L'une des utilisations du calcul intégral est de nous permettre de déterminer les valeurs des aires délimitées par des courbes.
Abordons le sujet progressivement.
Soit \(AB\) (la figure suivante) une courbe dont l'équation est connue. Autrement dit, \(y\) dans cette courbe est une fonction connue de \(x\). Considérons un arc de la courbe allant du point \(P\) jusqu'au point \(Q\).
Soit une perpendiculaire \(PM\) abaissée de \(P\), et une autre \(QN\) du point \(Q\). Posons \(OM = x_1\) et \(ON = x_2\), et les ordonnées \(PM = y_1\) et \(QN = y_2\). Nous avons ainsi délimité l'aire \(PQNM\) située sous l'arc \(PQ\). La question est : comment pouvons-nous calculer la valeur de cette aire?
Le secret pour résoudre ce problème consiste à concevoir l'aire comme divisée en un grand nombre de bandes étroites, chacune de largeur \(dx\). Plus \(dx\) est petit, plus il y en aura entre \(x_1\) et \(x_2\). Or, l'aire totale est clairement égale à la somme des aires de toutes ces bandes. Notre tâche est de trouver une expression pour l'aire d'une bande quelconque et de l'intégrer pour additionner toutes les bandes. Imaginons l'une de ces bandes : elle est bornée par deux côtés verticaux, une base plate \(dx\) et un sommet légèrement incurvé. Supposons que sa hauteur moyenne soit \(y\) ; alors, sa largeur étant \(dx\), son aire sera \(y\, dx\) (la figure suivante). Comme on peut rendre la largeur aussi petite que voulu, sa hauteur moyenne sera égale à la hauteur en son milieu. Appelons \(S\) la valeur inconnue de l'aire totale, pour « surface ». L'aire d'une bande sera simplement une fraction de l'aire totale et peut donc être notée \(dS\). Nous pouvons écrire \[\text{aire d'une bande} = dS = y \cdot dx.\]
En additionnant toutes les bandes, on obtient \[\text{aire totale} S = \int dS = \int y\, dx.\]
Ainsi, la détermination de \(S\) dépend de notre capacité à intégrer \(y \cdot dx\) pour le cas particulier, lorsque nous connaissons \(y\) en fonction de \(x\).
Par exemple, si l'on vous disait que pour la courbe particulière \(y = b + ax^2\), vous pourriez substituer cette valeur et dire : je dois alors trouver \(\displaystyle \int (b + ax^2)\, dx\).
That is all very well; but a little thought will show you that something more must be done. Because the area we are trying to find is not the area under the whole length of the curve, but only the area limited on the left by \(PM\), and on the right by \(QN\), it follows that we must do something to define our area between those ‘limits.’
Cela nous introduit à une nouvelle notion : celle de l'intégration entre des bornes. Nous supposons que \(x\) varie, et pour notre propos, nous n'avons besoin d'aucune valeur de \(x\) inférieure à \(x_1\) (c'est-à-dire \(OM\)), ni d'aucune valeur supérieure à \(x_2\) (c'est-à-dire \(ON\)). Lorsqu'une intégrale est définie entre deux bornes, nous appelons la valeur inférieure la borne inférieure et la valeur supérieure la borne supérieure. Toute intégrale ainsi bornée est désignée comme une intégrale définie, par opposition à une intégrale indéfinie (inverse de la dérivation) à laquelle aucune borne n'est assignée.
Dans les notations d'intégration, les bornes sont indiquées en les plaçant respectivement en haut et en bas du signe d'intégration. Ainsi, l'instruction \[\int_{x=x_1}^{x=x_2} y \cdot dx\] se lit : trouver l'intégrale de \(y \cdot dx\) entre la borne inférieure \(x_1\) et la borne supérieure \(x_2\).
On écrit parfois plus simplement \[\int^{x_2}_{x_1} y \cdot dx.\] Mais comment trouve-t-on une intégrale entre des bornes, une fois ces instructions reçues ?
Reprenons la première figure de ce chapitre. Supposons que nous puissions trouver l'aire sous la plus grande portion de courbe de \(A\) à \(Q\), c'est-à-dire de \(x = 0\) à \(x = x_2\), en nommant cette aire \(AQNO\). Puis, supposons que nous puissions trouver l'aire sous la plus petite portion de \(A\) à \(P\), c'est-à-dire de \(x = 0\) à \(x = x_1\), soit l'aire \(APMO\). En soustrayant la plus petite de la plus grande, il reste l'aire \(PQNM\), qui est ce que nous cherchons. Voilà la clé : l'intégrale définie entre deux bornes est la différence entre l'intégrale calculée pour la borne supérieure et celle calculée pour la borne inférieure.
Procédons donc. D'abord, trouvons l'intégrale générale : \[\int y\, dx,\] et, comme \(y = b + ax^2\) est l'équation de la courbe (Fig. 19.1), \[\int (b + ax^2)\, dx\] est l'intégrale générale à trouver.
