Taux de changement. Vitesse et accélération

Certains des problèmes les plus importants du calcul sont ceux où le temps est la variable indépendante, et nous devons réfléchir aux valeurs d'une autre grandeur qui varie lorsque le temps varie. Certaines choses deviennent plus grandes au fil du temps; d'autres choses deviennent plus petites. La distance qu'un train a parcourue depuis son point de départ ne cesse d'augmenter au fur et à mesure que le temps passe. Les arbres grandissent au fil des années. Quelle est la croissance la plus rapide; une plante \(12\) pouces de haut qui en un mois devient \(14\) pouces de haut, ou un arbre \(12\) pieds de haut qui en un an devient \(14\) pieds de haut ?

Dans ce chapitre, nous allons beaucoup utiliser le mot taux. Rien à voir avec les taxes locales, ou les tarifs d'eau (sauf que même ici le mot suggère une proportion — un ratio — autant de pence dans la livre). Rien à voir non plus avec les taux de natalité ou de mortalité, bien que ces mots suggèrent autant de naissances ou de décès pour mille habitants de la population. Lorsqu'une voiture passe rapidement devant nous, nous disons : Quel rythme effréné ! Lorsqu'un dépensier jette son argent par les fenêtres, nous remarquons que ce jeune homme vit à un rythme prodigieux. Que voulons-nous dire par taux ? Dans ces deux cas, nous faisons une comparaison mentale de quelque chose qui se produit, et de la durée qu'il faut pour que cela se produise. Si la voiture passe devant nous à raison de \(40\) yards par seconde, un simple calcul mental nous montrera que cela équivaut — tant que cela dure — à un taux de \(2400\) yards par minute, soit environ \(82\) miles par heure.¹

Dans quel sens peut-on dire qu'une vitesse de \(40\) yards par seconde est la même que \(2400\) yards par minute ? Quarante yards n'est pas la même chose que \(2400\) yards, pas plus qu'une seconde n'est la même chose qu'une minute. Ce que nous voulons dire en affirmant que le taux est le même, c'est ceci : que la proportion existant entre la distance parcourue et le temps mis pour la parcourir est la même dans les deux cas.

Prenons un autre exemple. Un homme peut n'avoir que quelques livres en sa possession, et pourtant être capable de dépenser de l'argent à un rythme de millions par an — à condition qu'il continue de dépenser de l'argent à ce rythme pendant seulement quelques minutes. Supposons que vous remettiez un shilling au comptoir pour payer des marchandises ; et supposons que l'opération dure exactement une seconde. Alors, pendant cette brève opération, vous vous dessaisissez de votre argent à raison de \(1\) shilling² par seconde, ce qui est le même rythme que £\(3\) par minute, ou £\(180\) par heure, ou £\(4320\) par jour, ou £\(1,576,800\) par an ! Si vous avez £\(10\) dans votre poche, vous pouvez continuer à dépenser de l'argent à un rythme de un million par an pendant seulement \(5\frac{1}{4}\) minutes.

Maintenant, essayez de mettre certaines de ces idées en notation différentielle.

Que \(y\) dans ce cas représente l'argent, et que \(t\) représente le temps.

Si vous dépensez de l'argent, et que le montant que vous dépensez en un court laps de temps \(dt\) est appelé \(dy\), le taux de dépense sera \(\dfrac{dy}{dt}\), ou plutôt, devrait être écrit avec un signe moins, comme \(-\dfrac{dy}{dt}\), car \(dy\) est une décrémentation, pas une augmentation. Mais l'argent n'est pas un bon exemple pour le calcul, car il arrive et part généralement par à-coups, pas par un flux continu — vous pouvez gagner £\(200\) par an, mais cela ne continue pas à affluer tout au long de la journée en un mince filet ; cela ne vient que de manière hebdomadaire, mensuelle, ou trimestrielle, en blocs : et vos dépenses sortent également en paiements soudains.

