Producto vectorial

Tabla de Contenidos

4.1 INTRODUCCIÓN
- 4.1.1 Evolución de la Multiplicación de Vectores
- 4.1.2 Cuaterniones y Producto Cruz
4.2 CONFERENCIA
4.3 EJEMPLOS
4.4 ILUSTRACIONES
EJERCICIOS

4.1 INTRODUCCIÓN

**Figura 1.** La placa de los cuaterniones en el puente Brougham: aquí, mientras caminaba el 16 de octubre de 1843, Sir William Rowan Hamilton, en un destello de genio, descubrió la fórmula fundamental para la multiplicación de cuaterniones $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$ y la grabó en una piedra de este puente.

4.1.1 Evolución de la Multiplicación de Vectores

Hemos visto que podemos multiplicar matrices cuadradas y obtener nuevamente una matriz. ¿No sería agradable si también pudiéramos multiplicar dos vectores y obtener un vector de vuelta? El producto punto, que es el producto matricial de un vector fila por un vector columna, nos dio un número. El producto matricial de un vector columna por un vector fila nos daría una matriz cuadrada. ¿Cómo podemos diseñar un producto de vectores columna que nuevamente nos dé un vector columna? Esta fue la pregunta que William Rowan Hamilton reflexionó durante muchos años. Cuenta la historia que cada mañana, cuando bajaba a la mesa del desayuno, su hijo pequeño le preguntaba: "Papá, ¿ya puedes multiplicar tripletes?" a lo que William respondía: "No, hijo, todavía no sé cómo hacerlo".

4.1.2 Cuaterniones y Producto Cruz

Finalmente, Hamilton tuvo éxito. La leyenda cuenta que mientras caminaba con su esposa por el Canal Real en Dublín, al cruzar el puente Brougham, de repente tuvo la inspiración: ¡hay que multiplicar cuádruples! Estos números se escribirían como $a + b i + c j + d k$ donde $i, j, k$ son símbolos que satisfacen $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$ . Estaba tan feliz que dedicaría el resto de su vida a estos números. Ahora resulta que esta álgebra también produce un producto de vectores que se llama producto cruz. Tiene muchas propiedades agradables, como que el producto de dos vectores es perpendicular y que la longitud está relacionada con el área. También tiene aplicaciones sorprendentes en física.

4.2 CONFERENCIA

4.2.1 Unicidad de $ℝ^{3}$

El espacio tridimensional $ℝ^{3}$ es especial. No solo es el único espacio euclidiano en el que el problema de Kepler es estable¹, sino que también presenta un producto cruz $v \times w$ que está en el mismo espacio. Tal producto se puede definir en $ℝ^{n}$ pero produce un vector en $ℝ^{n (n - 1) / 2}$ . Sucede que para $n = 3$ el resultado está nuevamente en $ℝ^{3}$ . El problema de "multiplicar tripletes" fue reflexionado por William Hamilton en la primera mitad del siglo XIX y está relacionado con la fascinante historia de los cuaterniones. El descubrimiento de los cuaterniones fue simultáneamente el lugar de nacimiento del producto punto y del producto cruz.

4.2.2 Propiedades del Producto Cruz

El producto cruz de dos vectores $v = {[v_{1}, v_{2}, v_{3}]}^{T}$ y $w = {[w_{1}, w_{2}, w_{3}]}^{T}$ es

$[\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}] \times [\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{array}] = [\begin{array}{l} v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2} \\ v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3} \\ v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1} \end{array}]$

Tome el producto punto con $v$ o $w$ para ver que $v \times w$ es perpendicular tanto a $v$ como a $w$ . También es obvio que $v \times w = - w \times v$ . El producto es útil para construcciones en $ℝ^{3}$ . Los vectores $v, w, v \times w$ están orientados como los tres primeros dedos de la mano derecha: si $v$ es el pulgar, $w$ es el índice, entonces $v \times w$ es el dedo medio. Sea $v \cdot w = | v | | w | \cos (α)$ :

Teorema 1. $| v \times w | = | v | | w | \sin (α)$ y $v \cdot (v \times w) = w \cdot (v \times w) = 0$ .

Demostración. Verificaremos en clase por fuerza bruta la identidad de Lagrange $| v \times w |^{2} = | v |^{2} | w |^{2} - (v \cdot w)^{2}$ que también se llama fórmula de Cauchy-Binet. Ahora use $| v \cdot w | = | v | | w | \cos (α)$ para obtener el resultado con $\cos^{2} (α) + \sin^{2} (α) = 1$ . ◻

4.2.3 Aplicaciones Geométricas del Seno

Dado un triángulo con longitudes de lados $a, b, c$ y ángulos $α, β, γ$ , donde $α$ es opuesto a $a$ , etc. Tenemos la siguiente fórmula del $\sin$

Corolario 1. $\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)} .$

Demostración. Podemos usar el teorema y expresar el área del triángulo como $a b \sin (γ)$ o $b c \sin (α)$ o $a c \sin (β)$ . Al igualar estas tres cantidades y dividir por el factor común, obtenemos la fórmula del $\sin$ . ◻

4.2.4 Perspectivas Geométricas del Área

Esto es útil en aplicaciones para definir el área del paralelogramo como $| v \times w |$ . Que esto está justificado se puede ver en dos dimensiones y:

Corolario 2. $| v \times w |$ es el área del paralelogramo generado por $v$ y $w$ .

