Definições, Teoremas e Demonstrações

Sumário

3.1 INTRODUÇÃO
3.2 AULA
EXERCÍCIOS

3.1 INTRODUÇÃO

3.1.1 Matemática: A Ciência Eterna

Uma das coisas realmente incríveis sobre a matemática é que ela é uma estrutura onde, se algo é estabelecido, permanecerá verdade por toda a eternidade. O foco da maioria das ciências muda com bastante rapidez e frequência, paradigmas inteiros mudam. A matemática também evolui, é claro. Mas uma vez estabelecidas, as verdades não mudam. O teorema de Pitágoras que provamos na primeira aula é algo que ainda será verdadeiro daqui a um milhão de anos. A linguagem com que descrevemos uma afirmação quase certamente terá mudado completamente em uma estrutura matemática futura. A afirmação de Pitágoras ainda será válida.

**Figura 1.** O primeiro desenho de "Veritas". Veritas significa "verdade" Fonte: College Book 1, 1639-1795. UAI 5.5 Box 1, Harvard University Archives.

3.1.2 O Impacto das Definições Rigorosas

Uma das fontes mais importantes de confusão são as definições imprecisas. A matemática desde cedo insistiu em definições precisas e inequívocas. Vimos isso na primeira aula. Definir um “vetor” como uma quantidade com magnitude e direção não é apenas ambíguo e errado (pois não captura o vetor nulo), mas também o induz a uma espécie de “entendimento”, já que todos temos intuição sobre magnitude como “comprimento” e “direção” da vida cotidiana. Frequentemente, mesmo nas “ciências exatas”, são usadas definições imprecisas. Bem, não devemos ser arrogantes demais. Acontece que elaborar definições precisas e ainda elegantes é uma tarefa bastante difícil em geral. Na física, levou muito tempo para substituir noções como "vis viva" e substituí-las por definições precisas como momento ou energia cinética. Foi Emily du Châtelet quem essencialmente contribuiu para esclarecer as definições e distinguir momento $m v$ e energia $m v^{2} / 2$ .

3.1.3 Teoremas como a Pedra Angular da Matemática

A espinha dorsal da matemática são os teoremas. São afirmações que foram verificadas usando uma sequência cuidadosa de argumentos, onde cada passo ou usa um passo lógico básico ou então usa um teorema previamente estabelecido. É extremamente importante não ter nenhum teorema errado nesse processo. Caso contrário, tudo o que for construído sobre ele cairá. A matemática é como um grande programa de computador no qual os procedimentos individuais são os teoremas. Se um dos procedimentos estiver com defeito, pode derrubar todo o sistema. Sempre existe o risco de uma prova se revelar incompleta ou errada, e a história mostrou que isso acontece repetidamente. Na maioria das vezes, pode-se corrigir a afirmação. Às vezes, não se pode corrigi-la porque a afirmação tem contraexemplos. Nesse caso, é preciso modificar a afirmação ou adaptar as definições para que se torne verdadeira. Lakatos, em seu famoso livro "Provas e Refutações", ilustrou isso no contexto da fórmula de Euler para poliedros $V - E + F = 2$ que vimos na segunda aula. Este é um lugar onde definições imprecisas para a noção de "poliedro" levaram a afirmações erradas e o teorema teve que ser corrigido ao longo do tempo.

3.2 AULA

3.2.1 Decomposição em Fatores Primos

Teoremas são afirmações matemáticas que podem ser verificadas fornecendo uma prova. Uma prova garante que o teorema é verdadeiro e permanece válido também no futuro.

Vejamos um exemplo de um teorema. Já era conhecido e provado por Euclides de Alexandria. Ele lida com inteiros e primos, inteiros positivos maiores que $1$ que são divisíveis apenas por 1 ou por si mesmos. O teorema diz que todo inteiro positivo é ou 1, ou primo, ou o produto de dois ou mais primos. Para formular o teorema de forma mais elegante, estendemos a noção de produto e dizemos que um primo é o produto de $k = 1$ primos e que o número 1 é um produto de $k = 0$ primos. Também diríamos que o número $20 = 2 * 2 * 5$ é o produto de $k = 3$ primos, mesmo que o primo 2 apareça duas vezes. Isso é semelhante à molécula de água $H_{2} O = H * H * O$ contendo $k = 3$ átomos, já que o hidrogênio $H$ aparece duas vezes e o oxigênio $O$ uma vez. Agora, assim como toda molécula se decompõe em átomos, todo número se decompõe em primos:

Teorema 1. Todo inteiro $n \geq 1$ é um produto de $k \geq 0$ primos.

