Intégrales définies et certaines de leurs applications

L'une des applications du calcul intégral est de nous permettre de déterminer la valeur des aires délimitées par des courbes.

Essayons d'aborder le sujet pas à pas.

Soit $A B$ (figure suivante) une courbe dont l'équation est connue. Autrement dit, $y$ sur cette courbe est une fonction connue de $x$ . Considérez une portion de cette courbe allant du point $P$ au point $Q$ .

Figure 1 Fig. 19.1

Traçons une perpendiculaire $P M$ depuis $P$ , et une autre $Q N$ depuis le point $Q$ . Appelons ensuite $O M = x_{1}$ et $O N = x_{2}$ , et les ordonnées $P M = y_{1}$ et $Q N = y_{2}$ . Nous avons ainsi délimité l'aire $P Q N M$ qui se trouve sous la portion de courbe $P Q$ . La question est : comment calculer la valeur de cette aire ?

Le secret pour résoudre ce problème est de concevoir l'aire comme étant divisée en un grand nombre de bandes étroites, chacune ayant une largeur $d x$ . Plus $d x$ sera petit, plus ces bandes seront nombreuses entre $x_{1}$ et $x_{2}$ . Or, l'aire totale est clairement égale à la somme des aires de toutes ces bandes. Notre tâche consistera alors à trouver une expression pour l'aire de l'une de ces bandes étroites, puis à l'intégrer afin d'additionner toutes les bandes. Considérez maintenant l'une de ces bandes. Elle se présente ainsi : délimitée par deux côtés verticaux, avec une base plate $d x$ et un sommet légèrement courbe et incliné. Supposons que nous prenions sa hauteur moyenne égale à $y$ ; comme sa largeur est $d x$ , son aire sera $y d x$ (figure suivante). Et, puisque nous pouvons choisir une largeur aussi étroite que nous le souhaitons, si nous la prenons suffisamment étroite, sa hauteur moyenne sera identique à sa hauteur en son milieu. Notons maintenant $S$ la valeur inconnue de l'aire totale, pour surface. L'aire d'une bande ne sera qu'une petite partie de l'aire totale, et peut donc être appelée $d S$ . Nous pouvons ainsi écrire : $aire de 1 bande = d S = y \cdot d x .$

Figure 2 Fig. 19.2

Si nous additionnons toutes les bandes, nous obtenons $aire totale S = \int d S = \int y d x .$

Ainsi, la détermination de $S$ dépend de notre capacité à intégrer $y \cdot d x$ dans ce cas particulier, lorsque nous connaissons la valeur de $y$ en fonction de $x$ .

Par exemple, si l'on vous disait que pour la courbe en question $y = b + a x^{2}$ , vous pourriez sans doute remplacer cette valeur dans l'expression et dire : je dois alors trouver $\int (b + a x^{2}) d x$ .

C'est très bien ainsi ; mais un peu de réflexion montre qu'il reste quelque chose à faire. Car l'aire que nous cherchons à calculer n'est pas l'aire sous toute la longueur de la courbe, mais seulement l'aire limitée à gauche par $P M$ et à droite par $Q N$ . Il s'ensuit que nous devons faire quelque chose pour définir notre aire entre ces « bornes ».

Cela nous introduit à une notion nouvelle, à savoir celle d'intégrer entre des bornes. Nous supposons que $x$ varie, et pour notre objectif actuel, nous n'avons pas besoin de valeurs de $x$ inférieures à $x_{1}$ (c'est-à-dire $O M$ ), ni de valeurs de $x$ supérieures à $x_{2}$ (c'est-à-dire $O N$ ). Lorsqu'une intégrale doit être ainsi définie entre deux bornes, nous appelons la plus petite des deux valeurs la borne inférieure, et la plus grande la borne supérieure. Toute intégrale ainsi limitée est qualifiée d'intégrale définie, afin de la distinguer d'une intégrale indéfinie (qui est l'inverse de la dérivation) à laquelle aucune borne n'est attribuée.

Dans les symboles qui donnent l'instruction d'intégrer, les bornes sont indiquées en les plaçant respectivement en haut et en bas du signe d'intégration. Ainsi, l'instruction $\int_{x = x_{1}}^{x = x_{2}} y \cdot d x$ se lira : trouver l'intégrale de $y \cdot d x$ entre la borne inférieure $x_{1}$ et la borne supérieure $x_{2}$ .

Parfois, on l'écrit plus simplement $\int_{x_{1}}^{x_{2}} y \cdot d x .$ Bien, mais comment trouve-t-on une intégrale entre des bornes lorsqu'on a reçu ces instructions ?

Regardez à nouveau la première figure de ce chapitre. Supposons que nous puissions trouver l'aire sous la plus grande portion de courbe de $A$ à $Q$ , c'est-à-dire de $x = 0$ à $x = x_{2}$ , en nommant cette aire $A Q N O$ . Ensuite, supposons que nous puissions trouver l'aire sous la plus petite portion de $A$ à $P$ , c'est-à-dire de $x = 0$ à $x = x_{1}$ , à savoir l'aire $A P M O$ . Si nous soustrayons l'aire la plus petite de la plus grande, il nous restera l'aire $P Q N M$ , qui est celle que nous recherchons. Nous avons ici la clé de la méthode : l'intégrale définie entre deux bornes est la différence entre l'intégrale calculée pour la borne supérieure et l'intégrale calculée pour la borne inférieure.

