En el capítulo titulado Curvatura de curvas, hemos aprendido cómo podemos averiguar hacia qué lado se curva una curva, es decir, si se curva hacia arriba o hacia abajo hacia la derecha. Esto no nos dio ninguna indicación sobre qué tanto se curva la curva, o, en otras palabras, cuál es su curvatura.
Por curvatura de una línea, entendemos la cantidad de flexión o desviación que tiene lugar a lo largo de una cierta longitud de la línea, digamos a lo largo de una porción de la línea cuya longitud es una unidad de longitud (la misma unidad que se usa para medir el radio, ya sea una pulgada, un pie o cualquier otra unidad). Por ejemplo, considere dos trayectorias circulares de centro O y O^{\prime} y de longitudes iguales AB, A^{\prime} B^{\prime} (ver la siguiente figura). Al pasar de A a B a lo largo del arco AB del primero, uno cambia su dirección de AP a B Q, ya que en A uno mira en la dirección AP y en B uno mira en la dirección B Q. En otras palabras, al caminar de A a B uno se gira inconscientemente a través del ángulo \angle P C Q, que es igual al ángulo \angle A O B. De manera similar, al pasar de A^\prime a B^{\prime}, a lo largo del arco A^\prime B^\prime, de igual longitud a A B, en la segunda trayectoria, uno se gira a través del ángulo \angle P^{\prime} C^{\prime} Q^{\prime}, que es igual al ángulo \angle A^{\prime} O^{\prime} B^{\prime}, obviamente mayor que el ángulo correspondiente \angle A O B. La segunda trayectoria se dobla por lo tanto más que la primera para una misma longitud.
Este hecho se expresa diciendo que la curvatura de la segunda trayectoria es mayor que la de la primera. Cuanto mayor es el círculo, menor es la flexión, es decir, menor es la curvatura. Si el radio del primer círculo es 2,3,4, \ldots etc. veces mayor que el radio del segundo, entonces el ángulo de flexión o desviación a lo largo de un arco de unidad de longitud será 2, 3, 4 , ... etc. veces menor en el primer círculo que en el segundo, es decir, será \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots etc. de la flexión o desviación a lo largo del arco de la misma longitud en el segundo círculo. En otras palabras, la curvatura del primer círculo será \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots etc. de la del segundo círculo. Vemos que, a medida que el radio se vuelve 2, 3, 4, .. etc. veces mayor, la curvatura se vuelve 2, 3, 4, ... etc. veces menor, y esto se expresa diciendo que la curvatura de un círculo es inversamente proporcional al radio del círculo, o
\text { curvatura }=k \times \frac{1}{\text { radio }},
donde k es una constante. Se acuerda tomar k=1, de modo que \text { curvatura }=\frac{1}{\text { radio }}, siempre.
Si el radio se vuelve indefinidamente grande, la curvatura se vuelve \frac{1}{\text { infinito }}= cero, ya que cuando el denominador de una fracción es indefinidamente grande, el valor de la fracción es indefinidamente pequeño. Por esta razón, los matemáticos a veces consideran una línea recta como un arco de círculo de radio infinito, o curvatura cero.
En el caso de un círculo, que es perfectamente simétrico y uniforme, de modo que la curvatura es la misma en cada punto de su circunferencia, el método anterior para expresar la curvatura es perfectamente definido. Sin embargo, en el caso de cualquier otra curva, la curvatura no es la misma en diferentes puntos, y puede diferir considerablemente incluso para dos puntos bastante cercanos entre sí. Por lo tanto, no sería exacto tomar la cantidad de flexión o desviación entre dos puntos como una medida de la curvatura del arco entre estos puntos, a menos que este arco sea muy pequeño, de hecho, a menos que sea indefinidamente pequeño.
Si entonces consideramos un arco muy pequeño como A B (ver la siguiente figura), y si dibujamos un círculo tal que un arco AB de este círculo coincida con el arco A B de la curva más estrechamente de lo que sería el caso con cualquier otro círculo, entonces la curvatura de este círculo puede tomarse como la curvatura del arco AB de la curva. Cuanto más pequeño sea el arco AB, más fácil será encontrar un círculo del cual un arco coincida casi por completo con el arco A B de la curva. Cuando A y B están muy cerca el uno del otro, de modo que A B es tan pequeño que la longitud ds del arco A B es prácticamente insignificante, entonces la coincidencia de los dos arcos, de círculo y de curva, puede considerarse como prácticamente perfecta, y la curvatura de la curva en el punto A (o B ), siendo entonces la misma que la curvatura del círculo, se expresará por el recíproco del radio de este círculo, es decir, por \frac{1}{O A}, según nuestra forma de medir la curvatura, explicada anteriormente.
Ahora bien, al principio, puede pensar que si AB es muy pequeño, entonces el círculo debe ser muy pequeño también. Sin embargo, un poco de reflexión le hará percibir que de ninguna manera es necesariamente así, y que el círculo puede tener cualquier tamaño, de acuerdo con la cantidad de flexión de la curva a lo largo de este arco muy pequeño AB. De hecho, si la curva es casi plana en ese punto, el círculo será extremadamente grande. Este círculo se llama el círculo de curvatura, o el círculo osculador en el punto considerado. Su radio es el radio de curvatura de la curva en ese punto particular.
Si el arco AB se representa por d s y el ángulo \angle A O B por d \theta, entonces, si r es el radio de curvatura,
d s=r d \theta \quad \text { o } \quad \frac{d \theta}{d s}=\frac{1}{r} .
La secante A B forma con el eje x el ángulo \theta, y se verá a partir del pequeño triángulo \triangle A B C que \dfrac{d y}{d x}=\tan \theta. Cuando AB es indefinidamente pequeño, de modo que B coincide prácticamente con A, la línea AB se convierte en una tangente a la curva en el punto A (o B ).
Ahora bien, \tan \theta depende de la posición del punto A (o B, que se supone coincide casi con él), es decir, depende de x, o, en otras palabras, \tan \theta es "una función" de x.
