La Regla de la Cadena
A veces uno se encuentra perplejo al descubrir que la expresión a derivar es demasiado complicada para abordarla directamente.
Así, la ecuación \[y = (x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}\] es incómoda para un principiante.
Ahora, la estrategia para superar la dificultad es esta: Escriba algún símbolo, como \(u\), para la expresión \(x^2 + a^2\); entonces la ecuación se convierte en \[y = u^{\frac{3}{2}},\] la cual puedes manejar fácilmente; pues \[\frac{dy}{du} = \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}.\] Luego aborda la expresión \[u = x^2 + a^2,\] y derivarla con respecto a \(x\), \[\frac{du}{dx} = 2x.\] Luego todo lo que queda es sencillo;
porque \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx};\] es decir, \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} \times 2x \\ &= \tfrac{3}{2} (x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}} \times 2x \\ &= 3x(x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}}; \end{align}\] y así el truco está hecho.
Con el tiempo, cuando hayas aprendido a manejar senos, cosenos y exponenciales, encontrarás la regla de la cadena de creciente utilidad.
Ejemplos
Practiquemos usar la Regla de la Cadena en algunos ejemplos.
Ejemplo 9.1. Diferenciar \(y = \sqrt{a+x}\).
Solución. Sea \(a+x = u\). \[ \frac{du}{dx} = 1;\quad y=u^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du} = \tfrac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \tfrac{1}{2} (a+x)^{-\frac{1}{2}}.\] \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a+x}}. \]
Ejemplo 9.2. Diferenciar \(y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x^2}}\).
Solución. Sea \(a + x^2 = u\). \[ \frac{du}{dx} = 2x;\quad y=u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du} = -\tfrac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}.\] \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(a+x^2)^3}}. \]
Ejemplo 9.3. Diferenciar \(y = \left(m - nx^{\frac{2}{3}} + \dfrac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^a\).
Solución. Sea \(m - nx^{\frac{2}{3}} + px^{-\frac{4}{3}} = u\). \[ \frac{du}{dx} = -\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} - \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}};\] \[y = u^a;\quad \frac{dy}{du} = a u^{a-1}. \] \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx} = -a\left(m -nx^{\frac{2}{3}} + \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^{a-1} (\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} + \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}}). \]
Ejemplo 9.4. Diferenciar \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x^3 - a^2}}\).
Solución. Sea \(u = x^3 - a^2\). \[\begin{align} \frac{du}{dx} &= 3x^2;\quad y = u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du}=-\frac{1}{2}(x^3 - a^2)^{-\frac{3}{2}}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = -\frac{3x^2}{2\sqrt{(x^3 - a^2)^3}}. \end{align}\]
Ejemplo 9.5. Diferenciar \(y=\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\).
Solución. Escriba esto como \(y=\dfrac{(1-x)^{\frac{1}{2}}}{(1+x)^{\frac{1}{2}}}\). \[\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} - (1-x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx}}{1+x}.\]
(También podemos escribir \(y = (1-x)^{\frac{1}{2}} (1+x)^{-\frac{1}{2}}\) y derivar como un producto.)
Procediendo como en el ejemplo 9.1 arriba, obtenemos \[\frac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}; \quad\text{y}\quad \frac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}.\]
Por lo tanto, \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= - \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1-x}} - \frac{(1 - x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1+x}} \\ &= - \frac{1}{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{(1+x)^3}};\\ \end{align}\] o \[\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}.\]
Ejemplo 9.6. Diferenciar \(y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1+x^2}}\).
Solución. Podemos escribir esto \[\begin{gathered} y = x^{\frac{3}{2}}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}; \\ \frac{dy}{dx} = \tfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \times \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \end{gathered}\]
Diferenciando \((1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\), como se muestra en ejemplo (2) arriba, obtenemos \[\frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(1+x^2)^3}};\] y así que \[\frac{dy}{dx} = \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^2}} - \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{(1+x^2)^3}} = \frac{\sqrt{x}(3+x^2)}{2\sqrt{(1+x^2)^3}}.\]
Ejemplo 9.7. Diferenciar \(y=\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^3\).
