انتگرال‌های معین و برخی از کاربردهای آن‌ها

یکی از کاربردهای حساب انتگرال این است که به ما امکان می‌دهد مقادیر مساحت‌های محصور شده توسط منحنی‌ها را تعیین کنیم.

بیایید سعی کنیم قدم به قدم به سراغ این موضوع برویم.

فرض کنید $AB$ (شکل زیر) منحنی‌ای باشد که معادله آن معلوم است. یعنی $y$ در این منحنی تابع معلومی از $x$ است. تکه‌ای از منحنی را از نقطه $P$ تا نقطه $Q$ در نظر بگیرید.

فرض کنید عمودی مانند $PM$ از $P$ و عمود دیگری مانند $QN$ از نقطه $Q$ فرود آورده شود. سپس $OM=x_1$ و $ON=x_2$، و عرض‌ها را $PM=y_1$ و $QN=y_2$ می‌نامیم. بدین ترتیب مساحت $PQNM$ را که در زیر قطعه $PQ$ قرار دارد مشخص کرده‌ایم. مسئله این است که چگونه می‌توانیم مقدار این مساحت را محاسبه کنیم؟

راز حل این مسئله این است که مساحت را به صورت تقسیم شده به نوارهای باریک زیادی در نظر بگیریم که عرض هر کدام $dx$ باشد. هرچه $dx$ را کوچک‌تر بگیریم، تعداد بیشتری از آن‌ها بین $x_1$ و $x_2$ وجود خواهد داشت. اکنون، کل مساحت به وضوح برابر با مجموع مساحت‌های تمام این نوارهاست. کار ما سپس این خواهد بود که عبارتی برای مساحت هر یک از این نوارهای باریک بیابیم و از آن انتگرال بگیریم تا تمام نوارها را با هم جمع کنیم. اکنون یکی از این نوارها را در نظر بگیرید. به این شکل خواهد بود: محصور بین دو ضلع عمودی، با یک کف تخت به عرض $dx$، و یک سقف شیب‌دار کمی منحنی. فرض کنید ارتفاع متوسط آن را برابر با $y$ در نظر بگیریم؛ آنگاه، چون عرض آن $dx$ است، مساحت آن برابر با $ydx$ خواهد بود (شکل بعدی). و با توجه به اینکه می‌توانیم عرض را تا هر حد که بخواهیم باریک بگیریم، اگر فقط آن را به اندازه کافی باریک بگیریم، ارتفاع متوسط آن با ارتفاع در وسط آن برابر خواهد بود. اکنون بیایید مقدار مجهول کل مساحت را $S$ بنامیم که به معنای سطح است. مساحت یک نوار به سادگی بخشی از کل مساحت خواهد بود و بنابراین می‌توان آن را $dS$ نامید. پس می‌توانیم بنویسیم $$\text{مساحت }1\text{ نوار}=dS=y\cdot dx.$$

اگر سپس تمام نوارها را با هم جمع کنیم، به دست می‌آوریم $$\text{مساحت کل}S=\int dS=\int ydx.$$

پس یافتن $S$ توسط ما بستگی به این دارد که آیا می‌توانیم از $y\cdot dx$ برای حالت خاص انتگرال بگیریم، زمانی که می‌دانیم مقدار $y$ به عنوان تابعی از $x$ چیست.

به عنوان مثال، اگر به شما گفته شود که برای منحنی خاص مورد نظر $y=b+a{x}^2$ است، بدون شک می‌توانید آن مقدار را در عبارت قرار دهید و بگویید: پس من باید ${\displaystyle \int (b+a{x}^2)dx}$ را بیابم.

همه این‌ها بسیار خوب است؛ اما کمی تأمل به شما نشان می‌دهد که کار بیشتری باید انجام شود. زیرا مساحتی که سعی در یافتن آن داریم، مساحت زیر کل طول منحنی نیست، بلکه فقط مساحتی است که از چپ توسط $PM$ و از راست توسط $QN$ محدود شده است، بنابراین نتیجه می‌گیریم که باید کاری انجام دهیم تا مساحت خود را بین آن «کران‌ها» تعریف کنیم.