Allons-y. Tout d'abord, calculons l'intégrale générale : $\int y d x,$ et, comme $y = b + a x^{2}$ est l'équation de la courbe (Fig. 19.1), $\int (b + a x^{2}) d x$ est l'intégrale générale que nous devons trouver.

En effectuant cette intégration selon la règle, nous obtenons $b x + \frac{a}{3} x^{3} + C;$ et cela représentera l'aire totale depuis $0$ jusqu'à n'importe quelle valeur que nous pourrions attribuer à $x$ .

Par conséquent, la plus grande aire jusqu'à la borne supérieure $x_{2}$ sera $b x_{2} + \frac{a}{3} x_{2}^{3} + C;$ et la plus petite aire jusqu'à la borne inférieure $x_{1}$ sera $b x_{1} + \frac{a}{3} x_{1}^{3} + C .$

Maintenant, soustrayons la plus petite de la plus grande, et nous obtenons pour l'aire $S$ la valeur : $aire S = b (x_{2} - x_{1}) + \frac{a}{3} (x_{2}^{3} - x_{1}^{3}) .$

C'est la réponse que nous cherchons. Donnons quelques valeurs numériques. Supposons $b = 10$ , $a = 0, 06$ , $x_{2} = 8$ et $x_{1} = 6$ . L'aire $S$ est alors égale à \begin{gathered} 10(8 - 6) + \frac{0,06}{3} (8^3 - 6^3) \\ \begin{align} &= 20 + 0{,}02(512 - 216) \\ &= 20 + 0{,}02 \times 296 \\ &= 20 + 5{,}92 \\ &= 25{,}92. \end{align} \end{gathered}

Notons ici une manière symbolique d'énoncer ce que nous avons établi à propos des bornes : $\int_{x = x_{1}}^{x = x_{2}} y d x = y_{2} - y_{1},$ où $y_{2}$ est la valeur intégrée de $y d x$ correspondant à $x_{2}$ , et $y_{1}$ celle correspondant à $x_{1}$ .

Toute intégration entre des bornes nécessite de calculer ainsi la différence entre deux valeurs. Remarquez également que lors de la soustraction, la constante ajoutée $C$ a disparu.

En résumé, \bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}y\,dx=\left[\int y\,dx\right]_{x_1}^{x_2}}. Le symbole ${[\int y d x]}_{x_{1}}^{x_{2}}$ signifie qu'il faut évaluer $\int y d x$ pour $x = x_{2}$ et pour $x = x_{1}$ , puis soustraire le second résultat du premier.

Exemples

Example 1.

Exemple 19.1. Pour nous familiariser avec la méthode, prenons un cas dont nous connaissons déjà la réponse. Trouvons l'aire du triangle (figure suivante), qui a pour base $x = 12$ et pour hauteur $y = 4$ . Nous savons d'avance, par un calcul géométrique simple, que la réponse sera $24$ .

Ici, notre « courbe » est une droite inclinée dont l'équation est $y = \frac{x}{3} .$

L'aire en question sera $\int_{x = 0}^{x = 12} y \cdot d x = \int_{x = 0}^{x = 12} \frac{x}{3} \cdot d x .$

En intégrant $\frac{x}{3} d x$ et en écrivant la valeur de l'intégrale indéfinie entre crochets avec les bornes indiquées en haut et en bas, on obtient \begin{align} \text{aire} &= \left[ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^2 +C\right]^{x=12}_{x=0} \\ &= \left[ \frac{x^2}{6}+C \right]^{x=12}_{x=0} \\ &= \left[ \frac{12^2}{6}+C \right] - \left[ \frac{0^2}{6}+C \right] \\ &= \frac{144}{6} = 24.\quad \text{Rép}. \end{align}

Assurons-nous de la validité de ce procédé de calcul assez surprenant en le testant sur un exemple simple. Procurez-vous du papier quadrillé, de préférence millimétré ou avec de petits carreaux d'un huitième ou d'un dixième de pouce. Sur ce papier, tracez le graphique de l'équation : $y = \frac{x}{3} .$

Les valeurs à tracer sont : $\begin{array}{ccccccc} x & 0 & 3 & 6 & 9 & 12 \\ y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}$

Le tracé est présenté ci-dessous.

Calculez maintenant l'aire située sous la courbe en comptant les petits carreaux sous la droite, de $x = 0$ jusqu'à $x = 12$ à droite. On dénombre $18$ carreaux entiers et quatre triangles, chacun ayant une aire équivalente à $1 \frac{1}{2}$ carreau, soit au total $24$ carreaux. Ainsi, $24$ est bien la valeur numérique de l'intégrale de $\frac{x}{3} d x$ entre la borne inférieure $x = 0$ et la borne supérieure $x = 12$ .

À titre d'exercice complémentaire, montrez que la valeur de cette même intégrale entre les bornes $x = 3$ et $x = 15$ est égale à $36$ .

Example 2.