En effectuant l'intégration par la règle, on obtient \[bx + \frac{a}{3} x^3 + C;\] et cela représentera l'aire totale de \(0\) jusqu'à toute valeur de \(x\) assignée.
Donc, la plus grande aire jusqu'à la borne supérieure \(x_2\) sera \[bx_2 + \frac{a}{3} x_2^3 + C;\] et la plus petite aire jusqu'à la borne inférieure \(x_1\) sera \[bx_1 + \frac{a}{3} x_1^3 + C.\]
À présent, soustrayons la plus petite de la plus grande, et nous obtenons pour l'aire \(S\) la valeur \[\text{aire } S = b(x_2 - x_1) + \frac{a}{3}(x_2^3 - x_1^3).\]
Voilà la réponse souhaitée. Donnons quelques valeurs numériques. Supposons \(b = 10\), \(a = 0{,}06\), \(x_2 = 8\) et \(x_1 = 6\). Alors l'aire \(S\) est égale à \[\begin{gathered} 10(8 - 6) + \frac{0.06}{3} (8^3 - 6^3) \\ \begin{align} &= 20 + 0.02(512 - 216) \\ &= 20 + 0.02 \times 296 \\ &= 20 + 5.92 \\ &= 25.92. \end{align} \end{gathered}\]
Énonçons ici symboliquement ce que nous avons établi sur les bornes : \[\int^{x=x_2}_{x=x_1} y\, dx = y_2 - y_1,\] où \(y_2\) est la valeur intégrée de \(y\, dx\) correspondant à \(x_2\), et \(y_1\) celle correspondant à \(x_1\).
Toute intégration entre des bornes nécessite de trouver ainsi la différence entre deux valeurs. Notons également que, lors de la soustraction, la constante ajoutée \(C\) disparaît.
En résumé, \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}y\,dx=\left[\int y\,dx\right]_{x_1}^{x_2}}.\] Le symbole \(\displaystyle \left[\int y\,dx\right]_{x_1}^{x_2}\) signifie évaluer \(\displaystyle \int y\,dx\) pour \(x=x_2\) et pour \(x=x_1\), puis soustraire ce dernier du premier.
Exemples
Exemple 19.1. To familiarize ourselves with the process, let us take a case of which we know the answer beforehand. Let us find the area of the triangle (the following figure), which has base \(x = 12\) and height \(y = 4\). We know beforehand, from obvious mensuration, that the answer will come \(24\).
Now, here we have as the “curve” a sloping line for which the equation is \[y = \frac{x}{3}.\]
L'aire en question sera \[\int^{x=12}_{x=0} y \cdot dx = \int^{x=12}_{x=0} \frac{x}{3} \cdot dx.\]
En intégrant \(\dfrac{x}{3}\, dx\) et en notant la valeur de l'intégrale indéfinie entre crochets avec les bornes, on obtient \[\begin{align} \text{aire} &= \left[ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^2 +C\right]^{x=12}_{x=0} \\ &= \left[ \frac{x^2}{6}+C \right]^{x=12}_{x=0} \\ &= \left[ \frac{12^2}{6}+C \right] - \left[ \frac{0^2}{6}+C \right] \\ &= \frac{144}{6} = 24.\quad \text{Rép}. \end{align}\]
Vérifions ce résultat sur un exemple simple. Prenez du papier quadrillé, de préférence divisé en petits carrés. Tracez sur ce papier le graphe de l'équation, \[y = \frac{x}{3}.\]
Les valeurs à tracer sont : \[\begin{array} {|c|| *{5}{c|}} \hline \strut {x} & {0} & {3} & {6} & {9} & {12} \\ \hline \strut {y} & {0} & {1} & {2} & {3} & {4} \\ \hline \end{array}\]
Le graphe est donné ci-dessous.
Calculez l'aire sous la courbe en comptant les petits carrés sous la droite, de \(x = 0\) jusqu'à \(x = 12\). Il y a \(18\) carrés entiers et quatre triangles, chacun d'aire \(1\frac{1}{2}\) carré ; soit \(24\) carrés en tout. Donc \(24\) est la valeur numérique de l'intégrale de \(\dfrac{x}{3}\, dx\) entre la borne inférieure \(x = 0\) et la borne supérieure \(x = 12\).
À titre d'exercice supplémentaire, montrez que la valeur de la même intégrale entre les bornes \(x = 3\) et \(x = 15\) est \(36\).
Exemple 19.2. Find the area, between limits \(x = x_1\) and \(x = 0\), of the curve \(y = \dfrac{b}{x + a}\) (the following figure).