این ما را با مفهوم جدیدی آشنا می‌کند، یعنی انتگرال‌گیری بین کران‌ها. فرض می‌کنیم $x$ تغییر می‌کند، و برای هدف فعلی به هیچ مقداری از $x$ کمتر از $x_1$ (یعنی $OM$) و هیچ مقداری از $x$ بیشتر از $x_2$ (یعنی $ON$) نیاز نداریم. هنگامی که قرار است یک انتگرال به این ترتیب بین دو کران تعریف شود، مقدار کوچک‌تر را کران پایین و مقدار بزرگ‌تر را کران بالا می‌نامیم. هر انتگرالی که این‌گونه محدود شده باشد را به عنوان یک انتگرال معین نام‌گذاری می‌کنیم، تا آن را از یک انتگرال نامعین (که عکس مشتق‌گیری است) که هیچ کرانی برای آن تعیین نشده است، متمایز کنیم.

در نمادهایی که دستور انتگرال‌گیری را می‌دهند، کران‌ها با قرار دادن آن‌ها به ترتیب در بالا و پایین علامت انتگرال مشخص می‌شوند. بنابراین دستور $${\int }_{x=x_1}^{x=x_2}y\cdot dx$$ این‌گونه خوانده می‌شود: انتگرال $y\cdot dx$ را بین کران پایین $x_1$ و کران بالا $x_2$ بیابید.

گاهی اوقات این موضوع به شکل ساده‌تری نوشته می‌شود $${\int }_{x_1}^{x_2}y\cdot dx.$$ خب، اما وقتی این دستورات را دارید، چگونه یک انتگرال بین کران‌ها را می‌یابید؟

دوباره به اولین شکل این فصل نگاه کنید. فرض کنید بتوانیم مساحت زیر قطعه بزرگ‌تر منحنی از $A$ تا $Q$، یعنی از $x=0$ تا $x=x_2$ را بیابیم و مساحت را $AQNO$ بنامیم. سپس، فرض کنید بتوانیم مساحت زیر قطعه کوچک‌تر از $A$ تا $P$، یعنی از $x=0$ تا $x=x_1$ را بیابیم، یعنی مساحت $APMO$. اگر سپس مساحت کوچک‌تر را از مساحت بزرگ‌تر کم کنیم، مساحت $PQNM$ به عنوان باقیمانده باقی می‌ماند که همان چیزی است که می‌خواهیم. در اینجا سرنخی از آنچه باید انجام دهیم داریم؛ انتگرال معین بین دو کران، اختلاف بین انتگرال محاسبه شده برای کران بالا و انتگرال محاسبه شده برای کران پایین است.

پس بیایید پیش برویم. ابتدا، انتگرال کلی را این‌گونه می‌یابیم: $$\int ydx,$$ و، از آنجا که $y=b+a{x}^2$ معادله منحنی است (شکل ۱۹.۱)، $$\int (b+a{x}^2)dx$$ انتگرال کلی است که باید بیابیم.

با انجام انتگرال‌گیری مورد نظر توسط قاعده، به دست می‌آوریم $$bx+\frac{a}{3}{x}^3+C;$$ و این کل مساحت از $0$ تا هر مقداری از $x$ خواهد بود که ممکن است تعیین کنیم.

بنابراین، مساحت بزرگ‌تر تا کران بالا $x_2$ برابر خواهد بود با $$b{x}_2+\frac{a}{3}{x}_2^3+C;$$ و مساحت کوچک‌تر تا کران پایین $x_1$ برابر خواهد بود با $$b{x}_1+\frac{a}{3}{x}_1^3+C.$$

اکنون، مقدار کوچک‌تر را از بزرگ‌تر کم می‌کنیم، و برای مساحت $S$ مقدار زیر را به دست می‌آوریم، $$\text{مساحت }S=b(x_2-x_1)+\frac{a}{3}(x_2^3-x_1^3).$$

این همان پاسخی است که می‌خواستیم. بیایید چند مقدار عددی بدهیم. فرض کنید $b=10$، $a=0.06$، و $x_2=8$ و $x_1=6$. آنگاه مساحت $S$ برابر است با

بیایید در اینجا یک روش نمادین برای بیان آنچه درباره کران‌ها دریافته‌ایم بنویسیم: $${\int }_{x=x_1}^{x=x_2}ydx=y_2-y_1,$$ که در آن $y_2$ مقدار انتگرال‌گیری شده $ydx$ متناظر با $x_2$، و $y_1$ متناظر با $x_1$ است.

تمام انتگرال‌گیری‌های بین کران‌ها نیازمند یافتن اختلاف بین دو مقدار به این ترتیب است. همچنین توجه داشته باشید که، در هنگام انجام تفریق، ثابت افزوده شده $C$ حذف شده است.

