Tasas de cambio. Velocidad y aceleración

Algunos de los problemas más importantes del cálculo son aquellos donde el tiempo es la variable independiente, y tenemos que pensar en los valores de alguna otra cantidad que varía cuando el tiempo varía. Algunas cosas crecen a medida que pasa el tiempo; otras cosas disminuyen. La distancia que un tren ha recorrido desde su punto de partida sigue aumentando a medida que pasa el tiempo. Los árboles crecen más altos a medida que pasan los años. ¿Cuál está creciendo a un ritmo mayor: una planta \(12\) pulgadas de alto que en un mes se convierte en \(14\) pulgadas de alto, o un árbol de \(12\) pies de alto que en un año se convierte en \(14\) pies de alto?

En este capítulo vamos a hacer mucho uso de la palabra tasa. Nada que ver con la tasa de pobres, o la tasa de agua (excepto que incluso aquí la palabra sugiere una proporción—una razón—tantos peniques por libra). Nada que ver ni siquiera con la tasa de natalidad o mortalidad, aunque estas palabras sugieren tantos nacimientos o muertes por millar de población. Cuando un coche pasa zumbando a nuestro lado, decimos: ¡Qué tasa tan tremenda! Cuando un derrochador está gastando su dinero, comentamos que ese joven está viviendo a un ritmo prodigioso. ¿Qué queremos decir con tasa? En ambos casos estamos haciendo una comparación mental de algo que está ocurriendo, y el tiempo que lleva suceder. Si el coche pasa volando a nuestro lado yendo a \(40\) yardas por segundo, un simple cálculo mental nos mostrará que esto es equivalente—mientras dura—a una tasa de \(2400\) yardas por minuto, o cerca de \(82\) millas por hora.¹

Ahora, en qué sentido es cierto que una velocidad de \(40\) yardas por segundo es la misma que \(2400\) yardas por minuto? Cuarenta yardas no son lo mismo que \(2400\) yardas, ni un segundo es lo mismo que un minuto. Lo que queremos decir al decir que la tasa es la misma, es esto: que la proporción entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, es la misma en ambos casos.

Tome otro ejemplo. Un hombre puede tener solo unas pocas libras en su posesión, y aun así ser capaz de gastar dinero a una tasa de millones al año—siempre que continúe gastando dinero a esa tasa durante solo unos pocos minutos. Suponga que entrega un chelín sobre el mostrador para pagar algunos bienes; y suponga que la operación dura exactamente un segundo. Entonces, durante esa breve operación, está soltando su dinero a una tasa de \(1\) chelín² por segundo, que es la misma tasa que £\(3\) por minuto, o £\(180\) por hora, o £\(4320\) por día, o £\(1,576,800\) por año! Si tiene £\(10\) en su bolsillo, puede seguir gastando dinero a una tasa de un millón al año por tan solo \(5\frac{1}{4}\) minutos.

Ahora intente poner algunas de estas ideas en notación diferencial.

Permita que \(y\) en este caso represente el dinero, y permita que \(t\) represente el tiempo.

Si está gastando dinero, y la cantidad que gasta en un corto tiempo \(dt\) se llama \(dy\), la tasa de gastarlo será \(\dfrac{dy}{dt}\), o más bien, debería escribirse con un signo menos, como \(-\dfrac{dy}{dt}\), porque \(dy\) es una disminución, no un incremento. Pero el dinero no es un buen ejemplo para el cálculo, porque generalmente entra y sale en saltos, no en un flujo continuo—puede ganar £\(200\) al año, pero no sigue entrando durante todo el día en un hilo delgado; solo entra semanalmente, o mensualmente, o trimestralmente, en sumas: y su gasto también sale en pagos repentinos.

