Diferenciación Parcial

Nosotros a veces nos encontramos con cantidades que son funciones de más de una variable independiente. Así, podemos encontrar un caso donde $y$ depende de otras dos cantidades de variable, una de las cuales llamaremos $u$ y la otra $v$ . En símbolos $y = f (u, v) .$ Tomemos el caso concreto más simple.

Sea $y = u \times v .$ ¿Qué debemos hacer? Si tomáramos $v$ como una constante, y deriváramos con respecto a $u$ , obtendríamos $d y_{v} = v d u;$ o si tratamos $u$ como una constante, y derivamos con respecto a $v$ , deberíamos tener: $d y_{u} = u d v .$

Las pequeñas letras aquí puestas como subíndices están para mostrar qué cantidad se ha tomado como constante en la operación.

Otra forma de indicar que la diferenciación se ha realizado solo parcialmente, es decir, se ha realizado solo con respecto a una de las variables independientes, es escribir las derivadas con una “dee curva” $\partial$ , en lugar de la letra regular $d$ . De esta manera \begin{align} \strut \frac{\partial y}{\partial u} &= v, \\ \frac{\partial y}{\partial v} &= u. \end{align}

Si ponemos estos valores para $v$ y $u$ respectivamente, tendremos \left. \begin{align} \strut dy_v &= \frac{\partial y}{\partial u}\, du, \\ dy_u &= \frac{\partial y}{\partial v}\, dv, \end{align} \right\} \quad\text{que son }\textbf{diferenciales parciales}.

Pero, si lo piensas, observarás que la variación total de $y$ depende de ambas cosas al mismo tiempo. Es decir, si ambos varían, el verdadero $d y$ debería escribirse $d y = \frac{\partial y}{\partial u} d u + \frac{\partial y}{\partial v} d v;$ y esto se llama un diferencial total.

Ejemplo 16.1. Encuentra las derivadas parciales de la expresión $w = 2 a x^{2} + 3 b x y + 4 c y^{3}$ .

Solución. Las respuestas son: \left. \begin{align} \frac{\partial w}{\partial x} &= 4ax + 3by. \\ \frac{\partial w}{\partial y} &= 3bx + 12cy^2. \end{align} \right\}

La primera se obtiene suponiendo $y$ constante, la segunda se obtiene suponiendo $x$ constante; entonces $d w = (4 a x + 3 b y) d x + (3 b x + 12 c y^{2}) d y .$

Ejemplo 16.2. Sea $z = x^{y}$ . Luego, tratando primero $y$ y luego $x$ como constantes, obtenemos de la manera usual \left. \begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial x} &= yx^{y-1}, \\ \dfrac{\partial z}{\partial y} &= x^y \times \ln x, \end{align}\right\} de modo que $d z = y x^{y - 1} d x + x^{y} \ln x d y$ .

Ejemplo 16.3. Un cono con altura $h$ y radio de la base $r$ tiene un volumen $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ . Si su altura permanece constante, mientras $r$ cambia, la razón de cambio de volumen, con respecto al radio, es diferente de la razón de cambio de volumen con respecto a la altura que ocurriría si la altura variara y el radio se mantuviera constante, para \left. \begin{align} \frac{\partial V}{\partial r} &= \dfrac{2\pi}{3} rh, \\ \frac{\partial V}{\partial h} &= \dfrac{\pi}{3} r^2. \end{align}\right\}

La variación cuando tanto el radio como la altura cambian está dada por $d V = \frac{2 π}{3} r h d V + \frac{π}{3} r^{2} d h$ .