Solution. \[\begin{align} \text{Aire} &= \int^{x=x_1}_{x=0} y \cdot dx = \int^{x=x_1}_{x=0} \frac{b}{x+a}\, dx \\[6pt] &= b \bigl[\ln(x + a)+C \bigr]^{x_1} _{0} \\[6pt] &= b \bigl[\ln(x_1 + a)+C - \ln(0 + a)-C\bigr] \\ &= b \ln \frac{x_1 + a}{a}.\quad \text{Rép}. \end{align}\]
Remarque — Notez que dans le traitement des intégrales définies, la constante \(C\) disparaît toujours par soustraction.
Il convient de noter que ce procédé consistant à soustraire une partie d'une plus grande pour trouver la différence est une pratique courante. Comment trouve-t-on l'aire d'une couronne plane (figure suivante), dont le rayon extérieur est \(r_2\) et le rayon intérieur est \(r_1\) ? On sait que l'aire du grand cercle est \(\pi r_2^2\) ; on trouve l'aire du petit cercle, \(\pi r_1^2\) ; on soustrait le second du premier, et l'aire de la couronne \(= \pi(r_2^2 - r_1^2)\) ; ce qui peut s'écrire \[\pi(r_2 + r_1)(r_2 - r_1)\] \(= \text{circonférence moyenne de la couronne} \times \text{largeur de la couronne}\).
Exemple 19.3. Here’s another case—that of the courbe de décroissance. Trouver l'aire entre \(x = 0\) et \(x = a\), de la courbe (figure suivante) dont l'équation est \[\begin{align} y &= be^{-x}. \end{align}\]
Solution. \[\text{Aire}= b\int^{x=a} _{x=0} e^{-x} \cdot dx.\] L'intégration (voir ici) donne \[\begin{align} &= b\big[-e^{-x}\big]^a _0 \\ &= b\bigl[-e^{-a} - (-e^{-0})\bigr] \\ &= b(1-e^{-a}). \end{align}\]
Exemple 19.4. Another example is afforded by the adiabatic curve of a perfect gas, the equation to which is \(pv^n = c\), where \(p\) stands for pressure, \(v\) for volume, and \(n\) is of the value \(1.42\) (see below).
Trouver l'aire sous la courbe (proportionnelle au travail fourni lors de la compression soudaine du gaz) du volume \(v_2\) au volume \(v_1\).
Solution. Ici, nous avons \[\begin{align} \text{aire} &= \int^{v=v_2}_{v=v_1} cv^{-n} \cdot dv \\ &= c\left[\frac{1}{1-n} v^{1-n} \right]^{v_2} _{v_1} \\ &= c \frac{1}{1-n} (v_2^{1-n} - v_1^{1-n}) \\ &= \frac{-c}{0.42}\left(\frac{1}{v_2^{0.42}} - \frac{1}{v_1^{0.42}}\right). \end{align}\]
Aire d'un Disque
Exemple 19.5. Prove the ordinary mensuration formula, that the area \(A\) of a circle whose radius is \(R\), is equal to \(\pi R^2\).
Solution. Considérons une zone élémentaire ou anneau de la surface (figure suivante), de largeur \(dr\), situé à distance \(r\) du centre. Nous pouvons considérer la surface entière comme constituée de telles zones étroites, et l'aire totale \(A\) sera simplement l'intégrale de toutes ces zones élémentaires du centre au bord, intégrée de \(r = 0\) à \(r = R\).
Nous devons donc trouver une expression pour l'aire élémentaire \(dA\) de la zone étroite. Considérons-la comme une bande de largeur \(dr\) et de longueur égale au périmètre du cercle de rayon \(r\), soit \(2 \pi r\). Alors l'aire de la zone étroite est \[dA = 2 \pi r\, dr.\]
Donc l'aire du cercle entier sera : \[A = \int dA = \int^{r=R}_{r=0} 2 \pi r \cdot dr = 2 \pi \int^{r=R}_{r=0} r \cdot dr.\]
Or, l'intégrale générale de \(r \cdot dr\) est \(\frac{1}{2} r^2\). Donc \[A = 2 \pi \left[\frac{1}{2} r^2 \right]^{r=R}_{r=0};\] or \[A = 2 \pi \left[\frac{1}{2} R^2 - \frac{1}{2}(0)^2\right];\] d'où \[A = \pi R^2.\]
Valeur Moyenne d'une Fonction
Exemple 19.6. Let us find the mean ordinate (the average \(y\)-value) of the positive part of the curve \(y = x - x^2\), which is shown below.
Solution. Pour trouver l'ordonnée moyenne, nous devons trouver l'aire du morceau \(OMN\), puis la diviser par la longueur de la base \(ON\). Mais avant de trouver l'aire, nous devons déterminer la longueur de la base afin de connaître jusqu'à quelle borne intégrer. En \(N\), l'ordonnée \(y\) est nulle ; nous devons donc examiner l'équation pour trouver la valeur de \(x\) qui rend \(y = 0\). Clairement, si \(x = 0\), \(y = 0\) également, la courbe passant par l'origine \(O\) ; mais aussi, si \(x=1\), \(y=0\) ; donc \(x=1\) donne la position du point \(N\).