Exemple 19.2. Trouver l'aire, entre les bornes $x = x_{1}$ et $x = 0$ , de la courbe $y = \frac{b}{x + a}$ (figure suivante).

Solution. \begin{align} \text{Aire} &= \int^{x=x_1}_{x=0} y \cdot dx = \int^{x=x_1}_{x=0} \frac{b}{x+a}\, dx \\[6pt] &= b \bigl[\ln(x + a)+C \bigr]^{x_1} _{0} \\[6pt] &= b \bigl[\ln(x_1 + a)+C - \ln(0 + a)-C\bigr] \\ &= b \ln \frac{x_1 + a}{a}.\quad \text{Rép}. \end{align}

Note — Remarquez que lorsqu'on traite des intégrales définies, la constante $C$ disparaît toujours par soustraction.

Remarquons que ce procédé consistant à soustraire une partie d'une plus grande pour trouver la différence est une pratique tout à fait courante. Comment trouvez-vous l'aire d'un anneau plat (figure suivante), dont le rayon extérieur est $r_{2}$ et le rayon intérieur $r_{1}$ ? Vous savez par la géométrie que l'aire du cercle extérieur est $π r_{2}^{2}$ ; vous trouvez ensuite l'aire du cercle intérieur, $π r_{1}^{2}$ ; puis vous soustrayez cette dernière de la première, et vous trouvez l'aire de l'anneau $= π (r_{2}^{2} - r_{1}^{2})$ ; ce qui peut s'écrire $π (r_{2} + r_{1}) (r_{2} - r_{1})$ = \text{circonférence moyenne de l'anneau} \times \text{largeur de l'anneau}.

Figure 3 Fig. 19.6

Example 3.

Exemple 19.3. Voici un autre cas, celui de la courbe de décroissance exponentielle. Trouver l'aire, entre $x = 0$ et $x = a$ , de la courbe (figure suivante) dont l'équation est \begin{align} y &= be^{-x}. \end{align}

Solution. $Aire = b \int_{x = 0}^{x = a} e^{- x} \cdot d x .$ L'intégration (voir ici) donne \begin{align} &= b\big[-e^{-x}\big]^a _0 \\ &= b\bigl[-e^{-a} - (-e^{-0})\bigr] \\ &= b(1-e^{-a}). \end{align}

Example 4.

Exemple 19.4. Un autre exemple est fourni par la courbe adiabatique d'un gaz parfait, dont l'équation est $p v^{n} = c$ , où $p$ représente la pression, $v$ le volume, et $n$ prend la valeur $1, 42$ (voir ci-dessous).

Trouver l'aire sous la courbe (qui est proportionnelle au travail effectué lors d'une compression soudaine du gaz) depuis le volume $v_{2}$ jusqu'au volume $v_{1}$ .

Solution. Ici, on a \begin{align} \text{aire} &= \int^{v=v_2}_{v=v_1} cv^{-n} \cdot dv \\ &= c\left[\frac{1}{1-n} v^{1-n} \right]^{v_2} _{v_1} \\ &= c \frac{1}{1-n} (v_2^{1-n} - v_1^{1-n}) \\ &= \frac{-c}{0{,}42}\left(\frac{1}{v_2^{0{,}42}} - \frac{1}{v_1^{0{,}42}}\right). \end{align}

Aire d'un disque

Example 5.

Exemple 19.5. Démontrer la formule usuelle de géométrie selon laquelle l'aire $A$ d'un cercle de rayon $R$ est égale à $π R^{2}$ .

Solution. Considérons une zone ou couronne élémentaire de la surface (figure suivante), de largeur $d r$ , située à une distance $r$ du centre. Nous pouvons considérer que la surface entière est constituée de telles couronnes étroites, et l'aire totale $A$ sera simplement l'intégrale de toutes ces couronnes élémentaires du centre jusqu'au bord, c'est-à-dire intégrée de $r = 0$ à $r = R$ .

Nous devons donc trouver une expression pour l'aire élémentaire $d A$ de cette couronne étroite. Considérez-la comme une bande de largeur $d r$ et d'une longueur correspondant au périmètre du cercle de rayon $r$ , c'est-à-dire une longueur de $2 π r$ . Nous avons alors, pour l'aire de cette couronne étroite, $d A = 2 π r d r .$

Ainsi, l'aire du cercle entier sera : $A = \int d A = \int_{r = 0}^{r = R} 2 π r \cdot d r = 2 π \int_{r = 0}^{r = R} r \cdot d r .$

Or, l'intégrale générale de $r \cdot d r$ est $\frac{1}{2} r^{2}$ . Par conséquent, $A = 2 π {[\frac{1}{2} r^{2}]}_{r = 0}^{r = R};$ ou $A = 2 π [\frac{1}{2} R^{2} - \frac{1}{2} (0)^{2}];$ d'où $A = π R^{2} .$

Valeur moyenne d'une fonction

Example 6.

Exemple 19.6. Trouvons l'ordonnée moyenne (la valeur moyenne de $y$ ) de la partie positive de la courbe $y = x - x^{2}$ , représentée ci-dessous.