Solución. Sea \(x+\sqrt{x^2+x+a}=u\). \[\begin{gathered} \frac{du}{dx} = 1 + \frac{d\bigl[(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \\ y = u^3;\quad\text{y}\quad \frac{dy}{du} = 3u^2= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2. \end{gathered}\]
Ahora sea \((x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}=v\) y \((x^2+x+a) = w\). \[\begin{align} \frac{dw}{dx} &= 2x+1;\quad v = w^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dv}{dw} = \tfrac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}. \\ \frac{dv}{dx} &= \frac{dv}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+x+a)^{-\frac{1}{2}}(2x+1). \end{align}\] Por lo tanto, \[\begin{align} \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\\ &= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2 \left(1 +\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\right). \end{align}\]
Ejemplo 9.8. Diferenciar \(y=\sqrt{\dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}} \sqrt[3]{\dfrac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}\).
Solución. Obtenemos \[ y = \frac{(a^2+x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2-x^2)^{\frac{1}{3}}} {(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2+x^2)^{\frac{1}{3}}} = (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}. \] \[\frac{dy}{dx} = (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{d\bigl[(a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}\bigr]}{dx} + \frac{d\bigl[(a^2+x^2)^{\frac{1}{6}}\bigr]}{(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}}\, dx}. \]
Sea \(u = (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}\) y \(v = (a^2 - x^2)\). \[ u = v^{-\frac{1}{6}};\quad \frac{du}{dv} = -\frac{1}{6}v^{-\frac{7}{6}};\quad \frac{dv}{dx} = -2x.\] \[\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx} = \frac{1}{3}x(a^2-x^2)^{-\frac{7}{6}}. \]
Sea \(w = (a^2 + x^2)^{\frac{1}{6}}\) y \(z = (a^2 + x^2)\). \[ w = z^{\frac{1}{6}};\quad \frac{dw}{dz} = \frac{1}{6}z^{-\frac{5}{6}};\quad \frac{dz}{dx} = 2x. \] \[\frac{dw}{dx} = \frac{dw}{dz} \times \frac{dz}{dx} = \frac{1}{3} x(a^2 + x^2)^{-\frac{5}{6}}. \]
Por lo tanto, \[ \frac{dy}{dx} = (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{7}{6}}} + \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2+x^2)^{\frac{5}{6}}}; \] o \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{3} \left[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2)^7}} + \frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2)^5]}} \right]. \]
Ejemplo 9.9. Diferenciar \(y^n\) con respecto a \(y^5\).
Solución.
\[\frac{d(y^n)}{d(y^5)} =\frac{\dfrac{d(y^n)}{dy}}{\dfrac{d(y^5)}{dy}}= \frac{ny^{n-1}}{5y^{5-1}} = \frac{n}{5} y^{n-5}.\]
Ejemplo 9.10. Encontrar las primeras y segundas derivadas de \(y = \dfrac{x}{b} \sqrt{(a-x)x}\).
Solución. \[\frac{dy}{dx} = \frac{x}{b}\, \frac{d\bigl\{\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}}\bigr\}}{dx} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}.\tag{Regla del Producto}\]
Sea \(\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}} = u\) y sea \((a-x)x = w\); luego \(u = w^{\frac{1}{2}}\). \[\frac{du}{dw} = \frac{1}{2} w^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}.\] \[\begin{align} &\frac{dw}{dx} = a-2x.\\ &\frac{du}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \frac{du}{dx} = \frac{a-2x}{2\sqrt{(a-x)x}}. \end{align}\]
Por lo tanto, \[\frac{dy}{dx} = \frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b} = \frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}.\]
Ahora, \[\begin{align} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{2b \sqrt{(a-x)x}\, (3a-8x) - \dfrac{(3ax-4x^2)b(a-2x)}{\sqrt{(a-x)x}}} {4b^2(a-x)x} \\ &= \frac{3a^2-12ax+8x^2}{4b(a-x)\sqrt{(a-x)x}}. \end{align}\]
(Necesitaremos estas dos últimas derivadas más adelante. Ver ejercicio 11 del Capítulo 12.)