Alors l'aire cherchée est \[\begin{align} \text{aire}&= \int^{x=1}_{x=0} (x-x^2)\, dx \\ &= \left[\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3 \right]^{1}_{0} \\ &= \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right] - [0-0] \\ &= \frac{1}{6}. \end{align}\]
Mais la longueur de la base est \(1\).
Donc, l'ordonnée moyenne de la courbe \(= \frac{1}{6}\).
[Remarque — C'est un exercice agréable en maxima et minima que de trouver par dérivation la hauteur de l'ordonnée maximale. Elle doit être supérieure à la moyenne.]
L'ordonnée moyenne de toute courbe, sur une plage de \(\boldsymbol{x= x_1}\) à \(\boldsymbol{x= x_2}\), est donnée par l'expression \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \text{moy. } y = \frac{1}{x_2-x_1} \int^{x=x_2}_{x=x_1} y \cdot dx.}\]
Aires en Coordonnées Polaires
Lorsque l'équation de la frontière d'une aire est donnée comme fonction de la distance \(r\) d'un de ses points à un point fixe \(O\) (voir la figure suivante), appelé pôle, et de l'angle que fait \(r\) avec la direction positive de l'axe des \(x\), le procédé décrit ci-dessus s'applique tout aussi facilement, avec une légère modification. Au lieu d'une bande d'aire, nous considérons un petit triangle \(OAB\), l'angle en \(O\) étant \(d\theta\), et nous trouvons la somme de tous les petits triangles constituant l'aire requise.
L'aire d'un tel petit triangle est approximativement \(\dfrac{AB}{2}\times r\) or \(\dfrac{r\, d\theta}{2}\times r\); donc la portion d'aire comprise entre la courbe et deux positions de \(r\) correspondant aux angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\) est donnée par \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \text{Aire}=\frac{1}{2} \int^{\theta=\theta_2}_{\theta=\theta_1} r^2\, d\theta.}\]
Remarque — Dans la formule ci-dessus, \(\theta\) doit être exprimé en radians.
Exemples
Exemple 19.7. Find the area of the sector of \(1\) radian in a circumference of radius \(a\) inches (the following figure).
Solution. L'équation polaire de la circonférence est évidemment \(r=a\). L'aire est \[\frac{1}{2} \int^{\theta=\theta_2}_{\theta=\theta_1} a^2\, d\theta = \frac{a^2}{2} \int^{\theta=1}_{\theta=0} d\theta = \frac{a^2}{2}.\]
Exemple 19.8. Find the area of the first quadrant of the curve (known as “Pascal’s Snail”), the polar equation of which is \(r=a(1+\cos \theta)\) (the following figure).
Solution. \[\begin{align} \text{Aire} &= \frac{1}{2} \int^{\theta=\frac{\pi}{2}}_{\theta=0} a^2(1+\cos \theta)^2\, d\theta \\ &= \frac{a^2}{2} \int^{\theta=\frac{\pi}{2}}_{\theta=0} (1+2 \cos \theta + \cos^2 \theta)\, d\theta \\ &= \frac{a^2}{2} \left[\theta + 2 \sin \theta + \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2 \theta}{4} \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} \\ &= \frac{a^2(3\pi+8)}{8}. \end{align}\]
Volumes par Intégration
Ce que nous avons fait avec l'aire d'une petite bande de surface, nous pouvons le faire tout aussi facilement avec le volume d'une petite bande d'un solide. Nous pouvons additionner toutes les petites bandes constituant le solide total et trouver son volume, de même que nous avons additionné tous les petits morceaux constituant une aire pour trouver l'aire finale de la figure.
Exemples.
Exemple 19.9. Find the volume of a sphere of radius \(R\).