Derivando con respecto a x para obtener la pendiente (ver aquí), obtenemos
\frac{d\left(\dfrac{d y}{d x}\right)}{d x}=\frac{d(\tan \theta)}{d x}
o
\quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sec ^{2} \theta \frac{d \theta}{d x}=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\ \frac{d \theta}{d x}
(ver aquí);
por lo tanto
\frac{d \theta}{d x}=\cos ^{2} \theta \frac{d^{2} y}{dx^{2}} .
Pero \dfrac{d x}{d s}=\cos \theta, y para \dfrac{d \theta}{d s} uno puede escribir \dfrac{d \theta}{d x} \times \dfrac{d x}{d s} por lo tanto
\text{curvatura}=\frac{1}{r}=\frac{d \theta}{d s}=\frac{d \theta}{d x} \times \frac{d x}{d s}=\cos ^{3} \theta \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}{\sec ^{3} \theta} ;
pero \sec \theta=\pm \sqrt{1+\tan ^{2} \theta};1 de ahí que
\frac{1}{r}=\pm\frac{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}{\left(\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}\right)^{3}}=\pm\frac{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}{\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}
y finalmente,
\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle r=\pm \frac{\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}.}
Es importante notar que el radio r siempre debe ser positivo, ya que un radio negativo no tendría significado físico. Por lo tanto, al usar la fórmula anterior, se debe seleccionar el signo + si el denominador \dfrac{d^2y}{dx^2} es positivo y el signo - si el denominador es negativo, ya que el numerador, al ser una raíz cuadrada, siempre es positivo.2
Se ha demostrado en el capítulo sobre Curvatura de curvas que si \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}} es positivo, la curva es cóncava hacia arriba (también llamada convexa), mientras que si \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}} es negativo, la curva es cóncava hacia abajo (también llamada simplemente cóncava). Si \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=0, el radio de curvatura es infinitamente grande, es decir, la porción correspondiente de la curva es un tramo de línea recta. Esto sucede necesariamente siempre que una curva cambia gradualmente de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa. El punto, como P en la siguiente figura, donde esto ocurre se llama punto de inflexión.
El centro del círculo de curvatura se llama centro de curvatura. Si sus coordenadas son (x_{1}, y_{1}), entonces la ecuación del círculo es (ver aquí)
\left(x-x_1\right)^2+\left(y-y_1\right)^2=r^2
por lo tanto
2\left(x-x_1\right) d x+2\left(y-y_1\right) d y=0
y
x-x_1+\left(y-y_1\right) \frac{d y}{d x}=0.\tag{1}
¿Por qué derivamos? Para deshacernos de la constante r. Esto deja solo dos constantes desconocidas x_1 y y_{1}; derive de nuevo; se deshará de una de ellas. Esta última derivada no es tan fácil como parece; hagámosla juntos; tenemos:
\frac{d(x)}{d x}+\frac{d\left[\left(y-y_{1}\right) \dfrac{d y}{d x}\right]}{d x}=0
el numerador del segundo término es un producto; de ahí que derivarlo da
\left(y-y_{1}\right) \frac{d\left(\dfrac{d y}{d x}\right)}{d x}+\frac{d y}{d x} \frac{d\left(y-y_{1}\right)}{d x}=\left(y-y_{1}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2} \text {, }
de modo que el resultado de derivar (1) es
1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0 ;
de esto obtenemos inmediatamente
\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle y_{1}=y+\frac{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}.}
Reemplazando en (1), obtenemos
\left(x-x_{1}\right)+\left\{y-y-\frac{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}\right\} \frac{d y}{d x}=0
\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle x_{1}=x-\frac{\dfrac{d y}{d x}\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}};}
x_{1} e y_{1} dan la posición del centro de curvatura. El uso de estas fórmulas se verá mejor repasando cuidadosamente unos cuantos ejemplos resueltos.
Ejemplo 21.1. Encuentre el radio de curvatura y las coordenadas del centro de curvatura de la curva y=2 x^{2}-x+3 en el punto x=0.
Solución.
Tenemos
\begin{align} & \frac{d y}{d x}=4 x-1,\qquad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=4 . \\ & r=\frac{\pm\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\left\{1+(4 x-1)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{4}, \end{align}
cuando x=0; esto se convierte en
\frac{\left\{1+(-1)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{4}=\frac{\sqrt{8 } }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707.
Si (x_{1}, y_{1}) son las coordenadas del centro de curvatura, entonces
\begin{align} & x_{1}=x-\frac{\dfrac{d y}{d x}\left\{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}=x-\frac{(4 x-1)\left\{1+(4 x-1)^{2}\right\}}{4} \\ & =0-\frac{(-1)\left\{1+(-1)^{2}\right\}}{4}=\frac{1}{2} \end{align}
cuando x=0, y=3, de modo que
y_{1}=y+\frac{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}}=y+\frac{1+(4 x-1)^{2}}{4}=3+\frac{1+(-1)^{2}}{4}=3 \frac{1}{2}.
La curva y el círculo se ilustran a continuación. Los valores pueden verificarse fácilmente, ya que cuando x=0, y=3, aquí
x_{1}^{2}+\left(y_{1}-3\right)^{2}=r^{2} \quad \text { o } \quad 0.5^{2}+0.5^{2}=0.5=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}.
Ejemplo 21.2. Encuentre el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura de la curva y^{2}=m x (m>0) en el punto para el cual y=0.
Solución.
Aquí y=m^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}
\begin{align} & \frac{dy}{d x}=\frac{1}{2} m^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{m^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \text {, } \\[9pt] & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{1}{2} \times \frac{m^{\frac{1}{2}}}{2} x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{m^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} ; \end{align}
de ahí que
\begin{align} & r=\frac{\pm\left\{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\pm\left\{1+\frac{m}{4 x}\right\}^{\frac{3}{2}}}{-\frac{m^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{5}{2}}}}=\frac{(4 x+m)^{\frac{3}{2}}}{2 m^{\frac{1}{2}}}, \end{align}
tomando el signo - en el numerador, para tener un r positivo.
