La règle de la chaîne
Parfois, on se retrouve perplexe en découvrant que l'expression à dériver est trop compliquée pour être abordée directement.
Ainsi, l'équation \[y = (x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}\] est gênante pour un débutant.
Maintenant, l'astuce pour contourner la difficulté est la suivante : Écrivez un symbole, tel que \(u\), pour l'expression \(x^2 + a^2\); alors l'équation devient \[y = u^{\frac{3}{2}},\] que vous pouvez facilement gérer; car \[\frac{dy}{du} = \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}.\] Ensuite, aborder l'expression \[u = x^2 + a^2,\] et la dériver par rapport à \(x\), \[\frac{du}{dx} = 2x.\] Ensuite, tout ce qui reste est une navigation facile;
car \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx};\] c'est-à-dire, \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} \times 2x \\ &= \tfrac{3}{2} (x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}} \times 2x \\ &= 3x(x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}}; \end{align}\] et ainsi l'astuce est faite.
Peu à peu, lorsque vous aurez appris à traiter les sinus, cosinus et exponentielles, vous trouverez la règle de la chaîne de plus en plus utile.
Exemples
Pratiquons l'utilisation de la règle de la chaîne sur quelques exemples.
Exemple 9.1. Dériver \(y = \sqrt{a+x}\).
Solution. Soit \(a+x = u\). \[ \frac{du}{dx} = 1;\quad y=u^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du} = \tfrac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \tfrac{1}{2} (a+x)^{-\frac{1}{2}}.\] \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a+x}}. \]
Exemple 9.2. Dériver \(y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x^2}}\).
Solution. Soit \(a + x^2 = u\). \[ \frac{du}{dx} = 2x;\quad y=u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du} = -\tfrac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}.\] \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(a+x^2)^3}}. \]
Exemple 9.3. Dériver \(y = \left(m - nx^{\frac{2}{3}} + \dfrac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^a\).
Solution. Soit \(m - nx^{\frac{2}{3}} + px^{-\frac{4}{3}} = u\). \[ \frac{du}{dx} = -\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} - \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}};\] \[y = u^a;\quad \frac{dy}{du} = a u^{a-1}. \] \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx} = -a\left(m -nx^{\frac{2}{3}} + \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^{a-1} (\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} + \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}}). \]
Exemple 9.4. Dériver \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x^3 - a^2}}\).
Solution. Soit \(u = x^3 - a^2\). \[\begin{align} \frac{du}{dx} &= 3x^2;\quad y = u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du}=-\frac{1}{2}(x^3 - a^2)^{-\frac{3}{2}}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = -\frac{3x^2}{2\sqrt{(x^3 - a^2)^3}}. \end{align}\]
Exemple 9.5. Dériver \(y=\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\).
Solution. Écrivez ceci comme \(y=\dfrac{(1-x)^{\frac{1}{2}}}{(1+x)^{\frac{1}{2}}}\). \[\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} - (1-x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx}}{1+x}.\]
(On peut aussi écrire \(y = (1-x)^{\frac{1}{2}} (1+x)^{-\frac{1}{2}}\) et dériver comme un produit.)
En procédant comme dans l'exemple 9.1 ci-dessus, nous obtenons \[\frac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}; \quad\text{et}\quad \frac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}.\]
D'où \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= - \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1-x}} - \frac{(1 - x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1+x}} \\ &= - \frac{1}{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{(1+x)^3}};\\ \end{align}\] ou \[\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}.\]
Exemple 9.6. Dériver \(y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1+x^2}}\).
Solution. Nous pouvons écrire ceci \[\begin{gathered} y = x^{\frac{3}{2}}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}; \\ \frac{dy}{dx} = \tfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \times \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \end{gathered}\]
En dérivant \((1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\), comme montré dans l'exemple (2) ci-dessus, nous obtenons \[\frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(1+x^2)^3}};\] de sorte que \[\frac{dy}{dx} = \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^2}} - \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{(1+x^2)^3}} = \frac{\sqrt{x}(3+x^2)}{2\sqrt{(1+x^2)^3}}.\]
Exemple 9.7. Dériver \(y=\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^3\).
