Funciones de varias variables

Por una función $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ de $n$ variables, entendemos por supuesto una regla que asigna a cada punto $(x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, \dots, x_{n}^{(0)})$ de alguna región en el espacio de $n$ dimensiones un único número, que denotamos por $f (x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, \dots, x_{n}^{(0)})$ . Consideremos por el momento funciones de dos variables $f (x, y)$ . Sería posible representar esta función gráficamente en tres dimensiones, trazando el conjunto de puntos $(x, y, f (x, y))$ para $(x, y)$ en el dominio de la función. Pero dado que los intentos de representar el espacio de 3 dimensiones en la pizarra son en el mejor de los casos incómodos, elegimos en cambio dibujar un "mapa de contorno" para la función; es decir, trazamos en la pizarra el conjunto de puntos $(x, y)$ donde $f (x, y) = 0$ , el conjunto donde $f (x, y) = 7$ , o en general, el conjunto de puntos $(x, y)$ donde $f (x, y) = a$ , donde $a$ es cualquier número en el rango de $f (x, y)$ . En general, estos conjuntos de puntos serán curvas, y se les llama habitualmente las curvas de nivel de $f (x, y)$ , o menos precisamente, las líneas de nivel del mapa de contorno. Estas curvas representan trayectorias que se encuentran a altura constante sobre la superficie que representa la función en el espacio de 3 dimensiones.

Ejemplo 1.

Consideremos el mapa de contorno para la función

f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2 + y^4}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}

Consideremos la parábola $x = α y^{2}$ . Para $(x, y)$ sobre esta curva, $α \neq 0, y \neq 0$ , tenemos

f (x, y) = \frac{α y^{4}}{(α^{2} + 1) y^{4}} = \frac{α}{α^{2} + 1},

o sea, $f (x, y)$ es una constante. Al despejar $x$ en términos de $y$ en la ecuación

\frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{4}} = β, β \neq 0,

vemos que cada curva de nivel de altura $β \neq 0$ , es simplemente una parábola $x = α y^{2}$ con el punto $(0, 0)$ omitido. Así

β = \frac{α}{α^{2} + 1} \cdot

Ahora, ¿qué números pueden tener la forma

\frac{α}{α^{2} + 1} ?

Para responder a esta pregunta, investigamos la función

g (α) = \frac{α}{α^{2} + 1}

buscando máximos y mínimos, encontrando que tiene un máximo cuando $α = 1$ , y un mínimo cuando $α = - 1$ . Así

- \frac{1}{2} \leq \frac{α}{α^{2} + 1} \leq \frac{1}{2} \cdot

La curva de nivel de altura mínima $(- \frac{1}{2})$ es la parábola $y = - x^{2}$ , y la de altura máxima $(+ \frac{1}{2})$ es la parábola $y = x^{2}$ (siempre omitiendo $(0, 0)$ ). Así, el mapa de contorno se parece al de la página siguiente.

Observemos que para cualquier valor fijo de $x$ , esta función $f (x, y)$ es continua en $y$ , y que también es continua en $x$ cuando $y$ se mantiene fija. Es también continua a lo largo de cualquier recta; es decir, si $(x_{0}, y_{0})$ es un punto sobre una recta, entonces para $(x, y)$ cerca de $(x_{0}, y_{0})$ y sobre la recta, $f (x, y)$ está cerca de $f (x_{0}, y_{0})$ . Sin embargo, no podemos llamar continua a esta función en $(0, 0)$ . Porque eso significaría que siempre que $(x, y)$ estuviera cerca de $(0, 0)$ , $f (x, y)$ estaría cerca de $f (0, 0) = 0$ . Pero hay puntos sobre la parábola $y = x^{2}$ tan cerca de $(0, 0)$ como queramos, y en ellos $f (x, y) = \frac{1}{2} \cdot$ La superficie tiene una cresta a lo largo de $y = x^{2}, x \neq 0$ ; un valle a lo largo de $y = - x^{2}, x \neq 0$ ; un valle poco profundo a lo largo de $y = 0$ para $x > 0$ ; y una cresta suave a lo largo de $y = 0$ para $x < 0$ . Tiene una discontinuidad en $(0, 0)$ .

Hagamos la definición de continuidad más precisa para estas funciones de modo que podamos discutirla inteligentemente:

$f (x, y)$ se llama continua en $(x_{0}, y_{0})$ si para cualquier número positivo $ϵ$ , podemos encontrar una vecindad de $(x_{0}, y_{0})$ tal que siempre que $(x, y)$ esté en esta vecindad, entonces

| f (x, y) - f (x_{0}, y_{0}) | < ϵ \cdot

Una vecindad puede considerarse como un disco circular con centro en $(x_{0}, y_{0})$ o como un cuadrado con centro en $(x_{0}, y_{0})$ . Si la función discutida anteriormente fuera continua en $(0, 0)$ , entonces presumiblemente podríamos comenzar con $ϵ = \frac{1}{4}$ y encontrar un círculo alrededor de $(0, 0)$ tal que para todos los puntos $(x, y)$ dentro de él,

| f (x, y) - 0 | < \frac{1}{4} \cdot

Pero dentro de cada tal círculo podemos encontrar puntos (distintos de $(0, 0)$ ) de la parábola $x = y^{2}$ , donde $f (x, y) = \frac{1}{2} \cdot$ Entonces tendríamos que tener

\frac{1}{2} = | \frac{1}{2} - 0 | < \frac{1}{4},

lo cual es un absurdo.

Ejemplo 2.

Como segundo ejemplo, del cual diremos más un poco más adelante, sea

f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{4xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases} \cdot

(En términos de coordenadas polares $(r, θ)$ , donde $x = r \cos θ, y = r \sin θ, f (x, y) = r^{2} \sin 4 θ$ .) Aunque no describiremos las curvas de nivel en detalle, el mapa de contorno es aproximadamente el siguiente:

Los signos $+$ en el mapa de contorno indican sectores como aquel con un signo $+$ en el cual se esbozan las líneas de contorno, y de manera análoga para los signos $-$ . Así, si estamos en $(0, 0)$ , vemos cuatro valles que descienden alejándose, alternando con cuatro montañas. Esta función es continua en todas partes.

EJERCICIOS

Ejercicio 1.

Dibuje un mapa de contorno y discuta la continuidad para cada una de las siguientes funciones:
a) $f (x, y) = x y$ ,
b) f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x(x^2 + y^2)}{x^2 + (x^2 + y^2)^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases} \cdot

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