Una ilustración más adecuada de la idea de una tasa la proporciona la velocidad de un cuerpo en movimiento. De Londres (estación Euston) a Liverpool hay \(200\) millas. Si un tren sale de Londres a las \(7\) en punto, y llega a Liverpool a las \(11\) en punto, usted sabe que, como ha viajado \(200\) millas en \(4\) horas, su tasa promedio debe haber sido de \(50\) millas por hora; porque \(\frac{200}{4} = \frac{50}{1}\). Aquí realmente está haciendo una comparación mental entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla. Está dividiendo una por la otra. Si \(y\) es toda la distancia, y \(t\) todo el tiempo, claramente la tasa promedio es \(\dfrac{y}{t}\). Ahora, la velocidad no fue realmente constante en todo el camino: al comenzar, y durante la desaceleración al final del viaje, la velocidad fue menor. Probablemente en alguna parte, cuando corría cuesta abajo, la velocidad era más de \(60\) millas por hora. Si, durante algún elemento particular de tiempo \(dt\), el elemento correspondiente de distancia recorrida fue \(dy\), entonces en esa parte del viaje la velocidad era \(\dfrac{dy}{dt}\). La tasa a la que una cantidad (en este caso, distancia) está cambiando en relación con la otra cantidad (en este caso, tiempo) se expresa adecuadamente, entonces, al indicar la derivada de una con respecto a la otra. Una velocidad, expresada científicamente, es la tasa a la que se está recorriendo una distancia muy pequeña en cualquier dirección dada; y, por lo tanto, se puede escribir \[v = \dfrac{dy}{dt}.\]

Pero si la velocidad \(v\) no es uniforme, entonces debe estar aumentando o disminuyendo. La tasa a la que una velocidad está aumentando se llama aceleración. Si un cuerpo en movimiento está, en cualquier instante particular, ganando una velocidad adicional \(dv\) en un elemento de tiempo \(dt\), entonces la aceleración \(a\) en ese instante puede escribirse \[a = \dfrac{dv}{dt};\] pero \(dv\) es en sí mismo \(d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)\). Por lo tanto, podemos poner \[a = \frac{d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)}{dt};\] y esto se suele escribir \(a = \dfrac{d^2y}{dt^2}\); o la aceleración es la segunda derivada de la distancia, con respecto al tiempo. La aceleración se expresa como un cambio de velocidad en tiempo unitario, por ejemplo, como tantos pies por segundo por segundo; la notación utilizada es \(\text{feet}/\text{second}^2\).

Cuando un tren de ferrocarril acaba de comenzar a moverse, su velocidad \(v\) es pequeña; pero está ganando velocidad rápidamente—está siendo acelerado por el esfuerzo de la locomotora. Así que su \(\dfrac{d^2y}{dt^2}\) es grande. Cuando ha alcanzado su velocidad máxima ya no está siendo acelerado, por lo que entonces \(\dfrac{d^2y}{dt^2}\) ha caído a cero. Pero cuando se acerca a su lugar de parada, su velocidad comienza a disminuir; puede, de hecho, disminuir muy rápidamente si se aplican los frenos, y durante este período de deceleración o desaceleración, el valor de \(\dfrac{dv}{dt}\), es decir, de \(\dfrac{d^2y}{dt^2}\) será negativo.

Acelerar una masa \(m\) requiere la aplicación continua de fuerza. La fuerza necesaria para acelerar una masa es proporcional a la masa, y también es proporcional a la aceleración que se está impartiendo. Por lo tanto, podemos escribir para la fuerza \(f\), la expresión \[f = ma;\] o \[f = m \frac{dv}{dt};\] o \[f = m \frac{d^2y}{dt^2}.\]

El producto de una masa por la velocidad a la que se mueve se llama su momento (momentum), y en símbolos \(mv\). Si diferenciamos el momento con respecto al tiempo obtendremos \(\dfrac{d(mv)}{dt}\) por la tasa de cambio de momento. Pero, dado que \(m\) es una cantidad constante, esto se puede escribir como \(m \dfrac{dv}{dt}\), lo que vemos arriba es lo mismo que \(f\). Es decir, la fuerza puede expresarse como masa por aceleración, o como tasa de cambio del momento.