Solution. Soit \(x+\sqrt{x^2+x+a}=u\). \[\begin{gathered} \frac{du}{dx} = 1 + \frac{d\bigl[(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \\ y = u^3;\quad\text{et}\quad \frac{dy}{du} = 3u^2= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2. \end{gathered}\]
Soit maintenant \((x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}=v\) et \((x^2+x+a) = w\). \[\begin{align} \frac{dw}{dx} &= 2x+1;\quad v = w^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dv}{dw} = \tfrac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}. \\ \frac{dv}{dx} &= \frac{dv}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+x+a)^{-\frac{1}{2}}(2x+1). \end{align}\] D'où \[\begin{align} \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\\ &= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2 \left(1 +\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\right). \end{align}\]
Exemple 9.8. Dériver \(y=\sqrt{\dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}} \sqrt[3]{\dfrac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}\).
Solution. Nous obtenons \[ y = \frac{(a^2+x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2-x^2)^{\frac{1}{3}}} {(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2+x^2)^{\frac{1}{3}}} = (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}. \] \[\frac{dy}{dx} = (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{d\bigl[(a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}\bigr]}{dx} + \frac{d\bigl[(a^2+x^2)^{\frac{1}{6}}\bigr]}{(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}}\, dx}. \]
Soit \(u = (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}\) et \(v = (a^2 - x^2)\). \[ u = v^{-\frac{1}{6}};\quad \frac{du}{dv} = -\frac{1}{6}v^{-\frac{7}{6}};\quad \frac{dv}{dx} = -2x.\] \[\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx} = \frac{1}{3}x(a^2-x^2)^{-\frac{7}{6}}. \]
Soit \(w = (a^2 + x^2)^{\frac{1}{6}}\) et \(z = (a^2 + x^2)\). \[ w = z^{\frac{1}{6}};\quad \frac{dw}{dz} = \frac{1}{6}z^{-\frac{5}{6}};\quad \frac{dz}{dx} = 2x. \] \[\frac{dw}{dx} = \frac{dw}{dz} \times \frac{dz}{dx} = \frac{1}{3} x(a^2 + x^2)^{-\frac{5}{6}}. \]
D'où \[ \frac{dy}{dx} = (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{7}{6}}} + \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2+x^2)^{\frac{5}{6}}}; \] ou \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{3} \left[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2)^7}} + \frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2)^5]}} \right]. \]
Exemple 9.9. Dériver \(y^n\) par rapport à \(y^5\).
Solution.
\[\frac{d(y^n)}{d(y^5)} =\frac{\dfrac{d(y^n)}{dy}}{\dfrac{d(y^5)}{dy}}= \frac{ny^{n-1}}{5y^{5-1}} = \frac{n}{5} y^{n-5}.\]
Exemple 9.10. Trouver les dérivées première et seconde de \(y = \dfrac{x}{b} \sqrt{(a-x)x}\).
Solution. \[\frac{dy}{dx} = \frac{x}{b}\, \frac{d\bigl\{\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}}\bigr\}}{dx} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}.\tag{Règle du produit}\]
Soit \(\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}} = u\) et soit \((a-x)x = w\); alors \(u = w^{\frac{1}{2}}\). \[\frac{du}{dw} = \frac{1}{2} w^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}.\] \[\begin{align} &\frac{dw}{dx} = a-2x.\\ &\frac{du}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \frac{du}{dx} = \frac{a-2x}{2\sqrt{(a-x)x}}. \end{align}\]
D'où \[\frac{dy}{dx} = \frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b} = \frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}.\]
Maintenant \[\begin{align} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{2b \sqrt{(a-x)x}\, (3a-8x) - \dfrac{(3ax-4x^2)b(a-2x)}{\sqrt{(a-x)x}}} {4b^2(a-x)x} \\ &= \frac{3a^2-12ax+8x^2}{4b(a-x)\sqrt{(a-x)x}}. \end{align}\]
(Nous aurons besoin de ces deux dernières dérivées plus tard. Voir exercice 11 du chapitre 12.)
