Exemplos de Derivadas

Exemplo 1.

$y=f(x)=x.$

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)-x}{h}=\frac{h}{h}=1.$$

Conforme $h⟶0$, isso não é afetado, portanto é considerado como se aproximando de 1 (já que está próximo de 1 quando $h$ está próximo de zero). Assim, temos

y' = f'(x) = 1\quad \text{ para todo } x.

Exemplo 2.

$y=f(x)=c$,
ou seja, $f(x)$ é uma constante $c$ para todo $x$. (Se você preferir ver um "$x$" em uma função de $x$, pode escrever $f(x)=(x+c)-x.)$

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{c-c}{h}=0,$$

que permanece inalterado quando $h$ se aproxima de 0. Assim, f'(x) = 0 neste caso para todo $x.$

Exemplo 3.

$y=f(x)=x^n,$ $n$ um inteiro positivo.

\begin{aligned} \frac{f(x+h)- f(x)}{h}& = \frac{(x+h)^n - x^n}{h}\\ &= \frac{x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^{2} + \dots + nxh^{n-1} + h^n - x^n}{h}\\ &= nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h + \dots + nxh^{n-2} + h^{n-1} . \end{aligned}

Conforme $h\to 0$, todos os termos exceto o primeiro vão para zero, e sua soma igualmente vai para zero. (Isso parece bastante óbvio, mas vamos demonstrá-lo eventualmente.) Assim, f'(x) = nx^{n-1}.

Exemplo 4.

$y=f(x)=x^{p/q}$ (isso só está definido para $x\ge 0$.)

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h{)}^{p/q}-x^{p/q}}{h}.$$

Seja $u=(x+h{)}^{1/q},v=x^{1/q}$. Então, quando $h\to 0,u\to v$. Além disso, $x+h=u^q,x=v^q$, e $h=u^q-v^q$. O quociente das diferenças torna-se

$$\frac{u^p-v^p}{u^q-v^q}=\frac{(u-v)(u^{p-1}+u^{p-2}v+\cdots +u{v}^{p-2}+v^{p-1})}{(u-v)(u^{q-1}+u^{q-2}v+\cdots +u{v}^{q-2}+v^{q-1})}$$$$=\frac{u^{p-1}+u^{p-2}v+\cdots +u{v}^{p-2}+v^{p-1}}{u^{q-1}+u^{q-2}v+\cdots +u{v}^{q-2}+v^{q-1}}.$$

O numerador consiste em $p$ termos, cada um se aproximando de $v^{p-1}$, e o denominador consiste em $q$ termos, cada um se aproximando de $v^{q-1}$. O quociente então se aproxima de

$$\frac{p{v}^{p-1}}{q{v}^{q-1}}=\frac{p}{q}{v}^{p-q}=\frac{p}{q}(x^{1/q}{)}^{p-q}=\frac{p}{q}{x}^{(p-q)/q}=\frac{p}{q}{x}^{\frac{p}{q}-1}.$$

Aqui assumimos $x\ne 0$, e que o limite de um quociente é o quociente dos limites se o denominador não se aproxima de zero. Assim,

f'(x) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q}-1} ,

e provamos que se $f(x)=x^a$, $a$ um número racional positivo, ou seja, um quociente de inteiros positivos, então

f'(x)=a x^{a-1}.