Definiciones, teoremas y demostraciones

Tabla de contenidos

3.1 INTRODUCCIÓN
3.2 CONFERENCIA
EJERCICIOS

3.1 INTRODUCCIÓN

3.1.1 Matemáticas: La ciencia eterna

Una de las cosas realmente asombrosas de las matemáticas es que son un marco en el que, si algo se establece, permanecerá como verdad por toda la eternidad. El enfoque de la mayoría de las ciencias cambia con bastante rapidez y frecuencia, paradigmas enteros cambian. Las matemáticas también evolucionan, por supuesto. Pero una vez establecidas, las verdades no cambian. El teorema de Pitágoras que demostramos en la primera conferencia es algo que seguirá siendo cierto dentro de un millón de años. El lenguaje con el que describimos un enunciado casi con toda seguridad habrá cambiado por completo en un futuro marco matemático. El enunciado de Pitágoras seguirá siendo válido.

**Figura 1.** El primer dibujo de "Veritas". Veritas significa "verdad". Fuente: College Book 1, 1639-1795. UAI 5.5 Box 1, Harvard University Archives.

3.1.2 El impacto de las definiciones rigurosas

Una de las fuentes más importantes de confusión son las definiciones descuidadas. Las matemáticas han insistido desde el principio en definiciones precisas e inequívocas. Lo hemos visto en la primera conferencia. Definir un “vector” como una cantidad con magnitud y dirección no solo es ambiguo e incorrecto (ya que no captura el vector cero), sino que te adormece en una especie de “comprensión”, ya que todos tenemos intuición sobre la magnitud como “longitud” y “dirección” de la vida cotidiana. A menudo sucede incluso en las “ciencias duras” que se utilizan definiciones descuidadas. Bueno, no debemos ser demasiado arrogantes. Resulta que encontrar definiciones precisas y a la vez elegantes es una tarea bastante difícil en general. En física, llevó mucho tiempo reemplazar nociones como "vis viva" y sustituirlas por definiciones precisas como momento o energía cinética. Fue Emily du Châtelet quien contribuyó esencialmente a aclarar las definiciones y distinguir el momento $m v$ y la energía $m v^{2} / 2$ .

3.1.3 Los teoremas como piedra angular de las matemáticas

La columna vertebral de las matemáticas son los teoremas. Estos son enunciados que han sido verificados mediante una cuidadosa secuencia de argumentos, donde cada paso utiliza un paso lógico básico o bien un teorema previamente establecido. Es extremadamente importante no tener ningún teorema erróneo en este proceso. De lo contrario, todo lo que se construya sobre él se derrumbará. Las matemáticas son como un gran programa informático en el que los procedimientos individuales son los teoremas. Si uno de los procedimientos es defectuoso, puede hacer caer todo el sistema. Siempre existe el riesgo de que una demostración resulte incompleta o incorrecta, y la historia ha demostrado que esto sucede una y otra vez. La mayoría de las veces, se puede corregir el enunciado. A veces, no se puede corregir porque el enunciado tiene contraejemplos. En ese caso, hay que modificar el enunciado o adaptar las definiciones para que sea verdadero. Lakatos, en su famoso libro "Pruebas y refutaciones", ilustró esto en el contexto de la fórmula de la gema de Euler $V - E + F = 2$ que vimos en la segunda conferencia. Este es un lugar donde las definiciones descuidadas de la noción de "poliedro" llevaron a enunciados erróneos y el teorema tuvo que ser reparado con el tiempo.

3.2 CONFERENCIA

3.2.1 Descomposición en factores primos

Los teoremas son enunciados matemáticos que pueden verificarse dando una demostración. Una demostración asegura que el teorema es verdadero y sigue siendo válido también en el futuro.

Veamos un ejemplo de un teorema. Ya era conocido y demostrado por Euclides de Alejandría. Trata sobre números enteros y primos, enteros positivos mayores que $1$ que solo son divisibles por 1 o por sí mismos. El teorema dice que todo entero positivo es o bien 1, o primo, o el producto de dos o más primos. Para formular el teorema de manera más elegante, extendemos la noción de producto y decimos que un primo es el producto de $k = 1$ primos y que el número 1 es un producto de $k = 0$ primos. También diríamos que el número $20 = 2 * 2 * 5$ es el producto de $k = 3$ primos, aunque el primo 2 aparezca dos veces. Esto es similar a la molécula de agua $H_{2} O = H * H * O$ que contiene $k = 3$ átomos, ya que el hidrógeno $H$ aparece dos veces y el oxígeno $O$ una vez. Ahora, así como cada molécula se descompone en átomos, cada número se descompone en primos:

Teorema 1. Todo entero $n \geq 1$ es un producto de $k \geq 0$ primos.