Ejemplo 9.11. Un cilindro cuya altura es dos veces el radio de la base está aumentando en volumen, de modo que todas sus partes mantienen siempre la misma proporción entre sí; es decir, en cualquier instante, el cilindro es similar al cilindro original. Cuando el radio de la base es \(r\) pies, la superficie está aumentando a razón de \(20\) pulgadas cuadradas por segundo; ¿a qué velocidad está aumentando entonces su volumen?1
Solución. \[\text{Área}= S = 2(\pi r^2)+ 2 \pi r \times 2r = 6 \pi r^2.\] \[\text{Volumen} = V = \pi r^2 \times 2r=2 \pi r^3.\] \[\frac{dS}{dt} = 12\pi r\dfrac{dr}{dt}=20,\quad\Rightarrow\quad \frac{dr}{dt}=\frac{20}{12 \pi r},\] \[\frac{dV}{dt} = 6\pi r^2\, \frac{dr}{dt} = 6 \pi r^2 \times \frac{20}{12 \pi r} = 10r. \]
El volumen cambia a razón de \(10r\) pulgadas cúbicas.
Ejercicios I
Diferenciar lo siguiente:
Ejercicio 9.1. \(y = \sqrt{x^2 + 1}\).
Respuesta
\(\dfrac{x}{\sqrt{ x^2 + 1}}\).
Solución
Sea \(u=x^2+1\). Entonces \(y=u^{\frac{1}{2}}\) y \[\begin{align} \frac{d y}{d x}&=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\\ &=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}\cdot (2 x)\\ &=x\left(x^{2}+1\right)^{-1 / 2}\\ &=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{align}\]
Ejercicio 9.2. \(y = \sqrt{x^2+a^2}\).
Respuesta
\(\dfrac{x}{\sqrt{ x^2 + a^2}}\).
Solución
\[y=\sqrt{x^{2}+a^{2}}\]
Sea \(u=x^2+a^2\). Entonces \(y=u^{\frac{1}{2}}\), y
\[\begin{align} \frac{d y}{d x}&=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\\ &=\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\right)\cdot (2x)\\ &=\frac{1}{2}\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}-1}(2 x)\\ &=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \end{align}\]
Ejercicio 9.3. \(y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x}}\).
Respuesta
\(- \dfrac{1}{2 \sqrt{(a + x)^3}}\).
Solución
\[\begin{align} & y=\frac{1}{\sqrt{a+x}}=(a+x)^{-1 / 2} \\ \Rightarrow &\frac{d y}{d x}=\left(-\frac{1}{ 2}\right)(a+x)^{-\frac{1}{2}-1}=\frac{-1}{2 \sqrt[2]{(a+x)^{3}}} \end{align}\]
Ejercicio 9.4. \(y = \dfrac{a}{\sqrt{a-x^2}}\).
Respuesta
\(\dfrac{ax}{\sqrt{(a - x^2)^3}}\).
Solución
\[y=\frac{a}{\sqrt{a-x^{2}}}=a\left(a-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\]
Sea \(u=a-x^{2}\). Entonces
\[y=a u^{-\frac{1}{2}}\]
y
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\left(-\frac{a}{2} u^{-\frac{3}{2}}\right)(-2 x) \\ & =\frac{a x}{u^{\frac{3}{2}}} \\ & =\frac{a x}{\sqrt{\left(a-x^{2}\right)^{3}}} \end{align}\]
Ejercicio 9.5. \(y = \dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^2}\).
Respuesta
\(\dfrac{2a^2 - x^2}{x^3 \sqrt{ x^2 - a^2}}\).