Exemple 9.11. Un cylindre dont la hauteur est deux fois le rayon de la base augmente en volume, de sorte que toutes ses parties sont toujours dans les mêmes proportions les unes par rapport aux autres ; c'est-à-dire, à tout moment, le cylindre est similaire au cylindre original. Lorsque le rayon de la base est \(r\) pieds, la surface augmente à la vitesse de \(20\) pouces carrés par seconde ; à quelle vitesse son volume augmente-t-il à ce moment-là ?1
Solution. \[\text{Surface}= S = 2(\pi r^2)+ 2 \pi r \times 2r = 6 \pi r^2.\] \[\text{Volume} = V = \pi r^2 \times 2r=2 \pi r^3.\] \[\frac{dS}{dt} = 12\pi r\dfrac{dr}{dt}=20,\quad\Rightarrow\quad \frac{dr}{dt}=\frac{20}{12 \pi r},\] \[\frac{dV}{dt} = 6\pi r^2\, \frac{dr}{dt} = 6 \pi r^2 \times \frac{20}{12 \pi r} = 10r. \]
Le volume change à la vitesse de \(10r\) pouces cubes.
Exercices I
Dériver les fonctions suivantes :
Exercice 9.1. \(y = \sqrt{x^2 + 1}\).
Réponse
\(\dfrac{x}{\sqrt{ x^2 + 1}}\).
Solution
Soit \(u=x^2+1\). Alors \(y=u^{\frac{1}{2}}\) et \[\begin{align} \frac{d y}{d x}&=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\\ &=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}\cdot (2 x)\\ &=x\left(x^{2}+1\right)^{-1 / 2}\\ &=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{align}\]
Exercice 9.2. \(y = \sqrt{x^2+a^2}\).
Réponse
\(\dfrac{x}{\sqrt{ x^2 + a^2}}\).
Solution
\[y=\sqrt{x^{2}+a^{2}}\]
Soit \(u=x^2+a^2\). Alors \(y=u^{\frac{1}{2}}\), et
\[\begin{align} \frac{d y}{d x}&=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\\ &=\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\right)\cdot (2x)\\ &=\frac{1}{2}\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}-1}(2 x)\\ &=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \end{align}\]
Exercice 9.3. \(y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x}}\).
Réponse
\(- \dfrac{1}{2 \sqrt{(a + x)^3}}\).
Solution
\[\begin{align} & y=\frac{1}{\sqrt{a+x}}=(a+x)^{-1 / 2} \\ \Rightarrow &\frac{d y}{d x}=\left(-\frac{1}{ 2}\right)(a+x)^{-\frac{1}{2}-1}=\frac{-1}{2 \sqrt[2]{(a+x)^{3}}} \end{align}\]
Exercice 9.4. \(y = \dfrac{a}{\sqrt{a-x^2}}\).
Réponse
\(\dfrac{ax}{\sqrt{(a - x^2)^3}}\).
Solution
\[y=\frac{a}{\sqrt{a-x^{2}}}=a\left(a-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\]
Soit \(u=a-x^{2}\). Alors
\[y=a u^{-\frac{1}{2}}\]
et
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\left(-\frac{a}{2} u^{-\frac{3}{2}}\right)(-2 x) \\ & =\frac{a x}{u^{\frac{3}{2}}} \\ & =\frac{a x}{\sqrt{\left(a-x^{2}\right)^{3}}} \end{align}\]
Exercice 9.5. \(y = \dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^2}\).
Réponse
\(\dfrac{2a^2 - x^2}{x^3 \sqrt{ x^2 - a^2}}\).