Solution. Méthode (a). Une fine coque sphérique a pour volume \(4\pi r^2\, dr\) (voir Fig. 19.9) ; en additionnant toutes les coques concentriques constituant la sphère, on obtient \[\text{volume de la sphère} = \int^{r=R}_{r=0} 4\pi r^2\, dr = 4\pi \left[\frac{r^3}{3} \right]^R_0 = \frac{4}{3} \pi R^3.\]
Méthode (b). On peut aussi procéder ainsi : une tranche de la sphère, d'épaisseur \(dx\), a pour volume \(\pi y^2\, dx\). Ce mince disque est engendré par la rotation de la bande d'épaisseur \(dx\) représentée sur la Fig. 19.14 autour de l'axe des \(x\) (voir Fig 19.15). La longueur de cette bande, \(y\), est liée à la distance de cette bande à l'origine, \(x\), par \[y^2 = R^2 - x^2.\] Hence \[\begin{align} \text{volume de la sphère} &= 2 \int^{x=R}_{x=0} \pi(R^2-x^2)\, dx \\ &= 2 \pi \left[ \int^{x=R}_{x=0} R^2\, dx - \int^{x=R}_{x=0} x^2\, dx \right] \\ &= 2 \pi \left[R^2x - \frac{x^3}{3} \right]^R_0 = \frac{4\pi}{3} R^3. \end{align}\]
Sur les Moyennes Quadratiques
In certain branches of physics, particularly in the study of alternating electric currents, it is necessary to be able to calculate the quadratic mean of a variable quantity. By “quadratic mean” is denoted the square root of the mean of the squares of all the values between the limits considered. Other names for the quadratic mean of any quantity are its “virtual” value, or its “r.m.s.” (meaning root-mean-square) value. If \(y\) is the function under consideration, and the quadratic mean is to be taken between the limits of \(x=0\) and \(x=L\); then the quadratic mean is expressed as \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \text{moyenne quadratique de } y=\sqrt{\frac{1}{L} \int^L_0 y^2\, dx}.}\]
Exemples.
Exemple 19.11. Find the quadratic mean of the function \(y=ax\) (next figure).
Solution. L'intégrale est \(\int^L_0 a^2 x^2\, dx\), soit \(\frac{L}{3} a^2 L^3\).
En divisant par \(L\) et en prenant la racine carrée, on obtient \[\text{moyenne quadratique} = \frac{1}{\sqrt 3}\, aL.\]
La moyenne arithmétique est \(\frac{1}{2}aL\) ; et le rapport de la moyenne quadratique à la moyenne arithmétique (ce rapport est appelé le facteur de forme) est \(\dfrac{2}{\sqrt 3}=1{,}155\).
Exemple 19.12. Find the quadratic mean of the function \(y=x^a\).
Solution. L'intégrale est \(\displaystyle \int^{x=L}_{x=0} x^{2a}\, dx\), soit \(\dfrac{L^{2a+1}}{2a+1}\).
Donc \[\begin{gathered} \text{moyenne quadratique} = \sqrt{\dfrac{L^{2a}}{2a+1}}. \end{gathered}\]
Exemple 19.13. Find the quadratic mean of the function \(y=a^{\frac{x}{2}}\).
Solution. L'intégrale est \(\displaystyle \int^{x=L}_{x=0} (a^{\frac{x}{2}})^2\, dx\), soit \(\displaystyle \int^{x=L}_{x=0} a^x\, dx\), ou \[\begin{gathered} \left[ \frac{a^x}{\ln a} \right]^{x=L}_{x=0}, \end{gathered}\] ce qui vaut \(\dfrac{a^L-1}{\ln a}\).
Donc la moyenne quadratique est \(\sqrt{\dfrac{a^L - 1}{L \ln a}}\).
Exercices
Exercice 19.1. Find the area of the curve \(y=x^2+x-5\) between \(x=0\) and \(x=6\), and the mean ordinates (average \(y\)-value) between these limits.
Réponse
\(\text{Aire} = 60\); \(\text{ordonnée moyenne} = 10\).
Solution
\[\begin{align} \text { aire } &=\int_{0}^{6}\left(x^{2}+x-5\right) d x \\ &=\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-5 x\right]_{x=0}^{x=6} \\ & =\left(\frac{6^{3}}{3}+\frac{6^{2}}{2}-5 \times 6\right)-\left(\frac{0}{3}+\frac{0}{2}-5 \times 0\right) \\ & =60 \end{align}\]
\[\text { moy. } y=\frac{\displaystyle \int_{0}^{6}\left(x^{2}+x-6\right) d x}{6-0}=\frac{60}{6}=10 .\]
Exercice 19.2. Find the area of the parabola \(y=2a\sqrt x\) between \(x=0\) and \(x=a\). Show that it is two-thirds of the rectangle of the limiting ordinate and of its abscissa.
Réponse
\(\text{Aire} = \dfrac{2}{3}\) of \(a \times 2a \sqrt{a}\).
Solution
\[\begin{align} \text { aire sous la courbe }& =\int_{0}^{a} 2 a \sqrt{x} d x\\ & =2 a \int_{0}^{a} x^{\frac{1}{2}} d x \\ & =\left[2 a \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{x=0}^{x=a} \\ & =\frac{4}{3} a^{\frac{5}{2}} \end{align}\]
\[\begin{align} \text { aire du rectangle }& =a \times(2 a \sqrt{a}) \\ & =2 a^{\frac{5}{2}} \end{align}\]
\[\begin{align} \text{aire sous la courbe} &=\frac{2}{3}\times \text{ area of rectangle}\\ &=\frac{4}{3}a^{\frac{5}{2}} \end{align}\]
Exercice 19.3. Find the area of the positive portion of a sine curve and the mean ordinate.