Ejemplo 16.4. En el siguiente ejemplo $F$ y $f$ denotan dos funciones arbitrarias de cualquier forma. Por ejemplo, pueden ser funciones seno, exponenciales, o meras funciones algebraicas de las dos variables independientes, $t$ y $x$ . Entendido esto, tomemos la expresión $y = F (x + a t) + f (x - a t),$ o $y = F (w) + f (v);$ donde $w = x + a t$ , y $v = x - a t$ .
Entonces \begin{align} \frac{\partial y}{\partial x} &= \frac{d F(w)}{d w}\cdot\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{d f(v)}{d v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x} \\ &= F^\prime(w)\cdot1 + f^\prime(v)\cdot1 \end{align} (donde la figura $1$ es simplemente el coeficiente de $x$ en $w$ y $v$ );
y \begin{align} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}= F^{\prime\prime}(w) + f^{\prime\prime}(v). \end{align} También \begin{align} \frac{\partial y}{\partial t} &= \frac{d F(w)}{d w}\cdot\frac{\partial w}{\partial t} + \frac{d f(v)}{d v}\cdot\frac{\partial v}{\partial t} \\ &= F^\prime(w)\cdot a - f^\prime(v) a; \end{align} y \begin{align} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= F''(w)a^2 + f''(v)a^2; \end{align} de donde \begin{align} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= a^2\, \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. \end{align}

Esta ecuación diferencial es de inmensa importancia en la física matemática.

Máximos y Mínimos de Funciones de dos Variables Independientes

Retomemos el siguiente ejercicio del capítulo sobre Máximos y Mínimos:

Ejemplo 16.5. Un pedazo de cuerda de $30$ pulgadas de largo tiene sus dos extremos unidos y se estira por $3$ estacas de modo que forma un triángulo. ¿Cuál es el área triangular más grande que puede quedar encerrada por la cuerda?

Solución. Sea $x$ y $y$ la longitud de dos de las partes de la cuerda. La tercera es $30 - (x + y)$ , y el área del triángulo es $A = \sqrt{s (s - x) (s - y) (s - 30 + x + y)}$ , donde $s$ es el semiperímetro, $15$ , de modo que $A = \sqrt{15 P}$ , donde \begin{align} P &= (15-x)(15-y)(x+y-15) \\ &= xy^2 + x^2y - 15x^2 - 15y^2 - 45xy + 450x + 450y - 3375. \end{align}

Claramente $A$ es máxima cuando $P$ es máxima. $d P = \frac{\partial P}{\partial x} d x + \frac{\partial P}{\partial y} d y .$ Para un máximo (claramente no será un mínimo en este caso), se debe tener simultáneamente

$\frac{\partial P}{\partial x} = 0 y \frac{\partial P}{\partial y} = 0;$

es decir, \begin{align} 2xy - 30x + y^2 - 45y + 450 &= 0, \\ 2xy - 30y + x^2 - 45x + 450 &= 0. \end{align}

Una solución inmediata es $x = y$ .

Si ahora introducimos esta condición en el valor de $P$ , encontramos $P = (15 - x)^{2} (2 x - 15) = 2 x^{3} - 75 x^{2} + 900 x - 3375.$ Ahora $P$ es una función de $x$ solamente. Para máximo o mínimo, $\frac{d P}{d x} = 6 x^{2} - 150 x + 900 = 0$ , lo que da $x = 15$ o $x = 10$ .

Claramente $x = 15$ da área mínima; $x = 10$ da el máximo, ya que $\frac{d^{2} P}{d x^{2}} = 12 x - 150$ , lo cual es $+ 30$ para $x = 15$ y $- 30$ para $x = 10$ (ver la Prueba de la Segunda Derivada).

Ejemplo 16.6. Encuentra las dimensiones de un vagón de carga de carbón ferroviario ordinario con extremos rectangulares, de modo que, para un volumen dado $V$ , el área de los lados y del fondo juntas sea lo más pequeña posible.

Solución. El vagón es una caja rectangular abierta en la parte superior. Sea $x$ la longitud y $y$ el ancho; entonces la profundidad es $\frac{V}{x y}$ . El área de la superficie es $S = x y + \frac{2 V}{x} + \frac{2 V}{y}$ . \begin{align} dS &= \frac{\partial S}{\partial x}\, dx + \frac{\partial S}{\partial y}\, dy\\ &= \left(y - \frac{2V}{x^2}\right) dx + \left(x - \frac{2V}{y^2}\right) dy. \end{align} Para mínimo (claramente no será un máximo aquí), $y - \frac{2 V}{x^{2}} = 0, x - \frac{2 V}{y^{2}} = 0.$

Aquí también, una solución inmediata es $x = y$ , de modo que $S = x^{2} + \frac{4 V}{x}$ , $\frac{d S}{d x} = 2 x - \frac{4 V}{x^{2}} = 0$ para mínimo, y $x = \sqrt[3]{2 V} .$

Ejercicios

Ejercicio 16.1. Deriva la expresión $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{3} y - 2 y^{2} x + \frac{y}{3}$ con respecto a $x$ solamente, y con respecto a $y$ solamente.

