Superficies

Tabla de contenidos

5.1 INTRODUCCIÓN
- 5.1.1 Comprendiendo las superficies
- 5.1.2 Describiendo superficies
5.2 LECCIÓN
5.3 EJEMPLOS
EJERCICIOS

5.1 INTRODUCCIÓN

**Figura 1.** La botella de Klein es una superficie en el espacio tridimensional. Sin embargo, no puede realizarse como una superficie de nivel de una función ya que hay puntos de autointersección. Pero podemos parametrizar perfectamente la superficie.

5.1.1 Comprendiendo las superficies

Las superficies son objetos de codimensión uno en un espacio. Son importantes porque pueden dividir el espacio. Podemos confinar agua en una botella. Esto no es posible para codimensión dos. No se puede confinar agua en una curva. De manera similar, si vivieras en un espacio de $4$ dimensiones, no podrías almacenar agua en una superficie bidimensional. Pero las cosas pueden complicarse ya en tres dimensiones. Hay superficies bidimensionales cerradas que no confinan ningún espacio. ¡Intenta beber de una botella de Klein!

5.1.2 Describiendo superficies

Una superficie puede describirse matemáticamente de dos maneras fundamentalmente diferentes. O bien se da como una superficie de nivel de una función en ese espacio. O bien puede ser la imagen de un mapa llamado parametrización. Ya conoces esto de la tierra, que es una esfera. Podemos decir que una esfera es el conjunto de puntos que tienen una distancia fija
a su punto central. O bien podemos parametrizar la esfera, por ejemplo usando longitud y latitud. Un plano que pasa por $0$ puede darse ya sea como el núcleo ${x \in ℝ^{3} ∣ A x = 0}$ de una matriz $1 \times 3$ $A$ o bien como la imagen ${A x ∣ x \in ℝ^{2}}$ de una matriz $3 \times 2$ . La primera escribe $a x + b y + c z = 0$ . La segunda escribe el plano como $v s + w t$ , donde $v$ , $w$ son los vectores columna de $A$ y $x = [s, t]^{T}$ da los parámetros.

5.2 LECCIÓN

5.2.1 Variedades lineales y espacios

Si $A$ es una matriz, el espacio solución de un sistema de ecuaciones $A 𝐱 = b$ se llama una variedad lineal. Es el conjunto de soluciones de $A 𝐱 = 0$ trasladado para que pase por uno de los puntos. La ecuación $3 x + 2 y = 6$ por ejemplo describe una línea en $ℝ^{2}$ que pasa por $(2, 0)$ y $(0, 3)$ . Las soluciones de $A x = 0$ forman un espacio lineal, lo que significa que podemos sumar o escalar soluciones y obtener de nuevo soluciones. Podemos reformular lo dicho diciendo que un espacio lineal es una variedad lineal que contiene $0$ . Por ejemplo, para $x + 2 y + 3 z = 6$ obtenemos un plano que es paralelo al plano $x + 2 y + 3 z = 0$ . El primero es una variedad lineal (también llamada espacio afín), el último es un espacio lineal. Es el espacio solución de $A 𝐱 = 0$ con $A = [1, 2, 3]$ y $𝐱 = [x, y, z]^{T}$ . Ambos planos son perpendiculares a $n = [1, 2, 3]^{T}$ . Para encontrar una ecuación para el plano que pasa por los $3$ puntos $P, Q, R$ , define $n = P Q \times P R = [a, b, c]^{T}$ luego escribe $a x + b y + c z = d$ , donde $d$ se obtiene sustituyendo un punto. El producto vectorial resulta útil.

5.2.2 Vectores normales y planos

El siguiente ejemplo importante trata con $A = [a_{1}, \dots, a_{m}]$ en $M (1, m)$ .

Teorema 1. El vector $n = A^{T}$ es perpendicular al plano $A x = d$ .