Une illustration plus appropriée de l'idée de taux est fournie par la vitesse d'un corps en mouvement. De Londres (gare d'Euston) à Liverpool, il y a \(200\) miles. Si un train quitte Londres à \(7\) heures, et atteint Liverpool à \(11\) heures, vous savez que, puisqu'il a parcouru \(200\) miles en \(4\) heures, son taux moyen doit avoir été de \(50\) miles par heure ; car \(\frac{200}{4} = \frac{50}{1}\). Ici vous faites réellement une comparaison mentale entre la distance parcourue et le temps mis pour la parcourir. Vous divisez l'une par l'autre. Si \(y\) est la distance totale, et \(t\) le temps total, clairement le taux moyen est \(\dfrac{y}{t}\). Maintenant, la vitesse n'était pas en fait constante tout le long : au départ, et lors du ralentissement à la fin du voyage, la vitesse était moindre. Probablement à un certain point, lors de la descente, la vitesse était supérieure à \(60\) miles par heure. Si, pendant un quelconque élément de temps \(dt\), l'élément correspondant de distance parcourue était \(dy\), alors à cette partie du voyage, la vitesse était \(\dfrac{dy}{dt}\). Le taux auquel une quantité (dans le cas présent, la distance) change par rapport à l'autre quantité (dans ce cas, le temps) est correctement exprimé, alors, en énonçant la dérivée de l'une par rapport à l'autre. Une vélocité, exprimée scientifiquement, est le taux auquel une très petite distance dans une direction donnée est parcourue ; et peut donc être écrite comme \[v = \dfrac{dy}{dt}.\]

Mais si la vitesse \(v\) n'est pas uniforme, alors elle doit soit augmenter, soit diminuer. Le taux auquel une vitesse augmente est appelé l'accélération. Si un corps en mouvement gagne, à un instant donné, une vitesse supplémentaire \(dv\) dans un élément de temps \(dt\), alors l'accélération \(a\) à cet instant peut être écrite \[a = \dfrac{dv}{dt};\] mais \(dv\) est elle-même \(d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)\). On peut donc écrire \[a = \frac{d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)}{dt};\] et cela s'écrit généralement \(a = \dfrac{d^2y}{dt^2}\) ; ou l'accélération est la seconde dérivée de la distance, par rapport au temps. L'accélération est exprimée comme un changement de vitesse par unité de temps, par exemple, en tant que tant de pieds par seconde par seconde ; la notation utilisée étant \(\text{pieds}/\text{seconde}^2\).

Lorsque un train commence juste à se déplacer, sa vitesse \(v\) est faible ; mais il gagne rapidement en vitesse — il est accéléré par l'effort de la locomotive. Ainsi, son \(\dfrac{d^2y}{dt^2}\) est grand. Lorsqu'il atteint sa vitesse maximale, il n'est plus accéléré, alors à ce moment-là \(\dfrac{d^2y}{dt^2}\) est tombé à zéro. Mais lorsqu'il approche de son arrêt, sa vitesse commence à diminuer ; peut même diminuer très rapidement si les freins sont mis, et pendant cette période de décélération ou ralentissement, la valeur de \(\dfrac{dv}{dt}\), c'est-à-dire, de \(\dfrac{d^2y}{dt^2}\) sera négative.

Accélérer une masse \(m\) nécessite l'application continue de force. La force nécessaire pour accélérer une masse est proportionnelle à la masse et elle est également proportionnelle à l'accélération qui est impartie. On peut donc écrire pour la force \(f\), l'expression \[f = ma;\] ou \[f = m \frac{dv}{dt};\] ou \[f = m \frac{d^2y}{dt^2}.\]

Le produit d'une masse par la vitesse à laquelle elle se déplace est appelé son momentum, et s'exprime en symboles \(mv\). Si nous différencions le momentum par rapport au temps, nous obtenons \(\dfrac{d(mv)}{dt}\) pour le taux de changement du momentum. Mais, comme \(m\) est une quantité constante, cela peut être écrit \(m \dfrac{dv}{dt}\), ce qui est identique à \(f\). Autrement dit, la force peut être exprimée soit comme produit de la masse et de l'accélération, soit comme taux de changement du momentum.