Esta es una afirmación notable porque hay infinitos enteros. Por lo tanto, no podemos recorrer una lista infinita y comprobar cada uno. A priori podría suceder que para algún número muy grande, como el número de Fermat $F_{1000} = 2^{(2^{1000})} + 1$ , que ni siquiera puede escribirse en nuestro universo,¹ la afirmación fallara.

3.2.2 La importancia de las definiciones claras

Para que tal afirmación pueda ser verificada o refutada, es necesario ante todo asegurarse de que los objetos estén descritos por definiciones claras. En la frase anterior, esto significa que necesitamos saber qué son los "enteros", qué es un "producto" y qué son los "números primos". Esto ya es complicado en general. La mayoría de las confusiones que han ocurrido históricamente en la ciencia (¡y aún hoy!) se basan en definiciones descuidadas.²

Problema A: Toma tu definición de trabajo de "número natural" y comprueba si la afirmación "todo número natural es una suma finita de números racionales más pequeños". Quizás quieras comparar con lo que piensa un amigo tuyo.

Problema B: ¿Por qué el $1$ no se considera un número primo?

3.2.3 Más allá de los ejemplos: las demostraciones

Una vez que las definiciones de los ingredientes del enunciado están claras, es útil aclarar su significado. Obtenemos intuición observando ejemplos. Vemos, por ejemplo, que $100 = 2 * 2 * 5 * 5$ es efectivamente un producto de números primos. También vemos que $7$ es un número primo. Los ejemplos son geniales, pero es importante en esta etapa darse cuenta de:

Principio: Comprobar una afirmación mostrando unos pocos ejemplos no es una demostración.

Volveremos a esto más adelante en el curso.

Problema C: Las siguientes afirmaciones son ejemplos de teoremas que hemos visto en las dos primeras conferencias:

Afirmación	Pertenece al teorema
$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$
$63 = [3, 4] \cdot [5, 12] \leq 5 * 13 = 65$
$[0, 1, 0, 0, 1]$ no puede reducirse por filas a $[0, 0, 1, 1, 0]$ .

3.2.4 Inducción matemática

Una de las técnicas de demostración importantes es el principio de inducción matemática.³ Se aplica principalmente a números enteros, pero también puede usarse para matrices, como vimos en la segunda conferencia. El principio se aplica a enunciados $S (n)$ que dependen de un número $n$ .

Principio: $S (1)$ y “ $S (n) \Rightarrow S (n + 1)$ ” implica $S (n)$ para todo $n \geq 1$ .

3.2.5 Un ejemplo de uso de la inducción matemática

He aquí un ejemplo:

Teorema 2. $S (n) : 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n^{2} + n}{2}$ .

Demostración. El enunciado $S (n)$ es verdadero para $n = 1$ . Supongamos que $S (n)$ es verdadero. Ahora $S (n + 1)$ dice $1 + 2 + \dots + n + (n + 1) = \frac{(n + 1)^{2} + (n + 1)}{2} .$ Usando la hipótesis de inducción, esto significa $\frac{n^{2} + n}{2} + (n + 1) = \frac{(n + 1)^{2} + (n + 1)}{2},$ lo cual es cierto. Por lo tanto, sabemos que el enunciado es verdadero para todo $n$ . ◻

3.2.6 Reformulación del teorema de factorización prima

Examinemos el teorema sobre los primos anterior. Para convertirlo en un enunciado que podamos extender de $n$ a $n + 1$ , modificamos el enunciado a

Teorema 3. $S (n)$ : Todo $k \in {2, 3, 4, \dots, n}$ tiene una factorización prima.