Solution
\[y=\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{x^{2}}\] En utilisant la règle du quotient
\[\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d\left(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)}{d x} \cdot x^{2}-2 x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}{x^{4}}\]
Pour trouver \(\frac{d u}{d x}\) où \(u=\sqrt{x^2-a^2}\), soit \(v=x^{2}-a^{2}\), alors \(u=\sqrt{v}\) et
\[\begin{align} \frac{d u}{d x} & =\frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{v}} \cdot(2 x) \\ & =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} . \end{align}\] Donc \[\frac{d\left(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)}{d x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\] et \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} \cdot x^{2}-2 x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}{x^{4}} \\ & =\frac{x^{3}-2 x\left(x^{2}-a^{2}\right)}{x^{4} \sqrt{x^{2}-a^{2}}} \\ & =\frac{2 a x-x^{3}}{x^{4} \sqrt{x^{2}-a^{2}}} \\ & =\frac{2 a-x^{2}}{x^{3} \sqrt{x^{2}-a^{2}}} \end{align}\]
Exercice 9.6. \(y = \dfrac{\sqrt[3]{x^4+a}}{\sqrt{x^3+a}}\).
Réponse
\(\dfrac{\frac{3}{2} x^2 \left[ \frac{8}{9} x \left( x^3 + a \right) - \left( x^4 + a \right) \right]}{(x^4 + a)^{\frac{2}{3}} (x^3 + a)^{\frac{3}{2}}}\)
Solution
Pour trouver \(\frac{d y}{d x}\), nous devons trouver \(\frac{d\left(\sqrt[3]{x^{4}+a}\right)}{d x}\) et \(\frac{d\left(\sqrt{x^{3}+a}\right)}{d x}\).
\(u=\sqrt[3]{x^{4}+a}=\left(x^{4}+a\right)^{\frac{1}{3}}=v^{\frac{1}{3}}\) où \(v=x^{4}+a\). Alors
\[\begin{align} \frac{d u}{d x} & =\frac{d u}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\left(\frac{1}{3} v^{-\frac{2}{3}}\right)\left(4 x^{3}\right) \\ & =\frac{4 x^{3}}{3 \sqrt{\left(x^{2}+a\right)^{3}}} \end{align}\]
\(w=\sqrt{x^{3}+a}=\left(x^{3}+a\right)^{\frac{1}{2}}=z^{\frac{1}{2}}\), où \(z=x^{3}+a\). Alors
\[\begin{align} \frac{d w}{d x} & =\frac{d w}{d z} \cdot \frac{d z}{d x} \\ & =\frac{1}{2} z^{-\frac{1}{2}} \cdot\left(3 x^{2}\right) \\ & =\frac{3 x^{2}}{2 z^{\frac{1}{2}}} \\ & =\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}+a}} \end{align}\]
Maintenant, en utilisant la règle du quotient :
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{\frac{d\left(\sqrt[3]{x^{4}+a}\right)}{d x} \cdot \sqrt{x^{3}+a}-\frac{d\left(\sqrt{x^{3}+a}\right)}{d x} \sqrt[3]{x^{4}+a}}{x^{3}+a} \\ & =\frac{\frac{4 x^{3}}{3 \sqrt{\left(x^{4}+a\right)^{3}}} \sqrt{x^{3}+a}-\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}+a}} \cdot \sqrt[3]{x^{4}+a}}{x^{3}+a} \\ & =\frac{\frac{4}{3} x^{3}\left(x^{3}+a\right)-\frac{3}{2} x^{2}\left(x^{4}+a\right)}{\sqrt{\left(x^{4}+a\right)^{3}}\left(x^{3}+a\right)^{\frac{3}{2}}} \\ & =\frac{\frac{3}{2} x^{2}\left[\frac{8}{9} x\left(x^{3}+a\right)-\left(x^{4}+a\right)\right]}{\left(x^{4}+a\right)^{\frac{3}{2}}\left(x^{3}+a\right)^{\frac{3}{2}}}. \end{align}\]
Exercice 9.7. \(y = \dfrac{a^2+x^2}{(a+x)^2}\).
Réponse
\(\dfrac{2a \left(x - a \right)}{(x + a)^3}\).