Solución
\[y=\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{x^{2}}\] Usando la Regla del Cociente
\[\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d\left(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)}{d x} \cdot x^{2}-2 x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}{x^{4}}\]
Para encontrar \(\frac{d u}{d x}\) donde \(u=\sqrt{x^2-a^2}\), sea \(v=x^{2}-a^{2}\), entonces \(u=\sqrt{v}\) y
\[\begin{align} \frac{d u}{d x} & =\frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{v}} \cdot(2 x) \\ & =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} . \end{align}\] Por lo tanto \[\frac{d\left(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)}{d x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\] y \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} \cdot x^{2}-2 x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}{x^{4}} \\ & =\frac{x^{3}-2 x\left(x^{2}-a^{2}\right)}{x^{4} \sqrt{x^{2}-a^{2}}} \\ & =\frac{2 a x-x^{3}}{x^{4} \sqrt{x^{2}-a^{2}}} \\ & =\frac{2 a-x^{2}}{x^{3} \sqrt{x^{2}-a^{2}}} \end{align}\]
Ejercicio 9.6. \(y = \dfrac{\sqrt[3]{x^4+a}}{\sqrt{x^3+a}}\).
Respuesta
\(\dfrac{\frac{3}{2} x^2 \left[ \frac{8}{9} x \left( x^3 + a \right) - \left( x^4 + a \right) \right]}{(x^4 + a)^{\frac{2}{3}} (x^3 + a)^{\frac{3}{2}}}\)
Solución
Para encontrar \(\frac{d y}{d x}\), necesitamos encontrar \(\frac{d\left(\sqrt[3]{x^{4}+a}\right)}{d x}\) y \(\frac{d\left(\sqrt{x^{3}+a}\right)}{d x}\).
\(u=\sqrt[3]{x^{4}+a}=\left(x^{4}+a\right)^{\frac{1}{3}}=v^{\frac{1}{3}}\) donde \(v=x^{4}+a\). Luego
\[\begin{align} \frac{d u}{d x} & =\frac{d u}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\left(\frac{1}{3} v^{-\frac{2}{3}}\right)\left(4 x^{3}\right) \\ & =\frac{4 x^{3}}{3 \sqrt{\left(x^{2}+a\right)^{3}}} \end{align}\]
\(w=\sqrt{x^{3}+a}=\left(x^{3}+a\right)^{\frac{1}{2}}=z^{\frac{1}{2}}\), donde \(z=x^{3}+a\). Luego
\[\begin{align} \frac{d w}{d x} & =\frac{d w}{d z} \cdot \frac{d z}{d x} \\ & =\frac{1}{2} z^{-\frac{1}{2}} \cdot\left(3 x^{2}\right) \\ & =\frac{3 x^{2}}{2 z^{\frac{1}{2}}} \\ & =\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}+a}} \end{align}\]
Ahora usando la Regla del Cociente:
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{\frac{d\left(\sqrt[3]{x^{4}+a}\right)}{d x} \cdot \sqrt{x^{3}+a}-\frac{d\left(\sqrt{x^{3}+a}\right)}{d x} \sqrt[3]{x^{4}+a}}{x^{3}+a} \\ & =\frac{\frac{4 x^{3}}{3 \sqrt{\left(x^{4}+a\right)^{3}}} \sqrt{x^{3}+a}-\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}+a}} \cdot \sqrt[3]{x^{4}+a}}{x^{3}+a} \\ & =\frac{\frac{4}{3} x^{3}\left(x^{3}+a\right)-\frac{3}{2} x^{2}\left(x^{4}+a\right)}{\sqrt{\left(x^{4}+a\right)^{3}}\left(x^{3}+a\right)^{\frac{3}{2}}} \\ & =\frac{\frac{3}{2} x^{2}\left[\frac{8}{9} x\left(x^{3}+a\right)-\left(x^{4}+a\right)\right]}{\left(x^{4}+a\right)^{\frac{3}{2}}\left(x^{3}+a\right)^{\frac{3}{2}}}. \end{align}\]
Ejercicio 9.7. \(y = \dfrac{a^2+x^2}{(a+x)^2}\).
Respuesta
\(\dfrac{2a \left(x - a \right)}{(x + a)^3}\).