Respuesta

$x^{3} - 6 x^{2} y - 2 y^{2}; \frac{1}{3} - 2 x^{3} - 4 x y$ .

Solución

\begin{align} & z=\frac{x^{3}}{3}-2 x^{3} y-2 y^{2} x+\frac{y}{3} \\ & \frac{\partial z}{\partial x}=x^{2}-6 x^{2} y-2 y^{2} \\ & \frac{\partial z}{\partial y}=-2 x^{3}-4 y x+\frac{1}{3} \end{align}

Ejercicio 16.2. Encuentra las derivadas parciales con respecto a $x$ , $y$ y $z$ , de la expresión $x^{2} y z + x y^{2} z + x y z^{2} + x^{2} y^{2} z^{2} .$

Respuesta

$2 x y z + y^{2} z + z^{2} y + 2 x y^{2} z^{2}$ ;
$2 x y z + x^{2} z + x z^{2} + 2 x^{2} y z^{2}$ ;
$2 x y z + x^{2} y + x y^{2} + 2 x^{2} y^{2} z$ .

Solución

Sea $u = x^{2} y z + x y^{2} z + x y z^{2} + x^{2} y^{2} z^{2} .$ Entonces \begin{align} \frac{\partial u}{\partial x}= & 2 x y z+y^{2} z+y z^{2}+2 x y^{2} z^{2} \\ \frac{\partial u}{\partial y}= & x^{2} z+2 x y z+x z^{2}+2 x^{2} y z \\ \frac{\partial u}{\partial z}= & x^{2} y+x y^{2}+2 x y z+2 x^{2} y^{2} z \end{align}

Ejercicio 16.3. Sea $r^{2} = (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2}$ .

Encuentra el valor de $\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial r}{\partial z}$ . También encuentra el valor de $\frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} r}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} r}{\partial z^{2}}$ .

Respuesta

$\frac{1}{r} {(x - a) + (y - b) + (z - c)} = \frac{(x + y + z) - (a + b + c)}{r}$ ; $\frac{3}{r}$ .

Solución

\begin{align} & r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2} \\ & \frac{\partial\left(r^{2}\right)}{\partial x}=2 r \frac{\partial r}{\partial x}=2(x-a) \\ \Rightarrow\qquad & \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x-a}{r} \end{align} De manera similar

$2 r \frac{\partial r}{\partial y} = 2 (y - b) \Rightarrow \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y - b}{r}$ $2 r \frac{\partial r}{\partial z} = 2 (z - c) \Rightarrow \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z - c}{r} .$ Por lo tanto, \begin{align} \frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial r}{\partial z} & =\frac{x-a+y-b+z-c}{r} \\ & =\frac{x+y+z}{r}-\frac{a+b+c}{r} \end{align}

Usando la regla del cociente

\begin{align} \frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}} &= \frac{\partial\left(\dfrac{\partial r}{\partial x}\right)}{\partial x}\\ &=\frac{\partial\left(\dfrac{x-a}{r}\right)}{\partial x}\\ &=\frac{r-\dfrac{\partial r}{\partial x}(x-a)}{r^{2}} &&\text{(Regla del Cociente)}\\ & =\frac{r-\frac{(x-a)^{2}}{r}}{r^{2}} \\ & =\frac{r^{2}-(x-a)^{2}}{r^{3}} \end{align} De manera similar $\frac{\partial^{2} r}{\partial y^{2}} = \frac{r^{2} - (y - b)^{2}}{r^{3}}$ y $\frac{\partial^{2} r}{\partial z^{2}} = \frac{r^{2} - (z - c)^{2}}{r^{3}}$