Dado que, cuando y=0, x =0, obtenemos
\begin{align} r=\frac{m^{\frac{3}{2}}}{2 m^{\frac{1}{2}}}=\frac{m}{2}. \end{align}
Además, si (x_{1}, y_{1}) son las coordenadas del centro,
\begin{align} x_{1}&=x-\frac{\frac{d y}{d x}\left\{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}}{\frac{d^{2} y}{d^{2} x}}\\ &=x-\frac{\frac{m^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}\left\{1+\frac{m}{4 x}\right\}}{-\frac{m^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{3}{3}}}} \\[6pt] & =x+\frac{4 x+m}{2}=3 x+\frac{m}{2} \text {, } \end{align}
cuando x=0, entonces x_{1}=\frac{m}{2}. También
\begin{align} y_{1}&=y+\frac{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}\\ &=m^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}-\frac{1+\frac{m}{4 x}}{\frac{m^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}}\\ &=-\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} \end{align}
cuando x=0, y_{1}=0. Por lo tanto, el centro de curvatura es (m/2,0).
La siguiente figura muestra la curva y^2=mx para m=1 y su círculo de curvatura en (0,0).
Ejemplo 21.3. Demuestre que el círculo es una curva de curvatura constante.
Solución.
Si x_{1}, y_{1} son las coordenadas del centro, y R es el radio, la ecuación del círculo en coordenadas rectangulares es
\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}=R^{2} ;
esto se pone fácilmente en la forma
y=\sqrt{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}}+y_{1}=\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}+y_1.
Para derivar, sea R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}=v; entonces
y=v^{\frac{1}{2}}+y_{1}, \quad \frac{d y}{d v}=\frac{1}{2} v^{-\frac{1}{2}}, \quad \frac{d v}{d x}=-2\left(x-x_{1}\right),
\begin{align} \frac{d y}{d x}&=\frac{d y}{d v} \times \frac{d v}{d x}\\[6pt] &=-\frac{1}{2}\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} \times 2\left(x-x_{1}\right) \\[6pt] &=\frac{-\left(x-x_{1}\right)}{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}}. \end{align}
Derive de nuevo; usando la regla de derivación para una fracción, obtenemos
\begin{align} \dfrac{d^2 y}{dx^2}=\frac{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}} \times \frac{d\left\{-\left(x-x_{1}\right)\right\}}{d x}-\left\{-\left(x-x_{1}\right)\right\}\times \frac{d}{d x}\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}}{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2} } \end{align}
(siempre es una buena idea escribir toda la expresión de esta manera cuando se trata de una expresión complicada); esto se simplifica a
\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =\frac{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}(-1)-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}}{\left\{\boldsymbol{R}^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}}}{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}} \\ & =\frac{R^{2}}{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}} ; \end{align}
por lo tanto
r=\frac{\pm\left\{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\left\{1+\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}}{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\left\{R^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}=\frac{\left(R^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{R^{2}}=R
el radio de curvatura es constante e igual al radio del círculo.
Ejemplo 21.4. Encuentre el radio y el centro de curvatura de la curva y=x^{3}-2 x^{2}+x-1 en los puntos donde x=0, x=0.5 y x=1.0. Encuentre también la posición del punto de inflexión de la curva.
Solución.
Aquí
\begin{align} & \quad \frac{d y}{d x}=3 x^{2}-4 x+1, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x-4 . \\[9pt] & r= \frac{\left\{1+\left(3 x^{2}-4 x+1\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{6 x-4}, \\ & x_{1}=x-\frac{\left(3 x^{2}-4 x+1\right)\left\{1+\left(3 x^{2}-4 x+1\right)^{2}\right\}}{6 x-4}, \\ & y_{1}=y+\frac{1+\left(3 x^{2}-4 x+1\right)^{2}}{6 x-4} . \end{align}
Cuando x=0, y=-1,
\begin{align} r=\frac{\sqrt{8}}{4}&=\frac{1}{\sqrt{2}}= 0.7071.\\ \quad x_{1}=0+\frac{1}{2}=0.5,& \qquad y_{1}=-1-\frac{1}{2}=-1.5. \end{align}
Elijamos dos puntos en la curva a cada lado del punto (0,-1), digamos puntos con coordenadas x -0.1 y 0.1. Cuando x=-0.1, y=-1.121. Cuando x=0.1, y=-0.919. Si consideramos el círculo que pasa por estos tres puntos: (0,-1), (-0.1,-1.121), y (0.1,-0.919), podemos determinar que las coordenadas de su centro son (0.5, -1.515), y su radio es 0.718, 3 una concordancia muy buena con el círculo de curvatura. Para mejorar la aproximación, podemos elegir otros dos puntos con coordenadas x más cercanas a x=0 que 0.1—por ejemplo, x=0.01 y x=-0.01—y repetir los cálculos.
La curva y=x^{3}-2 x^{2}+x-1, su círculo de curvatura en x=0, y el círculo que pasa por (0,-1), (-0.1,-1.121) y (0.1,-0.919) se muestran a continuación.
Cuando x=0.5, y=-0.875, \begin{align} & r=\frac{-\left\{1+(-0.25)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{-1}= 1.095 \\ & x_{1}=0.5-\frac{-0.25 \times 1.0625}{-1}= 0.2344, \\ & y_{1}=-0.875+\frac{1.0625}{-1}= -1.938. \end{align} Considerando tres puntos (0.4,-0.856), (0.5,-0.875), y (0.6,-0.904) en la curva, el círculo que pasa por ellos tiene el centro (0.2468, -1.935) y un radio de 1.09.
Cuando x=1, y=-1, \begin{align} & r=\frac{(1+0)^{\frac{3}{2}}}{2}=0.5, \\ & x_{1}=1-\frac{0 \times(1+0)}{2}=1, \\ & y_{1}=-1+\frac{1+0^{2}}{2}=-0.5 . \end{align} Considerando tres puntos (0.9,-0.919), (1,-1), y (1.1,-0.989) en la curva, el círculo que pasa por ellos tiene el centro (0.995, -0.495) y un radio de 0.5051.
