定积分及其若干应用

微积分的一个用途是使我们能够确定由曲线包围的区域的面积值。

让我们尝试循序渐进地了解这一主题。

设 $AB$（见下图）为一条已知方程的曲线。也就是说，在这条曲线上，$y$ 是 $x$ 的某个已知函数。设想曲线中从点 $P$ 到点 $Q$ 的一段。

从点 $P$ 向下引一条垂线 $PM$，从点 $Q$ 引另一条垂线 $QN$。令 $OM=x_1$，$ON=x_2$，纵坐标 $PM=y_1$，$QN=y_2$。这样我们就在曲线段 $PQ$ 下方标出了区域 $PQNM$。问题是，我们该如何计算这个区域的面积？

解决这个问题的秘诀是将该区域想象成被分割成许多宽度为 $dx$ 的窄条。$dx$ 取得越小，在 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的窄条就越多。显然，整个面积等于所有这些窄条面积的总和。因此，我们的任务就是找出任意一个窄条面积的表达式，并对其进行积分，从而把所有窄条加在一起。现在设想其中任意一个窄条。它大概是这样的：两侧由垂直边限制，底部为平底 $dx$，顶部是微弯的斜顶。假设我们取其平均高度为 $y$；那么，由于其宽度为 $dx$，其面积将为 $ydx$（见下一图）。既然我们可以把宽度取得任意窄，只要取得足够窄，它的平均高度就会与其中部的高度相同。现在，让我们把整个区域的未知面积称为 $S$，代表表面。一个窄条的面积只是整个面积的一小部分，因此可以称为 $dS$。所以我们可以写成 $$\text{1 个条带的面积}=dS=y\cdot dx.$$

如果我们将所有窄条相加，便得到 $$\text{总面积 }S=\int dS=\int ydx.$$

因此，我们能否求得 $S$ 取决于在特定情况下，当我们知道 $y$ 作为 $x$ 的函数值时，我们是否能对 $y\cdot dx$ 进行积分。

例如，如果告诉你所讨论的特定曲线为 $y=b+a{x}^2$，毫无疑问，你可以将该值代入表达式并说：那么我必须求出 ${\displaystyle \int (b+a{x}^2)dx}$。

这固然很好；但稍加思考就会发现，我们还必须做些别的工作。因为我们要寻找的面积并不是整条曲线下方的面积，而只是左侧受 $PM$ 限制、右侧受 $QN$ 限制的面积，因此，我们必须设法在这些“边界（limits）”之间定义我们的面积。

这向我们引入了一个新概念，即在上下限之间积分。我们假设 $x$ 是变化的，且就目前的目的而言，我们不需要小于 $x_1$（即 $OM$）的任何 $x$ 值，也不需要大于 $x_2$（即 $ON$）的任何 $x$ 值。当一个积分被如此定义在两个限制值之间时，我们称这两个值中较小的一个为下限，较大的一个为上限。任何受到这样限制的积分，我们称之为定积分，以区别于未设定上下限的不定积分（即微分的逆运算）。

在表示积分指令的符号中，上下限分别标在积分号的顶部和底部。因此，指令 $${\int }_{x=x_1}^{x=x_2}y\cdot dx$$ 的读法是：求 $y\cdot dx$ 在下限 $x_1$ 和上限 $x_2$ 之间的积分。

有时写得更简单：$${\int }_{x_1}^{x_2}y\cdot dx.$$ 那么，当你得到这些指令时，你如何求出两限之间的积分呢？

再看看本章的第一张图。假设我们能求出从 $A$ 到 $Q$（即从 $x=0$ 到 $x=x_2$）这一较长曲线段下方的面积，并将该面积命名为 $AQNO$。然后，假设我们能求出从 $A$ 到 $P$（即从 $x=0$ 到 $x=x_1$）这一较短曲线段下方的面积，即面积 $APMO$。如果我们用较大的面积减去较小的面积，剩下的就是我们所需要的面积 $PQNM$。这里我们得到了该如何做的线索：两个限之间的定积分，就是上限处计算出的积分值与下限处计算出的积分值之差。