Solución
Usando la Regla del Cociente: \[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=\frac{2 x(a+x)^{2}-2(a+x)\left(a^{2}+x^{2}\right)}{(a+x)^{4}} \\ & \frac{d y}{d x}=\frac{2(a+x)\left[x(a+x)-\left(a^{2}+x^{2}\right)\right]}{(a+x)^{4}} \\ & \frac{d y}{d x}=\frac{2\left[a x+x^{2}-a^{2}-x^{2}\right]}{(a+x)^{3}}=\frac{2 a(x-a)}{(a+x)^{3}} \end{align}\]
Nota que para encontrar \(\dfrac{d\left((a+x)^2\right)}{dx}\), sea \(u=a+x\). Entonces \[\frac{d\left((a+x)^2\right)}{dx}=\frac{d (u^2)}{du}\frac{du}{dx}=2u=2(a+x)\]
Ejercicio 9.8. Diferenciar \(y^5\) con respecto a \(y^2\).
Respuesta
\(\frac{5}{2} y^3\).
Solución
\[\frac{d \left(y^{5}\right)}{d \left(y^{2}\right)}=\frac{\dfrac{d\left(y^{5}\right)}{d y}}{\dfrac{d\left(y^{2}\right)}{d y}}=\frac{5 y^{4}}{2 y}=\frac{5}{2} y^{3}\]
Ejercicio 9.9. Diferenciar \(y = \dfrac{\sqrt{1 - \theta^2}}{1 - \theta}\).
Respuesta
\(\dfrac{1}{(1 - \theta) \sqrt{1 - \theta^2}}\).
Solución
\[y=\frac{\sqrt{1-\theta^{2}}}{1-\theta}\]
Para encontrar \(\dfrac{dy}{d\theta}\), primero debemos encontrar la derivada del numerador. Para diferenciar \(\sqrt{1-\theta^2}\) con respecto a \(\theta\), podemos reescribirla como \(\left(1 - \theta^2\right)^{\frac{1}{2}}\) y aplicar la Regla de la Cadena. Sea \(u = 1-\theta^2\). Entonces: \[\begin{align} \frac{d\left( \left(1 - \theta^2\right)^{\frac{1}{2}}\right)}{dx}&=\frac{d \left(u^\frac{1}{2}\right)}{d\theta}\\ &=\frac{d \left(u^\frac{1}{2}\right)}{du}\frac{u}{d\theta}\\ &=\frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} (-2\theta)\\ &=\frac{1}{2}(1-\theta^2)^{-\frac{1}{2}}(-2\theta)\\ &=-\frac{\theta}{\sqrt{1-\theta^2}} \end{align}\] Usando la Regla del Cociente
\[\begin{align} \frac{d y}{d \theta}&=\frac{-\dfrac{\theta}{\sqrt{1-\theta^2}(1-\theta)}-(-1) \sqrt{1-\theta^{2}}}{(1-\theta)^{2}}\\ &=\frac{-\theta(1-\theta)+(1-\theta^2)}{\sqrt{1-\theta^2}\ \ (1-\theta^2)}\\ &=\frac{1-\theta}{\sqrt{1-\theta^2}\ \ (1-\theta)^2}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\theta^2}\ \ (1-\theta)}. \end{align}\]
Ejercicio 9.10. Un globo esférico está aumentando en volumen. Si, cuando su radio es \(r\) pies, su volumen está aumentando a una velocidad de \(4\) pies cúbicos por segundo, ¿a qué velocidad está aumentando entonces su superficie?2
Respuesta
A una velocidad de \(\dfrac{8}{r}\) pies cuadrados por segundo.
Solución
El volumen del globo es
\[V=\frac{4}{3} \pi r^{3}\]
y la superficie del globo es
\[S=4 \pi r^{2}\]
Sabemos que
\[\frac{d V}{d t}=4~\frac{\mathrm{ft}^{3}}{\mathrm{~s}}\]
Queremos encontrar \(\dfrac{d S}{d t}\).