به طور خلاصه، نماد ${\displaystyle {[\int ydx]}_{x_1}^{x_2}}$ به این معناست که ${\displaystyle \int ydx}$ را برای $x=x_2$ و برای $x=x_1$ ارزیابی کرده و دومی را از اولی کم کنیم.

مثال‌ها

مثال ۱.

مثال ۱۹.۱. برای آشنایی با این فرآیند، بیایید موردی را در نظر بگیریم که پاسخ آن را از قبل می‌دانیم. بیایید مساحت مثلثی را بیابیم (شکل زیر) که قاعده آن $x=12$ و ارتفاع آن $y=4$ است. ما از قبل، از طریق اندازه‌گیری آشکار، می‌دانیم که پاسخ $24$ خواهد شد.

اکنون، در اینجا ما به عنوان «منحنی» یک خط شیب‌دار داریم که معادله آن $$y=\frac{x}{3}.$$ است.

مساحت مورد نظر برابر خواهد بود با $${\int }_{x=0}^{x=12}y\cdot dx={\int }_{x=0}^{x=12}\frac{x}{3}\cdot dx.$$

با انتگرال‌گیری از ${\displaystyle \frac{x}{3}}dx$ و قرار دادن مقدار انتگرال نامعین در براکت با کران‌های مشخص شده در بالا و پایین، به دست می‌آوریم

بیایید با آزمایش آن روی یک مثال ساده، خود را از این ترفند محاسباتی نسبتاً شگفت‌انگیز مطمئن کنیم. مقداری کاغذ شطرنجی تهیه کنید، ترجیحاً کاغذی که با مربع‌های کوچک یک‌هشتم اینچی یا یک‌دهم اینچی در هر جهت خط‌کشی شده باشد. روی این کاغذ شطرنجی، نمودار معادله را رسم کنید، $$y=\frac{x}{3}.$$

مقادیری که باید رسم شوند عبارتند از:

نمودار در زیر داده شده است.

اکنون مساحت زیر منحنی را با شمردن مربع‌های کوچک زیر خط، از $x=0$ تا $x=12$ در سمت راست محاسبه کنید. $18$ مربع کامل و چهار مثلث وجود دارد که مساحت هر کدام برابر با $1\frac{1}{2}$ مربع است؛ یا در مجموع، $24$ مربع. بنابراین $24$ مقدار عددی انتگرال ${\displaystyle \frac{x}{3}}dx$ بین کران پایین $x=0$ و کران بالای $x=12$ است.

به عنوان یک تمرین بیشتر، نشان دهید که مقدار همان انتگرال بین کران‌های $x=3$ و $x=15$ برابر با $36$ است.

مثال ۲.

مثال ۱۹.۲. مساحت بین کران‌های $x=x_1$ و $x=0$ را برای منحنی $y={\displaystyle \frac{b}{x+a}}$ بیابید (شکل زیر).

حل.

توجه—توجه داشته باشید که در برخورد با انتگرال‌های معین، ثابت $C$ همیشه با تفریق حذف می‌شود.

توجه داشته باشید که این فرآیند کم کردن یک بخش از بخش بزرگ‌تر برای یافتن اختلاف، واقعاً یک روش رایج است. چگونه مساحت یک حلقه مسطح (شکل بعدی) را می‌یابید که شعاع خارجی آن $r_2$ و شعاع داخلی آن $r_1$ است؟ شما از اندازه‌گیری می‌دانید که مساحت دایره خارجی $\pi r_2^2$ است؛ سپس مساحت دایره داخلی، $\pi r_1^2$ را می‌یابید؛ سپس دومی را از اولی کم می‌کنید، و مساحت حلقه را می‌یابید $=\pi (r_2^2-r_1^2)$؛ که می‌توان آن را به صورت $$\pi (r_2+r_1)(r_2-r_1)$$ نوشت $=\text{محیط متوسط حلقه}\times \text{عرض حلقه}$.

مثال ۳.

مثال ۱۹.۳. این یک مورد دیگر است—مورد منحنی میرا. مساحت بین $x=0$ و $x=a$ را برای منحنی‌ای بیابید (شکل زیر) که معادله آن است.

حل. $$\text{مساحت}=b{\int }_{x=0}^{x=a}{e}^{-x}\cdot dx.$$ انتگرال‌گیری (به اینجا مراجعه کنید) می‌دهد

مثال ۴.