Nuevamente, si se emplea una fuerza para mover algo (contra una fuerza opuesta e igual), hace trabajo; y la cantidad de trabajo realizado se mide por el producto de la fuerza en la distancia (en su propia dirección) a través de la cual su punto de aplicación avanza. Entonces, si una fuerza \(f\) avanza a través de una longitud \(y\), el trabajo realizado (que podemos llamar \(w\)) será \[w = f \times y;\] donde tomamos \(f\) como una fuerza constante. Si la fuerza varía en diferentes partes del rango \(y\), entonces debemos encontrar una expresión para su valor de punto a punto. Si \(f\) es la fuerza a lo largo del pequeño elemento de longitud \(dy\), la cantidad de trabajo realizado será \(f \times dy\). Pero como \(dy\) es solo un elemento de la longitud, solo se realizará un elemento de trabajo. Si escribimos \(w\) para trabajo, entonces un elemento de trabajo será \(dw\); y tenemos \[dw = f \times dy;\] que puede escribirse \[dw = ma\cdot dy;\] o \[dw = m \frac{d^2y}{dt^2}\cdot dy;\] o \[dw = m \frac{dv}{dt}\cdot dy.\] Además, podemos transponer la expresión y escribir \[\frac{dw}{dy} = f.\]

Esto nos da una tercera definición de fuerza; que si se está usando para producir un desplazamiento en cualquier dirección, la fuerza (en esa dirección) es igual a la tasa a la que se está haciendo trabajo por unidad de longitud en esa dirección. En esta última oración, la palabra tasa claramente no se usa en su sentido temporal, sino en su significado como relación o proporción.

Sir Isaac Newton, quien fue (junto con Gottfried Wilhelm Leibniz) un inventor de los métodos del cálculo, consideraba que todas las cantidades que variaban fluían; y la relación que hoy en día llamamos la derivada, él consideraba como la tasa de flujo, o la flujo de la cantidad en cuestión. No usó la notación del \(dy\) y \(dx\), y \(dt\) (esto fue debido a Leibniz), sino que tenía en su lugar una notación propia. Si \(y\) era una cantidad que variaba, o "fluía", entonces su símbolo para su tasa de variación (o "flujo") era  \(\dot{y}\). Si \(x\) era la variable, entonces su flujo se denotaba por \(\dot{x}\). El punto sobre la letra indicaba que había sido diferenciada. En física, esta notación todavía se usa, pero exclusivamente donde el tiempo es la variable independiente. En ese caso, \(\dot{y}\) significará \(\dfrac{dy}{dt}\) y \(\dot{u}\) significará \(\dfrac{du}{dt}\); y \(\ddot{x}\) significará \(\dfrac{d^2x}{dt^2}\).

Adoptando esta notación de flujo podemos escribir las ecuaciones mecánicas consideradas en los párrafos anteriores, de la siguiente manera:

Ejemplos

Ejemplo 8.1. Un cuerpo se mueve de manera que la distancia \(x\) (en pies), que recorre desde un cierto punto \(O\) (ver la figura siguiente), se da por la relación \(x = 0.2t^2 + 10.4\), donde \(t\) es el tiempo en segundos transcurridos desde un cierto instante. (a) Encuentre la velocidad y la aceleración \(5\) segundos después de que el cuerpo comenzó a moverse. (b) Encuentre los valores correspondientes cuando la distancia recorrida es \(100\) pies. (c) Encuentre también la velocidad promedio durante los primeros \(10\) segundos de su movimiento. (Suponga que las distancias y el movimiento hacia la derecha son positivos.)

Solución. Ahora \[\begin{gathered} x = 0.2t^2 + 10.4 \\ v = \dot{x} = \frac{dx}{dt} = 0.4t;\quad\text{y}\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{constante.} \end{gathered}\]

Los gráficos de \(x\), \(v\), y \(a\) versus \(t\) se muestran a continuación.

Cuando \(t = 0\), \(x = 10.4\) y \(v = 0\). El cuerpo comenzó desde un punto \(10.4\) pies a la derecha del punto \(O\); y el tiempo se midió desde el instante en que el cuerpo comenzó.

(a) Cuando \(t = 5\), \(v = 0.4 \times 5 = 2~\text{pies/s}\); \(a = 0.4~\text{pies/s}^2\).

