Définitions, théorèmes et démonstrations

Table des matières

3.1 INTRODUCTION
3.2 COURS
EXERCICES

3.1 INTRODUCTION

3.1.1 Mathématiques : La science éternelle

L'une des choses vraiment étonnantes à propos des mathématiques est qu'il s'agit d'un cadre où, si quelque chose est établi, cela restera vrai pour toute l'éternité. L'orientation de la plupart des sciences change assez rapidement et fréquemment, des paradigmes entiers changent. Les mathématiques évoluent aussi, bien sûr. Mais une fois établies, les vérités ne changent pas. Le théorème de Pythagore que nous avons prouvé lors du premier cours restera vrai dans un million d'années. La manière dont nous décrivons un énoncé aura presque certainement complètement changé dans un futur cadre mathématique. L'énoncé de Pythagore restera valide.

**Figure 1.** Le premier dessin de « Veritas ». Veritas signifie « vérité ». Source : College Book 1, 1639-1795. UAI 5.5 Box 1, Harvard University Archives.

3.1.2 L'impact des définitions rigoureuses

L'une des sources de confusion les plus importantes sont les définitions approximatives. Les mathématiques ont très tôt insisté sur des définitions précises et sans ambiguïté. Nous l'avons vu lors du premier cours. Définir un « vecteur » comme une quantité ayant une magnitude et une direction est non seulement ambigu et faux (car cela ne capture pas le vecteur nul), mais cela vous berce dans une sorte de « compréhension » car nous avons tous une intuition de la magnitude comme la « longueur » et la « direction » issues de la vie quotidienne. Il arrive souvent, même dans les « sciences dures », que des définitions approximatives soient utilisées. Eh bien, ne soyons pas trop arrogants. Il s'avère que trouver des définitions précises et pourtant élégantes est une tâche plutôt difficile en général. En physique, il a fallu longtemps pour remplacer des notions comme « vis viva » et les remplacer par des définitions précises comme la quantité de mouvement ou l'énergie cinétique. C'est Émilie du Châtelet qui a essentiellement contribué à clarifier les définitions et à distinguer la quantité de mouvement $m v$ et l'énergie $m v^{2} / 2$ .

3.1.3 Les théorèmes comme pierre angulaire des mathématiques

L'épine dorsale des mathématiques sont les théorèmes. Ce sont des énoncés qui ont été vérifiés à l'aide d'une séquence soigneuse d'arguments, où chaque étape utilise soit une étape logique de base, soit un théorème précédemment établi. Il est extrêmement important de ne pas avoir de théorème erroné dans ce processus. Sinon, tout ce qui est construit dessus s'effondrera. Les mathématiques sont comme un grand programme informatique dans lequel les procédures individuelles sont les théorèmes. Si l'une des procédures est défectueuse, elle peut faire tomber tout le système. Il y a toujours le risque qu'une preuve s'avère incomplète ou fausse, et l'histoire a montré que cela se produit encore et encore. La plupart du temps, on peut corriger l'énoncé. Parfois, on ne peut pas le corriger parce que l'énoncé a des contre-exemples. Dans ce cas, il faut modifier l'énoncé ou adapter les définitions pour qu'il devienne vrai. Lakatos, dans son célèbre livre « Proofs and Refutations », a illustré cela dans le contexte de la formule d'Euler pour les gemmes $V - E + F = 2$ que nous avons vue lors du deuxième cours. C'est un endroit où des définitions approximatives de la notion de « polyèdre » ont conduit à des énoncés erronés et le théorème a dû être réparé au fil du temps.

3.2 COURS

3.2.1 Décomposition en facteurs premiers

Les théorèmes sont des énoncés mathématiques qui peuvent être vérifiés en fournissant une preuve. Une preuve garantit que le théorème est vrai et reste valable également à l'avenir.

Examinons un exemple de théorème. Il était déjà connu et prouvé par Euclide d'Alexandrie. Il traite des entiers et des nombres premiers, des entiers positifs supérieurs à $1$ qui ne sont divisibles que par 1 ou par eux-mêmes. Le théorème dit que tout entier positif est soit 1, soit un nombre premier, soit le produit de deux nombres premiers ou plus. Pour formuler le théorème plus élégamment, nous étendons la notion de produit et disons qu'un nombre premier est le produit de $k = 1$ nombres premiers et que le nombre 1 est un produit de $k = 0$ nombres premiers. Nous dirions également que le nombre $20 = 2 * 2 * 5$ est le produit de $k = 3$ nombres premiers, même si le nombre premier 2 apparaît deux fois. Cela est similaire à la molécule d'eau $H_{2} O = H * H * O$ contenant $k = 3$ atomes, car l'hydrogène $H$ apparaît deux fois et l'oxygène $O$ une fois. Maintenant, de même que chaque molécule se décompose en atomes, chaque nombre se décompose en nombres premiers :

Théorème 1. Tout entier $n \geq 1$ est un produit de $k \geq 0$ nombres premiers.