Por lo tanto

\begin{align} \frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} r}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} r}{\partial z^{2}} & =\frac{r^{2}-(x-a)^{2}}{r^{3}}+\frac{r^{2}-(y-b)^{2}}{r^{3}}+\frac{r^{2}-(z-c)^{2}}{r^{3}} \\ & =\frac{3 r^{2}-\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right\}}{r^{3}} \\ & =\frac{3 r^{2}-r^{2}}{r^{3}} \\ & =\frac{2}{r} . \end{align}

Ejercicio 16.4. Encuentra el diferencial total de $y = u^{v}$ .

Respuesta

$d y = v u^{v - 1} d u + u^{v} \ln u d v$ .

Solución

$\begin{matrix} y = u^{v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} = v u^{v - 1} \frac{\partial y}{\partial v} = u^{v} \cdot \ln u \end{matrix}$ El diferencial total de $y$ es \begin{align} & d y=\frac{\partial y}{\partial u} d u+\frac{\partial y}{\partial v} d v \\ & =v u^{v-1} d u+u^{v} \cdot \ln u d v \end{align}

Ejercicio 16.5. Encuentra el diferencial total de $y = u^{3} \sin v$ ; de $y = (\sin x)^{u}$ ; y de $y = \frac{\ln u}{v}$ .

Respuesta

$d y = 3 \sin v u^{2} d u + u^{3} \cos v d v$ ,
$d y = u {(\sin x)}^{u - 1} \cos x d x + (\sin x)^{u} \ln \sin x d u$ ,
$d y = \frac{1}{v} \frac{1}{u} d u - \ln u \frac{1}{v^{2}} d v$ .

Solución

(a) $y = u^{3} \sin v$

\begin{align} & \frac{\partial y}{\partial u}=3 u^{2} \sin v \quad \frac{\partial y}{\partial v}=u^{3} \cos v \\ & d y=\frac{\partial y}{\partial u} d u+\frac{\partial y}{\partial v} d v \end{align}

(b) $y = (\sin x)^{u}$

\begin{align} & \frac{\partial y}{\partial x}=u \cos x(\sin x)^{u-1} \\ & \frac{\partial y}{\partial u}=(\sin x)^{u} \cdot \ln (\sin x) \\ & d y=\frac{\partial y}{\partial x} d x+\frac{\partial y}{\partial u} d u \\ & d y=u \cos x(\sin x)^{u-1} d x+(\sin x)^{u} \cdot \ln (\sin x) d u \end{align}

(c)

\begin{align} y & =\frac{\ln u}{v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & =\frac{1}{v} \frac{1}{u} \\ \frac{\partial y}{\partial v} & =\frac{\partial\left(\ln u \cdot v^{-1}\right)}{\partial v} \\ & =-\ln u \cdot v^{-2} \\ & =-\frac{\ln u}{v^{2}} \\ d y & =\frac{\partial y}{\partial u} d u+\frac{\partial y}{\partial v} d v \\ & =\frac{1}{u v} d u-\frac{\ln u}{v^{2}} d v \end{align}

Ejercicio 16.6. Verifica que la suma de tres cantidades $x$ , $y$ , $z$ , cuyo producto es una constante $k$ , es máxima cuando estas tres cantidades son iguales.

Solución

Queremos maximizar

$S = x + y + z$

siempre que $x y z = k$ .

Encontramos $z$ a partir de la restricción $x y z = k$ y luego lo sustituimos en $S$ : $x y z = k \Rightarrow z = \frac{k}{x y}$ $S = x + y + z = x + y + \frac{k}{x y}$

