توابع چند متغیره

مثال 1.

بیایید نقشه تراز را برای تابع زیر در نظر بگیریم

سهمی $x=\alpha y^2$ را در نظر بگیرید. برای $(x,y)$ روی این منحنی، $\alpha \ne 0,y\ne 0$، داریم

$$f(x,y)=\frac{\alpha y^4}{({\alpha }^2+1)y^4}=\frac{\alpha }{{\alpha }^2+1},$$

یا اینکه $f(x,y)$ یک مقدار ثابت است. با حل کردن برای $x$ برحسب $y$ در معادله

$$\frac{x{y}^2}{x^2+y^4}=\beta ,\beta \ne 0,$$

می‌بینیم که هر منحنی تراز به ارتفاع $\beta \ne 0$، صرفاً یک سهمی $x=\alpha y^2$ با حذف نقطه $(0,0)$ است. بنابراین

$$\beta =\frac{\alpha }{{\alpha }^2+1}\cdot$$

اکنون چه اعدادی می‌توانند به صورت

$$\frac{\alpha }{{\alpha }^2+1}?$$

باشند؟ برای پاسخ به این پرسش، تابع

$$g(\alpha )=\frac{\alpha }{{\alpha }^2+1}$$

را برای مقادیر ماکزیمم و مینیمم بررسی می‌کنیم و درمی‌یابیم که وقتی $\alpha =1$ است دارای ماکزیمم، و هنگامی که $\alpha =-1$ است دارای مینیمم است. بنابراین

$$-\frac{1}{2}\le \frac{\alpha }{{\alpha }^2+1}\le \frac{1}{2}\cdot$$

منحنی تراز با حداقل ارتفاع $(-\frac{1}{2})$ سهمی $y=-x^2$ و منحنی با حداکثر ارتفاع $(+\frac{1}{2})$ سهمی $y=x^2$ است (همواره با حذف $(0,0)$). بنابراین نقشه تراز شبیه تصویر صفحه بعد خواهد بود.

توجه داشته باشید که برای هر مقدار ثابت از $x$، این تابع $f(x,y)$ برحسب $y$ پیوسته است، و همچنین وقتی $y$ ثابت نگه داشته شود، برحسب $x$ پیوسته است. این تابع همچنین در امتداد هر خطی پیوسته است؛ یعنی اگر $(x_0,y_0)$ نقطه‌ای روی یک خط باشد، آنگاه برای $(x,y)$ نزدیک به $(x_0,y_0)$ و روی خط، $f(x,y)$ نزدیک به $f(x_0,y_0)$ است. با این حال، نمی‌توانیم این تابع را در $(0,0)$ پیوسته بنامیم. زیرا این بدان معنا خواهد بود که هرگاه $(x,y)$ نزدیک به $(0,0)$ باشد، $f(x,y)$ باید نزدیک به $f(0,0)=0$ باشد. اما روی سهمی $y=x^2$ نقاطی وجود دارند که به هر اندازه که بخواهیم به $(0,0)$ نزدیک هستند، و در این نقاط $f(x,y)=\frac{1}{2}\cdot$ رویه دارای یک تیغه در امتداد $y=x^2,x\ne 0$؛ یک دره در امتداد $y=-x^2,x\ne 0$؛ یک دره کم‌عمق در امتداد $y=0$ برای ؛ و یک تیغه ملایم در امتداد $y=0$ برای است. این تابع یک ناپیوستگی در $(0,0)$ دارد.

مثال 2.

به عنوان مثال دوم، که کمی بعدتر بیشتر درباره آن صحبت خواهیم کرد، فرض کنید

(برحسب مختصات قطبی $(r,\theta )$، که در آن $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,f(x,y)=r^2\sin 4\theta$ است.) هرچند منحنی‌های تراز را با جزئیات توصیف نخواهیم کرد، نقشه تراز تقریباً به صورت زیر است:

علامت‌های $+$ در نقشه تراز، قطاع‌هایی مانند قطاع با علامت $+$ را نشان می‌دهند که خطوط تراز در آن رسم شده‌اند، و به طور مشابه برای علامت‌های $-$. بنابراین اگر در $(0,0)$ بایستیم، چهار دره را می‌بینیم که شیب‌دار دور می‌شوند و به تناوب با چهار کوه قرار دارند. این تابع در همه جا پیوسته است.