3.2.7 Demostración del teorema de factorización prima por inducción

$S (2)$ es verdadero ya que ${2}$ solo contiene un número que es primo. Ahora supongamos $S (n)$ , es decir, que el enunciado es verdadero para $n$ , y demostremos que $S (n + 1)$ es verdadero. Hay dos casos: si $n + 1$ es primo, entonces $S (n + 1)$ es verdadero. Si $n + 1$ no es primo, entonces $n = a b$ donde $a$ y $b$ son números mayores que $1$ pero menores que $n$ . Por la hipótesis de inducción, tanto $a$ como $b$ se descomponen en primos: $a = p_{1} p_{2} \dots p_{k}$ y $b = q_{1} q_{2} \dots q_{l}$ donde $p_{j}$ y $q_{j}$ son primos. Por lo tanto, $n + 1 = p_{1} p_{2} \dots p_{k} q_{1} q_{2} \dots q_{l}$ .

3.2.8 Comprender los límites de los teoremas matemáticos: evitar extralimitaciones y malas interpretaciones

Es importante entender el enunciado y no extralimitarse. No hemos demostrado que todo entero tenga una descomposición única en factores primos. Esto no lo sabía Euclides (quien quizás ni siquiera lo pensó). Solo fue demostrado 2000 años después por Gauss. Un error común que ocurre en las demostraciones matemáticas es citar un teorema conocido pero extralimitar su alcance, o bien olvidar una de las hipótesis.

Principio: No extiendas el alcance de un hecho ya establecido sin justificación.

3.2.9 Innovación matemática a través de los errores

Si crees que tales errores solo les ocurren a los novatos, no es así. Leonard Euler, probablemente el más grande matemático de todos los tiempos, intentó una vez una demostración del último teorema de Fermat trabajando con sistemas numéricos extendidos como $ℤ [\sqrt{- 3}]$ , que son todos los números de la forma $a + \sqrt{- 3} b$ , donde $a, b$ son enteros. Como ves, se pueden sumar y multiplicar tales números como enteros y permanecer en la clase. La demostración de Euclides también muestra que hay una factorización prima. Pero puede haber diferentes factorizaciones primas. Un ejemplo es $4 = 2 * 2 = (1 + \sqrt{- 3}) (1 - \sqrt{- 3})$ . Un error similar fue cometido por Gabriel Lamé, quien anunció en 1847 una demostración del último teorema de Fermat afirmando que para $n \geq 3$ , no existen soluciones a $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ a menos que $x y z = 0$ . La genial idea de Lamé fue descomponer $x^{n} + y^{n}$ en factores lineales usando números que satisfacen $ξ^{n} = 1$ , las llamadas raíces de la unidad. También aquí, Euclides muestra que existe una factorización prima, pero tampoco es única. El error fue en realidad bastante importante. Condujo a una "teoría de ideales" de Ernst Kummer que permitió demostrar el último teorema de Fermat en ciertos casos.

Principio: Los errores pueden abrir nuevas puertas y encontrar ideas. Un proceso de búsqueda creativo puede conducir a errores al principio.

⁴

3.2.10

Por supuesto, tenemos que intentar evitar errores en el producto final a toda costa. Euler ciertamente se ganó el derecho a cometer algunos errores al crear una gran cantidad de matemáticas que permanecerán verdaderas por toda la eternidad. Pero los errores pueden ser mucho más básicos. He aquí un hermoso ejemplo debido a Polya:⁵

Teorema: $S (n)$ : En una colección de $n$ caballos, todos tienen el mismo color.

Demostración: La hipótesis de inducción es clara, ya que para $n = 1$ , todos los caballos tienen el mismo color. Ahora supongamos que el enunciado es verdadero para todos los grupos de $n$ caballos. Tomemos $n + 1$ caballos y quitemos el primero. Estos son $n$ caballos, por lo que todos tienen el mismo color. Ahora volvamos a poner el primero y quitemos el último. De nuevo tenemos $n$ caballos, por lo que todos tienen el mismo color. Por lo tanto, todos tienen el mismo color.

Problema D: ¿Qué está mal en la demostración del teorema de los caballos de Polya?

Aquí hay más diversiones:

Teorema: Los gatos tienen nueve colas.

3.2.11 ¡¡Demostración del teorema anterior!!

Demostración: Ningún gato no tiene cola. Un gato con cola tiene una cola más que ningún gato. Ningún gato tiene ocho colas. Por lo tanto, los gatos tienen nueve colas.

3.2.12

Para la siguiente definición de "números primos" seguimos a:⁶

Un primo es un número sin divisores.
Las cajas de bombones siempre contienen un número primo
para que, sea cual sea el número de personas presentes,
alguien tenga que quedarse con ese que sobra.