Encore, si une force est utilisée pour déplacer quelque chose (contre une force égale et opposée), elle effectue un travail; et la quantité de travail effectuée est mesurée par le produit de la force dans la distance (dans sa propre direction) à travers laquelle son point d'application avance. Donc, si une force \(f\) avance à travers une longueur \(y\), le travail effectué (que nous pouvons appeler \(w\)) sera \[w = f \times y;\] où nous prenons \(f\) comme une force constante. Si la force varie à différents endroits de l'intervalle \(y\), alors nous devons trouver une expression pour sa valeur de point en point. Si \(f\) est la force le long du petit élément de longueur \(dy\), la quantité de travail effectuée sera \(f \times dy\). Mais comme \(dy\) n'est qu'un élément de longueur, seuls un élément de travail sera fait. Si nous écrivons \(w\) pour le travail, alors un élément de travail sera \(dw\); et nous avons \[dw = f \times dy;\] qui peut être écrit \[dw = ma\cdot dy;\] ou \[dw = m \frac{d^2y}{dt^2}\cdot dy;\] ou \[dw = m \frac{dv}{dt}\cdot dy.\] De plus, nous pouvons transposer l'expression et écrire \[\frac{dw}{dy} = f.\]

Cela nous donne encore une troisième définition de la force ; que si elle est utilisée pour produire un déplacement dans une direction quelconque, la force (dans cette direction) est égale au taux auquel le travail est effectué par unité de longueur dans cette direction. Dans cette dernière phrase, le mot taux n'est clairement pas utilisé dans son sens temporel, mais dans sa signification de ratio ou de proportion.

Sir Isaac Newton, qui était (avec Gottfried Wilhelm Leibniz) un inventeur des méthodes du calcul, considérait toutes les grandeurs qui variaient comme flottantes; et le ratio que nous appelons aujourd'hui la dérivée, il le considérait comme le taux de flottement, ou le fluxion de la grandeur en question. Il n'utilisait pas la notation du \(dy\) et \(dx\), et \(dt\) (ceci était dû à Leibniz), mais possédait à la place une notation propre. Si \(y\) était une grandeur qui variait, ou "flottait", alors son symbole pour son taux de variation (ou "fluxion") était  \(\dot{y}\). Si \(x\) était la variable, alors sa fluxion était notée \(\dot{x}\). Le point au dessus de la lettre indiquait qu'elle avait été différenciée. En physique, cette notation est encore utilisée, mais exclusivement lorsque le temps est la variable indépendante. Dans ce cas, \(\dot{y}\) signifiera \(\dfrac{dy}{dt}\) et \(\dot{u}\) signifiera \(\dfrac{du}{dt}\); et \(\ddot{x}\) signifiera \(\dfrac{d^2x}{dt^2}\).

En adoptant cette notation fluxionnelle, nous pouvons écrire les équations mécaniques abordées dans les paragraphes ci-dessus, comme suit :

Exemples

Exemple 8.1. Un corps se déplace de telle sorte que la distance \(x\) (en pieds), qu'il parcourt depuis un certain point \(O\) (voir la figure suivante), est donnée par la relation \(x = 0.2t^2 + 10.4\), où \(t\) est le temps en secondes écoulé depuis un certain instant. (a) Trouvez la vitesse et l'accélération \(5\) secondes après que le corps a commencé à se déplacer. (b) Trouvez les valeurs correspondantes lorsque la distance parcourue est \(100\) pieds. (c) Trouvez aussi la vitesse moyenne au cours des \(10\) premières secondes de son mouvement. (Supposez que les distances et le mouvement vers la droite sont positifs.)

Solution. Maintenant \[\begin{gathered} x = 0.2t^2 + 10.4 \\ v = \dot{x} = \frac{dx}{dt} = 0.4t;\quad\text{et}\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{constant.} \end{gathered}\]

Les graphiques de \(x\), \(v\), et \(a\) en fonction de \(t\) sont présentés ci-dessous.

Lorsque \(t = 0\), \(x = 10.4\) et \(v = 0\). Le corps a commencé depuis un point \(10.4\) pieds à droite du point \(O\); et le temps a été compté à partir de l'instant où le corps a commencé.

(a) Lorsque \(t = 5\), \(v = 0.4 \times 5 = 2~\text{pi/s}\); \(a = 0.4~\text{pi/s}^2\).