El máximo ocurre cuando $\frac{\partial S}{\partial x} = \frac{\partial S}{\partial y} = 0$ \left\{ \begin{aligned} \frac { \partial S } { \partial x } &= 1 - \frac { k } { x ^ { 2 } y } = 0 \\ \frac { \partial S } { \partial y } &= 1 - \frac { k } { x y ^ { 2 } } = 0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} &x^{2} y=k \\ &x y^{2}=k \end{aligned}\right. Si dividimos $x^{2} y = k$ entre $x y^{2} = k$ , obtenemos $\frac{x^{2} y}{x y^{2}} = \frac{k}{k}$ Simplificando el lado izquierdo, obtenemos: $\frac{x}{y} = 1 \Rightarrow x = y$ $x^{2} y = k \Rightarrow x^{3} = k \Rightarrow x = \sqrt[3]{k}$ Por lo tanto $y = \sqrt[3]{k}$ y $z = \frac{k}{x y} = \frac{k}{\sqrt[3]{k} \sqrt[3]{k}} = \sqrt[3]{k} .$

Ejercicio 16.7. Encuentra el máximo o mínimo de la función $u = x + 2 x y + y .$

Respuesta

Mínimo para $x = y = - \frac{1}{2}$ .

Solución

\begin{align} &\frac{\partial u}{\partial x}=1+2 y\\ &\frac{\partial u}{\partial y}=1+2 x \end{align}

$u$ tiene un máximo o mínimo donde $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ :

\begin{align} & \frac{\partial u}{\partial x}=1+2 y=0 \Rightarrow y=-\frac{1}{2} \\ & \frac{\partial u}{\partial y}=1+2 x=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \end{align}

Examinando puntos cercanos (como $x = - 0.4, y = - 0.4$ ), podemos decir que $u$ es un mínimo cuando $x = y = - \frac{1}{2}$ .

Ejercicio 16.8. Las regulaciones de la oficina de correos establecen que ningún paquete debe tener un tamaño tal que su longitud más su circunferencia exceda $6$ pies. ¿Cuál es el mayor volumen que se puede enviar por correo (a) en el caso de un paquete de sección transversal rectangular; (b) en el caso de un paquete de sección transversal circular?

Respuesta

(a) Longitud $2$ pies, ancho = profundidad = $1$ pie, vol. = $2$ pies cúbicos.
(b) Radio = $\frac{2}{π}$ pies = $7.46$ in., longitud = $2$ pies, vol. = $2.546$ .

Solución

(a) Sea \begin{align} & L=\text { longitud del paquete } \\ & W=\text { Ancho } \\ & H=\text { Altura } \end{align} Entonces $circunferencia = L + 2 W + 2 H$

Queremos maximizar $V = L W H$ siempre que $circunferencia = L + 2 W + 2 H = 6$ o $L = 6 - 2 W - 2 H .$

Usando esta restricción, podemos escribir $V$ como \begin{align} V & =(6-2 W-2 H) W H \\ & =6 W H-2 W^{2} H-2 \end{align}

El máximo ocurre donde $\frac{\partial V}{\partial W} = 0$ y $\frac{\partial V}{\partial H} = 0$ : \left\{\begin{align} & \frac{\partial V}{\partial W}=6 H-4 W H-2 H^{2}=0 \\ & \frac{\partial V}{\partial H}=6 W-W^{2}-4 W H=0 \end{align}\right. Restando la segunda ecuación de la primera $6 (H - W) - 2 (H^{2} - W^{2}) = 0$ o \begin{align} & 6(H-W)-2(H-W)(H+W)=0 \\ & (H-W)[6-2 H-2 W]=0 \end{align}

La expresión entre corchetes es $L$ y como $L \neq 0$ , la única solución es $H - W = 0$ o $W = H$ .

Sustituyendo $W = H$ en $\frac{\partial V}{\partial x} = 0$ se obtiene $6 H - 4 H^{2} - 2 H^{2} = 6 H - 6 H^{2} = 0$ o $6 H (1 - H) = 0$ Dado que $H \neq 0$ $\Rightarrow H = 1 \Rightarrow W = H = 1$ Por lo tanto, \begin{align} & L=6-2 H-2 W \\ & L=2 \end{align} [Alternativamente podríamos sustituir $W = H$ en $\frac{\partial V}{\partial y} = 0$ .]

En este caso $(H = W = 1$ y $L = 2), V = 2 {ft}^{3}$ .