مثال ۱۹.۴. مثال دیگری توسط منحنی بی‌دررو یک گاز کامل ارائه می‌شود، که معادله آن $p{v}^n=c$ است، که در آن $p$ نشان‌دهنده فشار، $v$ نشان‌دهنده حجم، و $n$ دارای مقدار $1.42$ است (به زیر مراجعه کنید).

مساحت زیر منحنی (که متناسب با کار انجام شده در فشرده‌سازی ناگهانی گاز است) را از حجم $v_2$ تا حجم $v_1$ بیابید.

حل. در اینجا ما داریم

مساحت یک دیسک

مثال ۵.

مثال ۱۹.۵. فرمول معمول اندازه‌گیری را اثبات کنید، که مساحت $A$ دایره‌ای که شعاع آن $R$ است، برابر با $\pi R^2$ می‌باشد.

حل. یک ناحیه یا حلقه اولیه از سطح را در نظر بگیرید (شکل بعدی)، با پهنای $dr$، که در فاصله $r$ از مرکز قرار دارد. ما می‌توانیم کل سطح را متشکل از چنین نواحی باریکی در نظر بگیریم، و کل مساحت $A$ به سادگی انتگرال تمام چنین نواحی اولیه‌ای از مرکز تا لبه خواهد بود، یعنی انتگرال‌گیری از $r=0$ تا $r=R$.

بنابراین ما باید عبارتی برای مساحت اولیه $dA$ ناحیه باریک بیابیم. آن را به عنوان نواری با پهنای $dr$ و طولی که محیط دایره‌ای به شعاع $r$ است در نظر بگیرید، یعنی طولی برابر با $2\pi r$. سپس به عنوان مساحت ناحیه باریک داریم، $$dA=2\pi rdr.$$

از این رو مساحت کل دایره برابر خواهد بود با: $$A=\int dA={\int }_{r=0}^{r=R}2\pi r\cdot dr=2\pi {\int }_{r=0}^{r=R}r\cdot dr.$$

اکنون، انتگرال کلی $r\cdot dr$ برابر است با $\frac{1}{2}{r}^2$. بنابراین، $$A=2\pi {\left[\frac{1}{2}{r}^2\right]}_{r=0}^{r=R};$$ یا $$A=2\pi [\frac{1}{2}{R}^2-\frac{1}{2}(0{)}^2];$$ که از آن نتیجه می‌شود $$A=\pi R^2.$$

مقدار متوسط (یا میانگین) یک تابع

مثال ۶.

مثال ۱۹.۶. بیایید عرض متوسط (مقدار متوسط $y$) بخش مثبت منحنی $y=x-x^2$ را بیابیم، که در زیر نشان داده شده است.

حل. برای یافتن عرض متوسط، باید مساحت قطعه $OMN$ را بیابیم و سپس آن را بر طول قاعده $ON$ تقسیم کنیم. اما قبل از اینکه بتوانیم مساحت را بیابیم باید طول قاعده را مشخص کنیم تا بدانیم تا چه کرانی باید انتگرال بگیریم. در $N$ عرض $y$ دارای مقدار صفر است؛ بنابراین، باید به معادله نگاه کنیم و ببینیم چه مقداری از $x$ باعث می‌شود $y=0$ شود. اکنون، به وضوح، اگر $x$ برابر با $0$ باشد، $y$ نیز برابر با $0$ خواهد بود، و منحنی از مبدأ $O$ می‌گذرد؛ اما همچنین، اگر $x=1$ باشد، $y=0$ است؛ به طوری که $x=1$ موقعیت نقطه $N$ را به ما می‌دهد.

سپس مساحت مورد نظر برابر است با

اما طول قاعده $1$ است.

بنابراین، عرض متوسط منحنی $=\frac{1}{6}$.

[توجه—این یک تمرین زیبا و ساده در ماکزیمم و مینیمم خواهد بود که با مشتق‌گیری بیابیم ارتفاع بیشینه عرض چقدر است. این مقدار باید از متوسط بیشتر باشد.]

