导数的例子

例 1.

$y=f(x)=x.$

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)-x}{h}=\frac{h}{h}=1.$$

当 $h⟶0$ 时，这个值不受影响，因此被视为趋近于 1（因为当 $h$ 接近零时它接近 1）。于是我们有

例 2.

$y=f(x)=c$,
即 $f(x)$ 对所有 $x$ 都是常数 $c$。（如果你更愿意在 $x$ 的函数中看到一个 "$x$"，你可以写作 $f(x)=(x+c)-x。）$

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{c-c}{h}=0,$$

当 $h$ 趋近于 0 时它保持不变。因此在这种情况下，对所有 $x.$ 都有

例 3.

$y=f(x)=x^n,$ $n$ 为正整数。

当 $h\to 0$ 时，除第一项外所有项都趋于零，它们的和同样趋于零。（这看起来相当明显，但我们最终会证明它。）于是 。

例 4.

$y=f(x)=x^{p/q}$（这只对 $x\ge 0$ 有定义。）

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h{)}^{p/q}-x^{p/q}}{h}.$$

令 $u=(x+h{)}^{1/q},v=x^{1/q}$。那么当 $h\to 0$ 时，$u\to v$。同时 $x+h=u^q,x=v^q$，且 $h=u^q-v^q$。差商变为

$$\frac{u^p-v^p}{u^q-v^q}=\frac{(u-v)(u^{p-1}+u^{p-2}v+\cdots +u{v}^{p-2}+v^{p-1})}{(u-v)(u^{q-1}+u^{q-2}v+\cdots +u{v}^{q-2}+v^{q-1})}$$$$=\frac{u^{p-1}+u^{p-2}v+\cdots +u{v}^{p-2}+v^{p-1}}{u^{q-1}+u^{q-2}v+\cdots +u{v}^{q-2}+v^{q-1}}.$$

分子由 $p$ 项组成，每一项都趋近于 $v^{p-1}$，分母由 $q$ 项组成，每一项都趋近于 $v^{q-1}$。于是该商趋近于

$$\frac{p{v}^{p-1}}{q{v}^{q-1}}=\frac{p}{q}{v}^{p-q}=\frac{p}{q}(x^{1/q}{)}^{p-q}=\frac{p}{q}{x}^{(p-q)/q}=\frac{p}{q}{x}^{\frac{p}{q}-1}.$$

这里我们假设了 $x\ne 0$，并且假设若分母不趋近于零，则商的极限等于极限的商。于是

并且我们已经证明：如果 $f(x)=x^a$，$a$ 为正有理数，即正整数的商，那么