En el punto de inflexión \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=0,6 x-4=0, y x=\frac{2}{3} ; de ahí que y=0.925 (ver Fig. 21.4).
Ejemplo 21.5. Encuentre el radio y el centro de curvatura de la curva y=\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right),4 en el punto para el cual x=0. (Esta curva se llama catenaria, ya que una cadena colgante afecta exactamente la misma pendiente).
Solución. La ecuación de la curva puede escribirse
y=\frac{a}{2} e^{\frac{x}{a}}+\frac{a}{2} e^{-\frac{x}{a}}
entonces (ver estos ejemplos),
\frac{d y}{d x}=\frac{a}{2} \times \frac{1}{a} e^{\frac{x}{a}}-\frac{a}{2} \times \frac{1}{a} e^{-\frac{x}{a}}=\frac{1}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right) .
De manera similar
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}= \frac{1}{2 a}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)=\frac{1}{2 a} \times \frac{2 y}{a}=\frac{y}{a^{2}},
r =\frac{\left\{1+\frac{1}{4}\left(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}}{\frac{y}{a^{2}}}=\frac{a^{2}}{8 y} \sqrt{\left(2+e^{\frac{2 x}{a}}+e^{-\frac{2 x}{a}}\right)^{3},}
ya que e^{\frac{x}{a}-\frac{x}{a}}=e^{0}=1, o
\begin{align} & \qquad r=\frac{a^{2}}{8 y} \sqrt{\left(2 e^{\frac{x}{a}-\frac{x}{a}}+e^{\frac{2 x}{a}}+e^{-\frac{2 x}{a}}\right)^{3}}=\frac{a^{2}}{8 y} \sqrt{\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)^{6}}=\frac{y^{2}}{a}, \end{align}
cuando x=0, y=\frac{a}{2}\left(e^{0}+e^{0}\right)=a, y \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{2}\left(e^{0}-e^{0}\right)=0; por lo tanto
r=\frac{a^{2}}{a}=a.
El radio de curvatura en el vértice es igual a la constante a.
Además
\begin{align} & x_{1}=0-\frac{0(1+0)}{\frac{1}{a}}=0, \\ & y_{1}=y+\frac{1+0}{\frac{1}{a}}=a+a=2 a . \end{align}
Ahora está lo suficientemente familiarizado con este tipo de problema como para resolver los siguientes ejercicios por sí mismo. Se le recomienda verificar sus respuestas graficando cuidadosamente la curva y construyendo el círculo de curvatura, como se explica en el Ejemplo 22.4.
Ejercicios
Ejercicio 21.1. Encuentre el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura de la curva y=e^{x} en el punto para el cual x=0.
Respuesta
r=2 \sqrt{2}, x_{1}=-2, y_{1}=3.
Solución
y=e^{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=e^{x} \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{x}
Cuando x=0, y=\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=1
Simplemente insertamos estos números en las fórmulas para r, x_{1}, y y_{1}
\begin{align} & r=\frac{\left(1+1^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{1}=2^{\frac{3}{2}}=2 \sqrt{2} \\ & x_{1}=0-\frac{1\left(1+1^{2}\right)}{1}=-2 \\ & y_{1}=1+\frac{1+1^{2}}{1}=3 \end{align}
Ejercicio 21.2. Encuentre el radio y el centro de curvatura de la curva y=x\left(\frac{x}{2}-1\right) en el punto para el cual x=2.
Respuesta
r=2\sqrt{2}\approx 2.83, x_{1}=0, y_{1}=2.
Solución
\begin{align} & y=x\left(\frac{x}{2}-1\right)=\frac{x^{2}}{2}-x \\ & \frac{d y}{d x}=x-1 \quad, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=1 \end{align}
Cuando x=2, y=0, \quad \frac{d y}{d x}=1, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=1.
Simplemente ponemos estos números en las fórmulas para r, x_{1}, y y_{1}
\begin{align} & r=\frac{\left(1+1^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{1}=2^{\frac{3}{2}}=2 \sqrt{2} \\ & x_{1}=2-\frac{1\left(1+1^{2}\right)}{1}=0 \\ & y_{1}=0+\frac{1+1^{2}}{1}=2 \end{align}
Ejercicio 21.3. Encuentre el punto o puntos de curvatura unitaria en la curva y=x^{2}.
Respuesta
x\approx \pm 0.383, y=0.147
Solución
y=x^{2} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 x \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 Dado que \text{curvatura}=\dfrac{1}{\text{radio}}=\dfrac{1}{r}, si \text{curvatura}=1, entonces r=1 o r=\frac{\left(1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=\frac{\left(1+4 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{2}=1
Resolviendo la ecuación anterior para x: \left(1+4 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=2 1+4 x^{2}=2^{\frac{2}{3}} 4 x^{2}=2^{\frac{2}{3}}-1
x= \pm \frac{1}{2} \sqrt{2^{\frac{2}{3}}-1} \approx \pm 0.383
Cuando x \approx \pm 0.383, y \approx 0.147.
Hemos resuelto el problema, pero si deseamos dibujar el círculo de curvatura (también conocido como círculo osculador), necesitamos determinar x_1 e y_1 cuando x \approx \pm 0.383 e y \approx 0.147:
x_1=x-\frac{2x\left[1+(2x)^2\right]^2}{2} y_1=x^2+\frac{1+(2x)^2}{2}
Cuando x\approx 0.383 e y \approx 0.147: x_1\approx 0.225,\quad y_1\approx 0.941
Cuando x\approx -0.383 e y \approx 0.147: x_1\approx -0.225,\quad y_1\approx 0.941
La gráfica de y=x^2 y los dos círculos osculadores con radios de 1 se muestran a continuación:
Ejercicio 21.4. Encuentre el radio y el centro de curvatura de la curva x y=m, en el punto para el cual x=\sqrt{m}.
Respuesta
r=2, x_{1}=y_{1}=2 \sqrt{m}.
