Créativité

12.1 INTRODUCTION

12.1.1 Comment les mathématiciens trouvent-ils des preuves ?

Vous avez vu quelques preuves jusqu'à présent. Vous pourriez vous demander : comment la preuve a-t-elle été trouvée ? Par exemple, nous avons vu l'inégalité de Cauchy-Schwarz $|v\cdot w|\le |v||w|$. Comment en est-on arrivé à l'idée de supposer d'abord $|w|=1$ puis de définir $a=v\cdot w$ et de considérer $$0\le (v-aw)\cdot (v-aw)=|v{|}^2-a^2?$$ Dans ce cas, l'apport crucial vient d'une image visuelle puisque nous pouvons voir $v-aw$ comme un vecteur perpendiculaire au vecteur $w$. Si l'on vous donne le problème de prouver l'inégalité de Cauchy-Schwarz sans consulter la preuve, c'est une tâche très difficile. Elle est difficile car elle nécessite une idée. Trouver des idées, c'est cela la créativité.

12.2 SÉMINAIRE

12.2.1 Maîtriser les examens partiels avec des cartes mentales

Dans un peu plus d'une semaine, nous devons commencer à penser à notre premier examen partiel, organisons les connaissances accumulées jusqu'ici. Nous pouvons le faire de différentes manières. Une technique est la carte mentale. Elle permet sur une seule image d'organiser une grande quantité de contenu et de voir des connexions qui pourraient autrement passer inaperçues. Dans la figure (12.2), nous avons commencé à construire une telle carte mentale. Il manque encore beaucoup de branches, même des principales. On pourrait aussi commencer avec une entrée comme « matrice », la mettre au centre puis établir des connexions vers d'autres objets, définitions ou résultats.

12.2.2 La connaissance : l'étincelle de la créativité

Quel est le rapport avec la créativité ? Il s'avère que pour être créatif, il faut avoir une base fertile de connaissances. On ne peut pas assembler de nouveaux blocs de construction avant d'en posséder et d'en comprendre déjà quelques-uns. Pour démontrer que la connaissance est importante, on peut aussi regarder l'informatique et en particulier le domaine de l'intelligence artificielle (IA). L'un des grands pionniers de l'IA, Marvin Minsky, a écrit un jour : « la meilleure façon de résoudre un problème est de savoir comment le résoudre ». Les paradigmes modernes en apprentissage automatique confirment que pour entraîner une entité d'IA, il faut lui fournir beaucoup de connaissances avec lesquelles travailler. De nouveaux modèles viennent ensuite par l'ajustement des données, les méthodes de descente de gradient ou des algorithmes plus sophistiqués.¹

12.2.3 Bâtonnets astucieux

Pour illustrer à quel point il peut être difficile de trouver une nouvelle solution, essayez le problème suivant. Bien sûr, si vous connaissez la réponse ou l'avez déjà vu, cela peut être facile. Si vous ne l'avez jamais vu, cela peut être très difficile. Il est important que vous essayiez de trouver la solution pendant au moins une demi-heure même si vous ne devriez pas réussir.

12.2.4 Libérer la créativité cachée : leçons de Fritz Zwicky

Trouver des preuves de théorèmes nécessite de la créativité. La créativité n'est ni « donnée par Dieu » ni héritée ; elle peut être entraînée comme tout le reste. Pour étayer cette affirmation, nous nous référons à un scientifique qui a fait preuve de créativité en découvrant de nouvelles choses auxquelles personne d'autre n'avait pensé auparavant. Il s'agit du scientifique suisse Fritz Zwicky qui a enseigné à Caltech et a écrit un livre « Everybody a genius » (Tout le monde est un génie). Pourquoi Zwicky a-t-il de la « crédibilité » ? Eh bien, il était non seulement extraordinairement créatif, mais il a aussi développé et communiqué des techniques de créativité qui fonctionnent et qui ont été utilisées depuis tant dans l'industrie que dans le milieu universitaire.

12.2.5 Matière noire et blagues salaces : l'histoire de Fritz Zwicky

D'abord les références : Fritz Zwicky a proposé l'existence de la matière noire, des supernovas (avec Walter Baade), des étoiles à neutrons, des rayons cosmiques galactiques, des lentilles gravitationnelles par les galaxies et des amas de galaxies. Il a également été un pionnier de la technologie des fusées. Il a proposé et réalisé le premier tir d'un objet produit par l'homme destiné à aller dans l'espace extra-atmosphérique. Chacune de ces réalisations mériterait à elle seule de figurer dans la liste des plus grands astronomes de tous les temps. Pourtant, Zwicky n'est pas très connu. Pourquoi ? Peut-être est-ce lié au fait que Zwicky avait l'habitude de traiter ses collègues de « bâtards sphériques ». Pourquoi sphériques ? « Parce qu'ils sont des bâtards de quelque côté qu'on les regarde ! » Pas étonnant qu'il n'ait pas été très admiré...

12.2.6 La technique de la boîte morphologique

L'une des techniques est la boîte morphologique. C'est très simple. Produisez une matrice dans laquelle on a un type d'objets, d'idées ou d'activités d'un côté et un autre type d'objets, d'idées ou d'activités de l'autre. Maintenant, parcourez simplement la matrice et cherchez des connexions. Voici une telle matrice :

12.2.7 Les idées spatiales farfelues de Zwicky

Regardez maintenant ce que Zwicky a proposé : tirer sur la lune (il l'a effectivement fait avec des fusées V2 usagées qui avaient un véritable canon sur le dessus. À la fin de la combustion, le canon était tiré, le projectile voyageait dans l'espace), il a proposé le voyage par creusement à grande échelle à travers la terre (cela est maintenant réalisé par une entreprise créée par Elon Musk), le voyage avec le soleil (la proposition était de voyager vers une étoile proche en déplaçant l'ensemble du système solaire).

12.2.8 Repenser l'idée de voyage solaire de Zwicky

L'entrée de matrice « creuser le soleil » pourrait intervenir lors de la réalisation de l'idée de voyage spatial de Zwicky. Nous pourrions devoir cibler une partie du soleil différemment pour déclencher une combustion asymétrique et donc un voyage. Soit dit en passant, il existe tout un domaine d'ingénierie, la « macro-ingénierie ». En 1997, j'ai suggéré dans un essai (à l'occasion du 100e anniversaire de Zwicky) de mettre en œuvre l'idée de Zwicky par le déclenchement délibéré de fusion et de fission asymétriques dans le Soleil. Cela est mentionné dans un livre de macro-ingénierie.²

12.2.9 Du carrelage de salle de bain aux puzzles de la cerise

Voici un beau problème donné dans un cours de Math $101$ enseigné il y a quelques années par Sebastien Vasey. Emprunter un problème d'un autre cours ne fait pas vraiment avancer l'argument de la créativité : mais le problème est trop beau pour être manqué. C'est un exemple de preuve par induction qui nécessite un peu de créativité. Essayez de le résoudre.

EXERCICES

Dans toutes les questions suivantes, la créativité est essentielle. Votre objet doit être original. Il est permis de modifier un objet connu. Et bien sûr, utilisez la technologie pour que l'on puisse admirer votre création.

Remarque : D'après les Apocryphes de Krantz (page 79), les parties a) et b) ont été données autrefois comme examen de géométrie algébrique ici à Harvard. La rumeur dit que cela a ensuite été utilisé aussi au département de philosophie de Harvard, où (et cela aussi est créatif), la partie c) a été ajoutée. À notre connaissance, donner comme devoir maison la rédaction d'un sujet d'examen est une première ! Eurêka ! Nous avons été créatifs.