Funções de Várias Variáveis

Por uma função $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ de $n$ variáveis, queremos dizer, é claro, uma regra que atribui a cada ponto $(x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, \dots, x_{n}^{(0)})$ de alguma região no espaço de $n$ dimensões um único número, que denotamos por $f (x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, \dots, x_{n}^{(0)})$ . Consideremos por enquanto funções de duas variáveis $f (x, y)$ . Seria possível representar esta função graficamente em três dimensões, plotando o conjunto de pontos $(x, y, f (x, y))$ para $(x, y)$ no domínio da função. Mas, como tentativas de representar o espaço de 3 dimensões no quadro-negro são constrangedoras, na melhor das hipóteses, escolhemos em vez disso desenhar um "mapa de curvas de nível" para a função; isto é, plotamos no quadro-negro o conjunto de pontos $(x, y)$ onde $f (x, y) = 0$ , o conjunto onde $f (x, y) = 7$ , ou, em geral, o conjunto de pontos $(x, y)$ onde $f (x, y) = a$ , onde $a$ é qualquer número na imagem de $f (x, y)$ . Em geral, esses conjuntos de pontos serão curvas, e são costumeiramente chamadas de curvas de nível de $f (x, y)$ , ou menos precisamente, as linhas de nível do mapa de curvas de nível. Essas curvas representam caminhos que se situam a uma altura constante na superfície que representa a função no espaço de 3 dimensões.

Exemplo 1.

Consideremos o mapa de curvas de nível para a função

f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2 + y^4}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}

Considere a parábola $x = α y^{2}$ . Para $(x, y)$ sobre esta curva, $α \neq 0, y \neq 0$ , temos

f (x, y) = \frac{α y^{4}}{(α^{2} + 1) y^{4}} = \frac{α}{α^{2} + 1},

ou seja, $f (x, y)$ é uma constante. Resolvendo para $x$ em termos de $y$ na equação

\frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{4}} = β, β \neq 0,

vemos que cada curva de nível de altura $β \neq 0$ é simplesmente uma parábola $x = α y^{2}$ com o ponto $(0, 0)$ omitido. Assim

β = \frac{α}{α^{2} + 1} \cdot

Agora, que números podem ter a forma

\frac{α}{α^{2} + 1} ?

Para responder a esta pergunta, investigamos a função

g (α) = \frac{α}{α^{2} + 1}

em busca de máximos e mínimos, constatando que ela tem um máximo quando $α = 1$ e um mínimo quando $α = - 1$ . Assim

- \frac{1}{2} \leq \frac{α}{α^{2} + 1} \leq \frac{1}{2} \cdot

A curva de nível de altura mínima $(- \frac{1}{2})$ é a parábola $y = - x^{2}$ , e a de altura máxima $(+ \frac{1}{2})$ é a parábola $y = x^{2}$ (sempre omitindo $(0, 0)$ ). Assim, o mapa de curvas de nível se parece com o da página seguinte.

Observe que, para qualquer valor fixo de $x$ , esta função $f (x, y)$ é contínua em $y$ , e que ela também é contínua em $x$ quando $y$ é mantido fixo. Ela também é contínua ao longo de qualquer reta; isto é, se $(x_{0}, y_{0})$ é um ponto sobre uma reta, então para $(x, y)$ próximo a $(x_{0}, y_{0})$ e sobre a reta, $f (x, y)$ é próximo de $f (x_{0}, y_{0})$ . No entanto, não podemos chamar esta função de contínua em $(0, 0)$ . Pois isso significaria que sempre que $(x, y)$ estivesse próximo a $(0, 0)$ , $f (x, y)$ estaria próximo de $f (0, 0) = 0$ . Mas há pontos sobre a parábola $y = x^{2}$ tão próximos de $(0, 0)$ quanto desejarmos, e nesses pontos $f (x, y) = \frac{1}{2} \cdot$ A superfície tem uma crista ao longo de $y = x^{2}, x \neq 0$ ; um vale ao longo de $y = - x^{2}, x \neq 0$ ; um vale raso ao longo de $y = 0$ para $x > 0$ ; e uma crista suave ao longo de $y = 0$ para $x < 0$ . Ela tem uma descontinuidade em $(0, 0)$ .

Tornemos a definição de continuidade mais precisa para estas funções, de modo que possamos discuti-la de forma inteligente:

$f (x, y)$ é chamada de contínua em $(x_{0}, y_{0})$ se, para qualquer número positivo $ϵ$ , pudermos encontrar uma vizinhança de $(x_{0}, y_{0})$ tal que, sempre que $(x, y)$ estiver nesta vizinhança, então

| f (x, y) - f (x_{0}, y_{0}) | < ϵ \cdot

Uma vizinhança pode ser considerada como um disco circular com centro em $(x_{0}, y_{0})$ ou como um quadrado com centro em $(x_{0}, y_{0})$ . Se a função discutida acima fosse contínua em $(0, 0)$ , então, presumivelmente, poderíamos começar com $ϵ = \frac{1}{4}$ e encontrar um círculo ao redor de $(0, 0)$ tal que, para todos os pontos $(x, y)$ dentro dele,

| f (x, y) - 0 | < \frac{1}{4} \cdot

Mas dentro de cada tal círculo podemos encontrar pontos (diferentes de $(0, 0)$ ) da parábola $x = y^{2}$ , onde $f (x, y) = \frac{1}{2} \cdot$ Então teríamos que ter

\frac{1}{2} = | \frac{1}{2} - 0 | < \frac{1}{4},

o que é um absurdo.

Exemplo 2.

Como segundo exemplo, sobre o qual diremos mais um pouco adiante, seja

f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{4xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases} \cdot

(Em termos de coordenadas polares $(r, θ)$ , onde $x = r \cos θ, y = r \sin θ, f (x, y) = r^{2} \sin 4 θ$ .) Embora não descreveremos as curvas de nível em detalhes, o mapa de curvas de nível é aproximadamente o seguinte:

Os sinais de $+$ no mapa de curvas de nível indicam setores como aquele com um sinal de $+$ em que as linhas de nível estão esboçadas, e de forma análoga para os sinais de $-$ . Assim, se estivermos em $(0, 0)$ , vemos quatro vales descendo, alternando com quatro montanhas. Esta função é contínua em toda parte.

EXERCÍCIOS

Exercício 1.

Desenhe um mapa de curvas de nível e discuta a continuidade para cada uma das seguintes funções:
a) $f (x, y) = x y$ ,
b) f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x(x^2 + y^2)}{x^2 + (x^2 + y^2)^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases} \cdot

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