C'est un énoncé remarquable car il existe une infinité d'entiers. Nous ne pouvons donc pas parcourir une liste infinie et vérifier chaque cas. Il pourrait a priori arriver que pour un très grand nombre, comme le nombre de Fermat $F_{1000} = 2^{(2^{1000})} + 1$ , qui ne peut même pas être écrit dans notre univers,¹ l'énoncé soit faux.

3.2.2 L'importance de définitions claires

Pour qu'un tel énoncé puisse être vérifié ou réfuté, il faut d'abord s'assurer que les objets sont décrits par des définitions claires. Dans la phrase ci-dessus, cela signifie que nous devons savoir ce que sont les « entiers », ce qu'est un « produit » et ce que sont les « nombres premiers ». Cela est déjà délicat en général. La plupart des confusions qui se sont produites historiquement en science (et encore aujourd'hui !) sont basées sur des définitions approximatives.²

Problème A : Prenez votre définition de travail de « nombre naturel » et voyez si l'énoncé « tout nombre naturel est une somme finie de nombres rationnels plus petits » est vrai. Vous pourriez vouloir comparer avec ce qu'un de vos amis pense.

Problème B : Pourquoi $1$ n'est-il pas considéré comme un nombre premier ?

3.2.3 Au-delà des exemples : les preuves

Une fois que les définitions des ingrédients de l'énoncé sont claires, il est utile de clarifier sa signification. Nous acquérons de l'intuition en examinant des exemples. Nous voyons par exemple que $100 = 2 * 2 * 5 * 5$ est bien un produit de nombres premiers. Nous voyons aussi que $7$ est un nombre premier. Les exemples sont formidables, mais il est important à ce stade de réaliser :

Principe : Vérifier un énoncé en montrant quelques exemples n'est pas une preuve.

Nous y reviendrons plus tard dans le cours.

Problème C : Les énoncés suivants sont des exemples de théorèmes que nous avons vus lors des deux premiers cours :

Énoncé	Appartient au théorème
$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$
$63 = [3, 4] \cdot [5, 12] \leq 5 * 13 = 65$
$[0, 1, 0, 0, 1]$ ne peut pas être réduit par lignes à $[0, 0, 1, 1, 0]$ .

3.2.4 Induction mathématique

L'une des techniques de preuve importantes est le principe de l'induction mathématique.³ Il est principalement appliqué aux entiers, mais il peut également être utilisé pour les matrices comme nous l'avons vu lors du deuxième cours. Le principe s'applique aux énoncés $S (n)$ qui dépendent d'un nombre $n$ .

Principe : $S (1)$ et « $S (n) \Rightarrow S (n + 1)$ » impliquent $S (n)$ pour tout $n \geq 1$ .

3.2.5 Un exemple d'utilisation de l'induction mathématique

Voici un exemple :

Théorème 2. $S (n) : 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n^{2} + n}{2}$ .

Preuve. L'énoncé $S (n)$ est vrai pour $n = 1$ . Supposons que $S (n)$ soit vrai. Maintenant, $S (n + 1)$ dit $1 + 2 + \dots + n + (n + 1) = \frac{(n + 1)^{2} + (n + 1)}{2} .$ En utilisant l'hypothèse d'induction, cela signifie $\frac{n^{2} + n}{2} + (n + 1) = \frac{(n + 1)^{2} + (n + 1)}{2},$ ce qui est vrai. Nous savons donc que l'énoncé est vrai pour tout $n$ . ◻

3.2.6 Reformulation du théorème de factorisation première

Examinons le théorème sur les nombres premiers ci-dessus. Afin d'en faire un énoncé que nous pouvons étendre de $n$ à $n + 1$ , nous modifions l'énoncé en

Théorème 3. $S (n)$ : Tout $k \in {2, 3, 4, \dots, n}$ possède une factorisation première.