3.2.13 Comprender la inducción matemática y el infinito: reflexiones a partir de la canción ‘Aleph-null Bottles of Beer’

¿Por qué comenzamos la inducción en $n = 1$ y no desde el otro extremo? La siguiente canción explica por qué: (solo como un poco de contexto para apreciar la canción: Aleph-Cero $= ℵ_{0}$ es la cardinalidad de los números naturales $ℕ$ . $ℵ_{1}$ es la siguiente cardinalidad más grande. La cardinalidad de los números reales $ℝ$ es $2^{ℵ_{0}}$ (como muestra el argumento diagonal de Cantor, los números reales no pueden ser contados) que es la cardinalidad de todos los subconjuntos de los números naturales. Cantor había demostrado que hay diferentes infinitos. Una mente brillante como la de Cantor, por supuesto, se preguntó si hay un infinito entre estos dos infinitos.

La afirmación $2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1}$ es la hipótesis del continuo, abreviada HC. El trabajo de Paul Cohen y Kurt Gödel en los años sesenta muestra que no se puede probar la afirmación ni su negación a partir de la teoría de conjuntos ZFC (un sistema axiomático de nuestras matemáticas estándar del cual se pueden derivar los axiomas de Peano, incluido el principio de inducción). Cantor intentó durante mucho tiempo probar HC, en vano. Ahora sabemos que sus esfuerzos por demostrarlo estaban condenados desde el principio. Esta posibilidad siempre existe. Existe la posibilidad (aunque muy poco probable) de que no podamos probar que todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos, ¡incluso en el caso de que fuera cierto!⁷ El problema de la hipótesis del continuo fue el primero de los problemas de Hilbert de 1900.

Alef-cero botellas de cerveza en la pared,
Alef-cero botellas de cerveza,
Tomas una, y la pasas alrededor,
Alef-cero botellas de cerveza en la pared.

3.2.14 Humor Matemático: La Interpretación de R. Ainsley sobre el Significado de ‘Q.E.D.’

Y aquí hay otra cita de Ainsley:

Al final de una demostración escribes Q.E.D,
que no significa
Quod Erat Demonstrandum
como los libros te harían creer, sino Quite Easily Done.

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Escribe una demostración por inducción que muestre que $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ para todo entero $n \geq 1$ .

Ejercicio 2. Dada una matriz $n \times n$ $A$ , su traza se define como la suma de los elementos diagonales $\sum_{k} A_{k k}$ . Podemos definir en $M (n, m)$ el producto interno $tr (A^{T} B)$ . Primero verifica que este producto interno tenga sentido y que $A^{T} B$ sea efectivamente una matriz cuadrada. Repite cada paso de la demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz y observa que sigue funcionando.

Ejercicio 3. Definamos un vector $v ⋆ w = (v \cdot w) v / | v |^{2}$ . Se llama la proyección vectorial de $w$ sobre $v$ .

¿Es la operación $⋆$ conmutativa?
¿Es la operación $⋆$ asociativa?
Verifica que $v$ es perpendicular a $w - (v ⋆ w)$ .

Ejercicio 4. Intenta diseñar tú mismo una demostración geométrica elemental del teorema de Pitágoras que no use álgebra. Primero inténtalo sin buscar. Luego busca una de las muchas demostraciones disponibles y elige la que más te guste y escríbela o dibújala.

Ejercicio 5. Dada una matriz $n \times m$ $A$ , supón que $rref (A)$ tiene $r$ unos principales y que $rref ([A ∣ b])$ tiene $s$ unos principales. ¿Qué condición sobre $r$ , $s$ , $n$ y $m$ implica que el sistema de ecuaciones $A x = b$ no tiene solución? Experimenta primero con ejemplos pequeños.

Hay menos de $2^{300}$ partículas elementales disponibles en nuestro universo (hasta donde sabemos).↩︎
Diviértete e intenta encontrar definiciones de "entropía", "multiverso", "inteligencia" o "vida".↩︎
Ya utilizado por Platón y un axioma de segundo orden en el sistema axiomático de Peano.↩︎
ver Mario Livio: Brilliant blunders, 2013.↩︎
George Polya: Induction and Analogy in Math, 1954 (Gracias a Jun Hou Fung por la sugerencia).↩︎
R. Ainsley: "Bluff your way in maths, 1990.↩︎
Ver Apostolos Doxiadis: Uncle Petros and the Goldbach conjecture, Novela de 1992.↩︎