Demostración. Dados dos puntos $y$ , $z$ en el plano. Entonces tenemos $A y = d$ y $A z = d$ . Entonces $x = y - z$ es un vector dentro del plano. Ahora $A^{T} \cdot x = A x = A (y - z) = A y - A z = d - d = 0$ . Esto significa que $x$ es perpendicular al vector $A^{T}$ . ◻

En tres dimensiones, esto significa que el plano $a x + b y + c z = d$ tiene un vector normal $A^{T} = n = [a, b, c]^{T}$ . Ten esto en cuenta, especialmente porque $ℝ^{3}$ es nuestro hogar.

5.2.3 Núcleos e imágenes de matrices

Este resultado de dualidad más tarde será identificado como un teorema fundamental del álgebra lineal. Será importante en el ajuste de datos, por ejemplo. El núcleo de una matriz $A$ es el espacio lineal de todas las soluciones $A x = 0$ . El núcleo consiste en todas las raíces de $A$ . La imagen de una matriz $A$ es el espacio lineal de todos los vectores ${A x}$ . Abreviamos $\ker (A)$ para el núcleo y $im (A)$ para la imagen. Volveremos a esto más tarde.

Teorema 2. La imagen de $A^{T}$ es perpendicular al núcleo de $A$ .

Demostración. Si $x$ está en el núcleo de $A$ , entonces $A x = 0$ . Esto significa que $x$ es perpendicular a cada vector fila de $A$ . Pero esto significa que $x$ es perpendicular al vector columna de $A^{T}$ . Así que $x$ es perpendicular a la imagen de $A^{T}$ . Esta línea de argumentación puede invertirse para ver que si $x$ es perpendicular a la imagen de $A^{T}$ , entonces está en el núcleo de $A$ . ◻

5.2.4 Explorando superficies no lineales

Dada una función $f : ℝ^{n} \to ℝ$ , el conjunto solución ${f (x_{1}, \dots, x_{n}) = d}$ es una hipersuperficie. A menudo decimos "superficie" aunque "superficie" está reservada para $n = 3$ . Las superficies no lineales más simples son las variedades cuadráticas $x \cdot B x + A x = d$ definidas por una matriz simétrica $B$ y un vector fila $A$ y un escalar $d$ . Suponemos que $B$ no es la matriz cero, de lo contrario estamos en el caso de una variedad lineal. También podemos suponer que $B$ es simétrica $B = B^{T}$ . Para la notación, escribimos $Diag (a, b, c) = [\begin{matrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{matrix}]$ y $1 = Diag (1, 1, 1)$ .

5.2.5 Elipsoides

Para $B = 1$ y $A = 0$ y $d = 1$ obtenemos la esfera $| x |^{2} = 1$ . En $ℝ^{2}$ , una esfera es un círculo $x^{2} + y^{2} = 1$ . En tres dimensiones tenemos la esfera familiar $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . Un elipsoide más general con $B = Diag (1 / a^{2}, 1 / b^{2}, 1 / c^{2})$ es $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2} = 1$ . Al intersectar con $x = 0$ o $y = 0$ o $z = 0$ , vemos trazas, que son todas elipses.

**Figura 2.** La esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ y un ejemplo de un elipsoide $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2} = 1$ .

5.2.6 Hiperboloides

Para $B = Diag (1, 1, - 1)$ y $d = 1$ , obtenemos un hiperboloide de una hoja $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ . Para $B = Diag (1, 1, - 1)$ y $d = - 1$ , obtenemos un hiperboloide de dos hojas $x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 1$ . Un hiperboloide más general es de la forma $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} - z^{2} / c^{2} = d$ con $d \neq 0$ . La intersección con $z = 0$ da en el caso de una hoja un círculo, en el caso de dos hojas nada. La traza con $x = 0$ o la traza con $y = 0$ son ambas hipérbolas.

**Figura 3.** El hiperboloide de una hoja $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ y el hiperboloide de dos hojas $x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 1$ .