Solution
En utilisant la règle du quotient : \[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=\frac{2 x(a+x)^{2}-2(a+x)\left(a^{2}+x^{2}\right)}{(a+x)^{4}} \\ & \frac{d y}{d x}=\frac{2(a+x)\left[x(a+x)-\left(a^{2}+x^{2}\right)\right]}{(a+x)^{4}} \\ & \frac{d y}{d x}=\frac{2\left[a x+x^{2}-a^{2}-x^{2}\right]}{(a+x)^{3}}=\frac{2 a(x-a)}{(a+x)^{3}} \end{align}\]
Notez que pour trouver \(\dfrac{d\left((a+x)^2\right)}{dx}\), soit \(u=a+x\). Alors \[\frac{d\left((a+x)^2\right)}{dx}=\frac{d (u^2)}{du}\frac{du}{dx}=2u=2(a+x)\]
Exercice 9.8. Dériver \(y^5\) par rapport à \(y^2\).
Réponse
\(\frac{5}{2} y^3\).
Solution
\[\frac{d \left(y^{5}\right)}{d \left(y^{2}\right)}=\frac{\dfrac{d\left(y^{5}\right)}{d y}}{\dfrac{d\left(y^{2}\right)}{d y}}=\frac{5 y^{4}}{2 y}=\frac{5}{2} y^{3}\]
Exercice 9.9. Dériver \(y = \dfrac{\sqrt{1 - \theta^2}}{1 - \theta}\).
Réponse
\(\dfrac{1}{(1 - \theta) \sqrt{1 - \theta^2}}\).
Solution
\[y=\frac{\sqrt{1-\theta^{2}}}{1-\theta}\]
Pour trouver \(\dfrac{dy}{d\theta}\), nous devons d'abord trouver la dérivée du numérateur. Pour dériver \(\sqrt{1-\theta^2}\) par rapport à \(\theta\), nous pouvons la réécrire comme \(\left(1 - \theta^2\right)^{\frac{1}{2}}\) et appliquer la règle de la chaîne. Soit \(u = 1-\theta^2\). Ensuite : \[\begin{align} \frac{d\left( \left(1 - \theta^2\right)^{\frac{1}{2}}\right)}{dx}&=\frac{d \left(u^\frac{1}{2}\right)}{d\theta}\\ &=\frac{d \left(u^\frac{1}{2}\right)}{du}\frac{u}{d\theta}\\ &=\frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} (-2\theta)\\ &=\frac{1}{2}(1-\theta^2)^{-\frac{1}{2}}(-2\theta)\\ &=-\frac{\theta}{\sqrt{1-\theta^2}} \end{align}\] En utilisant la règle du quotient
\[\begin{align} \frac{d y}{d \theta}&=\frac{-\dfrac{\theta}{\sqrt{1-\theta^2}(1-\theta)}-(-1) \sqrt{1-\theta^{2}}}{(1-\theta)^{2}}\\ &=\frac{-\theta(1-\theta)+(1-\theta^2)}{\sqrt{1-\theta^2}\ \ (1-\theta^2)}\\ &=\frac{1-\theta}{\sqrt{1-\theta^2}\ \ (1-\theta)^2}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\theta^2}\ \ (1-\theta)}. \end{align}\]
Exercice 9.10. Un ballon sphérique augmente en volume. Si, lorsque son rayon est \(r\) pieds, son volume augmente à la vitesse de \(4\) pieds cubes par seconde, à quelle vitesse sa surface augmente-t-elle alors?2
Réponse
À la vitesse de \(\dfrac{8}{r}\) pieds carrés par seconde.
Solution
Le volume du ballon est
\[V=\frac{4}{3} \pi r^{3}\]
et la surface du ballon est
\[S=4 \pi r^{2}\]
Nous savons
\[\frac{d V}{d t}=4~\frac{\mathrm{ft}^{3}}{\mathrm{~s}}\]
Nous voulons trouver \(\dfrac{d S}{d t}\).