那么让我们继续。首先，求出广义积分：$$\int ydx,$$ 并且，由于 $y=b+a{x}^2$ 是该曲线的方程（图 19.1），因此 $$\int (b+a{x}^2)dx$$ 是我们必须求出的广义积分。

根据法则进行该积分，我们得到 $$bx+\frac{a}{3}{x}^3+C;$$ 这将是从 $0$ 到我们可能指定的任何 $x$ 值的完整面积。

因此，到上限 $x_2$ 为止的较大面积将是 $$b{x}_2+\frac{a}{3}{x}_2^3+C;$$ 到下限 $x_1$ 为止的较小面积将是 $$b{x}_1+\frac{a}{3}{x}_1^3+C.$$

现在，用较大的减去较小的，我们得到面积 $S$ 的值为，$$\text{面积 }S=b(x_2-x_1)+\frac{a}{3}(x_2^3-x_1^3).$$

这就是我们想要的答案。让我们给出一些数值。假设 $b=10$，$a=0.06$，且 $x_2=8$，$x_1=6$。那么面积 $S$ 等于

让我们在此用符号形式来表述我们所确定的关于积分限的内容：$${\int }_{x=x_1}^{x=x_2}ydx=y_2-y_1,$$ 其中 $y_2$ 是对应于 $x_2$ 的 $ydx$ 积分值，而 $y_1$ 是对应于 $x_1$ 的值。

所有在两限之间的积分都需要这样求出两个值之间的差。还要注意，在进行减法时，相加的常数 $C$ 已经消失了。

总之， 符号 ${\displaystyle {[\int ydx]}_{x_1}^{x_2}}$ 表示在 $x=x_2$ 和 $x=x_1$ 时求出 ${\displaystyle \int ydx}$ 的值，并用前者减去后者。

示例

Example 1.

示例 19.1。为了熟悉这一过程，让我们看一个我们预先知道答案的例子。让我们求底边为 $x=12$、高为 $y=4$ 的三角形（见下图）的面积。根据显而易见的求积法，我们预先知道答案将是 $24$。

现在，在这里我们有一条作为“曲线”的斜线，其方程为 $$y=\frac{x}{3}.$$

所求面积将是 $${\int }_{x=0}^{x=12}y\cdot dx={\int }_{x=0}^{x=12}\frac{x}{3}\cdot dx.$$

对 ${\displaystyle \frac{x}{3}}dx$ 进行积分，并将不定积分的值写在标有上下限的方括号中，我们得到

让我们通过在一个简单的例子上进行测试，来证实这一相当令人惊讶的计算诀窍。找一些方格纸，最好是每边有八分之一英寸或十分之一英寸小方格的方格纸。在方格纸上画出方程 $$y=\frac{x}{3}$$ 的图像。

要绘制的数值为：

图像如下所示。

现在，通过数线条下方的小方格来计算曲线下方的面积，从左侧的 $x=0$ 一直到右侧的 $x=12$。有 $18$ 个完整的方格和四个三角形，每个三角形的面积等于 $1\frac{1}{2}$ 个方格；总共是 $24$ 个方格。因此，$24$ 是 ${\displaystyle \frac{x}{3}}dx$ 在下限 $x=0$ 和上限 $x=12$ 之间的积分数值。

作为进一步的练习，请证明同一积分在 $x=3$ 和 $x=15$ 之间的值为 $36$。

Example 2.

示例 19.2。求曲线 $y={\displaystyle \frac{b}{x+a}}$（见下图）在 $x=x_1$ 和 $x=0$ 之间的面积。

解答。

Note——请注意，在处理定积分时，常数 $C$ 总是通过减法而消失。

需要指出的是，这种通过从较大图形中减去一部分来求差的过程实际上是一种常见做法。你该如何求平面圆环（见下图）的面积，其外半径为 $r_2$，内半径为 $r_1$？从求积法中你知道外圆的面积是 $\pi r_2^2$；然后求出内圆的面积 $\pi r_1^2$；然后用后者减去前者，得到圆环的面积 $=\pi (r_2^2-r_1^2)$；这也可以写成 $$\pi (r_2+r_1)(r_2-r_1)$$ $=\text{圆环平均周长}\times \text{圆环宽度}$。

Example 3.