3.2.7 Preuve du théorème de factorisation première par induction

$S (2)$ est vrai car ${2}$ ne contient qu'un seul nombre qui est premier. Supposons maintenant que $S (n)$ soit vrai, c'est-à-dire que l'énoncé est vrai pour $n$ , prouvons que $S (n + 1)$ est vrai. Il y a deux cas : si $n + 1$ est premier, alors $S (n + 1)$ est vrai. Si $n + 1$ n'est pas premier, alors $n = a b$ où $a$ et $b$ sont des nombres plus grands que $1$ mais plus petits que $n$ . Par hypothèse d'induction, $a$ et $b$ se décomposent en nombres premiers : $a = p_{1} p_{2} \dots p_{k}$ et $b = q_{1} q_{2} \dots q_{l}$ où $p_{j}$ et $q_{j}$ sont des nombres premiers. Par conséquent, $n + 1 = p_{1} p_{2} \dots p_{k} q_{1} q_{2} \dots q_{l}$ .

3.2.8 Comprendre les limites des théorèmes mathématiques : éviter les extrapolations et les interprétations erronées

Il est important de comprendre l'énoncé et de ne pas l'extrapoler. Nous n'avons pas prouvé que chaque entier a une décomposition unique en facteurs premiers. Cela n'était pas connu d'Euclide (qui n'y a peut-être même pas pensé). Cela n'a été prouvé que 2000 ans plus tard par Gauss. Une erreur courante dans les preuves mathématiques est de citer un théorème connu mais d'en dépasser la portée, ou alors d'oublier l'une des hypothèses.

Principe : N'étendez pas la portée d'un fait déjà établi sans justification.

3.2.9 L'innovation mathématique par les erreurs

Si vous pensez que de telles erreurs n'arrivent qu'aux débutants, ce n'est pas le cas. Leonhard Euler, probablement le plus grand mathématicien de tous les temps, a un jour tenté une preuve du dernier théorème de Fermat en travaillant avec des systèmes de nombres étendus comme $ℤ [\sqrt{- 3}]$ qui sont tous les nombres de la forme $a + \sqrt{- 3} b$ , où $a, b$ sont des entiers. Voyez-vous, on peut additionner et multiplier de tels nombres comme des entiers et rester dans la classe. La preuve d'Euclide montre également qu'il existe une factorisation première. Mais il peut y avoir différentes factorisations premières. Un exemple est $4 = 2 * 2 = (1 + \sqrt{- 3}) (1 - \sqrt{- 3})$ . Une erreur similaire a été commise par Gabriel Lamé qui annonça en 1847 une preuve du dernier théorème de Fermat disant que pour $n \geq 3$ , il n'existe pas de solutions à $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ sauf si $x y z = 0$ . L'idée géniale de Lamé était de décomposer $x^{n} + y^{n}$ en facteurs linéaires en utilisant des nombres satisfaisant $ξ^{n} = 1$ , appelés racines de l'unité. Là aussi, Euclide montre qu'une factorisation première existe, mais elle n'est pas non plus unique ici. L'erreur fut en réalité assez importante. Elle conduisit à une « théorie des idéaux » par Ernst Kummer qui permit de prouver le dernier théorème de Fermat dans certains cas.

Principe : Les erreurs peuvent ouvrir de nouvelles portes et trouver des idées. Un processus de recherche créatif peut d'abord conduire à des erreurs.

⁴

3.2.10

Bien sûr, nous devons essayer d'éviter les erreurs dans le produit final à tout prix. Euler a certainement gagné le droit de faire quelques erreurs en créant beaucoup de mathématiques qui resteront vraies pour toute l'éternité. Mais les erreurs peuvent être beaucoup plus élémentaires. Voici un bel exemple dû à Polya :⁵

Théorème : $S (n)$ : Dans un ensemble de $n$ chevaux, tous ont la même couleur.

Preuve : L'hypothèse d'induction est claire car pour $n = 1$ , tous les chevaux ont la même couleur. Supposons maintenant que l'énoncé soit vrai pour tous les groupes de $n$ chevaux. Prenez $n + 1$ chevaux et retirez le premier. Ce sont $n$ chevaux, donc tous ont la même couleur. Remettez le premier et retirez le dernier. Nous avons à nouveau $n$ chevaux, donc tous ont la même couleur. Par conséquent, tous ont la même couleur.

Problème D : Qu'est-ce qui ne va pas dans la preuve du théorème des chevaux de Polya ?

Voici quelques autres amusements :

Théorème : Les chats ont neuf queues.

3.2.11 Preuve du théorème ci-dessus !!

Preuve : Aucun chat n'a pas de queue. Un chat avec une queue a une queue de plus qu'aucun chat. Aucun chat n'a huit queues. Par conséquent, les chats ont neuf queues.

3.2.12

Pour la définition suivante des « nombres premiers », nous suivons :⁶

Un nombre premier est un nombre sans diviseurs.
Les boîtes de chocolats contiennent toujours un nombre premier
de sorte que, quel que soit le nombre de personnes présentes,
quelqu'un doit avoir celui qui reste.