Diferenciar ambos lados de la siguiente ecuación con respecto al tiempo \(t\)
\[\frac{d V}{d t}=4 \pi r^{2} \frac{d r}{d t}\]
Dado que \(\dfrac{d V}{d t}=4\), tenemos
\[\frac{d r}{d t}=\frac{1}{\pi r^{2}}\]
Ahora diferenciar ambos lados de \(S=4 \pi r^{2}\), respecto al tiempo \(t:\)
\[\frac{d S}{d t}=8 \pi r \frac{d r}{d t}\]
Sustituir \(\frac{d r}{d t}=\frac{1}{\pi r^{2}}\) en la ecuación anterior da
\[\frac{d S}{d t}=8 \pi r \frac{1}{\pi r^{2}}=\frac{8}{r} .\]
El proceso se puede extender a tres o más derivadas, de modo que \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dz} \times \dfrac{dz}{dv} \times \dfrac{dv}{dx}\).
Ejemplos
Ejemplo 9.12. Si \(z = 3x^4\);\(v = \dfrac{7}{z^2}\);\(y =\sqrt{1+v}\), encontrar \(\dfrac{dv}{dx}\).
Solución. Tenemos \[ \frac{dy}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{1+v}};\quad \frac{dv}{dz} = -\frac{14}{z^3};\quad \frac{dz}{dx} = 12x^3. \] \[\frac{dy}{dx} = -\frac{168x^3}{(2\sqrt{1+v})z^3}= -\frac{28}{3x^5\sqrt{9x^8+7}}. \]
Ejemplo 9.13. Si \(t = \dfrac{1}{5\sqrt{\theta}}\);\(x = t^3 + \dfrac{t}{2}\);\(v = \dfrac{7x^2}{\sqrt[3]{x-1}}\), encontrar \(\dfrac{dv}{d\theta}\).
Solución. Dado que \[\frac{dv}{d\theta}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\cdot\frac{dt}{d\theta}\] para calcular \(\dfrac{dv}{d\theta}\), primero necesitamos encontrar \(\dfrac{dv}{dx}\), \(\dfrac{dx}{dt}\), y \(\dfrac{dt}{d\theta}\).
Diferenciando \(v\) con respecto a \(x\) da \[\frac{dv}{dx}=\frac{\sqrt[3]{x-1}\dfrac{d(7x^{2})}{dx}-7x^{2}\dfrac{d(\sqrt[3]{x-1})}{dx}}{\left(\sqrt[3]{x-1}\right)^{2}} \tag{Regla del Cociente}\] Colocando \(\dfrac{d(7x^2)}{dx}=14x\) y \(\dfrac{d\left(\sqrt[3]{x-1})\right)}{dx}=\dfrac{d\left((x-1)^{\frac{1}{3}}\right)}{dx}=\frac{1}{3}(x-1)^{-\frac{2}{3}}\) en la expresión anterior, obtenemos \[\frac{dv}{dx}=\frac{\sqrt[3]{x-1}(14x)-\frac{7}{3}x^{2}(x-1)^{-\frac{2}{3}}}{\left(\sqrt[3]{x-1}\right)^{2}}\] Para simplificar, multiplique tanto el numerador como el denominador por \(3(x-1)^{\frac{2}{3}}\): \[\begin{align} \frac{dv}{dx} &=\frac{7x\left[2(x-1)^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}x(x-1)^{-\frac{2}{3}}\right]}{3(x-1)^{\frac{4}{3}}}\\[9pt] &=\frac{7x\left[6(x-1)-x\right]}{3(x-1)^{\frac{4}{3}}}\\ &=\frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1)^4}}. \end{align}\]
\[x = t^3 + \dfrac{t}{2}\quad\Rightarrow \quad \frac{dx}{dt}=3t^2+\frac{1}{2}\]
\[t = \dfrac{1}{5\sqrt{\theta}}=\frac{1}{5}\theta^{-\frac{1}{2}}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{dt}{d\theta}=\frac{1}{5}\times\left(-\frac{1}{2}\right)\theta^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{10\sqrt{\theta^3}}\]
Por lo tanto, \[\begin{gathered} \frac{dv}{dx} = \frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1)^4}};\quad \frac{dx}{dt} = 3t^2 + \tfrac{1}{2};\quad \frac{dt}{d\theta} = -\frac{1}{10\sqrt{\theta^3}}. \end{gathered}\] Por lo tanto, \[\begin{gathered} \frac{dv}{d\theta} = -\frac{7x(5x-6)(3t^2+\frac{1}{2})} {30\sqrt[3]{(x-1)^4} \sqrt{\theta^3}}, \end{gathered}\] una expresión en la que \(x\) debe ser reemplazado por su valor, y \(t\) por su valor en términos de \(\theta\).