Esta é uma afirmação notável porque existem infinitos inteiros. Portanto, não podemos percorrer uma lista infinita e verificar cada um. Poderia, a priori, acontecer que para algum número muito grande, como o número de Fermat $F_{1000} = 2^{(2^{1000})} + 1$ , que nem sequer pode ser escrito em nosso universo,¹ a afirmação falhasse.

3.2.2 A Importância de Definições Claras

Para que tal afirmação possa ser verificada ou refutada, é necessário, antes de tudo, garantir que os objetos sejam descritos por definições claras. Na frase acima, isso significa que precisamos saber o que são os "inteiros", o que é um "produto" e o que são "números primos". Isso já é complicado em geral. A maioria das confusões que ocorreram historicamente na ciência (e ainda hoje!) baseiam-se em definições imprecisas.²

Problema A: Pegue sua definição de trabalho de "número natural" e veja se a afirmação "todo número natural é uma soma finita de números racionais menores". Você pode querer comparar com o que um amigo seu pensa.

Problema B: Por que $1$ não é considerado um número primo?

3.2.3 Além dos Exemplos para as Provas

Uma vez que as definições dos ingredientes da afirmação estejam claras, é útil esclarecer seu significado. Obtemos intuição observando exemplos. Vemos, por exemplo, que $100 = 2 * 2 * 5 * 5$ é de fato um produto de números primos. Vemos também que $7$ é um número primo. Exemplos são ótimos, mas é importante nesta fase perceber:

Princípio: Verificar uma afirmação mostrando alguns exemplos não é uma prova.

Voltaremos a isso mais tarde no curso.

Problema C: As seguintes afirmações são exemplos de teoremas que vimos nas duas primeiras aulas:

Afirmação	Pertence ao teorema
$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$
$63 = [3, 4] \cdot [5, 12] \leq 5 * 13 = 65$
$[0, 1, 0, 0, 1]$ não pode ser reduzida por linhas para $[0, 0, 1, 1, 0]$ .

3.2.4 Indução Matemática

Uma das técnicas de prova importantes é o princípio da indução matemática.³ É aplicado principalmente a inteiros, mas também pode ser usado para matrizes, como vimos na segunda aula. O princípio se aplica a afirmações $S (n)$ que dependem de um número $n$ .

Princípio: $S (1)$ e “ $S (n) \Rightarrow S (n + 1)$ ” implica $S (n)$ para todo $n \geq 1$ .

3.2.5 Um Exemplo de Uso da Indução Matemática

Aqui está um exemplo:

Teorema 2. $S (n) : 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n^{2} + n}{2}$ .

Prova. A afirmação $S (n)$ é verdadeira para $n = 1$ . Suponha que $S (n)$ seja verdadeira. Agora $S (n + 1)$ diz $1 + 2 + \dots + n + (n + 1) = \frac{(n + 1)^{2} + (n + 1)}{2} .$ Usando a hipótese de indução, isso significa $\frac{n^{2} + n}{2} + (n + 1) = \frac{(n + 1)^{2} + (n + 1)}{2},$ o que é verdade. Sabemos, portanto, que a afirmação é verdadeira para todo $n$ . ◻

3.2.6 Reafirmando o Teorema da Fatoração em Primos

Vejamos o teorema sobre primos acima. Para tornar isso uma afirmação que possamos estender de $n$ para $n + 1$ , modificamos a afirmação para

Teorema 3. $S (n)$ : Todo $k \in {2, 3, 4, \dots, n}$ possui uma fatoração em primos.

3.2.7 Provando o Teorema da Fatoração em Primos por Indução

$S (2)$ é verdadeira, pois ${2}$ contém apenas um número que é primo. Agora, suponha que $S (n)$ seja verdadeira, ou seja, que a afirmação seja verdadeira para $n$ , prove que $S (n + 1)$ é verdadeira. Há dois casos: se $n + 1$ é primo, então $S (n + 1)$ é verdadeira. Se $n + 1$ não é primo, então $n = a b$ onde $a$ e $b$ são números maiores que $1$ mas menores que $n$ . Pela hipótese de indução, tanto $a$ quanto $b$ se decompõem em primos: $a = p_{1} p_{2} \dots p_{k}$ e $b = q_{1} q_{2} \dots q_{l}$ onde $p_{j}$ e $q_{j}$ são primos. Portanto, $n + 1 = p_{1} p_{2} \dots p_{k} q_{1} q_{2} \dots q_{l}$ .