Solución
x y=m\quad\text{ o }\quad y=m x^{-1}
\frac{d y}{d x}=-m x^{-2}, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 m x^{-3}=\frac{2 m}{x^{3}}
Cuando x=\sqrt{m},
y=\sqrt{m},\quad \frac{d y}{d x}=-1, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{2}{\sqrt{m}}
De ahí que \begin{align} & r=\frac{\left(1+(-1)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{2}{\sqrt{m}}}=\frac{\sqrt{m}}{2} 2^{\frac{3}{2}}=\sqrt{2 m} \\ & x_{1}=\sqrt{m}-\frac{(-1)\left(1+(-1)^{2}\right)}{\frac{2}{\sqrt{m}}}=2 \sqrt{m} \\ & y_{1}=\sqrt{m}+\frac{1+(-1)^{2}}{\frac{2}{\sqrt{m}}}=2 \sqrt{m} \end{align}
Ejercicio 21.5. Encuentre el radio y el centro de curvatura de la curva y^{2}=4 a x en el punto para el cual x=0.
Respuesta
r=2 a, x_{1}=2 a+3x, y_{1}=-\dfrac{2 x^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} cuando x=0, x_{1}=2 a, y_{1}=0.
Solución
En el Ejemplo 160, demostramos que si y^{2}=m x, entonces
r=\frac{m}{2}, \quad x_{1}=3 x+\frac{m}{2}, y_{1}=-\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}}
Por comparación, nos damos cuenta de que si y^{2}=4 a x, entonces
r=2 a, \quad x_{1}=3 x+2 a, \quad y_{1}=-\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{a}}
Cuando y=0, x=0. Por lo tanto
r=2 a, \quad x_{1}=2 a, \quad y_{1}=0.
Ejercicio 21.6. Encuentre el radio y el centro de curvatura de la curva y=x^{3} en los puntos para los cuales x=\pm 0.9 y también x=0.
Respuesta
Cuando x=0, r=y_{1}= infinito, x_{1}=0.
Cuando x=+0.9, r=3 \cdot 36, x_{1}=-2 \cdot 21, y_{1}=+2.01.
Cuando x=-0.9, r=3.36, x_{1}=+2.21, y=-2.01.
Solución
y=x^{3} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=3 x^{2} \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x
Cuando x=0.9,
y=0.729, \quad \frac{d y}{d x}=2.43, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=5.4
De ahí que
\begin{align} & r=\frac{\left(1+2.43^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{5.4} \approx 3.36 \\ & x_{1}=0.9-\frac{2.43\left(1+2.43^{2}\right)}{5.4} \approx-2.21 \\ & y_{1}=0.729+\frac{1+2.43^{2}}{5.4} \approx 2.01 \end{align}
Cuando x=-0.9
y=-0.729,\quad \frac{d y}{d x}=2.43,\quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-5.4
De ahí que \begin{align} & r=-\frac{\left(1+2.43^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{5.4} \approx 3.36 \\ & x_{1}=-0.9-\frac{2.43\left(1+2.43^{2}\right)}{-5.4} \approx 2.21 \\ & y_{1}=-0.729+\frac{1+2.43^{2}}{-5.4} \approx-2.01 \end{align}
Cuando x=0 y=0, \quad \frac{d y}{d x}=0, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0 De ahí que \begin{align} & r=\frac{\left(1+0^{2}\right)^{3 / 2}}{0}=\infty \\ & x_{1}=x-\frac{3 x^{2}\left(1+9 x^{4}\right)}{6 x}=x-\frac{1}{2} x\left(1+9 x^{4}\right) \end{align}
Si sustituimos x=0 en la expresión anterior para x_1, obtenemos x_{1}=0
y_{1}=y+\frac{1+(3 x)^{2}}{6 x}
Si sustituimos x=0, y=0 en la ecuación anterior, obtenemos y_{1}=0+\frac{1}{0}=\infty
Ejercicio 21.7. Encuentre el radio de curvatura y las coordenadas del centro de curvatura de la curva y=x^{2}-x+2 en los dos puntos para los cuales x=0 y x=1, respectivamente. Encuentre también el valor máximo o mínimo de y. Verifique gráficamente todos sus resultados.
Respuesta
Cuando x=0, r=\sqrt{2}\approx 1.41, x_{1}=1, y_{1}=3.
Cuando x=1, r=\sqrt{2} \approx 1.41, x_{1}=0, y_{1}=3.
Mínimo =1.75.
Solución
y=x^{2}-x+2
Entonces
\frac{d y}{d x}=2 x-1 \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2
Cuando x=0, y=2,\quad \frac{d y}{d x}=-1,\quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2
\begin{align} & r=\frac{\left(1+(-1)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{2}=\sqrt{2} \approx 1.41 \\ & x_{1}=0-\frac{(-1)\left(1+(-1)^{2}\right)}{2}=1 \\ & y_{1}=2+\frac{1+(-1)^{2}}{2}=3 \end{align}
Cuando x=1 y=2,\quad \frac{d y}{d x}=1,\quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 De ahí que, \begin{align} & r=\frac{\left(1+1^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{2}=\sqrt{2} \approx 1.41 \\ & x_{1}=1-\frac{1\left(1+1^{2}\right)}{2}=0 \\ & y_{1}=2+\frac{1+1^{2}}{2}=3 \end{align}
Para encontrar el valor máximo o mínimo de y
\frac{d y}{d x}=2 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}=0.5
Dado que \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=2>0, la curva es cóncava hacia arriba y el valor de y en x=0.5, el cual es y=0.5^{2}-0.5+2=1.75 es el valor mínimo de y.
Ejercicio 21.8. Encuentre el radio de curvatura y las coordenadas del centro de curvatura de la curva y=x^{3}-x-1 en los puntos para los cuales x=-2, x=0, y x=1.
Respuesta
Para x=-2, r\approx 112.3, x_{1}\approx 109.8, y_{1}\approx -17.2.
Para x=0, r=x_{1}=y_{1}= infinito.