5.2.7 Paraboloides

Para $B = Diag (1, 1, 0)$ y $A = [0, 0, - 1]$ y $d = 0$ obtenemos el paraboloide $x^{2} + y^{2} = z$ , para $B = Diag (1, - 1, 0)$ y $A = [0, 0, - 1]$ y $d = 0$ obtenemos el paraboloide hiperbólico $x^{2} - y^{2} = z$ . Podemos reconocer paraboloides intersectando con $x = 0$ o $y = 0$ para ver parábolas. La intersección del paraboloide elíptico $x^{2} + y^{2} = z$ con $z = 1$ da una elipse. La intersección del paraboloide hiperbólico $x^{2} - y^{2} = z$ con $z = 1$ da una hipérbola.

**Figura 4.** Un paraboloide elíptico $z = x^{2} + y^{2}$ y el paraboloide hiperbólico $z = x^{2} - y^{2}$ .

5.2.8 Superficies especiales

Si $B = Diag (1, 1, - 1)$ y $d = 0$ , obtenemos un cono $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$ . Para $B = Diag (1, 1, 0)$ y $d = 1$ obtenemos el cilindro $x^{2} + y^{2} = 1$ .

**Figura 5.** El cono $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ y el cilindro $x^{2} + y^{2} = 1$ .

5.2.9 Nota al margen: Estructuras algebraicas y fuerzas

La $1$ -esfera $S^{1} = {x^{2} + y^{2} = 1} \subset ℝ^{2}$ y la $3$ -esfera $S^{3} = {x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1} \subset ℝ^{4}$ llevan una multiplicación: $S^{1}$ está en los números complejos $ℂ = {x + i y}$ y $S^{3}$ está en los cuaterniones $ℍ = {x + i y + j z + k w}$ . La $1$ -esfera es el grupo de calibración para el electromagnetismo, la $3$ -esfera (también llamada $S U (2)$ ) es responsable de la fuerza débil. Ninguna otra esfera euclidiana lleva una multiplicación para la cual $x \to x * y$ sea suave. Michael Atiyah señaló una vez que esta particularidad algebraica podría no ser una coincidencia y ser responsable de la estructura del modelo estándar de partículas elementales (una de las teorías más precisas jamás construidas por la humanidad). La fuerza fuerte aparece cuando se puede hacer que un conjunto de matrices $3 \times 3$ $S U (3)$ actúe sobre $ℍ$ . Atiyah sugirió que la gravedad podría estar relacionada con los octoniones $𝕆$ . Allí $S^{7} = {| x | = 1} \subset$ $ℝ^{8}$ todavía lleva una multiplicación, pero ya no es asociativa. La lista de álgebras de división normadas $ℝ$ , $ℂ$ , $ℍ$ y $𝕆$ .¹

5.2.10 Superficies polinomiales: Variedades

Dado un polinomio $p$ de $n$ variables, se puede considerar la superficie ${p (x) = 0}$ . Se llama una variedad.

**Figura 6.** Más ejemplos de **variedades**, conjuntos solución de ecuaciones polinómicas. A la izquierda vemos la **superficie cúbica** $x^{3} - 3 x y^{2} - z = 0$ llamada la **silla de mono**. A la derecha vemos el **toro** $(3 + x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} - 16 (x^{2} + y^{2}) = 0$ que es un ejemplo de una **variedad cuártica**

**Figura 7.** La variedad $x^{4} - x^{2} + y^{2} + z^{2} = d$ para $d = - 0.02$ , $d = 0$ y $d = 0.02$ .

5.3 EJEMPLOS

Ejemplo 1. P: Encuentre el plano $Σ$ que contiene la recta $x = y = z$ y el punto $P = (3, 4, 5)$ .