Demostración. Use la fórmula $| v \times w | = | v | | w | \sin (α)$ y observe que $| w | \sin (α)$ es la altura del paralelogramo generado por $v$ y $w$ . La longitud de la base es $| v |$ . ◻

4.2.5 Producto Escalar Triple

El escalar $u \cdot (v \times w)$ se llama el producto escalar triple de $u, v, w$ . Su signo define una orientación de los tres vectores. También es el determinante de la matriz $[\begin{array}{lll} u_{1} & v_{1} & w_{1} \\ u_{2} & v_{2} & w_{2} \\ u_{3} & v_{3} & w_{3} \end{array}] .$ El valor absoluto de $u \cdot v \times w$ define el volumen del paralelepípedo generado por $u$ , $v$ y $w$ . Sin el valor absoluto, también hablamos de volumen con signo.

4.2.6 Observación Adicional: Producto Cruz en Dimensiones Superiores

En dimensiones superiores, el producto cruz se llama producto exterior. Se usa $\land$ en lugar de $\times$ que se usa en tres dimensiones. Si $I = (i, j)$ es una elección de dos elementos en ${1, 2, \dots, n}$ y $v, w$ son dos vectores en $ℝ^{n}$ , entonces $(v \land w)_{I} =$ $v_{i} w_{j} - v_{j} w_{i}$ . La fórmula $| v \land w | = | v | | w | \sin (α)$ sigue siendo válida y la demostración es la misma. Solo necesitamos verificar nuevamente la fórmula de Cauchy-Binet $| v |^{2} | w |^{2} - (v \cdot w)^{2} = | v \land w |^{2}$ . Pero esto se hace mejor usando matrices. Si $A$ es la matriz que contiene $v, w$ como columnas, entonces $\det (A^{T} A) = \sum_{P} \det (A_{P})^{2}$ , donde la suma de la derecha es sobre todas las submatrices $2 \times 2$ $A_{P}$ de $A$ . La expresión $\det (A_{P})$ se llama un menor. La fórmula de Cauchy-Binet es súper genial². Por cierto, si tenemos $k$ vectores y construimos $A \in M (n, k)$ , una matriz que tiene estos vectores como columnas. Ahora, $\det (A^{T} A)$ es el volumen del paralelepípedo generado por estos vectores. Y Cauchy-Binet escribe esto como una suma de cuadrados de volúmenes $k$ -dimensionales de proyecciones, lo que en cierto sentido es una generalización de Pitágoras.

4.3 EJEMPLOS

Ejemplo 1. ¿Cuál es el área del triángulo $A = (1, 1, 1)$ , $B = (3, 5, 2)$ y $C = (2, 0, 3)$ ? Encontramos el producto cruz entre el vector $[2, 4, 1]^{T}$ que va de $A$ a $B$ y el vector $[1, - 1, 2]^{T}$ que va de $A$ a $C$ . El producto cruz es $[\begin{array}{l} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 9 \\ - 3 \\ - 6 \end{matrix}]$ Su longitud es $3 \sqrt{14}$ . El área del triángulo es la mitad: $3 \sqrt{14} / 2$ .

Ejemplo 2. Encuentre el volumen del paralelepípedo con vértices $O = (0, 0, 0)$ y esquinas adjuntas $A = (1, 1, 1)$ , $B = (3, 4, 2)$ y $C = (2, 0, 3)$ . El volumen con signo es $[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] \cdot ([\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}] \times [\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}]) = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] \cdot [\begin{matrix} 12 \\ - 5 \\ - 8 \end{matrix}] = - 1 .$ y tome el valor absoluto. Un número negativo indica que $O A$ , $O B$ , $O C$ es de mano izquierda.

4.4 ILUSTRACIONES

**Figura 2.** El Banco Nacional Suizo emitió el 22 de agosto de 2018 nuevos billetes de 200 francos. Muestra la **regla de la mano derecha**: pulgar $= v$ , índice $= w$ , entonces $v \times w$ es el dedo medio.

**Figura 3.** La **fuerza de Lorentz** $F$ es un vector $F = q v \times B$ determinado por la velocidad $v$ de una partícula cargada con carga $q$ que se mueve en un campo magnético $B$ .