Solution. Pour trouver l'ordonnée moyenne, nous devrons d'abord calculer l'aire de la portion $O M N$ , puis la diviser par la longueur de la base $O N$ . Mais avant de pouvoir calculer cette aire, nous devons déterminer la longueur de la base pour connaître la borne supérieure d'intégration. En $N$ , l'ordonnée $y$ est nulle ; nous devons donc examiner l'équation et chercher quelle valeur de $x$ annule $y$ . Il est clair que si $x$ vaut $0$ , $y$ vaut également $0$ , la courbe passant par l'origine $O$ ; mais si $x = 1$ , on a aussi $y = 0$ ; la valeur $x = 1$ nous donne donc la position du point $N$ .

L'aire cherchée est alors : \begin{align} \text{aire}&= \int^{x=1}_{x=0} (x-x^2)\, dx \\ &= \left[\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3 \right]^{1}_{0} \\ &= \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right] - [0-0] \\ &= \frac{1}{6}. \end{align}

Mais la longueur de la base est de $1$ .

Par conséquent, l'ordonnée moyenne de la courbe est égale à $\frac{1}{6}$ .

[Note — Ce sera un joli et simple exercice sur les maxima et minima que de trouver par dérivation la hauteur de l'ordonnée maximale. Elle doit être supérieure à la moyenne.]

L'ordonnée moyenne de n'importe quelle courbe, sur un intervalle allant de $𝒙 = 𝒙_{1}$ à $𝒙 = 𝒙_{2}$ , est donnée par l'expression : \bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \text{moyenne de } y = \frac{1}{x_2-x_1} \int^{x=x_2}_{x=x_1} y \cdot dx.}

Aires en coordonnées polaires

Lorsque l'équation de la frontière d'une aire est donnée sous la forme d'une fonction de la distance $r$ d'un point à un point fixe $O$ (voir la figure suivante), appelé le pôle, et de l'angle que fait $r$ avec la direction positive de l'axe des $x$ , le procédé que nous venons d'expliquer s'applique tout aussi facilement, moyennant une légère modification. Au lieu d'une bande d'aire, nous considérons un petit triangle $O A B$ dont l'angle au sommet $O$ est $d θ$ , et nous faisons la somme de tous les petits triangles qui composent l'aire cherchée.

Figure 4 Fig. 19.11

L'aire d'un tel petit triangle est approximativement $\frac{A B}{2} \times r$ ou $\frac{r d θ}{2} \times r$ ; par conséquent, la portion d'aire comprise entre la courbe et les deux positions de $r$ correspondant aux angles $θ_{1}$ et $θ_{2}$ est donnée par \bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \text{Aire}=\frac{1}{2} \int^{\theta=\theta_2}_{\theta=\theta_1} r^2\, d\theta.}

Note — Dans la formule ci-dessus, $θ$ doit être exprimé en radians.

Exemples

Example 7.

Exemple 19.7. Trouver l'aire d'un secteur de $1$ radiano dans un cercle de rayon $a$ pouces (figure suivante).

Solution. L'équation polaire de la circonférence est évidemment $r = a$ . L'aire est $\frac{1}{2} \int_{θ = θ_{1}}^{θ = θ_{2}} a^{2} d θ = \frac{a^{2}}{2} \int_{θ = 0}^{θ = 1} d θ = \frac{a^{2}}{2} .$

Example 8.

Exemple 19.8. Trouver l'aire du premier quadrant de la courbe (connue sous le nom de « Limace de Pascal »), dont l'équation polaire est $r = a (1 + \cos θ)$ (figure suivante).

Solution. \begin{align} \text{Aire} &= \frac{1}{2} \int^{\theta=\frac{\pi}{2}}_{\theta=0} a^2(1+\cos \theta)^2\, d\theta \\ &= \frac{a^2}{2} \int^{\theta=\frac{\pi}{2}}_{\theta=0} (1+2 \cos \theta + \cos^2 \theta)\, d\theta \\ &= \frac{a^2}{2} \left[\theta + 2 \sin \theta + \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2 \theta}{4} \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} \\ &= \frac{a^2(3\pi+8)}{8}. \end{align}

Volumes par intégration

Ce que nous avons fait pour l'aire d'une petite bande de surface, nous pouvons bien entendu le faire tout aussi facilement pour le volume d'une petite tranche d'un solide. Nous pouvons additionner toutes les petites tranches qui composent le solide total et trouver son volume, tout comme nous avons additionné toutes les petites portions d'aire pour trouver l'aire finale de la figure étudiée.

Exemples.

Example 9.

Exemple 19.9. Trouver le volume d'une sphère de rayon $R$ .

Solution. Méthode (a). Une fine coquille sphérique a pour volume $4 π r^{2} d r$ (voir Fig. 19.9) ; en sommant toutes les coquilles concentriques qui constituent la sphère, on obtient : $volume de la sphère = \int_{r = 0}^{r = R} 4 π r^{2} d r = 4 π {[\frac{r^{3}}{3}]}_{0}^{R} = \frac{4}{3} π R^{3} .$

Méthode (b). On peut également procéder de la manière suivante : une tranche de la sphère, d'épaisseur $d x$ , a pour volume $π y^{2} d x$ . Ce disque mince est généré par la rotation de la bande d'épaisseur $d x$ représentée sur la Fig. 19.14 autour de l'axe des $x$ (voir Fig. 19.15). La longueur de cette bande, $y$ , est liée à la distance de cette bande à l'origine, $x$ , par la relation $y^{2} = R^{2} - x^{2} .$ D'où : \begin{align} \text{volume de la sphère} &= 2 \int^{x=R}_{x=0} \pi(R^2-x^2)\, dx \\ &= 2 \pi \left[ \int^{x=R}_{x=0} R^2\, dx - \int^{x=R}_{x=0} x^2\, dx \right] \\ &= 2 \pi \left[R^2x - \frac{x^3}{3} \right]^R_0 = \frac{4\pi}{3} R^3. \end{align}.