(b) $r =$ radio de la sección transversal

$\begin{matrix} circunferencia = L + 2 π r \\ L + 2 π r = 6 \Rightarrow L = 6 - 2 π r \end{matrix}$

Queremos maximizar $V = π r^{2} L .$

Dado que $L = 6 - 2 π r$ : \begin{align} V& =\pi r^{2}(6-2 \pi r) \\ & =6 \pi r^{2}-2 \pi^{2} r^{3} \end{align}

Ahora $V$ es una función de $r$ solamente:

\begin{align} \frac{d V}{d r} & =12 \pi r-6 \pi^{2} r^{2} \\ & =6 \pi r(2-\pi r) \end{align} $\frac{d V}{d r} = 0 \Leftrightarrow r = 0 o r = \frac{2}{π}$

Dado que $r \neq 0$ , la única solución es $r = \frac{2}{π}$ .

Cuando $r = \frac{2}{π}$ :

$L = 6 - 2 π \times \frac{2}{π} = 2 f t$

y el volumen máximo se obtiene cuando $r = \frac{2}{π}$ y $L = 2$

$V = π {(\frac{2}{π})}^{2} \cdot 2 = \frac{8}{π} \approx 2.546 {ft}^{3} .$

Ejercicio 16.9. Divide $π$ en $3$ partes de manera que el producto continuo de sus senos pueda ser un máximo o mínimo.

Respuesta

Las tres partes iguales; el producto es máximo.

Solución

Queremos maximizar

$u = \sin x \sin y \sin z$ siempre que $x + y + z = π, (x, y, z \geq 0)$ . Además, ninguno de ellos puede ser cero porque $u$ será cero si $x = 0$ o $y = 0$ o $z = 0$ de $u$ ocurre si $x = y = z = \frac{π}{3}$ . Por simetría podemos imaginar que el máximo de $u$ ocurre si $x = y = z = \frac{π}{3}$

Pero aquí queremos usar el cálculo: $x + y + z = π \Rightarrow z = π - x - y$ y así $u = \sin x \sin y \sin (π - x - y)$ Recuerda que $\sin (π - θ) = \sin θ$ . Por lo tanto

$u = \sin x \sin y \sin (x + y) .$

Para maximizar $u$ :

\left\{ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial x}&=\cos x \sin y \sin (x+y)+\sin x \sin y \cos (x+y)=0 &&\text{(A)} \\ \frac{\partial u}{\partial y}&=\sin x\cos y\sin(x+y)+\sin x\sin y \cos(x+y)=0 &&\text{(B)} \end{align} \right. Restando (A) de (B), obtenemos $[\sin x \cos y - \cos x \sin y] \sin (x + y) = 0$ Dado que $\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ , podemos escribir la expresión entre corchetes como $\sin (x - y)$ . Por lo tanto

$\sin (x - y) \sin (x + y) = 0$

$\Rightarrow x - y = 0, o x - y = π, o x + y = 0, o x + y = π .$

puesto que $0, s o l o \(x - y = 0$ es aceptable:

$x - y = 0 \Rightarrow x = y .$

Usando $x = y$ en (A), obtenemos

$\cos x \sin x \sin (2 x) + \sin^{2} x \cos (2 x) = 0$

Nota $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ :

$\begin{matrix} 2 \cos^{2} x \sin^{2} x + \sin^{2} x \cos 2 x = 0 \\ \sin^{2} x (2 \cos^{2} x + \cos 2 x) = 0 \\ \cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1 : \\ \sin^{2} x (4 \cos^{2} x - 1) = 0 \end{matrix}$

Como $0; por lo tanto</p><p>___MATH_BLOCK_86___ o ___MATH_BLOCK_87___</p><p>Esto significa que \(u$ es máximo cuando $x = y = z = \frac{π}{3}$ y el valor máximo de $u$ es

$\sin^{3} (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} = \frac{3^{\frac{3}{2}}}{8} \approx 0.65$

Ejercicio 16.10. Encuentra el máximo o mínimo de $u = \frac{e^{x + y}}{x y}$ .

Respuesta

Mínimo para $x = y = 1$ .