R: $Σ$ contiene $Q = (0, 0, 0)$ y $R = (1, 1, 1)$ y por lo tanto los vectores $v = [1, 1, 1]^{T}$ y $w = [3, 4, 5]^{T}$ . El producto cruz entre $v$ y $w$ es $[1, - 2, 1]^{T}$ . Es perpendicular a $Σ$ . Por lo tanto, la ecuación es $x - 2 y + z = d$ , donde $d$ se puede obtener sustituyendo un punto $(3, 4, 5)$ . Esto da $d = 0$ , de modo que $x - 2 y + z = 0$ .

Ejemplo 2. ¿Podemos identificar la superficie $x^{2} + 2 x + y^{2} - 4 y - z^{2} + 6 z = 0$ ? Completar el cuadrado da $x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} - 4 y + 4 - z^{2} + 6 z - 9 = 1 + 4 - 9 = - 4.$ Ahora $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} - (z - 3)^{2} = - 4$ . Esto es un hiperboloide de dos hojas centrado en $(- 1, 2, 3)$ .

Ejemplo 3. Intersectando el cono $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ con el plano $y = 1$ da una hipérbola $z^{2} - x^{2} = 1$ . La intersección con $z = 1$ da un círculo $x^{2} + y^{2} = 1$ . Intersectando con $z = x + 1$ da $y^{2} = 2 x + 1$ , una parábola. Debido a que al seccionar un cono se pueden obtener una hipérbola, una elipse o una parábola como cortes, a estas últimas se les llama secciones cónicas.

Ejemplo 4. El caso de las variedades cuadráticas singulares es aún más rico: $x^{2} - y^{2} = 1$ es un hiperboloide cilíndrico, $x^{2} - y^{2} = 0$ es la unión de dos planos $x - y = 0$ y $x + y = 0$ . La superficie $x^{2} = 1$ es la unión de dos planos paralelos, la superficie $x^{2} = 0$ es un plano.

EJERCICIOS

Ejercicio 1.

¿Qué tipo de curva es $2 x^{2} + 4 x + 2 y^{2} + 2 = 0$ ?
¿Qué superficie es $x^{2} + y^{2} - 4 y + z^{2} + 8 z = 100$ ?
Sea $(x, y, z)$ el conjunto de puntos para los cuales $| [x, y, z]^{T} \times [1, 1, 1]^{T} | = 1$ . Describa este conjunto.

Ejercicio 2.

¿Qué tipo de curvas se pueden obtener al intersectar el paraboloide hiperbólico $x^{2} - y^{2} = z$ con un plano?
Explore qué obtiene si intersecta el hiperboloide $S : x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ con el $S$ rotado $90$ grados alrededor del eje $x$ .

Ejercicio 3. Encuentre planos explícitos que al intersectarse con el hiperboloide $x^{2} + 2 y^{2} - z^{2} = 1$ produzcan una elipse, una hipérbola o una parábola.

Ejercicio 4. Encuentre la ecuación de un plano que sea tangente a las tres esferas unitarias centradas en $(3, 4, 5)$ , $(1, 1, 1)$ , $(2, 3, 4)$ .

Ejercicio 5. Construya una función concreta $f (x, y, z)$ de tres variables tal que alguna superficie de nivel $f (x, y, z) = c$ sea un pretzel, una superficie con tres agujeros. Sugerencia: la superficie $g * h = 0$ es la unión de las superficies $g = 0$ y $h = 0$ . Ahora, $g * h = c$ puede producir superficies en las que las cosas se pegan de manera elegante. Si consulta alguna superficie en la web o en la literatura, debe dar la referencia. Puede usar la computadora para experimentar, o describir su estrategia con palabras.

**Figura 8.** En el pretzel horneado a la derecha hemos utilizado un polinomio $f (x, y, z)$ de grado $12$ . Un problema en geometría algebraica sería encontrar el "polinomio de menor grado" que funcione y luego encontrar el polinomio más elegante.

Vea la charla de 2010 de Atiyah (https://www.youtube.com/watch?v=zCCxOE44M_M).↩︎