3.2.13 Comprendre l'induction mathématique et l'infini : aperçus de la chanson « Aleph-null Bottles of Beer »

Pourquoi commence-t-on l'induction à $n = 1$ et non par l'autre bout ? La chanson suivante l'explique : (un peu de contexte pour apprécier la chanson : Aleph-Zéro $= ℵ_{0}$ est la cardinalité des nombres naturels $ℕ$ . $ℵ_{1}$ est la cardinalité immédiatement supérieure. La cardinalité des nombres réels $ℝ$ est $2^{ℵ_{0}}$ (car l'argument diagonal de Cantor montre que les nombres réels ne peuvent pas être comptés) ce qui est la cardinalité de tous les sous-ensembles des nombres naturels. Cantor a montré qu'il existe différents infinis. Un esprit brillant comme celui de Cantor s'est bien sûr demandé s'il existe un infini entre ces deux infinis.

L'énoncé $2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1}$ est l'hypothèse du continu, abrégée HC. Les travaux de Paul Cohen et Kurt Gödel dans les années soixante montrent qu'on ne peut prouver ni l'énoncé ni sa négation à partir de la théorie des ensembles ZFC (un système d'axiomes des mathématiques standard à partir duquel on peut dériver les axiomes de Peano, y compris le principe d'induction). Cantor a longtemps essayé de prouver HC, en vain. Nous savons maintenant que ses efforts pour prouver cela étaient voués à l'échec dès le départ. Cette possibilité existe toujours. Il y a la possibilité (bien que très improbable) que nous ne puissions pas prouver que tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers, même si c'était vrai !⁷ Le problème de l'hypothèse du continu a été le premier des problèmes de Hilbert en 1900.

Aleph-zéro bouteilles de bière sur le mur,
Aleph-zéro bouteilles de bière,
Vous en descendez une, et la faites passer,
Aleph-zéro bouteilles de bière sur le mur.

3.2.14 Humour mathématique : L'interprétation de R. Ainsley sur la signification de « Q.E.D. »

Et voici une autre citation d'Ainsley :

À la fin d'une preuve, vous écrivez Q.E.D,
ce qui ne signifie pas
Quod Erat Demonstrandum
comme les livres voudraient vous le faire croire, mais pour Quite Easily Done.

EXERCICES

Exercice 1. Rédigez une preuve par induction montrant que $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ pour tout entier $n \geq 1$ .

Exercice 2. Étant donnée une matrice $n \times n$ $A$ , sa trace est définie comme la somme des éléments diagonaux $\sum_{k} A_{k k}$ . On peut définir dans $M (n, m)$ le produit scalaire $tr (A^{T} B)$ . Vérifiez d'abord que ce produit scalaire a un sens et que $A^{T} B$ est bien une matrice carrée. Reproduisez chaque étape de la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz et observez qu'elle fonctionne encore.

Exercice 3. Définissons le vecteur $v ⋆ w = (v \cdot w) v / | v |^{2}$ . Il est appelé la projection vectorielle de $w$ sur $v$ .

L'opération $⋆$ est-elle commutative ?
L'opération $⋆$ est-elle associative ?
Vérifiez que $v$ est perpendiculaire à $w - (v ⋆ w)$ .

Exercice 4. Essayez de concevoir vous-même une preuve géométrique élémentaire du théorème de Pythagore qui n'utilise aucune algèbre. Essayez d'abord sans regarder. Ensuite, cherchez l'une des nombreuses preuves disponibles, choisissez celle que vous préférez et écrivez-la ou dessinez-la.

Exercice 5. Étant donnée une matrice $n \times m$ $A$ , supposez que $rref (A)$ ait $r$ 1 principaux et que $rref ([A ∣ b])$ ait $s$ 1 principaux. Quelle condition sur $r$ , $s$ , $n$ et $m$ implique que le système d'équations $A x = b$ n'a pas de solution ? Expérimentez d'abord avec de petits exemples.

Il y a moins de $2^{300}$ particules élémentaires disponibles dans notre univers (pour autant que nous le sachions).↩︎
Amusez-vous et essayez de trouver des définitions de « entropie », « multivers », « intelligence » ou « vie ».↩︎
Déjà utilisé par Platon et un axiome du second ordre dans le système d'axiomes de Peano.↩︎
voir Mario Livio : Brilliant blunders, 2013.↩︎
George Polya : Induction and Analogy in Math, 1954 (Merci à Jun Hou Fung pour la suggestion).↩︎
R. Ainsley : « Bluff your way in maths », 1990.↩︎
Voir Apostolos Doxiadis : Uncle Petros et la conjecture de Goldbach, roman de 1992.↩︎