عرض متوسط (یا میانگین) هر منحنی، در بازه‌ای از $𝒙\mathbf{=}{𝒙}_{\mathbf{1}}$ تا $𝒙\mathbf{=}{𝒙}_{\mathbf{2}}$، توسط عبارت زیر داده می‌شود،

مساحت‌ها در مختصات قطبی

هنگامی که معادله مرز یک مساحت به عنوان تابعی از فاصله $r$ یک نقطه از آن تا یک نقطه ثابت $O$ (شکل بعدی را ببینید) که قطب نامیده می‌شود، و زاویه‌ای که $r$ با جهت مثبت محور $x$ می‌سازد داده شده باشد، فرآیندی که به تازگی توضیح داده شد می‌تواند با یک تغییر کوچک به همان سادگی اعمال شود. به جای یک نوار از مساحت، ما یک مثلث کوچک $OAB$ را در نظر می‌گیریم، که زاویه در $O$ برابر با $d\theta$ است، و مجموع تمام مثلث‌های کوچکی را که مساحت مورد نظر را تشکیل می‌دهند می‌یابیم.

مساحت چنین مثلث کوچکی تقریباً برابر است با ${\displaystyle \frac{AB}{2}}\times r$ یا ${\displaystyle \frac{rd\theta }{2}}\times r$؛ بنابراین بخشی از مساحت که بین منحنی و دو موقعیت از $r$ متناظر با زوایای ${\theta }_1$ و ${\theta }_2$ قرار دارد، به صورت زیر داده می‌شود

توجه— در فرمول بالا $\theta$ باید بر حسب رادیان بیان شود.

مثال‌ها

مثال ۷.

مثال ۱۹.۷. مساحت قطاعی به اندازه $1$ رادیان در دایره‌ای به شعاع $a$ اینچ را بیابید (شکل زیر).

حل. معادله قطبی دایره آشکارا $r=a$ است. مساحت برابر است با $$\frac{1}{2}{\int }_{\theta ={\theta }_1}^{\theta ={\theta }_2}{a}^{2}d\theta =\frac{a^2}{2}{\int }_{\theta =0}^{\theta =1}d\theta =\frac{a^2}{2}.$$

مثال ۸.

مثال ۱۹.۸. مساحت ناحیه واقع در ربع اول منحنی (معروف به «حلزون پاسکال») را بیابید، که معادله قطبی آن $r=a(1+\cos \theta )$ است (شکل زیر).

حل.

حجم‌ها با انتگرال‌گیری

همان کاری که با مساحت یک نوار کوچک از یک سطح انجام دادیم، البته می‌توانیم به همان آسانی با حجم یک نوار کوچک از یک جسم جامد نیز انجام دهیم. ما می‌توانیم تمام نوارهای کوچکی را که کل جسم جامد را تشکیل می‌دهند با هم جمع کنیم و حجم آن را بیابیم، درست همان‌طور که تمام تکه‌های کوچک را که یک مساحت را تشکیل می‌دادند با هم جمع کردیم تا مساحت نهایی شکل مورد نظر را به دست آوریم.

مثال‌ها.

مثال ۹.

مثال ۱۹.۹. حجم کره‌ای به شعاع $R$ را بیابید.

حل. روش (الف). یک پوسته کروی نازک دارای حجم $4\pi r^{2}dr$ است (به شکل ۱۹.۹ مراجعه کنید)؛ با جمع کردن تمام پوسته‌های هم‌مرکزی که کره را تشکیل می‌دهند، داریم $$\text{حجم کره}={\int }_{r=0}^{r=R}4\pi r^{2}dr=4\pi {\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^R=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

روش (ب). همچنین می‌توانیم به صورت زیر عمل کنیم: یک برش از کره، با ضخامت $dx$، دارای حجم $\pi y^{2}dx$ است. این دیسک نازک از چرخش نوار با ضخامت $dx$ نشان داده شده در شکل ۱۹.۱۴ حول محور $x$ تولید می‌شود (به شکل ۱۹.۱۵ مراجعه کنید). طول این نوار، $y$، با فاصله این نوار از مبدأ، $x$، از طریق رابطه زیر مرتبط است $$y^2=R^2-x^2.$$ بنابراین

            <p class="iframe-caption" style="text-align: center;">
                شکل تعاملی ۱۹.۱۵
            </p>
        </div>
    </div></figure><figure id="fig:Area-Disk"><figure class="image image_resized" style="width:auto;"><img class="image_resized" style="aspect-ratio:1292/1089;max-height:500px;" src="/book-images/CME/Area-Disk.svg" alt="مساحت دیسک" width="1292" height="1089"></figure><figcaption>شکل&nbsp;۱۹.۱۵</figcaption></figure></div><div class="example" id="fig:Area-Disk2"><p><strong>مثال ۱۹.۱۰</strong>. حجم جسم حاصل از دوران منحنی <span class="math inline">$y^2=6x$</span> را حول محور&nbsp;<span class="math inline">$x$</span>، بین <span class="math inline">$x=0$</span> و <span class="math inline">$x=4$</span> بیابید.</p><p><strong>حل.</strong> حجم یک دیسک نازک حاصل از دوران نوار نازک برابر است با&nbsp;<span class="math inline">$\pi y^{2}dx$</span> (به شکل زیر مراجعه کنید).</p><p>بنابراین <span class="math display"></span></p><div class="raw-html-embed"><div class="iframe-container">
<iframe id="fig:Area-Disk-iframe" srcdoc="<!DOCTYPE html>