Example 10.

Exemple 19.10. Trouver le volume du solide engendré par la révolution de la courbe $y^{2} = 6 x$ autour de l'axe des $x$ , entre $x = 0$ et $x = 4$ .

Solution. Le volume d'un disque mince généré par la rotation de la bande étroite est $π y^{2} d x$ (voir la figure suivante).

D'où : \begin{align} \text{volume} &= \int^{x=4}_{x=0} \pi y^2\, dx = 6\pi \int^{x=4}_{x=0} x\, dx \\ &= 6\pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]^4_0 = 48\pi = 150.8. \end{align}

Sur les moyennes quadratiques

Dans certaines branches de la physique, en particulier dans l'étude des courants électriques alternatifs, il est nécessaire de savoir calculer la moyenne quadratique d'une grandeur variable. Par « moyenne quadratique », on désigne la racine carrée de la moyenne des carrés de toutes les valeurs comprises entre les bornes considérées. Les autres appellations de la moyenne quadratique d'une grandeur sont sa valeur « efficace » (ou virtuelle), ou sa valeur « RMS » (pour root-mean-square). Si $y$ est la fonction considérée, et que la moyenne quadratique doit être calculée entre les bornes $x = 0$ et $x = L$ ; la moyenne quadratique s'exprime alors ainsi : \bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \text{moyenne quadratique de } y=\sqrt{\frac{1}{L} \int^L_0 y^2\, dx}.}

Exemples.

Example 11.

Exemple 19.11. Trouver la moyenne quadratique de la fonction $y = a x$ (figure suivante).

Solution. Ici, l'intégrale est $\int_{0}^{L} a^{2} x^{2} d x$ , ce qui donne $\frac{1}{3} a^{2} L^{3}$ .

En divisant par $L$ et en extrayant la racine carrée, on obtient $moyenne quadratique = \frac{1}{\sqrt{3}} a L .$

Ici, la moyenne arithmétique est $\frac{1}{2} a L$ ; et le rapport de la moyenne quadratique à la moyenne arithmétique (ce rapport est appelé le facteur de forme) est $\frac{2}{\sqrt{3}} = 1,155$ .

Example 12.

Exemple 19.12. Trouver la moyenne quadratique de la fonction $y = x^{a}$ .

Solution. L'intégrale est $\int_{x = 0}^{x = L} x^{2 a} d x$ , c'est-à-dire $\frac{L^{2 a + 1}}{2 a + 1}$ .

D'où : $\begin{matrix} moyenne quadratique = \sqrt{\frac{L^{2 a}}{2 a + 1}} . \end{matrix}$

Example 13.

Exemple 19.13. Trouver la moyenne quadratique de la fonction $y = a^{\frac{x}{2}}$ .

Solution. L'intégrale est $\int_{x = 0}^{x = L} (a^{\frac{x}{2}})^{2} d x$ , c'est-à-dire $\int_{x = 0}^{x = L} a^{x} d x$ , ou $\begin{matrix} {[\frac{a^{x}}{\ln a}]}_{x = 0}^{x = L}, \end{matrix}$ ce qui donne $\frac{a^{L} - 1}{\ln a}$ .

D'où la moyenne quadratique : $\sqrt{\frac{a^{L} - 1}{L \ln a}}$ .

Exercices

Exercise 1.

Exercice 19.1. Trouver l'aire sous la courbe $y = x^{2} + x - 5$ entre $x = 0$ et $x = 6$ , ainsi que l'ordonnée moyenne (valeur moyenne de $y$ ) entre ces bornes.

Réponse

Aire = 60

;

ordonnée moyenne = 10

Solution

\begin{align} \text { aire } &=\int_{0}^{6}\left(x^{2}+x-5\right) d x \\ &=\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-5 x\right]_{x=0}^{x=6} \\ & =\left(\frac{6^{3}}{3}+\frac{6^{2}}{2}-5 \times 6\right)-\left(\frac{0}{3}+\frac{0}{2}-5 \times 0\right) \\ & =60 \end{align}

$moyenne y = \frac{\int_{0}^{6} (x^{2} + x - 6) d x}{6 - 0} = \frac{60}{6} = 10 .$

Exercise 2.

Exercice 19.2. Trouver l'aire sous la parabole $y = 2 a \sqrt{x}$ entre $x = 0$ et $x = a$ . Montrer qu'elle est égale aux deux tiers du rectangle formé par l'ordonnée limite et son abscisse.