(b) Lorsque \(x = 100\), \(100 = 0.2t^2 + 10.4\), ou \(t^2 = 448\), et \(t = 21.17~\text{s}\); \(v = 0.4 \times 21.17 = 8.468~\text{pi/s}\)

(c) Lorsque \(t = 10\), \[\begin{gathered} \text{distance parcourue} = 0.2 \times 10^2 + 10.4 - 10.4 = 20~\text{pi.} \\ \text{Vitesse moyenne} = \frac{20}{10} = 2~\text{pi/s.} \end{gathered}\]

(C'est la même vitesse que la vitesse au milieu de l'intervalle, \(t = 5\); car, l'accélération étant constante, la vitesse a varié uniformément de zéro quand \(t = 0\) à \(4~\text{pi/s}\) quand \(t = 10\) s.)

Exemple 8.2. Résolvez le problème ci-dessus si \[x = 0.2t^2 + 3t + 10.4.\]

Solution. Si \(x = 0.2t^2 + 3t + 10.4\), alors \[\begin{gathered} v = \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} = 0.4t + 3;\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{constant}. \end{gathered}\] Les graphiques de \(x\), \(v\), et \(a\) en fonction de \(t\) sont présentés ci-dessous.

Lorsque \(t = 0\), \(x = 10.4\) et \(v = 3\) pi/s (pieds par seconde), le temps est compté à partir de l'instant où le corps a passé un point \(10.4\) pi du point \(O\), sa vitesse étant alors déjà de \(3\) pi/s.

(a) Pour trouver le temps écoulé depuis qu'il a commencé à bouger, laissant \(v = 0\); alors \(0.4t + 3 = 0\), \(t= -\frac{3}{0.4} = -7.5\) secondes. Le corps a commencé à bouger \(7.5\) secondes avant que le temps ait commencé à être observé; \(5\) secondes après cela donne \(t = -2.5\) et \(v = 0.4 \times -2.5 + 3 = 2\) pi/s.

(b) Lorsque \(x = 100\) pieds, \[100 = 0.2t^2 + 3t + 10.4;\quad \text{ou }\quad t^2 + 15t - 448 = 0;\] donc \(t = 14.95\) s, \(v = 0.4 \times 14.95 + 3 = 8.98\) pieds/s.

(c) Pour trouver la distance parcourue pendant les \(10\) premières secondes du mouvement, on doit savoir à quelle distance le corps était du point \(O\) quand il a commencé.

Lorsque \(t = -7.5\), \[x = 0.2 \times (-7.5)^2 - 3 \times 7.5 + 10.4 = -0.85~\text{pi},\] c'est-à-dire \(0.85\) pieds à gauche du point \(O\).

Maintenant, lorsque \(t = 2.5\), \[x = 0.2 \times 2.5^2 + 3 \times 2.5 + 10.4 = 19.15.\]

Ainsi, en \(10\) secondes, la distance parcourue était \(19.15 + 0.85 = 20\) pieds, et \[\text{la vitesse moyenne } = \dfrac{20}{10} = 2 \text{ pi/s}.\]

Exemple 8.3. Considérons un problème semblable au précédent, mais supposons maintenant que la distance soit donnée par \(x = 0.2t^2 - 3t + 10.4\).

(a) Trouvez la vitesse et l'accélération \(5\) secondes après que le corps a commencé à bouger. (b) Trouvez les valeurs correspondantes lorsque la distance parcourue est \(100\) pieds. (c) Trouvez également la vitesse moyenne pendant les \(10\) premières secondes de son mouvement.

Solution. Si \[x = 0.2t^2 - 3t + 10.4\] alors \[v = 0.4t - 3,\qquad a = 0.4 = \text{constant}.\]

Les graphiques de \(x\) et \(v\) en fonction de \(t\) sont présentés ci-dessous.

(a) Lorsque \(t = 0\), \(x = 10.4\) comme auparavant, et \(v = -3\); de sorte que le corps se déplaçait dans la direction opposée à son mouvement dans les cas précédents (voir la figure suivante). Cependant, comme l'accélération est positive, on voit que cette vitesse diminuera numériquement³ à mesure que le temps passe, jusqu'à ce qu'elle soit nulle, quand \(v = 0\) ou \(0.4t - 3 = 0\); ou \(t = 7.5\) secondes. Après cela, la vitesse devient positive; et \(5\) secondes après le démarrage du corps, \(t = 12.5\), et \[v = 0.4 \times 12.5 - 3 = 2 \text{ pi/s}.\]