Ejemplo 9.14. Si \(\theta = \dfrac{3a^2x}{\sqrt{x^3}}\);\(\omega = \dfrac{\sqrt{1-\theta^2}}{1+\theta}\);y \(\phi = \sqrt{3} - \dfrac{1}{\omega\sqrt{2}}\), encontrar \(\dfrac{d\phi}{dx}\).
Solución. Obtenemos \[\theta = 3a^2x^{-\frac{1}{2}};\quad \omega = \frac{\sqrt{(1-\theta)(1+\theta)}}{1+\theta}=\sqrt{\frac{1-\theta}{1+\theta}};\quad \text{y}\quad \phi = \sqrt{3} {-} \frac{1}{\sqrt{2}} \omega^{-1}.\] \[\frac{d\theta}{dx} = -\frac{3a^2}{2\sqrt{x^3}};\quad \frac{d\omega}{d\theta} = -\frac{1}{(1+\theta)\sqrt{1-\theta^2}}\] (ver ejemplo 9.5); y \[\frac{d\phi}{d\omega} = \frac{1}{\sqrt{2}\omega^2}.\]
Así que \(\dfrac{d\theta}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \omega^2} \times \dfrac{1}{(1+\theta) \sqrt{1-\theta^2}} \times \dfrac{3a^2}{2\sqrt{x^3}}\).
Reemplace ahora primero \(\omega\), luego \(\theta\) por su valor.
Ejercicios II
Ejercicio 9.11. Si \(u = \frac{1}{2}x^3\);\(v = 3(u+u^2)\); y \(w = \dfrac{1}{v^2}\), encontrar \(\dfrac{dw}{dx}\).
Respuesta
\(\dfrac{dw}{dx} = -\dfrac{x^2 \left( 1 + x^3 \right)} {3 \left(\frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{4} x^6 \right)^3}\).
Solución
\[\begin{align} & \frac{d w}{d x}=\frac{d w}{d v} \cdot \frac{d v}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{d\left(v^{-2}\right)}{d v} \cdot \frac{d\left(3 u+3 u^{2}\right)}{d u} \cdot \frac{d\left(\frac{1}{2} x^{3}\right)}{d x} \\ & =\left(-2 v^{-3}\right)(3+6 u)\left(\frac{3}{2} x^{2}\right) \\ & =\left(-\frac{2}{v^3}\right)(3+6 u)\left(\frac{3}{2} x^{2}\right) \\ & =\frac{-2}{\left(3 u+3 u^{2}\right)^{3}}(3+6 u)\left(\frac{3}{2} x^{2}\right) \\ & =\frac{-6(1+2 u)}{27\left(u+u^{2}\right)^{3}} \times \frac{3}{2} x^{2} \\ & =-\frac{1}{3} \frac{\left(1+2 \times \frac{1}{2} x^{3}\right)}{\left(\frac{1}{2} x^{3}+\frac{1}{4} x^{6}\right)^{3}} x^{2} \\ & =-\frac{x^{2}}{3} \frac{\left(1+x^{3}\right)}{\left(\frac{1}{2} x^{3}+\frac{1}{4} x^{6}\right)^{3}} \end{align}\]
Ejercicio 9.12. Si \(y = 3x^2 + \sqrt{2}\);\(z = \sqrt{1+y}\); y \(v = \dfrac{1}{\sqrt{3}+4z}\), encontrar \(\dfrac{dv}{dx}\).