Para x=1, r\approx1.86, x_{1}\approx -0.67, y_{1}\approx -0.17.
Solución
y=x^{3}-x-1 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=3 x^{2}-1 \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x
Cuando x=-2, y=-7, \quad \frac{d y}{d x}=11, \frac{d^{2} y}{d x}=-12
\begin{align} & r=-\frac{\left(1+11^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{-12} \approx 112.3 \\ & x_{1}=-2-\frac{11\left(1+11^{2}\right)}{-12} \approx 109.8 \\ & y_{1}=-7+\frac{1+11^{2}}{-12} \approx-17.2 \end{align}
Cuando x=0, y=-1, \quad \frac{d y}{d x}=-1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0
De ahí que, \begin{align} & r=\frac{\left(1+(-1)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{0}=\infty \\ & x_{1}=0-\frac{(-1)\left(1+(-1)^{2}\right)}{0}=\infty \\ & y_{1}=-1+\frac{1+(-1)^{2}}{0}=\infty \end{align}
Cuando x=1 y=-1, \frac{d y}{d x}=2, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6
\begin{align} & r=\frac{\left(1+2^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{6} \approx 1.86 \\ & x_{1}=1-\frac{2\left(1+2^{2}\right)}{6}=-\frac{2}{3} \approx-0.67\\ &y_{1}=-1+\frac{1+2}{6}=-\frac{1}{6} \approx-0.17 \end{align}
Ejercicio 21.9. Encuentre las coordenadas del punto o puntos de inflexión de la curva y=x^{3}+x^{2}+1.
Respuesta
x=-\frac{1}{3}\approx -0.33, y=\frac{29}{27}\approx +1.08
Solución
y=x^{3}+x^{2}+1
\frac{d y}{d x}=3 x^{2}+2 x, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x+2
Para encontrar el/los punto(s) de inflexión
\begin{gathered} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x+2=0 \\ x=-\frac{1}{3} \end{gathered}
Si x<\frac{-1}{3}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}<0 y si x>-\frac{1}{3}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}>0.
Por lo tanto, la dirección de la concavidad cambia en x=-\frac{1}{3}.
Cuando x=-\frac{1}{3}, y=\frac{29}{27} \approx 1.07.
De ahí que, \left(-\frac{1}{3}, \frac{29}{27}\right) es el punto de inflexión.
Ejercicio 21.10. Encuentre el radio de curvatura y las coordenadas del centro de curvatura de la curva y=\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{1}{2}} en los puntos para los cuales x=1.2, x=2, y x=2.5. ¿Qué es esta curva?
Respuesta
r=1, x=2, y=0 para todos los puntos. Un círculo.
Solución
y =\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{1}{2}}
\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{2}(4-2 x)\left(4 x-x^{2}-3\right)^{-\frac{1}{2}}\\ &=(2-x)\left(4 x-x^{2}-3\right)^{-\frac{1}{2}} \end{align}
\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\left(4 x-x^{2}-3\right)^{-\frac{1}{2}}-(2-x)^{2}\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{-3}{2}} \\ & =\frac{-\left(4 x-x^{2}-3\right)-(2-x)^{2}}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}} \\ & =\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}} \end{align}
En lugar de calcular r, x_1, e y_1 para los puntos dados, encontramos las fórmulas generales para ellos en este caso:
\begin{align} & r=\frac{\left(1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right)^{2}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} \\ & =-\frac{\left(1+\frac{(2-x)^{2}}{4 x-x^{2}-3}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}} \\ & =\frac{\left(\frac{4 x-x^{2}-3+\left(4-4 x-x^{2}\right)}{4 x-x^{2}-3}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}}\\ & =1 \end{align} \begin{align} x_{1}&=x-\frac{\frac{2-x}{\sqrt{4 x-x^{2}-3}}\left(1+\frac{(2-x)^{2}}{4 x-x^{2}-3}\right)}{\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}} \\ &=x+(2-x)\\ &=2 \end{align} \begin{align} y_{1}&=y+\frac{1+\frac{(2-x)^{2}}{4 x-x^{2}-3}}{\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}}\\ & =y+\frac{\frac{1}{4 x-x^{2}-3}}{\frac{-1}{\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{3}{2}}}} \\ & =y-\sqrt{4 x-x^{2}-3} \\ & =0 \end{align}
Por lo tanto, para todos los puntos r=1, x_{1}=2, y_{1}=0. Esta es la ecuación de un círculo. Para ver esto, note que
\begin{gathered} y=\left(4 x-x^{2}-3\right)^{\frac{1}{2}} \\ y^{2}=4 x-x^{2}-3 \\ x^{2}-4 x+y^{2}=-3 \\ x^{2}-4 x+4+y^{2}=1 \\ (x-2)^{2}+y^{2}=1 \end{gathered}
Esta última es la ecuación de un círculo de radio 1 y de centro (2,1).
Ejercicio 21.11. Encuentre el radio y el centro de curvatura de la curva y=x^{3}-3 x^{2}+2 x+1 en los puntos para los cuales x=0, x=+1.5. Encuentre también la posición del punto de inflexión.
Respuesta
Cuando x=0, r\approx1.86,\ x_{1}\approx 1.67,\ y_{1}\approx 0.17.
Cuando x=1.5, r\approx 0.365, x_{1}\approx 1.59, y_{1}\approx 0.98.
x=1, y=1 para curvatura cero.