Différenciez les deux côtés de l'équation suivante par rapport au temps \(t\)
\[\frac{d V}{d t}=4 \pi r^{2} \frac{d r}{d t}\]
Étant donné que \(\dfrac{d V}{d t}=4\), nous avons
\[\frac{d r}{d t}=\frac{1}{\pi r^{2}}\]
Maintenant, dérivez les deux côtés de \(S=4 \pi r^{2}\), par rapport au temps \(t:\)
\[\frac{d S}{d t}=8 \pi r \frac{d r}{d t}\]
En remplaçant \(\frac{d r}{d t}=\frac{1}{\pi r^{2}}\) dans l'équation ci-dessus, on obtient
\[\frac{d S}{d t}=8 \pi r \frac{1}{\pi r^{2}}=\frac{8}{r} .\]
Le processus peut être étendu à trois ou plus dérivées, de sorte que \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dz} \times \dfrac{dz}{dv} \times \dfrac{dv}{dx}\).
Exemples
Exemple 9.12. Si \(z = 3x^4\);\(v = \dfrac{7}{z^2}\);\(y =\sqrt{1+v}\), trouvez \(\dfrac{dv}{dx}\).
Solution. Nous avons \[ \frac{dy}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{1+v}};\quad \frac{dv}{dz} = -\frac{14}{z^3};\quad \frac{dz}{dx} = 12x^3. \] \[\frac{dy}{dx} = -\frac{168x^3}{(2\sqrt{1+v})z^3}= -\frac{28}{3x^5\sqrt{9x^8+7}}. \]
Exemple 9.13. Si \(t = \dfrac{1}{5\sqrt{\theta}}\);\(x = t^3 + \dfrac{t}{2}\);\(v = \dfrac{7x^2}{\sqrt[3]{x-1}}\), trouvez \(\dfrac{dv}{d\theta}\).
Solution. Puisque \[\frac{dv}{d\theta}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\cdot\frac{dt}{d\theta}\] pour calculer \(\dfrac{dv}{d\theta}\), nous devons d'abord trouver \(\dfrac{dv}{dx}\), \(\dfrac{dx}{dt}\) et \(\dfrac{dt}{d\theta}\).
En dérivant \(v\) par rapport à \(x\) donne \[\frac{dv}{dx}=\frac{\sqrt[3]{x-1}\dfrac{d(7x^{2})}{dx}-7x^{2}\dfrac{d(\sqrt[3]{x-1})}{dx}}{\left(\sqrt[3]{x-1}\right)^{2}} \tag{Règle du quotient}\] En remplaçant \(\dfrac{d(7x^2)}{dx}=14x\) et \(\dfrac{d\left(\sqrt[3]{x-1})\right)}{dx}=\dfrac{d\left((x-1)^{\frac{1}{3}}\right)}{dx}=\frac{1}{3}(x-1)^{-\frac{2}{3}}\) dans l'expression ci-dessus, nous obtenons \[\frac{dv}{dx}=\frac{\sqrt[3]{x-1}(14x)-\frac{7}{3}x^{2}(x-1)^{-\frac{2}{3}}}{\left(\sqrt[3]{x-1}\right)^{2}}\] Pour simplifier, multipliez à la fois le numérateur et le dénominateur par \(3(x-1)^{\frac{2}{3}}\) : \[\begin{align} \frac{dv}{dx} &=\frac{7x\left[2(x-1)^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}x(x-1)^{-\frac{2}{3}}\right]}{(x-1)^{\frac{2}{3}}}\times\frac{3(x-1)^{\frac{2}{3}}}{3(x-1)^{\frac{2}{3}}}\\[9pt] &=\frac{7x\left[6(x-1)-x\right]}{3(x-1)^{\frac{4}{3}}}\\ &=\frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1)^4}}. \end{align}\]
\[x = t^3 + \dfrac{t}{2}\quad\Rightarrow \quad \frac{dx}{dt}=3t^2+\frac{1}{2}\]
\[t = \dfrac{1}{5\sqrt{\theta}}=\frac{1}{5}\theta^{-\frac{1}{2}}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{dt}{d\theta}=\frac{1}{5}\times\left(-\frac{1}{2}\right)\theta^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{10\sqrt{\theta^3}}\]
Alors \[\begin{gathered} \frac{dv}{dx} = \frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1)^4}};\quad \frac{dx}{dt} = 3t^2 + \tfrac{1}{2};\quad \frac{dt}{d\theta} = -\frac{1}{10\sqrt{\theta^3}}. \end{gathered}\] D'où \[\begin{gathered} \frac{dv}{d\theta} = -\frac{7x(5x-6)(3t^2+\frac{1}{2})} {30\sqrt[3]{(x-1)^4} \sqrt{\theta^3}}, \end{gathered}\] une expression dans laquelle \(x\) doit être remplacé par sa valeur, et \(t\) par sa valeur en termes de \(\theta\).