Réponse
\(\text{Aire} = 2\); \(\text{ordonnée moyenne} = \dfrac{2}{\pi} \approx 0.637\).
Solution
\[\begin{align} \text { aire de la région représentée } & =\int_{0}^{\pi} \sin x d x \\ & =[-\cos x]_{x=0}^{x=\pi} \\ & =1-(-1)=2 \\ \text { moy. } y=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x d x & =\frac{2}{\pi} \end{align}\]
Exercice 19.4. Find the area of the positive portion of the curve \(y=\sin^2 x\) (\(0\leq x\leq \pi\)), and find the mean ordinate.
Réponse
\(\text{Aire} =\dfrac{\pi}{2}\approx 1.57\); \(\text{ordonnée moyenne} = 0.5\).
Solution
Le problème demande l'aire hachurée
\[\begin{align} \text { aire } & =\int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x d x \\ & =\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2 x}{2} d x\\ & =\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{\pi} d x-\int_{0}^{\pi} \cos 2 x d x\right] \\ & =\frac{1}{2}\left[x-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_{0}^{\pi} \\ & =\frac{\pi}{2} \approx 1.57 \end{align}\]
\[\begin{align} \text { moy. } y&=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x d x\\ &=\frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2}\\ &=\frac{1}{2} \end{align}\]
Exercice 19.5. Find the area included between the two branches of the curve \(y=x^2 \pm x^{\frac{5}{2}}\) from \(x=0\) to \(x=1\), also the area of the positive portion of the lower branch of the curve (see Fig. 11.12).
Réponse
\(\dfrac{4}{7}\approx 0{,}571\), \(\dfrac{1}{21}\approx 0{,}0476\).
Solution
\[\begin{align} \text { aire } & =\int_{0}^{1}\left[\left(x^{2}+x^{5 / 2}\right)-\left(x^{2}-x^{5 / 2}\right)\right] d x \\ & =2 \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{2}} d x \\ & =2\left[\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}\right]_{0}^{1} \\ & =\frac{4}{7} \approx 0.571 \end{align}\]
\[\begin{align} \text { aire } & =\int_{0}^{1}\left(x^{2}-x^{5 / 2}\right) d x \\ & =\left[\frac{1}{3} x^{3}-\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}\right]_{0}^{1} \\ & =\frac{1}{3}-\frac{2}{7}=\frac{1}{21} \approx 0.0476 \end{align}\]
Exercice 19.6. Find the volume of a cone of radius of base \(r\), and of height \(h\).
Réponse
\(\text{Volume} = \pi r^2 \dfrac{h}{3}\).
Solution
Si la droite \(y=\frac{r}{h} x\) tourne autour de l'axe des \(x\), elle crée un cône de rayon de base \(r\) et de hauteur \(h\).
Il suffit de calculer le volume de ce solide de révolution.
Le volume de ce mince disque est \(\pi\left(\dfrac{r}{h} x\right)^{2} d x\)
Donc, en additionnant les volumes de ces minces disques, on obtient le volume du solide (cône)
\[\begin{align} \text { Volume } & =\int_{0}^{h} \pi\left(\frac{r}{h} x\right)^{2} d x \\ & =\frac{\pi r^{2}}{h^{2}} \int_{0}^{h} x^{2} d x=\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}\left[\frac{1}{3} x^{3}\right]_{0}^{h} \\ & =\frac{1}{3}\left(\pi r^{2}\right) h \end{align}\]
Exercice 19.7. Find the area of the curve \(y=x^3-\ln x\) between \(x=0\) and \(x=1\).
Réponse
\(1.25\).
Solution
\[\text { aire }=\int_{0}^{1}\left(x^{3}-\ln x\right) d x=\int_{0}^{1} x^{3} d x-\int_{0}^{1} \ln x d x\]
Nous avons appris que \(\displaystyle \int \ln x d x=x \ln x+x\). Donc
\[\text { aire }=\left[\frac{1}{4} x^{4}-x \ln x+x\right]_{0}^{1}\]
Remarquons qu'on ne peut pas substituer \(x=0\) dans \(\frac{1}{4} x^{4}-x \ln x+x\) car \(\ln 0\) n'est pas défini. Cependant, si \(x\) est positif mais très proche de \(0\), \(x \ln x\) est proche de \(0\). Donc
\[\begin{align} \text { aire } & =\left(\frac{1}{4}-1 \times \ln 1+1\right)-(0-0+0) \\ & =\frac{5}{4}=1.25 \end{align}\]
Exercice 19.8. Find the volume generated by the curve \(y=\sqrt{1+x^2}\), as it revolves about the axis of \(x\), between \(x=0\) and \(x=4\).
Réponse
\(\dfrac{76}{3}\pi\approx 79{,}6\).