Solución
y =x^{3}-3 x^{2}+2 x+1
\frac{d y}{d x} =3 x^{2}-6 x+1, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x-6
Cuando x=0 y=0, \quad \frac{d y}{d x}=2, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-6
De ahí que, \begin{align} & r=-\frac{\left(1+2^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{-6}=\frac{5^{\frac{3}{2}}}{6}=\frac{5 \sqrt{5}}{6} \approx 1.86 \\ & x_{1}=0-\frac{2\left(1+2^{2}\right)}{-6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \approx 1.67 \\ & y_{1}=1+\frac{1+2^{2}}{-6}=\frac{1}{6} \approx 0.17 \end{align}
Cuando x=1.5,
y=\frac{5}{8}, \quad \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{4} \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=3
\begin{align} & r=\frac{\left(1+\frac{1}{16}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{17 \sqrt{17}}{192} \approx 0.365 \\ & x_{1}=1.5-\frac{-\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{16}\right)}{3}=\frac{305}{192} \approx 1.59 \\ & y_{1}=\frac{5}{8}+\frac{1+\frac{1}{16}}{3}=\frac{47}{48} \approx 0.98 \end{align}
En x = 1, la segunda derivada \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x-6 cambia de negativa a positiva, indicando un cambio de concavidad de hacia abajo a hacia arriba. Cuando x = 1, el valor y correspondiente es y = 1. Por lo tanto, el punto (1, 1) es un punto de inflexión en la curva.
Ejercicio 21.12. Encuentre el radio y el centro de curvatura de la curva y=\sin \theta en los puntos para los cuales \theta=\frac{\pi}{4} y \theta=\frac{\pi}{2}. Encuentre la posición del punto de inflexión.
Respuesta
Cuando \theta=\dfrac{\pi}{2}, r=1, \theta_{1}=\frac{\pi}{2}, y_{1}=0.
Cuando \theta=\dfrac{\pi}{4}, r\approx 2.598, \theta_{1}\approx 2.285, y_{1}\approx -1.41
Solución
y=\sin \theta
\frac{d y}{d \theta}=\cos \theta, \quad \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-\sin \theta
Note que en este ejercicio, no estamos usando coordenadas polares. Estamos usando las coordenadas cartesianas regulares, pero en lugar de x_{1} la variable independiente se denota por \theta. Por lo tanto,
\begin{align} & r= \pm \frac{\left(1+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}} \\ & \theta_{1}=\theta-\frac{\frac{d y}{d \theta}\left[1+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}\right]}{\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}} \\ & y_{1}=y+\frac{1+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}}{\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}} \end{align}
Cuando \theta=\frac{\pi}{4}
y=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \frac{d y}{d \theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}} De ahí que \begin{align} & r=-\frac{\left(1+\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{-1}{\sqrt{2}}}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \approx 2.598\\ & \theta_{1}=\frac{\pi}{4}-\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1+\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\pi+6}{4} \approx 2.285 \\ & y_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\sqrt{2} \approx-1.414 \end{align}
Cuando \theta=\dfrac{\pi}{2}, y=1, \quad \frac{d y}{d \theta}=0, \quad \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-1. De ahí que, \begin{align} & r=-\frac{(1+0)^{\frac{3}{2}}}{-1}=1 \\ & \theta_{1}=\frac{\pi}{2}-\frac{0\left(1+0^{2}\right)}{-1}=\frac{\pi}{2} \\ & y_{1}=1+\frac{1+0^{2}}{-1}=0 \end{align}
Ejercicio 21.13. Dibuje un círculo de radio 3, cuyo centro tiene por coordenadas x=1, y=0. Deduzca la ecuación de dicho círculo a partir de los primeros principios (ver aquí). Encuentre mediante cálculo el radio de curvatura y las coordenadas del centro de curvatura para varios puntos adecuados, lo más exactamente posible, y verifique que obtiene los valores conocidos.
Solución
La ecuación de un círculo de radio R y centro \left(x_{0}, y_{0}\right) es
\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R^{2}
Por lo tanto, en este caso
(x-1)^{2}+y^{2}=R^{2},\quad (R=3)
Derive con respecto a x
2(x-1)+2 y \frac{d y}{d x}=0
Por lo tanto
\frac{d y}{d x}=-\frac{x-1}{y}.
Derivando de nuevo usando la regla del cociente resulta en
\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\frac{y-\frac{d y}{d x}(x-1)}{y^{2}} \\ & =-\frac{y+\frac{(x-1)^{2}}{y}}{y^{2}} \\ & =-\frac{y^{2}+(x-1)^{2}}{y^{3}} \\ & =-\frac{R^{2}}{y^{3}} \end{align}
Radio de curvatura:
\begin{align} r & =\frac{\left[1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}} \\ & =-\frac{\left[1+\dfrac{(x-1)^{2}}{y^{2}}\right]^{\frac{3}{2}}}{-\dfrac{R^{2}}{y^{3}}} \\ & =\frac{\left(\dfrac{R^{2}}{y^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{R^{2}}{y^{2}}}\\ &=\frac{\dfrac{R^{3}}{y^2}}{\dfrac{R^{2}}{y^{2}}}=R \end{align}
Centro de curvatura:
\begin{align} x_{1} & =x-\frac{-\frac{x-1}{y}\left(1+\frac{(x-1)^{2}}{y^{2}}\right)}{-\frac{R^{2}}{y^{3}}} \\ & =x-\frac{\frac{x-1}{y^{3}}\left((x-1)^{2}+y^{2}\right)}{\frac{R^{2}}{y^{3}}} \\ & =x-\frac{(x-1) R^{2}}{R^{2}}\\ & =x-(x-1)=1. \end{align} \begin{align} y_{1} & =y+\frac{1+\frac{(x-1)^{2}}{y^{2}}}{-\frac{R^{2}}{y^{3}}} \\ & =y-\frac{y^{2}+(x-1)^{2}}{y^{2}} \\ & =y-\frac{\dfrac{R^{2}}{y^{3}}}{\dfrac{R^{2}}{y^{2}}} \\ & =y-y=0. \end{align} De ahí que el centro de curvatura es (1,0).
Ejercicio 21.14. Encuentre el radio y el centro de curvatura de la curva y=\cos \theta en los puntos para los cuales \theta=0, \theta=\dfrac{\pi}{4}, y \theta=\dfrac{\pi}{2}.
Respuesta
Cuando \theta=0, r=1, \theta_{1}=0, y_{1}=0.
Cuando \theta=\dfrac{\pi}{4}, r\approx 2.598, \theta_{1}\approx 0.7146, y_{1}\approx -1.41.
Cuando \theta=\dfrac{\pi}{2}, r=\theta_{1}=y_{1}= infinito.