(b) Cuando \(x = 100\), \(100 = 0.2t^2 + 10.4\), o \(t^2 = 448\), y \(t = 21.17~\text{s}\); \(v = 0.4 \times 21.17 = 8.468~\text{pies/s}\)

(c) Cuando \(t = 10\), \[\begin{gathered} \text{distancia recorrida} = 0.2 \times 10^2 + 10.4 - 10.4 = 20~\text{pies.} \\ \text{Velocidad promedio} = \frac{20}{10} = 2~\text{pies/s.} \end{gathered}\]

(Es la misma velocidad que la velocidad en la mitad del intervalo, \(t = 5\); porque, al ser constante la aceleración, la velocidad ha variado uniformemente de cero cuando \(t = 0\) a \(4~\text{pies/s}\) cuando \(t = 10\) s.)

Ejemplo 8.2. Resuelva el problema anterior si \[x = 0.2t^2 + 3t + 10.4.\]

Solución. Si \(x = 0.2t^2 + 3t + 10.4\), entonces \[\begin{gathered} v = \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} = 0.4t + 3;\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{constante}. \end{gathered}\] Los gráficos de \(x\), \(v\), y \(a\) versus \(t\) se muestran a continuación.

Cuando \(t = 0\), \(x = 10.4\) y \(v = 3\) pies/s (pies por segundo), el tiempo se calcula desde el instante en que el cuerpo pasó por un punto \(10.4\) pies desde el punto \(O\), siendo su velocidad en ese momento ya de \(3\) pies/s.

(a) Para encontrar el tiempo transcurrido desde que comenzó a moverse, deje que \(v = 0\); entonces \(0.4t + 3 = 0\), \(t= -\frac{3}{0.4} = -7.5\) segundos. El cuerpo comenzó a moverse \(7.5\) segundos antes de que se comenzara a observar el tiempo; \(5\) segundos después de esto da \(t = -2.5\) y \(v = 0.4 \times -2.5 + 3 = 2\) pies/s.

(b) Cuando \(x = 100\) pies, \[100 = 0.2t^2 + 3t + 10.4;\quad \text{o }\quad t^2 + 15t - 448 = 0;\] por lo tanto \(t = 14.95\) s, \(v = 0.4 \times 14.95 + 3 = 8.98\) pies/s.

(c) Para encontrar la distancia recorrida durante los primeros \(10\) segundos del movimiento, uno debe saber qué tan lejos estaba el cuerpo del punto \(O\) cuando comenzó.

Cuando \(t = -7.5\), \[x = 0.2 \times (-7.5)^2 - 3 \times 7.5 + 10.4 = -0.85~\text{pies},\] es decir, \(0.85\) pies a la izquierda del punto \(O\).

Ahora, cuando \(t = 2.5\), \[x = 0.2 \times 2.5^2 + 3 \times 2.5 + 10.4 = 19.15.\]

Entonces, en \(10\) segundos, la distancia recorrida fue \(19.15 + 0.85 = 20\) pies, y \[\text{la velocidad promedio } = \dfrac{20}{10} = 2 \text{ pies/s}.\]

Ejemplo 8.3. Considere un problema similar al anterior, pero ahora suponga que la distancia está dada por \(x = 0.2t^2 - 3t + 10.4\).

(a) Encuentre la velocidad y la aceleración \(5\) segundos después de que el cuerpo comenzó a moverse. (b) Encuentre los valores correspondientes cuando la distancia recorrida es \(100\) pies. (c) Encuentre también la velocidad promedio durante los primeros \(10\) segundos de su movimiento.

Solución. Si \[x = 0.2t^2 - 3t + 10.4\] entonces \[v = 0.4t - 3,\qquad a = 0.4 = \text{constante}.\]

Los gráficos de \(x\) y \(v\) versus \(t\) se muestran a continuación.

(a) Cuando \(t = 0\), \(x = 10.4\) como antes, y \(v = -3\); por lo tanto, el cuerpo se estaba moviendo en la dirección opuesta a su movimiento en los casos anteriores (ver la figura siguiente). Sin embargo, como la aceleración es positiva, vemos que esta velocidad disminuirá numéricamente³ a medida que pasa el tiempo, hasta que se vuelve cero, cuando \(v = 0\) o \(0.4t - 3 = 0\); o \(t = 7.5\) segundos. Después de esto, la velocidad se vuelve positiva; y \(5\) segundos después de que el cuerpo comenzó, \(t = 12.5\), y \[v = 0.4 \times 12.5 - 3 = 2 \text{ pies/s}.\]