Solution
\[\begin{align} d V & =\pi\left(\sqrt{1+x^{2}}\right)^{2} d x \\ & =\pi\left(1+x^{2}\right) d x \end{align}\]
Le volume total est
\[\begin{align} V & =\int_{0}^{4} \pi\left(1+x^{2}\right) d x \\ & =\pi\left[x+\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4} \\ & =\frac{76}{3} \pi \approx 79.6 \end{align}\]
Exercice 19.9. Find the volume generated by a sine curve revolving about the axis of \(x\) (\(0\leq x\leq \pi\)).
Réponse
\(\text{Volume} = \dfrac{\pi^2}{2}\approx 4{,}9348\).
Solution
\[\begin{align} & d V=\pi \sin ^{2} x\, d x \\ V & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \pi \sin ^{2} x\, d x \\ = & \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2 x}{2}\, d x \\ = & \frac{\pi}{2}\left[x-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_{0}^{\pi} \\ = & \frac{\pi}{2}(\pi-0)=\frac{\pi^{2}}{2} \approx 4.9348 \end{align}\]
Exercice 19.10. Find the area of the portion of the curve \(xy=a\) included between \(x=1\) and \(x = a\). Find the mean ordinate between these limits.
Réponse
\(a\ln a\),\(\dfrac{a}{a - 1} \ln a\).
Solution
\[\begin{align} \text { Area } & =\int_{1}^{a} y d x \\ & =\int_{1}^{a} \frac{a}{x} d x \\ & =\big[a \ln x\big]_{x=1}^{x=a} \\ & =a \ln a \end{align}\]
\[\begin{align} \text { moy. } y & =\frac{1}{a-1} \int_{1}^{a} y d x \\ & =\frac{a}{a-1} \ln a \end{align}\]
Exercice 19.11. Show that the quadratic mean of the function \(y=\sin x\), between the limits of \(0\) and \(\pi\) radians, is \(\dfrac{\sqrt2}{2}\). Find also the arithmetical mean of the same function between the same limits; and show that the form-factor is \(=1.11\).
Solution
Rappel \[\text { Quadratic mean }=\sqrt{\frac{1}{L} \int_{0}^{L} y^{2} d x}\]
Thus
\[\begin{align} \text { Quadratic mean } & =\sqrt{\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin ^2 x\ d x} \\ & =\sqrt{\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{1-\cos 2 x}{2}\ d x} \\ & =\sqrt{\frac{1}{\pi}\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_0^\pi} \\ & =\sqrt{\frac{1}{\pi} \frac{\pi}{2}}=\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \end{align}\]
\[\begin{align} \text { Arithmetical mean } & =\frac{1}{L} \int_0^L y\ d x \\ & =\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin x\ d x \\ & =\left[-\frac{1}{\pi} \cos x\right]_0^\pi\\ & =\frac{2}{\pi} \approx 0.637 \end{align}\]
\[\text { Form factor } \approx \frac{0.707}{0.637} \approx 1.11\]
Exercice 19.12. Find the arithmetical and quadratic means of the function \(x^2+3x+2\), from \(x=0\) to \(x=3\).
Réponse
\(\text{Moyenne arithmétique} = 9.5\); \(\text{moyenne quadratique} \approx 10.85\).
Solution
\[\begin{align} \text { Arithmetical mean } & =\frac{1}{3} \int_{0}^{3} y\, d x \\ & =\frac{1}{3} \int_{0}^{3}\left(x^{2}+3 x+2\right) d x \\ & =\frac{1}{3}\left[\frac{1}{3} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}+2 x\right]_{0}^{3} \\ & =\frac{19}{2}=9.5 \end{align}\]
\[\begin{align} y= & x^{2}+3 x+2,0 \leq x \leq 3 \\ \text { Quadratic mean } & =\sqrt{\frac{1}{3} \int_{0}^{3} y^{2} d x} \\ & =\sqrt{\frac{1}{3} \int_{0}^{3}\left(x^{4}+9 x^{2}+4+6 x^{3}+4 x^{2}+12 x\right) d x} \\ & =\sqrt{\frac{1}{3}\left[\frac{x^{5}}{5}+3 x^{3}+4 x+\frac{3}{2} x^{4}+\frac{4}{3} x^{3}+6 x^{2}\right]_{0}^{3}} \\ & =\sqrt{\frac{1}{3} \times \frac{3531}{10}} \approx \sqrt{117.7} \approx 10.85 \end{align}\]
Exercice 19.13. Find the quadratic mean and the arithmetical mean of the function \(y=A_1 \sin x + A_3 \sin 3x\) (\(0\leq x\leq 2\pi\)).
Réponse
\(\text{Moyenne quadratique} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{A_1^2 + A_3^2}\); \(\text{arithmetical mean} = 0\).