(b) Lorsque \(x = 100\), \[\begin{align} 100 = 0.2t^2 - 3t + 10.4,\quad \text{ou } t^2 - 15t - 448 = 0, \end{align}\] et \[\begin{align} t = 29.95;\ v = 0.4 \times 29.95 - 3 = 8.98~\text{pi/s} \end{align}\]

(c) Lorsque \(v\) est nul, \(x = 0.2 \times 7.5^2 - 3 \times 7.5 + 10.4 = -0.85\), indiquant que le corps revient à \(0.85\) pieds au-delà du point \(O\) avant qu'il ne s'arrête. Dix secondes plus tard \[t = 17.5 \text{ et } x = 0.2 \times 17.5^2 - 3 \times 17.5 + 10.4 = 19.15.\] \(\text{La distance parcourue} = 0.85 + 19.15 = 20.0\), et la vitesse moyenne est de nouveau \(2\) pieds/sec.

Exemple 8.4. Considérons encore un autre problème du même genre avec \(x = 0.2t^3 - 3t^2 + 10.4\); \(v = 0.6t^2 - 6t\); \(a = 1.2t - 6\). L'accélération n'est plus constante.

Les graphiques de \(x\), \(v\), et \(a\) en fonction de \(t\) sont présentés ci-dessous.

Lorsque \(t = 0\), \(x = 10.4\), \(v = 0\), \(a = -6\). Le corps est au repos, mais prêt à se déplacer avec une accélération négative, c'est-à-dire pour gagner une vitesse vers le point \(O\) (voir la figure suivante).

Exemple 8.5. Si nous avons \(x = 0.2t^3 - 3t + 10.4\), alors \(v = 0.6t^2 - 3\), et \(a = 1.2t\).

Lorsque \(t = 0\), \(x = 10.4\); \(v = -3\); \(a = 0\).

Le corps se déplace vers le point \(O\) avec une vitesse de \(3\) pieds/s,⁴ et juste à cet instant la vitesse est uniforme (c'est-à-dire que son taux de variation est nul).

Les graphiques de \(x\), \(v\), et \(a\) en fonction de \(t\) sont présentés ci-dessous.

Nous voyons que les conditions du mouvement peuvent toujours être déterminées instantanément à partir de l'équation temps-distance et de ses premières et secondes fonctions dérivées. Dans les deux derniers cas, la vitesse moyenne durant les premières \(10\) secondes et la vitesse \(5\) secondes après le départ ne seront plus les mêmes, car la vitesse n'augmente pas uniformément, l'accélération n'étant plus constante.

Exemple 8.6. L'angle \(\theta\) (en radians) parcouru par une roue est donné par \(\theta = 3 + 2t - 0.1t^3\), où \(t\) est le temps en secondes à partir d'un certain instant; trouvez la vitesse angulaire \(\omega\) et l'accélération angulaire⁵  \(\alpha\), (a) après \(1\) seconde; (b) après qu'elle a effectué une rotation. (c) À quel moment est-elle au repos, et combien de tours a-t-elle effectué jusqu'à cet instant ?

Solution. Écrivant pour l'accélération \[\omega = \dot{\theta} = \dfrac{d\theta}{dt} = 2 - 0.3t^2,\quad \alpha = \ddot{\theta} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2} = -0.6t.\]

Lorsque \(t = 0\), \(\theta = 3\); \(\omega = 2\) rad/s; \(\alpha = 0\).

(a) Lorsque \(t = 1\), \[\omega = 2 - 0.3 = 1.7~\text{rad/s};\quad \alpha = -0.6~\text{rad/s}^2.\]

C'est un ralentissement; la roue ralentit.

(b) Après \(1\) rotation \[\theta = 2\pi \approx 6.28;\quad 6.28 = 3 + 2t - 0.1t^3.\]

En traçant le graphique, \(\theta = 3 + 2t - 0.1t^3\) (voir la figure suivante), nous pouvons obtenir la valeur ou les valeurs de \(t\) pour lesquelles \(\theta = 6.28\); celles-ci sont \(2.11\) et \(3.03\) (il y a une troisième valeur négative).