(b) Cuando \(x = 100\), \[\begin{align} 100 = 0.2t^2 - 3t + 10.4,\quad \text{o } t^2 - 15t - 448 = 0, \end{align}\] y \[\begin{align} t = 29.95;\ v = 0.4 \times 29.95 - 3 = 8.98~\text{pies/s} \end{align}\]

(c) Cuando \(v\) es cero, \(x = 0.2 \times 7.5^2 - 3 \times 7.5 + 10.4 = -0.85\), lo que nos indica que el cuerpo se mueve de regreso a \(0.85\) pies más allá del punto \(O\) antes de detenerse. Diez segundos después \[t = 17.5 \text{ y } x = 0.2 \times 17.5^2 - 3 \times 17.5 + 10.4 = 19.15.\] \(\text{La distancia recorrida} = 0.85 + 19.15 = 20.0\), y la velocidad promedio es nuevamente \(2\) pies/seg.

Ejemplo 8.4. Considere aún otro problema del mismo tipo con \(x = 0.2t^3 - 3t^2 + 10.4\); \(v = 0.6t^2 - 6t\); \(a = 1.2t - 6\). La aceleración ya no es constante.

Los gráficos de \(x\), \(v\), y \(a\) versus \(t\) se muestran a continuación.

Cuando \(t = 0\), \(x = 10.4\), \(v = 0\), \(a = -6\). El cuerpo está en reposo, pero listo para moverse con una aceleración negativa, es decir, para ganar una velocidad hacia el punto \(O\) (ver la figura siguiente).

Ejemplo 8.5. Si tenemos \(x = 0.2t^3 - 3t + 10.4\), entonces \(v = 0.6t^2 - 3\), y \(a = 1.2t\).

Cuando \(t = 0\), \(x = 10.4\); \(v = -3\); \(a = 0\).

El cuerpo se mueve hacia el punto \(O\) con una velocidad de \(3\) pies/s,⁴ y justo en ese instante la velocidad es uniforme (es decir, su tasa de cambio es cero).

Los gráficos de \(x\), \(v\), y \(a\) versus \(t\) se muestran a continuación.

Vemos que las condiciones del movimiento siempre pueden determinarse de inmediato a partir de la ecuación tiempo-distancia y sus funciones derivadas primera y segunda. En los dos últimos casos, la velocidad media durante los primeros \(10\) segundos y la velocidad \(5\) segundos después del comienzo ya no serán las mismas, porque la velocidad no está aumentando uniformemente, la aceleración ya no es constante.

Ejemplo 8.6. El ángulo \(\theta\) (en radianes) girado por una rueda está dado por \(\theta = 3 + 2t - 0.1t^3\), donde \(t\) es el tiempo en segundos desde un cierto instante; encuentre la velocidad angular \(\omega\) y la aceleración angular⁵  \(\alpha\), (a) después de \(1\) segundo; (b) después de que ha realizado una revolución. (c) ¿En qué momento está en reposo y cuántas revoluciones ha realizado hasta ese instante?

Solución. Escribiendo para la aceleración \[\omega = \dot{\theta} = \dfrac{d\theta}{dt} = 2 - 0.3t^2,\quad \alpha = \ddot{\theta} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2} = -0.6t.\]

Cuando \(t = 0\), \(\theta = 3\); \(\omega = 2\) rad/s; \(\alpha = 0\).

(a) Cuando \(t = 1\), \[\omega = 2 - 0.3 = 1.7~\text{rad/s};\quad \alpha = -0.6~\text{rad/s}^2.\]

Esta es una desaceleración; la rueda está disminuyendo la velocidad.

(b) Después de \(1\) revolución \[\theta = 2\pi \approx 6.28;\quad 6.28 = 3 + 2t - 0.1t^3.\]

Al trazar el gráfico, \(\theta = 3 + 2t - 0.1t^3\) (ver la figura siguiente), podemos obtener el valor o valores de \(t\) para los cuales \(\theta = 6.28\); estos son \(2.11\) y \(3.03\) (hay un tercer valor negativo).