示例 19.3。这里有另一个例子——衰减曲线。求方程为 $$y=b{e}^{-x}$$ 的曲线（见下图）在 $x=0$ 到 $x=a$ 之间的面积。

解答。 $$\text{面积}=b{\int }_{x=0}^{x=a}{e}^{-x}\cdot dx.$$ 积分（见此处）得到

Example 4.

示例 19.4。另一个例子是理想气体的绝热曲线，其方程为 $p{v}^n=c$，其中 $p$ 代表压强，$v$ 代表体积，且 $n$ 的值为 $1.42$（见下图）。

求该曲线下方从体积 $v_2$ 到体积 $v_1$ 的面积（该面积与突然压缩气体所做的功成正比）。

解答。 这里我们有

圆盘的面积

Example 5.

示例 19.5。证明普通的几何公式，即半径为 $R$ 的圆的面积 $A$ 等于 $\pi R^2$。

解答。 考虑该表面的一个极小圆环带（见下图），其宽度为 $dr$，位于距离中心 $r$ 处。我们可以将整个表面视为由许多这样狭窄的环带组成，整个面积 $A$ 恰好是所有这些极小环带从中心到边缘的积分，也就是从 $r=0$ 积分到 $r=R$。

因此，我们必须求出窄环带微元面积 $dA$ 的表达式。把它想象成一个宽度为 $dr$、长度为半径 $r$ 对应圆周长（即长度为 $2\pi r$）的纸条。那么，窄环带的面积为 $$dA=2\pi rdr.$$

因此，整个圆的面积将是： $$A=\int dA={\int }_{r=0}^{r=R}2\pi r\cdot dr=2\pi {\int }_{r=0}^{r=R}r\cdot dr.$$

现在，$r\cdot dr$ 的广义积分为 $\frac{1}{2}{r}^2$。因此， $$A=2\pi {\left[\frac{1}{2}{r}^2\right]}_{r=0}^{r=R};$$ 或者 $$A=2\pi [\frac{1}{2}{R}^2-\frac{1}{2}(0{)}^2];$$ 从而得到 $$A=\pi R^2.$$

函数的平均值

Example 6.

示例 19.6。让我们求出曲线 $y=x-x^2$ 的正值部分（如下图所示）的平均纵坐标（平均 $y$ 值）。

解答。 为了找到平均纵坐标，我们必须先求出区域 $OMN$ 的面积，然后除以底边 $ON$ 的长度。但在求面积之前，我们必须确定底边的长度，以便知道要积分到什么上限。在点 $N$ 处，纵坐标 $y$ 的值为零；因此，我们必须观察方程，看看什么样的 $x$ 值会使 $y=0$。显然，如果 $x$ 是 $0$，$y$ 也将是 $0$，说明曲线穿过原点 $O$；另外，如果 $x=1$，则 $y=0$；所以 $x=1$ 给出了点 $N$ 的位置。

那么所求面积为

但底边长度为 $1$。

因此，该曲线的平均纵坐标 $=\frac{1}{6}$。

[思考——用微分法求最大纵坐标的高度，将是一个漂亮而简单的极大值与极小值练习。它必然大于平均值。]

任何曲线在自 $𝒙\mathbf{=}{𝒙}_{\mathbf{1}}$ 到 $𝒙\mathbf{=}{𝒙}_{\mathbf{2}}$ 范围内的平均纵坐标由以下表达式给出：