Solución
y=\cos \theta
Nuevamente, similar al ejercicio 12, estamos usando las coordenadas cartesianas, pero la variable independiente se denota por \theta, en lugar de x
y=\cos \theta \Rightarrow \frac{d y}{d \theta}=-\sin \theta \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-\cos \theta
Cuando \theta=0 y=1, \quad \frac{d y}{d x}=0, \quad \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-1. De ahí que, \begin{align} & r=-\frac{\left(1+0^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{-1}=1 \\ & \theta_{1}=0-\frac{0\left(1+0^{2}\right)}{-1}=0 \\ & y_{1}=1+\frac{1+0^{2}}{-1}=0 \end{align}
Cuando \theta=\dfrac{\pi}{4},
y=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}. De ahí que, \begin{align} & r=-\frac{\left(1+\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{-1}{\sqrt{2}}}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \approx 2.598 \\ & \theta_{1}=\frac{\pi}{4}-\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1+\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\pi}{4}-\frac{3}{2} \approx-0.715\\ & y_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\sqrt{2} \approx-1.414 \end{align}
Cuando \theta=\dfrac{\pi}{2}, y=0, \quad \frac{d y}{d \theta}=-1, \quad \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=0. De ahí que, \begin{align} & r=\frac{(1+1)^{\frac{3}{2}}}{0}=\infty \\ & \theta_{1}=\frac{\pi}{2}-\frac{-1(1+1)}{0}=\infty\\ & y_{1}=0+\frac{1+1}{0}=\infty \end{align}
Ejercicio 21.15. Encuentre el radio de curvatura y el centro de curvatura de la elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 en los puntos para los cuales x=0 y en los puntos para los cuales y=0.
Respuesta
r^{\cdot}=\dfrac{\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{a^{4} b^{4}}, donde x=0, r=\dfrac{a^{2}}{b}, x_{1}=0, y_{1}=\dfrac{b^{2}-a^{2}}{b}.
Solución
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
Multiplicando ambos lados por a^2b^2, obtenemos b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}
Derivando ambos lados de \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 con respecto a x, obtenemos \begin{align} & 2 b^{2} x+2 a^{2} y \frac{d y}{d x}=0 \\ & \frac{d y}{d x}=-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x}{y} \end{align}
Derivando la última ecuación con respecto a x usando la regla del cociente, obtenemos
\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{y-\frac{d y}{d x} x}{y^{2}} \\ & =-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{y+\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x}{y}}{y^{2}} \\ & =-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{a^{2} y^{2}+b^{2} x^{2}}{a^{2} y^{3}} \\ & =-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} y^{3}}=-\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}} \end{align}
De ahí que \begin{align} r & = \pm \frac{\left(1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} \\ & =\frac{\left(1+\frac{b^{4}}{a^{4}} \frac{x^{2}}{y^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}}}=\frac{\left(\frac{a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}}{a^{4} y^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{b^{4}}{a^{2} y^{2}}} \\ & =\frac{\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{a^{4} b^{4}} \end{align}
\begin{align} x_{1} & =x-\frac{-\frac{a^{2}}{\bar{y}}\left(1+\frac{a}{a^{4}} \frac{x}{y^{2}}\right)}{-\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}}} \\ & =x-\frac{\frac{b^{2}}{a^{6}} \frac{x}{y^{3}}\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right)}{\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}}} \\ & =x-\frac{x}{a^{4} b^{2}}\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right) \end{align}
\begin{align} y_{1} & =y+\frac{1+\frac{b^{4}}{a^{4}} \frac{x^{2}}{y^{2}}}{-\frac{b^{4}}{a^{2} y^{3}}} \\ & =y-\frac{y}{a^{2} b^{4}}\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right) \\ & =y-\frac{\frac{1}{a^{4} y^{2}}\left(a^{4} y^{2}+b^{4} x^{2}\right)}{a^{4} y^{3}} \end{align}
Cuando x=0, entonces y=+b o y=-b
Cuando x=0 e y=b
r=\frac{1}{a^{4} b^{4}}\left(a^{4} b^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{a^{2}}{b}
\begin{align} & x_{1}=0-0=0 \\ & y_{1}=b-\frac{b}{a^{2} b^{4}}\left(a^{4} b^{2}\right)=b-\frac{a^{2}}{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{b} \end{align}
Cuando x=0 e y=-b
\begin{align} & y=-b \\ & r=\frac{a^{2}}{b}, \quad x_{1}=0 \quad y_{1}=-b+\frac{a^{2}}{b}=\frac{a^{2}-b^{2}}{b} \end{align}
Cuando y=0, entonces x=a o x=-a
Cuando x=a e y=0
\begin{align} & r=\frac{1}{a^{4} b^{4}}\left(b^{4} a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{b^{6} a^{3}}{a^{4} b^{4}}=\frac{b^{2}}{a} \\ & x_{1}=a-\frac{a}{a^{4} b^{2}}\left(0+b^{4} a^{2}\right)=a-\frac{b^{2}}{a}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a} \\ & y_{1}=0-0=0 \end{align}
Cuando x=-a e y=0
r=\frac{b^{2}}{a}, \quad x_{1}=\frac{b^{2}-a^{2}}{a}, \quad y_{1}=0
1. Dependiendo de , esto puede ser o .↩︎
2. Alternativamente, uno puede escribir donde denota el valor absoluto de . Para la definición del valor absoluto, vea la página .↩︎
3. Sea con coordenadas el centro de este círculo cuyo radio es . Entonces la ecuación de este círculo es
Dado que el punto se encuentra en este círculo, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de este círculo. Así,
De manera similar, dado que y también satisfacen esta ecuación, tenemos
Si restamos la Ec. (1) de (2) y (1) de (3) y usamos , obtenemos o Resolviendo estas dos ecuaciones para dos incógnitas y , podemos encontrar las coordenadas del centro: De la Ec. (1), el radio de este círculo es ↩︎
4. Note que . Para las definiciones de las funciones hiperbólicas vea aquí.↩︎