Solution
Quadratic mean \(=\sqrt{\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(A_{1} \sin x+A_{3} \sin 3 x\right)^{2} d x}\)
Pour trouver \(\int_{0}^{2 \pi}\left(A_{1} \sin x+A_{3} \sin 3 x\right)^{2}\, d x\), on développe l'expression. C'est-à-dire, on évalue
\[\int_{0}^{2 \pi}\left(A_{1}^{2} \sin ^{2} x+2 A_{1} A_{3} \sin x \sin 3 x+A_{3}^{2} \sin ^{2} 3 x\right) d x\]
On intègre terme par terme. D'abord, \[\begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} x d x&=\int_{0}^{2 \pi} \frac{1-\cos 2 x}{2} d x\\ &=\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_{0}^{2 \pi}\\ &=\pi \end{align}\]
Pour évaluer \(\int_{0}^{2 \pi} \sin x \sin 3 x d x\), on utilise la formule produit-en-somme :
\[\sin M \sin N=\frac{1}{2}[\cos (M-N)-\cos (M+N)]\]
Therefore,
\[\begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \sin x \sin 3 x\, d x & =\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2}[\cos 2 x-\cos 4 x]\, d x \\ & =\left[\frac{1}{4} \sin 2 x-\frac{1}{8} \sin 4 x\right]_{0}^{2 \pi} \\ & =0 \end{align}\]
Maintenant le dernier terme : \[\begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} 3 x d x & =\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 6 x}{2} d x \\ & =\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{12} \sin 6 x\right]_{0}^{2 \pi} \\ & =\pi . \end{align}\]
Donc, la moyenne quadratique est \[\begin{align} & \sqrt{\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(A_{1}^{2} \sin ^{2} x+2 A_{1} A_{3} \sin x \sin 3 x+A_{3}^{2} \sin ^{2} 3 x\right) d x} \\ & =\sqrt{\frac{1}{\pi}\left[A_{1}^{2} \int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x d x+2 A_{1} A_{3} \int_{0}^{\pi} \sin x \sin 3 x d x+A_{3}^{2} \int_{0}^{\pi} \sin ^{2} 3 x d x\right]} \\ & =\sqrt{\frac{1}{2 \pi}\left[A_{1}^{2} \times \pi+2 A_{1} A_{2} \times 0+A_{3}^{2} \times \pi\right]} \\ & =\sqrt{\frac{1}{2}\left(A_{1}^{2}+A_{3}^{2}\right)} \end{align}\]
\[\begin{align} \text { Arithmetical mean } &=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(A_{1} \sin x+A_{3} \sin 3 x\right) d x \\ & =\frac{1}{2 \pi}\left[-A_{1} \cos x-\frac{A_{3}}{3} \cos 3 x\right]_{0}^{2 \pi} \\ & =0 . \end{align}\]
Exercice 19.14. A certain curve has the equation \(y=3.42e^{0.21x}\). Find the area included between the curve and the axis of \(x\), from the ordinate at \(x=2\) to the ordinate at \(x = 8\). Find also the height of the mean ordinate of the curve between these points.
Réponse
L'aire est approximativement \(62{,}6\) unités carrées. L'ordonnée moyenne est approximativement \(10{,}43\).
Solution
\[\begin{align} \text { Area } & =\int_{2}^{8} 3.42 e^{0.21 x} d x \\ & =\left[\frac{3.42}{0.21} e^{0.21 x}\right]_{2}^{8} \\ & =\frac{3.42}{0.21}\left(e^{1.68}-e^{0.42}\right) \approx 62.6 \\ \text { mean ordinate } & =\frac{1}{8-2} \int_{0}^{8} y d x \\ & =\frac{1}{6} \times 62.6 \approx 10.43 \end{align}\]
Exercice 19.15. Show that the radius of a circle, the area of which is twice the area of a polar diagram, is equal to the quadratic mean of all the values of \(r\) for that polar diagram.
Solution
\[\text { Area of circle }=\pi R^{2}=2 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} r^{2} d \theta\]
Moyenne quadratique de \(r=\sqrt{\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} r^{2} d \theta}\)
\[=\sqrt{\frac{1}{2 \pi} \pi R^{2}}=\frac{R}{\sqrt{2}} \text {. }\]
Exercice 19.16. Find the volume generated by the curve \(y=\pm\dfrac{x}{6}\sqrt{x(10-x)}\) rotating about the axis of \(x\).
Réponse
\(436{,}3\). (Ce solide a la forme d'une poire.)
Solution
\[\begin{align} & d V=\pi \cdot\left[\frac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}\right]^{2} d x=\frac{\pi}{36} x^{2}[x(10-x)] d x \\ V & =\int_{0}^{10} \frac{\pi}{36} x^{3}(10-x) d x \\ & =\frac{\pi}{36}\left[\frac{10}{4} x^{4}-\frac{1}{5} x^{5}\right]_{0}^{10} \\ & =\frac{1250 \pi}{9} \approx 436.33 \end{align}\]