3.2.8 Compreendendo os Limites dos Teoremas Matemáticos: Evitando Exageros e Má Interpretação

É importante entender a afirmação e não exagerá-la. Não provamos que todo inteiro tem uma decomposição única em fatores primos. Isso não era conhecido por Euclides (que talvez nem tenha pensado nisso). Foi provado apenas 2000 anos depois por Gauss. Um erro comum que acontece em provas matemáticas é citar um teorema conhecido, mas exceder seu escopo, ou então esquecer uma das hipóteses.

Princípio: Não estenda o escopo de um fato já estabelecido sem justificativa.

3.2.9 Inovação Matemática Através dos Erros

Se você pensa que tais erros acontecem apenas com novatos, não é o caso. Leonard Euler, provavelmente o maior matemático de todos os tempos, uma vez tentou uma prova do último teorema de Fermat trabalhando com sistemas numéricos estendidos como $ℤ [\sqrt{- 3}]$ , que são todos os números da forma $a + \sqrt{- 3} b$ , onde $a, b$ são inteiros. Veja, pode-se somar e multiplicar tais números como inteiros e permanecer na classe. A prova de Euclides também mostra que existe uma fatoração em primos. Mas pode haver diferentes fatorações em primos. Um exemplo é $4 = 2 * 2 = (1 + \sqrt{- 3}) (1 - \sqrt{- 3})$ . Um erro semelhante foi cometido por Gabriel Lamé, que anunciou em 1847 uma prova do último teorema de Fermat afirmando que para $n \geq 3$ , não existem soluções para $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ a menos que $x y z = 0$ . A ideia genial de Lamé foi decompor $x^{n} + y^{n}$ em fatores lineares usando números que satisfazem $ξ^{n} = 1$ , as chamadas raízes da unidade. Também aqui, Euclides mostra que existe uma fatoração em primos, mas também aqui ela não é única. O erro foi realmente bastante importante. Levou a uma "teoria dos ideais" de Ernst Kummer, que permitiu provar o último teorema de Fermat em certos casos.

Princípio: Erros podem abrir novas portas e encontrar ideias. Um processo de busca criativo pode levar a erros inicialmente.

⁴

3.2.10

Claro, temos que tentar evitar erros no produto final a todo custo. Euler certamente ganhou o direito de cometer alguns erros ao criar muita matemática, que permanecerá verdadeira por toda a eternidade. Mas os erros podem ser muito mais básicos. Aqui está um belo exemplo devido a Polya:⁵

Teorema: $S (n)$ : Em uma coleção de $n$ cavalos, todos têm a mesma cor.

Prova: A hipótese de indução é clara, pois para $n = 1$ , todos os cavalos têm a mesma cor. Agora, suponha que a afirmação seja verdadeira para todos os grupos de $n$ cavalos. Pegue $n + 1$ cavalos e retire o primeiro. Estes são $n$ cavalos, de modo que todos têm a mesma cor. Agora, coloque o primeiro de volta e retire o último. Novamente, temos $n$ cavalos, de modo que todos têm a mesma cor. Portanto, todos têm a mesma cor.

Problema D: O que está errado na prova do teorema dos cavalos de Polya?

Aqui estão mais algumas diversões:

Teorema: Gatos têm nove caudas.

3.2.11 Prova do Teorema Acima!!

Prova: Nenhum gato não tem cauda. Um gato com cauda tem uma cauda a mais do que nenhum gato. Nenhum gato tem oito caudas. Portanto, gatos têm nove caudas.

3.2.12

Para a seguinte definição de "Números primos", seguimos:⁶

Um primo é um número sem divisores.
Caixas de chocolates sempre contêm um número primo
para que, qualquer que seja o número de pessoas presentes
alguém tenha que ficar com aquele que sobra.