极坐标下的面积

当一个区域的边界方程表示为该区域上的点到固定点 $O$（称为极点，见下图）的距离 $r$，以及 $r$ 与 $x$ 轴正方向夹角的函数时，只要稍微修改一下，同样可以很容易地应用刚才解释的过程。我们不考虑面积条带，而是考虑一个微小三角形 $OAB$，其在 $O$ 点处的夹角为 $d\theta$，然后我们求出构成所需区域的所有微小三角形之和。

这种微小三角形的面积近似为 ${\displaystyle \frac{AB}{2}}\times r$ 或 ${\displaystyle \frac{rd\theta }{2}}\times r$；因此，在曲线以及对应于角度 ${\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$ 的两个 $r$ 的位置之间包围的面积部分由以下公式给出：

注意——在上述公式中，$\theta$ 必须用弧度制表示。

示例

Example 7.

示例 19.7。求半径为 $a$ 英寸的圆中，圆心角为 $1$ 弧度的扇形面积（见下图）。

解答。 圆周的极坐标方程显然是 $r=a$。面积为 $$\frac{1}{2}{\int }_{\theta ={\theta }_1}^{\theta ={\theta }_2}{a}^{2}d\theta =\frac{a^2}{2}{\int }_{\theta =0}^{\theta =1}d\theta =\frac{a^2}{2}.$$

Example 8.

示例 19.8。求曲线（称为“帕斯卡蜗线”）第一象限的面积，其极坐标方程为 $r=a(1+\cos \theta )$（见下图）。

解答。

利用积分求体积

我们对表面小条带面积所做的工作，显然也可以同样容易地应用到立体小条带的体积上。我们可以将组成整个立体的所有微小条带加起来，从而求得它的体积，就像我们把组成一个面积的所有极小碎块加起来，以求得所操作图形的最终面积一样。

示例

Example 9.

示例 19.9。求半径为 $R$ 的球体体积。

解答。 方法 (a)。 薄球壳的体积为 $4\pi r^{2}dr$（见图 19.9）；将构成球体的所有同心球壳累加，我们有 $$\text{球体体积}={\int }_{r=0}^{r=R}4\pi r^{2}dr=4\pi {\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^R=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

方法 (b)。 我们还可以按照以下步骤进行：厚度为 $dx$ 的球体切片的体积为 $\pi y^{2}dx$。这个薄圆盘是通过将图 19.14 中所示的厚度为 $dx$ 的条带绕 $x$ 轴旋转而生成的（见图 19.15）。该条带的长度 $y$ 与该条带到原点的距离 $x$ 通过以下公式相关联： $$y^2=R^2-x^2.$$ 因此，

关于二次平均值（均方根值）

在物理学的某些分支中，特别是在交流电的研究中，必须能够计算变量的二次平均值（quadratic mean）。所谓“二次平均值”，是指在所考虑的上下限之间，所有数值平方的平均值的平方根。任何物理量的二次平均值的其他名称还有它的“有效值（virtual value）”，或者它的“r.m.s.”（即均方根，root-mean-square）值。如果 $y$ 是所讨论的函数，且在 $x=0$ 和 $x=L$ 之间取二次平均值；那么二次平均值表示为：

示例

示例 19.11。求函数 $y=ax$（见下图）的二次平均值。

解答。 这里的积分为 ${\int }_0^L{a}^2{x}^{2}dx$，即 $\frac{L}{3}{a}^2{L}^3$。

除以 $L$ 并取平方根，我们得到 $$\text{二次平均值}=\frac{1}{\sqrt{3}}aL.$$

这里算术平均值是 $\frac{1}{2}aL$；二次平均值与算术平均值的比值（此比值称为波形因数，form-factor）为 ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}=1.155$。

示例 19.12。求函数 $y=x^a$ 的二次平均值。

解答。 积分为 ${\displaystyle {\int }_{x=0}^{x=L}{x}^{2a}dx}$，即 ${\displaystyle \frac{L^{2a+1}}{2a+1}}$。