Réponse

Aire = \frac{2}{3}

a \times 2 a \sqrt{a}

Solution

\begin{align} \text { aire sous la courbe }& =\int_{0}^{a} 2 a \sqrt{x} d x\\ & =2 a \int_{0}^{a} x^{\frac{1}{2}} d x \\ & =\left[2 a \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{x=0}^{x=a} \\ & =\frac{4}{3} a^{\frac{5}{2}} \end{align}

\begin{align} \text { aire du rectangle }& =a \times(2 a \sqrt{a}) \\ & =2 a^{\frac{5}{2}} \end{align}

\begin{align} \text{aire sous la courbe} &=\frac{2}{3}\times \text{ aire du rectangle}\\ &=\frac{4}{3}a^{\frac{5}{2}} \end{align}

Exercise 3.

Exercice 19.3. Trouver l'aire de la partie positive d'une sinusoïde ainsi que son ordonnée moyenne.

Réponse

Aire = 2

;

ordonnée moyenne = \frac{2}{π} \approx 0.637

Solution

\begin{align} \text { aire de la zone représentée } & =\int_{0}^{\pi} \sin x d x \\ & =[-\cos x]_{x=0}^{x=\pi} \\ & =1-(-1)=2 \\ \text { moyenne } y=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x d x & =\frac{2}{\pi} \end{align}

Exercise 4.

Exercice 19.4. Trouver l'aire de la partie positive de la courbe $y = \sin^{2} x$ ( $0 \leq x \leq π$ ) et calculer son ordonnée moyenne.

Réponse

Aire = \frac{π}{2} \approx 1.57

;

ordonnée moyenne = 0.5

Solution

Le problème demande l'aire hachurée :

\begin{align} \text { aire } & =\int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x d x \\ & =\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2 x}{2} d x\\ & =\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{\pi} d x-\int_{0}^{\pi} \cos 2 x d x\right] \\ & =\frac{1}{2}\left[x-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_{0}^{\pi} \\ & =\frac{\pi}{2} \approx 1.57 \end{align}

\begin{align} \text { moyenne } y&=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x d x\\ &=\frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2}\\ &=\frac{1}{2} \end{align}

Exercise 5.

Exercice 19.5. Trouver l'aire comprise entre les deux branches de la courbe $y = x^{2} \pm x^{\frac{5}{2}}$ de $x = 0$ à $x = 1$ , ainsi que l'aire de la partie positive de la branche inférieure de la courbe (voir Fig. 11.12).

Réponse

\frac{4}{7} \approx 0.571

\frac{1}{21} \approx 0.0476

Solution

\begin{align} \text { aire } & =\int_{0}^{1}\left[\left(x^{2}+x^{5 / 2}\right)-\left(x^{2}-x^{5 / 2}\right)\right] d x \\ & =2 \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{2}} d x \\ & =2\left[\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}\right]_{0}^{1} \\ & =\frac{4}{7} \approx 0.571 \end{align}

\begin{align} \text { aire } & =\int_{0}^{1}\left(x^{2}-x^{5 / 2}\right) d x \\ & =\left[\frac{1}{3} x^{3}-\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}\right]_{0}^{1} \\ & =\frac{1}{3}-\frac{2}{7}=\frac{1}{21} \approx 0.0476 \end{align}

Exercise 6.

Exercice 19.6. Trouver le volume d'un cône de rayon de base $r$ et de hauteur $h$ .

Réponse

Volume = π r^{2} \frac{h}{3}

Solution

Si la droite $y = \frac{r}{h} x$ tourne autour de l'axe des $x$ , elle engendre un cône de rayon de base $r$ et de hauteur $h$ .

Nous devons simplement calculer le volume de ce solide de révolution.

Le volume de ce disque mince est $π {(\frac{r}{h} x)}^{2} d x$

Par conséquent, si l'on additionne les volumes de ces disques minces, on obtient le volume du solide (le cône) :

\begin{align} \text { Volume } & =\int_{0}^{h} \pi\left(\frac{r}{h} x\right)^{2} d x \\ & = \frac{\pi r^{2}}{h^{2}} \int_{0}^{h} x^{2} d x=\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}\left[\frac{1}{3} x^{3}\right]_{0}^{h} \\ & =\frac{1}{3}\left(\pi r^{2}\right) h \end{align}

Exercise 7.

Exercice 19.7. Trouver l'aire sous la courbe $y = x^{3} - \ln x$ entre $x = 0$ et $x = 1$ .

Réponse

1.25

Solution

$aire = \int_{0}^{1} (x^{3} - \ln x) d x = \int_{0}^{1} x^{3} d x - \int_{0}^{1} \ln x d x$

Nous avons appris que $\int \ln x d x = x \ln x + x$ . Par conséquent :

$aire = {[\frac{1}{4} x^{4} - x \ln x + x]}_{0}^{1}$

Remarquez que l'on ne peut pas simplement poser $x = 0$ dans $\frac{1}{4} x^{4} - x \ln x + x$ car $\ln 0$ n'est pas défini. Cependant, si $x$ est positif mais très proche de $0$ , alors $x \ln x$ est proche de 0. Par conséquent :

\begin{align} \text { aire } & =\left(\frac{1}{4}-1 \times \ln 1+1\right)-(0-0+0) \\ & =\frac{5}{4}=1.25 \end{align}

Exercise 8.