Exemple 9.14. Si \(\theta = \dfrac{3a^2x}{\sqrt{x^3}}\);\(\omega = \dfrac{\sqrt{1-\theta^2}}{1+\theta}\);et \(\phi = \sqrt{3} - \dfrac{1}{\omega\sqrt{2}}\), trouvez \(\dfrac{d\phi}{dx}\).
Solution. Nous avons \[\theta = 3a^2x^{-\frac{1}{2}};\quad \omega = \frac{\sqrt{(1-\theta)(1+\theta)}}{1+\theta}=\sqrt{\frac{1-\theta}{1+\theta}};\quad \text{et}\quad \phi = \sqrt{3} {-} \frac{1}{\sqrt{2}} \omega^{-1}.\] \[\frac{d\theta}{dx} = -\frac{3a^2}{2\sqrt{x^3}};\quad \frac{d\omega}{d\theta} = -\frac{1}{(1+\theta)\sqrt{1-\theta^2}}\] (voir exemple 9.5); et \[\frac{d\phi}{d\omega} = \frac{1}{\sqrt{2}\omega^2}.\]
De sorte que \(\dfrac{d\theta}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \omega^2} \times \dfrac{1}{(1+\theta) \sqrt{1-\theta^2}} \times \dfrac{3a^2}{2\sqrt{x^3}}\).
Remplacez maintenant d'abord \(\omega\), puis \(\theta\) par sa valeur.
Exercices II
Exercice 9.11. Si \(u = \frac{1}{2}x^3\);\(v = 3(u+u^2)\); et \(w = \dfrac{1}{v^2}\), trouvez \(\dfrac{dw}{dx}\).
Réponse
\(\dfrac{dw}{dx} = -\dfrac{x^2 \left( 1 + x^3 \right)} {3 \left(\frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{4} x^6 \right)^3}\).
Solution
\[\begin{align} & \frac{d w}{d x}=\frac{d w}{d v} \cdot \frac{d v}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{d\left(v^{-2}\right)}{d v} \cdot \frac{d\left(3 u+3 u^{2}\right)}{d u} \cdot \frac{d\left(\frac{1}{2} x^{3}\right)}{d x} \\ & =\left(-2 v^{-3}\right)(3+6 u)\left(\frac{3}{2} x^{2}\right) \\ & =\left(-\frac{2}{v^3}\right)(3+6 u)\left(\frac{3}{2} x^{2}\right) \\ & =\frac{-2}{\left(3 u+3 u^{2}\right)^{3}}(3+6 u)\left(\frac{3}{2} x^{2}\right) \\ & =\frac{-6(1+2 u)}{27\left(u+u^{2}\right)^{3}} \times \frac{3}{2} x^{2} \\ & =-\frac{1}{3} \frac{\left(1+2 \times \frac{1}{2} x^{3}\right)}{\left(\frac{1}{2} x^{3}+\frac{1}{4} x^{6}\right)^{3}} x^{2} \\ & =-\frac{x^{2}}{3} \frac{\left(1+x^{3}\right)}{\left(\frac{1}{2} x^{3}+\frac{1}{4} x^{6}\right)^{3}} \end{align}\]
Exercice 9.12. Si \(y = 3x^2 + \sqrt{2}\);\(z = \sqrt{1+y}\); et \(v = \dfrac{1}{\sqrt{3}+4z}\), trouvez \(\dfrac{dv}{dx}\).