Respuesta
\(\dfrac{dv}{dx} = - \dfrac{12x}{\sqrt{1 + \sqrt{2} + 3x^2} \left(\sqrt{3} + 4 \sqrt{1 + \sqrt{2} + 3x^2}\right)^2}\).
Solución
\[y=3 x^{2}+\sqrt{2}, \quad z=\sqrt{1+y},\quad v=\frac{1}{\sqrt{3}+4 z}.\]
\[\frac{d y}{d x}=6 x,\] \[\begin{align} \frac{d z}{d y}&=\frac{1}{2}(1+y)^{\frac{1}{2}-1}\\ &=\frac{1}{2 \sqrt{1+y}}\\ &=\frac{1}{2 \sqrt{1+3 x^{2}+\sqrt{2}}}\\ &=\frac{1}{2 \sqrt{1+\sqrt{2}+3 x^{2}}} \end{align}\] \[\begin{align} \frac{d v}{d z}&=\frac{-4}{(\sqrt{3}+4 z)^{2}}\\ &=\frac{-4}{(\sqrt{3}+4 \sqrt{1+y})^{2}}\\ &=\frac{-4}{\left(\sqrt{3}+4 \sqrt{1+\sqrt{2}+3 x^{2}}\right)^{2}} \end{align}\]
\[\begin{align} \frac{d v}{d x}&=\frac{d v}{d z} \cdot \frac{d z}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}= \\ & =\frac{-4}{\left(\sqrt{3}+4 \sqrt{1+\sqrt{2}+3 x^{2}}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1+\sqrt{2}+3 x^{2}}} \cdot 6 x \\ & =\frac{-12 x}{\sqrt{1+\sqrt{2}+3 x^{2}}\left(\sqrt{3}+4 \sqrt{1+\sqrt{2}+3 x^{2}}\right)^{2}} \\ \end{align}\]
Ejercicio 9.13. Si \(y = \dfrac{x^3}{\sqrt{3}}\);\(z = (1+y)^2\); y \(u = \dfrac{1}{\sqrt{1+z}}\), encontrar \(\dfrac{du}{dx}\).
Respuesta
\(\dfrac{du}{dx} = - \dfrac{x^2 \left(\sqrt{3} + x^3 \right)} {\sqrt{ \left[ 1 + \left( 1 + \dfrac{x^3}{\sqrt{3}} \right) ^2 \right]^3}}\).
Solución
\[y =\frac{x^{3}}{\sqrt{3}} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{3}{\sqrt{3}} x^{2}=\sqrt{3} x^{2}\]
\[z =(1+y)^{2} \Rightarrow \frac{d z}{d y}=2(1+y)\] \[u =\frac{1}{\sqrt{1+z}}=(1+z)^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{d u}{d z}=-\frac{1}{2}(1+z)^{-\frac{3}{2}}\]
\[\begin{align} \frac{d u}{d x} & =\frac{d u}{d z} \cdot \frac{d z}{d y} \cdot \frac{d y}{d x} \\ & =-\frac{1}{2(1+z)^{\frac{3}{2}}} \cdot 2(1+y) \times \sqrt{3} x^{2} \\ & =-\frac{\sqrt{3} x^{2}}{\left(1+(1+y)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}(1+y) \\ & =-\frac{\sqrt{3} x^{2}}{\left(1+\left(1+\dfrac{x^{3}}{\sqrt{3}}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(\sqrt{3}+x^{3}\right) \\ & =-\frac{\sqrt{3} x^2}{\left(1+\left(1+\dfrac{x^3}{\sqrt{3}}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}\left(1+\frac{x^3}{\sqrt{3}}\right) \\ & =-\frac{x^2\left(\sqrt{3}+x^3\right)}{\sqrt{\left[1+\left(1+\dfrac{x^3}{\sqrt{3}}\right)^2\right]^3}} \end{align}\]