin x$ 定义一个反函数，写作 $x = \arcsin y$ ，其中 $- 1 ≦ y ≦ 1$ 。它的值位于 $x = - \frac{π}{2}$ 与 $x = \frac{π}{2}$ 之间。它的导数是

我们希望用 $y$ 来表示它。由于 $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ ，且当 $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ 时 $\cos x > 0$ ，我们有

\cos x = \sqrt{1 - \sin^{2} x} = \sqrt{1 - y^{2}} \cdot

于是

同样地， $x = \arccos y$ 对 $- 1 ≦ y ≦ 1$ 有定义，其值介于 $x = 0$ 与 $x = π$ 之间。（这里我们使用的是一个严格递减函数的反函数。）

按照上述过程，

$x = \arctan y$ 可类似地定义，此时是对所有 $y$ 定义的，利用了 $y = \tan x$ 在

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} \cdot

上严格递增这一事实。这就是 $x = \arctan y$ 的值域。和前面一样，

最后需要说明的是，在本课程开始时，我们对形如 $x^{a}$ 的函数中真正有充分定义的，只有 $a$ 为整数的那些情形。当 $n$ 为正整数时，若 $n$ 为偶数，函数 $y = x^{n}$ 在 $x ≧ 0$ 上连续且严格递增；若 $n$ 为奇数，则对所有 $x$ 连续且严格递增。于是我们有反函数 $x = y^{1 / n}$ ，如上定义： $x = y^{1 / n}$ 当且仅当 $y = x^{n}$ 。最后，我们可以定义

x^{m / n} = (x^{1 / n})^{m} = (x^{m})^{1 / n},

其中 $m$ 和 $n$ 为正数；当 $b$ 为负有理数时，定义

x^{b} = \frac{1}{x^{- b}}, x \neq 0 \cdot

于是， $x^{b}$ 对有理数 $b$ 有定义；我们尚未对任意 $a$ 定义 $x^{a}$ 。这可以通过 $x^{a} = e^{a \log x}$ 来实现。由于这一定义与已给出的对有理数 $a$ 的定义一致，我们可以将它作为一般定义。于是我们有

即对所有的 $a$ 都有。