" width="100%" height="450" frameborder="0">

شکل تعاملی ۱۹.۱۶

On Quadratic Means

In certain branches of physics, particularly in the study of alternating electric currents, it is necessary to be able to calculate the quadratic mean of a variable quantity. By “quadratic mean” is denoted the square root of the mean of the squares of all the values between the limits considered. Other names for the quadratic mean of any quantity are its “virtual” value, or its “r.m.s.” (meaning root-mean-square) value. If $y$ is the function under consideration, and the quadratic mean is to be taken between the limits of $x=0$ and $x=L$; then the quadratic mean is expressed as

Examples.

Example 10.

Example 19.11. Find the quadratic mean of the function $y=ax$ (next figure).

Solution. Here the integral is ${\int }_0^L{a}^2{x}^{2}dx$, which is $\frac{L}{3}{a}^2{L}^3$.

Dividing by $L$ and taking the square root, we have $$\text{quadratic mean}=\frac{1}{\sqrt{3}}aL.$$

Here the arithmetical mean is $\frac{1}{2}aL$; and the ratio of quadratic to arithmetical mean (this ratio is called the form-factor) is ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}=1.155$.

Exercises

Exercise 2.

Exercise 19.2. Find the area of the parabola $y=2a\sqrt{x}$ between $x=0$ and $x=a$. Show that it is two-thirds of the rectangle of the limiting ordinate and of its abscissa.

 

Answer

$\text{Area}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ of $a\times 2a\sqrt{a}$.

 

 

 

 

Solution

 

 

Exercise 3.

Exercise 19.3. Find the area of the positive portion of a sine curve and the mean ordinate.

 

Answer

$\text{Area}=2$; $\text{mean ordinate}={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\approx 0.637$.

 

 

 

 

Solution

 

 

Exercise 4.

Exercise 19.4. Find the area of the positive portion of the curve $y={\sin }^{2}x$ ($0\le x\le \pi$), and find the mean ordinate.

 

Answer

$\text{Area}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\approx 1.57$; $\text{mean ordinate}=0.5$.

 

 

 

 

Solution

 

The problem asks for the hatched area

 

 

Exercise 5.

Exercise 19.5. Find the area included between the two branches of the curve $y=x^2\pm x^{\frac{5}{2}}$ from $x=0$ to $x=1$, also the area of the positive portion of the lower branch of the curve (see Fig. 11.12).

 

Answer

${\displaystyle \frac{4}{7}}\approx 0.571$, ${\displaystyle \frac{1}{21}}\approx 0.0476$.

 

 

 

 

Solution

 

 

Exercise 6.

Exercise 19.6. Find the volume of a cone of radius of base $r$, and of height $h$.

 

Answer

$\text{Volume}=\pi r^2{\displaystyle \frac{h}{3}}$.

 

 

 

 

Solution

 

If line $y=\frac{r}{h}x$ rotates around the $x$-axis, it creates a cone of radius of base $r$, and of height $h$.

We just need to calculate the volume of this solid of revolution.

The volume of this thin disk is $\pi {\left({\displaystyle \frac{r}{h}}x\right)}^{2}dx$

Therefore, if we add the volumes of such thin disks, we get the volume of the solid (cone)

 

Exercise 8.

Exercise 19.8. Find the volume generated by the curve $y=\sqrt{1+x^2}$, as it revolves about the axis of $x$, between $x=0$ and $x=4$.

 

Answer

${\displaystyle \frac{76}{3}}\pi \approx 79.6$.

 

 

 

 

Solution

 

The total volume is

 

Exercise 9.

Exercise 19.9. Find the volume generated by a sine curve revolving about the axis of $x$ ($0\le x\le \pi$).

 

Answer

$\text{Volume}={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}}\approx 4.9348$.

 

 

 

 

Solution