Lorsque \(t = 2.11\), \[\begin{gathered} \theta = 6.28;\quad\omega = 2 - 1.34 = 0.66 \text{ rad/s}; \\ \alpha = -1.27 \text{ rad/s}^2. \end{gathered}\] Lorsque \(t = 3.03\), \[\begin{gathered} \theta = 6.28;\quad \omega = 2 - 2.754 = -0.754 \text{ rad/s}; \\ \alpha = -1.82 \text{ rad/s}^2. \end{gathered}\]

(c) La vitesse est inversée. La roue est manifestement au repos entre ces deux instants ; elle est au repos quand \(\omega = 0\), c'est-à-dire quand \(0 = 2 - 0.3t^3\), ou quand \(t = 2.58~\text{s}\), elle a effectué \[\dfrac{\theta}{2\pi} = \dfrac{3 + 2 \times 2.58 - 0.1 \times 2.58^3}{6.28} = 1.025 \text{ rotations}.\]

En traçant le graphique de \(\theta = 3 + 2t - 0.1t^3\), nous observons qu'à \(t=2.58\) secondes, où la vitesse angulaire \(\omega=\frac{d\theta}{dt}\) est nulle, la courbe a un sommet et la valeur de \(\theta\) à ce moment est localement maximale (voir la figure suivante).

Exercices

Exercice 8.2. Un corps tombant librement dans l'espace décrit en \(t\) secondes une distance \(s\), en pieds, exprimée par l'équation \(s = 16t^2\). Dessinez une courbe montrant la relation entre \(s\) et \(t\). Déterminez également la vitesse du corps aux moments suivants à partir de son lâcher : \(t = 2\) secondes ; \(t = 4.6\) secondes ; \(t = 0.01\) secondes.

 

Réponse

64; 147.2; et 0.32 pieds par seconde.

 

 

Solution

 

\[s=16 t^{2} \Rightarrow v=32 t\]

Quand \(t=2, v=64~\mathrm{pi} / \mathrm{s}\)

quand \(t=4.6, v=147.2\ \mathrm{pi} / \mathrm{s}\)

quand \(t=0.01, v=0.32\ \mathrm{pi} / \mathrm{s}\)

 

 

Exercice 8.8. Le mouvement d'un ballon montant est tel que sa hauteur \(h\), en miles, est donnée à tout instant par l'expression \(h = 0.5 + \frac{1}{10}\sqrt[3]{t-125}\); \(t\) étant en secondes.

Trouvez une expression pour la vitesse et l'accélération à tout moment. Dessinez des courbes pour montrer la variation de la hauteur, la vitesse et l'accélération au cours des dix premières minutes de l'ascension.

 

Réponse

\(v = \dfrac{1}{30 \sqrt[3]{(t - 125)^2}}\),\(a = - \dfrac{1}{45 \sqrt[3]{(t - 125)^5}}\).

 

 

Solution

\[h=0.5+\frac{1}{10}(t-125)^{\frac{1}{3}}\]

 

Si nous avons un décalage dans le temps (définissant une nouvelle origine pour le temps), \(\tau=t-125\), alors \(h=0.5+\frac{1}{10} \tau^{\frac{1}{3}}\). Cependant, comme il s'agit d'un simple décalage, nous nous attendons à ce que le taux de changement de \(h\) par rapport à \(t\) et \(\tau\) soit le même. \[\frac{dh}{dt}=\frac{dh}{d\tau}.\]

\[\begin{gathered} v=\frac{d h}{d \tau}=\frac{1}{30} \tau^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{30}(t-125)^{-\frac{2}{3}} \\ a=\frac{d^{2} h}{d t^{2}}=\frac{d^{2} h}{d \tau^{2}}=-\frac{1}{45}\tau^{-\frac{5}{2}}=-\frac{1}{45}(t-125)^{-\frac{5}{2}} \end{gathered}\]

Les graphiques de la vitesse (\(v\)) et de l'accélération (\(a\)) en fonction du temps sont présentés ci-dessous. Les formules de la vitesse et de l'accélération, ainsi que les graphiques accompagnants, démontrent qu'à \(t=125\) secondes, à la fois la vitesse et l'accélération deviennent infinies ou "explosent". Cela indique qu'il n'est pas possible d'avoir une formule pour la hauteur (\(h\)) dans ce scénario.