3.2.13 Compreendendo a Indução Matemática e o Infinito: Insights da Canção ‘Aleph-null Bottles of Beer’

Por que começamos a indução em $n = 1$ e não do outro lado? A canção a seguir explica o porquê: (apenas como um pouco de contexto para apreciar a canção: Aleph-Nulo $= ℵ_{0}$ é a cardinalidade dos números naturais $ℕ$ . $ℵ_{1}$ é a próxima cardinalidade maior. A cardinalidade dos números reais $ℝ$ é $2^{ℵ_{0}}$ (como o argumento diagonal de Cantor mostra que os números reais não podem ser contados), que é a cardinalidade de todos os subconjuntos dos números naturais. Cantor mostrou que existem diferentes infinitos. Uma mente brilhante como a de Cantor, é claro, perguntou se existe um infinito entre esses dois infinitos.

A afirmação $2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1}$ é a hipótese do contínuo, abreviada como CH. O trabalho de Paul Cohen e Kurt Gödel nos anos sessenta mostra que não se pode provar a afirmação nem sua negação a partir da teoria dos conjuntos ZFC (um sistema axiomático da nossa matemática padrão do qual se podem derivar os axiomas de Peano, incluindo o princípio da indução). Cantor tentou por muito tempo provar CH, em vão. Sabemos agora que seus esforços para provar isso estavam fadados ao fracasso desde o início. Essa possibilidade sempre existe. Existe a possibilidade (embora muito improvável) de que não possamos provar que todo número par maior que 2 é a soma de dois primos, mesmo que isso seja verdade!⁷ O problema da hipótese do contínuo foi o primeiro dos problemas de Hilbert de 1900.

Aleph-nulo garrafas de cerveja na parede,
Aleph-nulo garrafas de cerveja,
Você tira uma, e passa adiante,
Aleph-nulo garrafas de cerveja na parede.

3.2.14 Humor Matemático: A Visão de R. Ainsley sobre o Significado de ‘Q.E.D.’

E aqui está outra citação de Ainsley:

No final de uma prova você escreve Q.E.D,
que não significa
Quod Erat Demonstrandum
como os livros querem que você acredite, mas sim ‘Feito com Facilidade’.

EXERCÍCIOS

Exercício 1. Escreva uma prova por indução mostrando que $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ para todo inteiro $n \geq 1$ .

Exercício 2. Dada uma matriz $n \times n$ $A$ , seu traço é definido como a soma dos elementos da diagonal $\sum_{k} A_{k k}$ . Podemos definir em $M (n, m)$ o produto interno $tr (A^{T} B)$ . Primeiro verifique se esse produto interno faz sentido e se $A^{T} B$ é de fato uma matriz quadrada. Repita cada etapa da prova da desigualdade de Cauchy-Schwarz e veja que ainda funciona.

Exercício 3. Vamos definir um vetor $v ⋆ w = (v \cdot w) v / | v |^{2}$ . Isso é chamado de projeção vetorial de $w$ sobre $v$ .

A operação $⋆$ é comutativa?
A operação $⋆$ é associativa?
Verifique que $v$ é perpendicular a $w - (v ⋆ w)$ .

Exercício 4. Tente elaborar você mesmo uma prova geométrica elementar do teorema de Pitágoras que não use álgebra. Primeiro tente sem consultar. Depois procure uma das muitas provas disponíveis e escolha a que mais gostar e escreva ou desenhe.

Exercício 5. Dada uma matriz $n \times m$ $A$ , suponha que $rref (A)$ tenha $r$ 1's líderes e que $rref ([A ∣ b])$ tenha $s$ 1's líderes. Que condição sobre $r$ , $s$ , $n$ e $m$ implica que o sistema de equações $A x = b$ não tem solução? Experimente primeiro com exemplos pequenos.

Existem menos de $2^{300}$ partículas elementares disponíveis em nosso universo (até onde sabemos).↩︎
Divirta-se e tente encontrar definições de "entropia", "multiverso", "inteligência" ou "vida".↩︎
Já usado por Platão e um axioma de segunda ordem no sistema de axiomas de Peano.↩︎
ver Mario Livio: Brilliant blunders, 2013.↩︎
George Polya: Induction and Analogy in Math, 1954 (Agradecimentos a Jun Hou Fung pela sugestão).↩︎
R. Ainsley: "Bluff your way in maths, 1990.↩︎
Ver Apostolos Doxiadis: Uncle Petros and the Goldbach conjecture, Romance de 1992.↩︎