**Figura 4.** Dada una partícula de masa $m$ en la posición $r$ que se mueve con la velocidad r^{\prime}, entonces L=m r \times r^{\prime} es el **momento angular**.

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Encuentre un vector $w$ perpendicular a los vectores $u = [2, 3, 4]^{T}$ y $v = [3, 4, 7]^{T}$ . Luego use este resultado para encontrar un vector $x$ perpendicular tanto a $v$ como a $w$ .

Ejercicio 2. Se utiliza un escáner 3D para construir un modelo 3D de una cara. Detecta un triángulo que tiene sus vértices en $P = (2, 1, 1)$ , $Q = (1, 1, 0)$ y $R = (1, 2, 3)$ . Encuentre el área de ese triángulo así como un vector perpendicular al triángulo.³

Ejercicio 3. Encuentre el volumen del paralelepípedo que tiene los vértices $O = (0, 0, 0)$ , $P = (2, 3, 1)$ , $Q = (4, 3, 1)$ , $R = (6, 6, 2)$ , $A = (1, 1, 1)$ , $B = (3, 4, 2)$ , $C = (5, 4, 2)$ , $D = (7, 7, 3)$ .

Ejercicio 4. Investigue cuáles de las siguientes fórmulas son siempre verdaderas para todos los vectores $u, v, w, x, y$ . Si es verdadera, explique, cite una fuente (por ejemplo, en la web), o haga una verificación a mano o con álgebra computacional. Si no es verdadera, encuentre un contraejemplo.

$u \cdot (v \times w) = v \cdot (w \times u)$
$u \times (v \times w) = (u \times v) \times w$
$u \times (v + w) = u \times v + u \times w$
$u \times (v \times w) = (u \cdot w) v - (u \cdot v) w$
$(u \times v) \cdot (x \times y) = (u \cdot x) (v \cdot y) - (u \cdot y) (v \cdot x)$

Ejercicio 5. Dados dos vectores $p = [a, b, c]^{T}$ y $q = [u, v, w]^{T}$ , construya las matrices \begin{aligned} P= \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}, \quad Q= \begin{bmatrix} 0 & u & v \\ -u & 0 & w \\ -v & -w & 0 \end{bmatrix}. \end{aligned} Compare $p \times q$ y $Q P - P Q$ . Describa lo que observa. Intente formular esto como un teorema.

por un teorema de Joseph Bertrand de 1873 y trabajo de Sundman-von Zeipel↩︎
O. Knill, Cauchy Binet for pseudo-determinants, Lin. Alg. and its Applications 459 (2014) 522-547↩︎
El formato STL que se utiliza para la impresión 3D tiene una forma extremadamente simple. Consiste en entradas como

facet normal 0.15-0.97-0.20

outer loop

vertex -1.6996-0.5597-2.8360

vertex -1.8259-0.5793-2.8374

vertex -1.7232-0.5399-2.9509

endloop

endfacet

La primera línea da el vector normal, luego hay un bucle con tres vértices que dan el triángulo. Obviamente hay cierta redundancia ya que se podría obtener el vector normal a partir de los puntos usando el producto vectorial. Pero tiene un propósito: la información redundante hace que trabajar con la estructura de datos sea más rápido; segundo, también se pueden considerar situaciones en las que el vector normal no es perpendicular a la superficie, se puede cambiar la forma en que se "sombrea", como la forma en que la luz se refleja en la superficie. Tercero, la redundancia siempre es buena para detectar errores. Nuestra información genética en el ADN se almacena de manera altamente redundante. Esto permite la corrección de errores.↩︎

Producto vectorial

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4.1 INTRODUCCIÓN

4.1.1 Evolución de la Multiplicación de Vectores

4.1.2 Cuaterniones y Producto Cruz

4.2 CONFERENCIA

4.2.1 Unicidad de $ℝ^{3}$

4.2.2 Propiedades del Producto Cruz

4.2.3 Aplicaciones Geométricas del Seno

4.2.4 Perspectivas Geométricas del Área

4.2.5 Producto Escalar Triple

4.2.6 Observación Adicional: Producto Cruz en Dimensiones Superiores

4.3 EJEMPLOS

4.4 ILUSTRACIONES

EJERCICIOS

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Producto vectorial

Tabla de Contenidos

4.1 INTRODUCCIÓN

4.1.1 Evolución de la Multiplicación de Vectores

4.1.2 Cuaterniones y Producto Cruz

4.2 CONFERENCIA

4.2.1 Unicidad de ℝ 3

4.2.2 Propiedades del Producto Cruz

4.2.3 Aplicaciones Geométricas del Seno

4.2.4 Perspectivas Geométricas del Área

4.2.5 Producto Escalar Triple

4.2.6 Observación Adicional: Producto Cruz en Dimensiones Superiores

4.3 EJEMPLOS

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4.2.1 Unicidad de $ℝ^{3}$