Exercice 19.8. Trouver le volume engendré par la courbe $y = \sqrt{1 + x^{2}}$ lorsqu'elle tourne autour de l'axe des $x$ , entre $x = 0$ et $x = 4$ .

Réponse

\frac{76}{3} π \approx 79.6

Solution

\begin{align} d V & =\pi\left(\sqrt{1+x^{2}}\right)^{2} d x \\ & =\pi\left(1+x^{2}\right) d x \end{align}

Le volume total est :

\begin{align} V & =\int_{0}^{4} \pi\left(1+x^{2}\right) d x \\ & = \pi\left[x+\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4} \\ & = \frac{76}{3} \pi \approx 79.6 \end{align}

Exercise 9.

Exercice 19.9. Trouver le volume engendré par une sinusoïde tournant autour de l'axe des $x$ ( $0 \leq x \leq π$ ).

Réponse

Volume = \frac{π^{2}}{2} \approx 4.9348

Solution

\begin{align} & d V=\pi \sin ^{2} x\, d x \\ V & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \pi \sin ^{2} x\, d x \\ = & \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2 x}{2}\, d x \\ = & \frac{\pi}{2}\left[x-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_{0}^{\pi} \\ = & \frac{\pi}{2}(\pi-0)=\frac{\pi^{2}}{2} \approx 4.9348 \end{align}

Exercise 10.

Exercice 19.10. Trouver l'aire de la portion de courbe $x y = a$ comprise entre $x = 1$ et $x = a$ . Trouver l'ordonnée moyenne entre ces bornes.

Réponse

a \ln a

\frac{a}{a - 1} \ln a

Solution

\begin{align} \text { Aire } & =\int_{1}^{a} y d x \\ & =\int_{1}^{a} \frac{a}{x} d x \\ & =\big[a \ln x\big]_{x=1}^{x=a} \\ & =a \ln a \end{align}

\begin{align} \text { mean } y & = \frac{1}{a-1} \int_{1}^{a} y d x \\ & = \frac{a}{a-1} \ln a \end{align}

Exercise 11.

Exercice 19.11. Montrer que la moyenne quadratique de la fonction $y = \sin x$ , entre les bornes $0$ et $π$ radians, est égale à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Trouver également la moyenne arithmétique de cette même fonction entre ces mêmes bornes, et montrer que le facteur de forme est égal à $1, 11$ .

Solution

Rappel : $Quadratic mean = \sqrt{\frac{1}{L} \int_{0}^{L} y^{2} d x}$

D'où :

\begin{align} \text { Quadratic mean } & =\sqrt{\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin ^2 x\ d x} \\ & =\sqrt{\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{1-\cos 2 x}{2}\ d x} \\ & =\sqrt{\frac{1}{\pi}\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_0^\pi} \\ & =\sqrt{\frac{1}{\pi} \frac{\pi}{2}}=\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \end{align}

\begin{align} \text { Arithmetical mean } & =\frac{1}{L} \int_0^L y\ d x \\ & =\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin x\ d x \\ & =\left[-\frac{1}{\pi} \cos x\right]_0^\pi\\ & = \frac{2}{\pi} \approx 0.637 \end{align}

$Form factor \approx \frac{0.707}{0.637} \approx 1.11$

Exercise 12.

Exercice 19.12. Trouver les moyennes arithmétique et quadratique de la fonction $x^{2} + 3 x + 2$ , de $x = 0$ à $x = 3$ .

Réponse

Moyenne arithmétique = 9.5

;

moyenne quadratique \approx 10.85

Solution

\begin{align} \text { Arithmetical mean } & =\frac{1}{3} \int_{0}^{3} y\, d x \\ & =\frac{1}{3} \int_{0}^{3}\left(x^{2}+3 x+2\right) d x \\ & =\frac{1}{3}\left[\frac{1}{3} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}+2 x\right]_{0}^{3} \\ & =\frac{19}{2}=9.5 \end{align}

\begin{align} y= & x^{2}+3 x+2,0 \leq x \leq 3 \\ \text { Quadratic mean } & = \sqrt{\frac{1}{3} \int_{0}^{3} y^{2} d x} \\ & = \sqrt{\frac{1}{3} \int_{0}^{3}\left(x^{4}+9 x^{2}+4+6 x^{3}+4 x^{2}+12 x\right) d x} \\ & = \sqrt{\frac{1}{3}\left[\frac{x^{5}}{5}+3 x^{3}+4 x+\frac{3}{2} x^{4}+\frac{4}{3} x^{3}+6 x^{2}\right]_{0}^{3}} \\ & = \sqrt{\frac{1}{3} \times \frac{3531}{10}} \approx \sqrt{117.7} \approx 10.85 \end{align}

Exercise 13.

Exercice 19.13. Trouver la moyenne quadratique et la moyenne arithmétique de la fonction $y = A_{1} \sin x + A_{3} \sin 3 x$ ( $0 \leq x \leq 2 π$ ).

