مثال‌هایی از مشتق‌ها

مثال ۱.

$y=f(x)=x.$

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)-x}{h}=\frac{h}{h}=1.$$

وقتی $h⟶0$، این مقدار تغییری نمی‌کند، در نتیجه در حال نزدیک شدن به ۱ تلقی می‌شود (زیرا وقتی $h$ نزدیک صفر است، این مقدار نزدیک ۱ است). پس داریم

مثال ۲.

$y=f(x)=c$،
یعنی $f(x)$ برای همهٔ $x$ یک ثابت $c$ است. (اگر ترجیح می‌دهید در تابعی از $x$ یک «$x$» ببینید، می‌توانید بنویسید $f(x)=(x+c)-x.)$

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{c-c}{h}=0,$$

که با نزدیک شدن $h$ به ۰ تغییر نمی‌کند. پس در این حالت برای همهٔ $x.$

مثال ۳.

$y=f(x)=x^n,$ که در آن $n$ یک عدد صحیح مثبت است.

وقتی $h\to 0$، همهٔ جمله‌ها به‌جز جملهٔ اول به صفر می‌روند و مجموع آن‌ها نیز به همین ترتیب به صفر می‌رود. (این کاملاً بدیهی به نظر می‌رسد، اما سرانجام آن را اثبات خواهیم کرد.) پس .

مثال ۴.

$y=f(x)=x^{p/q}$ (این تابع فقط برای $x\ge 0$ تعریف می‌شود.)

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h{)}^{p/q}-x^{p/q}}{h}.$$

فرض کنید $u=(x+h{)}^{1/q},v=x^{1/q}$. آنگاه وقتی $h\to 0,u\to v$. همچنین $x+h=u^q,x=v^q$ و $h=u^q-v^q$. خارج قسمت تفاضل به صورت زیر درمی‌آید

$$\frac{u^p-v^p}{u^q-v^q}=\frac{(u-v)(u^{p-1}+u^{p-2}v+\cdots +u{v}^{p-2}+v^{p-1})}{(u-v)(u^{q-1}+u^{q-2}v+\cdots +u{v}^{q-2}+v^{q-1})}$$$$=\frac{u^{p-1}+u^{p-2}v+\cdots +u{v}^{p-2}+v^{p-1}}{u^{q-1}+u^{q-2}v+\cdots +u{v}^{q-2}+v^{q-1}}.$$

صورت کسر از $p$ جمله تشکیل شده است که هر یک به $v^{p-1}$ نزدیک می‌شود، و مخرج کسر از $q$ جمله تشکیل شده است که هر یک به $v^{q-1}$ نزدیک می‌شود. بنابراین خارج قسمت به مقدار زیر نزدیک می‌شود

$$\frac{p{v}^{p-1}}{q{v}^{q-1}}=\frac{p}{q}{v}^{p-q}=\frac{p}{q}(x^{1/q}{)}^{p-q}=\frac{p}{q}{x}^{(p-q)/q}=\frac{p}{q}{x}^{\frac{p}{q}-1}.$$

در اینجا فرض کرده‌ایم که $x\ne 0$ و همچنین اینکه حد یک خارج قسمت، خارج قسمت حدود است، به شرط آنکه مخرج به صفر نزدیک نشود. پس

و اثبات کرده‌ایم که اگر $f(x)=x^a$، که در آن $a$ یک عدد گویای مثبت است، یعنی خارج قسمت اعداد صحیح مثبت، آنگاه