Réponse
\(\dfrac{dv}{dx} = - \dfrac{12x}{\sqrt{1 + \sqrt{2} + 3x^2} \left(\sqrt{3} + 4 \sqrt{1 + \sqrt{2} + 3x^2}\right)^2}\).
Solution
\[y=3 x^{2}+\sqrt{2}, \quad z=\sqrt{1+y},\quad v=\frac{1}{\sqrt{3}+4 z}.\]
\[\frac{d y}{d x}=6 x,\] \[\begin{align} \frac{d z}{d y}&=\frac{1}{2}(1+y)^{\frac{1}{2}-1}\\ &=\frac{1}{2 \sqrt{1+y}}\\ &=\frac{1}{2 \sqrt{1+3 x^{2}+\sqrt{2}}}\\ &=\frac{1}{2 \sqrt{1+\sqrt{2}+3 x^{2}}} \end{align}\] \[\begin{align} \frac{d v}{d z}&=\frac{-4}{(\sqrt{3}+4 z)^{2}}\\ &=\frac{-4}{(\sqrt{3}+4 \sqrt{1+y})^{2}}\\ &=\frac{-4}{\left(\sqrt{3}+4 \sqrt{1+\sqrt{2}+3 x^{2}}\right)^{2}} \end{align}\]
\[\begin{align} \frac{d v}{d x}&=\frac{d v}{d z} \cdot \frac{d z}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}= \\ & =\frac{-4}{\left(\sqrt{3}+4 \sqrt{1+\sqrt{2}+3 x^{2}}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1+\sqrt{2}+3 x^{2}}} \cdot 6 x \\ & =\frac{-12 x}{\sqrt{1+\sqrt{2}+3 x^{2}}\left(\sqrt{3}+4 \sqrt{1+\sqrt{2}+3 x^{2}}\right)^{2}} \\ \end{align}\]
Exercice 9.13. Si \(y = \dfrac{x^3}{\sqrt{3}}\);\(z = (1+y)^2\); et \(u = \dfrac{1}{\sqrt{1+z}}\), trouvez \(\dfrac{du}{dx}\).
Réponse
\(\dfrac{du}{dx} = - \dfrac{x^2 \left(\sqrt{3} + x^3 \right)} {\sqrt{ \left[ 1 + \left( 1 + \dfrac{x^3}{\sqrt{3}} \right) ^2 \right]^3}}\).
Solution
\[y =\frac{x^{3}}{\sqrt{3}} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{3}{\sqrt{3}} x^{2}=\sqrt{3} x^{2}\]
\[z =(1+y)^{2} \Rightarrow \frac{d z}{d y}=2(1+y)\] \[u =\frac{1}{\sqrt{1+z}}=(1+z)^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{d u}{d z}=-\frac{1}{2}(1+z)^{-\frac{3}{2}}\]
\[\begin{align} \frac{d u}{d x} & =\frac{d u}{d z} \cdot \frac{d z}{d y} \cdot \frac{d y}{d x} \\ & =-\frac{1}{2(1+z)^{\frac{3}{2}}} \cdot 2(1+y) \times \sqrt{3} x^{2} \\ & =-\frac{\sqrt{3} x^{2}}{\left(1+(1+y)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}(1+y) \\ & =-\frac{\sqrt{3} x^{2}}{\left(1+\left(1+\dfrac{x^{3}}{\sqrt{3}}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(\sqrt{3}+x^{3}\right) \\ & =-\frac{\sqrt{3} x^2}{\left(1+\left(1+\dfrac{x^3}{\sqrt{3}}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}\left(1+\frac{x^3}{\sqrt{3}}\right) \\ & =-\frac{x^2\left(\sqrt{3}+x^3\right)}{\sqrt{\left[1+\left(1+\dfrac{x^3}{\sqrt{3}}\right)^2\right]^3}} \end{align}\]