因此 $$\begin{array}{c}\text{二次平均值}=\sqrt{\frac{L^{2a}}{2a+1}}.\end{array}$$

示例 19.13。求函数 $y=a^{\frac{x}{2}}$ 的二次平均值。

解答。 积分为 ${\displaystyle {\int }_{x=0}^{x=L}(a^{\frac{x}{2}}{)}^{2}dx}$，即 ${\displaystyle {\int }_{x=0}^{x=L}{a}^{x}dx}$，或 $$\begin{array}{c}{\left[\frac{a^x}{\ln a}\right]}_{x=0}^{x=L},\end{array}$$ 即 ${\displaystyle \frac{a^L-1}{\ln a}}$。

因此二次平均值为 $\sqrt{{\displaystyle \frac{a^L-1}{L\ln a}}}$。

练习

练习 19.1。求曲线 $y=x^2+x-5$ 在 $x=0$ 和 $x=6$ 之间的面积，以及在这些限制之间的平均纵坐标（平均 $y$ 值）。

 

答案

$\text{面积}=60$；$\text{平均纵坐标}=10$。

 

 

 

 

解答

 

$$\text{ 平均 }y=\frac{{\displaystyle {\int }_0^6(x^2+x-6)dx}}{6-0}=\frac{60}{6}=10.$$

 

练习 19.2。求抛物线 $y=2a\sqrt{x}$ 在 $x=0$ 和 $x=a$ 之间的面积。证明它等于极限纵坐标与横坐标构成的矩形面积的三分之二。

 

答案

$\text{面积}=a\times 2a\sqrt{a}\text{ 的 }{\displaystyle \frac{2}{3}}$。

 

 

 

 

解答

 

 

练习 19.3。求正弦曲线正值部分的面积及平均纵坐标。

 

答案

$\text{面积}=2$；$\text{平均纵坐标}={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\approx 0.637$。

 

 

 

 

解答

 

 

练习 19.4。求曲线 $y={\sin }^{2}x$ （$0\le x\le \pi$）的正值部分的面积，并求平均纵坐标。

 

答案

$\text{面积}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\approx 1.57$；$\text{平均纵坐标}=0.5$。

 

 

 

 

解答

 

本题求解阴影部分的面积

 

 

练习 19.5。求曲线 $y=x^2\pm x^{\frac{5}{2}}$ 的两个分支在 $x=0$ 到 $x=1$ 之间包围的面积，以及该曲线下分支正值部分的面积（见图 11.12）。

 

答案

${\displaystyle \frac{4}{7}}\approx 0.571$，${\displaystyle \frac{1}{21}}\approx 0.0476$。

 

 

 

 

解答

 

 

练习 19.6。求底面半径为 $r$、高为 $h$ 的圆锥体体积。

 

答案

$\text{体积}=\pi r^2{\displaystyle \frac{h}{3}}$。

 

 

 

 

解答

 

如果直线 $y=\frac{r}{h}x$ 绕 $x$ 轴旋转，就会生成一个底面半径为 $r$、高为 $h$ 的圆锥体。

我们只需要计算这个旋转体的体积。

这个薄圆盘的体积为 $\pi {\left({\displaystyle \frac{r}{h}}x\right)}^{2}dx$

因此，如果我们将这些薄圆盘的体积相加，就得到了该立体（圆锥体）的体积

 

练习 19.7。求曲线 $y=x^3-\ln x$ 在 $x=0$ 和 $x=1$ 之间的面积。

 

答案

$1.25$。

 

 

 

 

解答

 

$$\text{ 面积 }={\int }_0^1(x^3-\ln x)dx={\int }_0^1{x}^{3}dx-{\int }_0^1\ln xdx$$

我们已经学过 ${\displaystyle \int \ln xdx=x\ln x+x}$。因此

$$\text{ 面积 }={[\frac{1}{4}{x}^4-x\ln x+x]}_0^1$$

注意，我们不能简单地将 $x=0$ 代入 $\frac{1}{4}{x}^4-x\ln x+x$ 中，因为 $\ln 0$ 没有定义。然而，如果 $x$ 是正数且非常接近 $0$，$x\ln x$ 就会接近 0。因此