Cuando \(t = 2.11\), \[\begin{gathered} \theta = 6.28;\quad\omega = 2 - 1.34 = 0.66 \text{ rad/s}; \\ \alpha = -1.27 \text{ rad/s}^2. \end{gathered}\] Cuando \(t = 3.03\), \[\begin{gathered} \theta = 6.28;\quad \omega = 2 - 2.754 = -0.754 \text{ rad/s}; \\ \alpha = -1.82 \text{ rad/s}^2. \end{gathered}\]

(c) La velocidad está en reversa. La rueda obviamente está en reposo entre estos dos instantes; está en reposo cuando \(\omega = 0\), es decir, cuando \(0 = 2 - 0.3t^3\), o cuando \(t = 2.58~\text{s}\), ha realizado \[\dfrac{\theta}{2\pi} = \dfrac{3 + 2 \times 2.58 - 0.1 \times 2.58^3}{6.28} = 1.025 \text{ revoluciones}.\]

Al trazar el gráfico de \(\theta = 3 + 2t - 0.1t^3\), observamos que en \(t=2.58\) segundos, donde la velocidad angular \(\omega=\frac{d\theta}{dt}\) es cero, la curva tiene un pico y el valor de \(\theta\) en ese momento es un máximo local (ver la figura siguiente).

Ejercicios

Ejercicio 8.2. Un cuerpo en caída libre en el espacio describe en \(t\) segundos un espacio \(s\), en pies, expresado por la ecuación \(s = 16t^2\). Dibuje una curva que muestre la relación entre \(s\) y \(t\). También determine la velocidad del cuerpo en los siguientes tiempos desde que fue dejado caer: \(t = 2\) segundos; \(t = 4.6\) segundos; \(t = 0.01\) segundos.

 

Respuesta

64; 147.2; y 0.32 pies por segundo.

 

 

Solución

 

\[s=16 t^{2} \Rightarrow v=32 t\]

Cuando \(t=2, v=64~\mathrm{pies} / \mathrm{s}\)

cuando \(t=4.6, v=147.2\ \mathrm{pies} / \mathrm{s}\)

cuando \(t=0.01, v=0.32\ \mathrm{pies} / \mathrm{s}\)

 

 

Ejercicio 8.8. El movimiento de un globo que asciende es tal que su altura \(h\), en millas, se da en cualquier instante por la expresión \(h = 0.5 + \frac{1}{10}\sqrt[3]{t-125}\); \(t\) estando en segundos.

Encuentre una expresión para la velocidad y la aceleración en cualquier momento. Dibuje curvas para mostrar la variación de altura, velocidad y aceleración durante los primeros diez minutos del ascenso.

 

Respuesta

\(v = \dfrac{1}{30 \sqrt[3]{(t - 125)^2}}\),\(a = - \dfrac{1}{45 \sqrt[3]{(t - 125)^5}}\).

 

 

Solución

\[h=0.5+\frac{1}{10}(t-125)^{\frac{1}{3}}\]

 

Si tenemos un cambio en el tiempo (definiendo un nuevo origen para el tiempo), \(\tau=t-125\), entonces \(h=0.5+\frac{1}{10} \tau^{\frac{1}{3}}\). Sin embargo, como este es un cambio simple, esperamos que la tasa de cambio de \(h\) con respecto a ambos \(t\) y \(\tau\) sea la misma. \[\frac{dh}{dt}=\frac{dh}{d\tau}.\]

\[\begin{gathered} v=\frac{d h}{d \tau}=\frac{1}{30} \tau^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{30}(t-125)^{-\frac{2}{3}} \\ a=\frac{d^{2} h}{d t^{2}}=\frac{d^{2} h}{d \tau^{2}}=-\frac{1}{45}\tau^{-\frac{5}{2}}=-\frac{1}{45}(t-125)^{-\frac{5}{2}} \end{gathered}\]

Los gráficos de velocidad (\(v\)) y aceleración (\(a\)) como funciones del tiempo se presentan a continuación. Las fórmulas para velocidad y aceleración, junto con los gráficos acompañantes, demuestran que en \(t=125\) segundos, tanto la velocidad como la aceleración se vuelven infinitas o "explodan". Esto indica que no es posible que exista una fórmula para la altura (\(h\)) en este caso.