Réponse

Moyenne quadratique = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{A_{1}^{2} + A_{3}^{2}}

;

moyenne arithmétique = 0

Solution

Moyenne quadratique $= \sqrt{\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {(A_{1} \sin x + A_{3} \sin 3 x)}^{2} d x}$

Pour calculer $\int_{0}^{2 π} {(A_{1} \sin x + A_{3} \sin 3 x)}^{2} d x$ , nous développons l'expression. C'est-à-dire que nous calculons :

$\int_{0}^{2 π} (A_{1}^{2} \sin^{2} x + 2 A_{1} A_{3} \sin x \sin 3 x + A_{3}^{2} \sin^{2} 3 x) d x$

À présent, nous intégrons terme par terme. Tout d'abord : \begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} x d x&=\int_{0}^{2 \pi} \frac{1-\cos 2 x}{2} d x\\ &=\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_{0}^{2 \pi}\\ &=\pi \end{align}

Pour évaluer $\int_{0}^{2 π} \sin x \sin 3 x d x$ , nous utilisons la formule de linéarisation du produit (formule de Simpson) :

$\sin M \sin N = \frac{1}{2} [\cos (M - N) - \cos (M + N)]$

Par conséquent :

\begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \sin x \sin 3 x\, d x & =\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2}[\cos 2 x-\cos 4 x]\, d x \\ & =\left[\frac{1}{4} \sin 2 x-\frac{1}{8} \sin 4 x\right]_{0}^{2 \pi} \\ & =0 \end{align}

À présent, le dernier terme : \begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} 3 x d x & = \int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 6 x}{2} d x \\ & = \left[\frac{x}{2}-\frac{1}{12} \sin 6 x\right]_{0}^{2 \pi} \\ & =\pi . \end{align}

Par conséquent, la moyenne quadratique est : \begin{align} & \sqrt{\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(A_{1}^{2} \sin ^{2} x+2 A_{1} A_{3} \sin x \sin 3 x+A_{3}^{2} \sin ^{2} 3 x\right) d x} \\ & = \sqrt{\frac{1}{\pi}\left[A_{1}^{2} \int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x d x+2 A_{1} A_{3} \int_{0}^{\pi} \sin x \sin 3 x d x+A_{3}^{2} \int_{0}^{\pi} \sin ^{2} 3 x d x\right]} \\ & = \sqrt{\frac{1}{2 \pi}\left[A_{1}^{2} \times \pi+2 A_{1} A_{2} \times 0+A_{3}^{2} \times \pi\right]} \\ & = \sqrt{\frac{1}{2}\left(A_{1}^{2}+A_{3}^{2}\right)} \end{align}

\begin{align} \text { Arithmetical mean } &=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(A_{1} \sin x+A_{3} \sin 3 x\right) d x \\ & =\frac{1}{2 \pi}\left[-A_{1} \cos x-\frac{A_{3}}{3} \cos 3 x\right]_{0}^{2 \pi} \\ & =0 . \end{align}

Exercise 14.

Exercice 19.14. Une courbe a pour équation $y = 3, 42 e^{0, 21 x}$ . Trouver l'aire comprise entre cette courbe et l'axe des $x$ , de l'ordonnée en $x = 2$ à l'ordonnée en $x = 8$ . Trouver également la hauteur de l'ordonnée moyenne de la courbe entre ces points.

Réponse

L'aire est d'environ

62, 6

unités d'aire. L'ordonnée moyenne est d'environ

10, 43

Solution

\begin{align} \text { Area } & =\int_{2}^{8} 3.42 e^{0.21 x} d x \\ & =\left[\frac{3.42}{0.21} e^{0.21 x}\right]_{2}^{8} \\ & =\frac{3.42}{0.21}\left(e^{1.68}-e^{0.42}\right) \approx 62.6 \\ \text { ordonnée moyenne } & = \frac{1}{8-2} \int_{0}^{8} y d x \\ & = \frac{1}{6} \times 62.6 \approx 10.43 \end{align}

Exercise 15.

Exercice 19.15. Montrer que le rayon d'un cercle, dont l'aire est égale à deux fois l'aire d'un diagramme polaire, est égal à la moyenne quadratique de toutes les valeurs de $r$ de ce diagramme polaire.

Solution

$Aire du cercle = π R^{2} = 2 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} r^{2} d θ$

Moyenne quadratique de $r = \sqrt{\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} r^{2} d θ}$

$= \sqrt{\frac{1}{2 π} π R^{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}} .$

Exercise 16.

Exercice 19.16. Trouver le volume engendré par la courbe $y = \pm \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ lorsqu'elle tourne autour de l'axe des $x$ .

Réponse

436, 3

. (Ce solide a une forme de poire.)

Solution

\begin{align} & d V=\pi \cdot\left[\frac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}\right]^{2} d x=\frac{\pi}{36} x^{2}[x(10-x)] d x \\ V & =\int_{0}^{10} \frac{\pi}{36} x^{3}(10-x) d x \\ & = \frac{\pi}{36}\left[\frac{10}{4} x^{4}-\frac{1}{5} x^{5}\right]_{0}^{10} \\ & = \frac{1250 \pi}{9} \approx 436.33 \end{align}

Intégrales définies et certaines de leurs applications

Exemples

Aire d'un disque

Valeur moyenne d'une fonction

Aires en coordonnées polaires

Exemples

Volumes par intégration

Exemples.

Sur les moyennes quadratiques

Exemples.

Exercices

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