 

练习 19.8。求曲线 $y=\sqrt{1+x^2}$ 在 $x=0$ 到 $x=4$ 之间绕 $x$ 轴旋转所生成的体积。

 

答案

${\displaystyle \frac{76}{3}}\pi \approx 79.6$。

 

 

 

 

解答

 

 

练习 19.9。求正弦曲线绕 $x$ 轴旋转所生成的体积（$0\le x\le \pi$）。

 

答案

$\text{体积}={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}}\approx 4.9348$。

 

 

 

 

解答

 

 

练习 19.10。求曲线 $xy=a$ 在 $x=1$ 和 $x=a$ 之间部分的面积。并求这些限制之间的平均纵坐标。

 

答案

$a\ln a$，${\displaystyle \frac{a}{a-1}}\ln a$。

 

 

 

 

解答

 

 

练习 19.11。证明函数 $y=\sin x$ 在 $0$ 到 $\pi$ 弧度之间的二次平均值为 ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$。同时求该函数在相同限制之间的算术平均值；并证明波形因数为 $=1.11$。

 

解答

 

回想 $$\text{ 二次平均值 }=\sqrt{\frac{1}{L}{\int }_0^L{y}^{2}dx}$$

因此

$$\text{ 波形因数 }\approx \frac{0.707}{0.637}\approx 1.11$$

 

练习 19.12。求函数 $x^2+3x+2$ 在 $x=0$ 到 $x=3$ 之间的算术平均值和二次平均值。

 

答案

$\text{算术平均值}=9.5$；$\text{二次平均值}\approx 10.85$。

 

 

 

 

解答

 

 

练习 19.13。求函数 $y=A_1\sin x+A_3\sin 3x$ （$0\le x\le 2\pi$）的二次平均值和算术平均值。

 

答案

$\text{二次平均值}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sqrt{A_1^2+A_3^2}$；$\text{算术平均值}=0$。

 

 

 

 

解答

 

二次平均值 $=\sqrt{\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{(A_1\sin x+A_3\sin 3x)}^{2}dx}$

为了求 ${\int }_0^{2\pi }{(A_1\sin x+A_3\sin 3x)}^{2}dx$，我们将该式展开。也就是说，我们计算

$${\int }_0^{2\pi }(A_1^2{\sin }^{2}x+2A_1{A}_3\sin x\sin 3x+A_3^2{\sin }^{2}3x)dx$$

现在我们逐项积分。首先，

为了计算 ${\int }_0^{2\pi }\sin x\sin 3xdx$，我们使用积化和差公式：

$$\sin M\sin N=\frac{1}{2}[\cos (M-N)-\cos (M+N)]$$

因此，

现在来看最后一项： .

因此，二次平均值为

 

练习 19.14。某条曲线的方程为 $y=3.42e^{0.21x}$。求该曲线与 $x$ 轴之间，在 $x=2$ 的纵坐标到 $x=8$ 的纵坐标之间的面积。并求这些点之间曲线平均纵坐标的高度。

 

答案

面积大约为 $62.6$ 平方单位。平均纵坐标大约为 $10.43$。

 

 

 

 

解答

 

 

练习 19.15。证明若一个圆的面积是极坐标图面积的两倍，则该圆的半径等于该极坐标图所有 $r$ 值的二次平均值。

 

解答

 

$$\text{ 圆的面积 }=\pi R^2=2\times \frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{r}^{2}d\theta$$

$r$ 的二次平均值 $=\sqrt{\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{r}^{2}d\theta }$

$$=\sqrt{\frac{1}{2\pi }\pi R^2}=\frac{R}{\sqrt{2}}\text{. }$$

 

练习 19.16。求曲线 $y=\pm {\displaystyle \frac{x}{6}}\sqrt{x(10-x)}$ 绕 $x$ 轴旋转所生成的体积。

 

答案

$436.3$。（这个几何体是梨形的。）

 

 

 

 

解答