Solución

$u = \frac{e^{x + y}}{x y} = \frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}$

\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x}&=-\frac{e^{x}}{x^{2}} \cdot \frac{e^{y}}{y}+\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\\ &=\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\left(-\frac{1}{x}+1\right)=0 \\ \frac{\partial u}{\partial y}&=\frac{e^{x}}{x}\left(-\frac{e^{y}}{y^{2}}\right)+\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\\ &=\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\left(-\frac{1}{y}+1\right)=0 \end{align}

Dado que $\frac{e^{x + y}}{x y} \neq 0$ , debemos tener

$- \frac{1}{x} + 1 = 0 y - \frac{1}{y} + 1 = 0$ o $x = 1 y y = 1$

Cuando $x = y = 1, u = e^{2} \approx 7.39$ .

Examinemos algunos puntos cercanos:

\begin{align} & x=y=1.1, \quad u=\frac{e^{2.2}}{1.1^{2}} \approx 7.46 \\ & x=y=0.9, \quad u=\frac{e^{1.8}}{0.9^{2}} \approx 7.47 \\ & x=1.1, \quad y=0.9, \quad u=\frac{e^{2}}{1.1 \times 0.9} \approx 7.46 \end{align}

Por lo tanto, $u$ tiene un mínimo de $e^{2}$ .

Ejercicio 16.11. Encuentra máximos y mínimos de $u = y + 2 x - 2 \ln y - \ln x .$

Respuesta

Mín.: $x = \frac{1}{2}$ y $y = 2$ .

Solución

$u = y + 2 x - 2 \ln y - \ln x$ \begin{align} & \frac{\partial u}{\partial x}=2-\frac{1}{x}=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ & \frac{\partial u}{\partial y}=1-\frac{2}{y}=0 \Rightarrow y=2 \end{align}

Cuando $x = 0.5$ y $y = 2$ , $u = 3 - \ln 2 \approx 2.31 .$

Podemos examinar un par de puntos cerca de $x = \frac{1}{2}, y = 2$

Cuando $x = 0.4, y = 1.9, u \approx 2.33$

Cuando $x = 0.4, y = 2.1, u \approx 2.33$

Cuando $x = 0.6, y = 1.9, u \approx 2.33$

Cuando $x = 0.6, y = 2.1, u \approx 2.33$

Por lo tanto, $u$ es un mínimo cuando $x = \frac{1}{2}$ y $y = 2$ .

Ejercicio 16.12. Un balde de teliferaje de capacidad dada tiene la forma de un prisma triangular isósceles horizontal con el vértice debajo, y la cara opuesta abierta. Encuentra sus dimensiones para que se use la menor cantidad de chapa de hierro en su construcción.

Respuesta

Ángulo en el vértice $= 90^{\circ}$ ; lados iguales = longitud = $\sqrt[3]{2 V}$ .

Solución

$Área del triángulo = A_{1} = \frac{1}{2} x^{2} \sin θ$

$Volumen = V = A_{1} L = \frac{1}{2} x^{2} \sin θ L$

\begin{align} \text{Área del balde } =A&=2 A_{1}+2 x L\\ &=x^{2} \sin \theta+2 x L \end{align}

$V = A_{1} L = \frac{1}{2} x^{2} \sin θ L \Rightarrow L = \frac{2 V}{x^{2} \sin θ}$

$A = x^{2} \sin θ + \frac{4 V}{x \sin θ}$

Para minimizar, establecemos $\frac{\partial A}{\partial x} = 0$ y $\frac{\partial A}{\partial θ} = 0$

\left\{\begin{align} &\frac{\partial A}{\partial x}=2 x \sin \theta-\frac{4 V}{x^{2} \sin \theta}=0 \\[9pt] &\frac{\partial A}{\partial y}=x^{2} \cos \theta-\frac{4 V}{x \sin ^{2} \theta} \cos \theta=0 \end{align}\right.

\left\{\begin{align} &x \sin \theta-\frac{2 v}{x^{2} \sin \theta}=0 \\[9pt] &\cos \theta\left[x^{2}-\frac{4 V}{x \sin ^{2} \theta}\right]=0 \end{align}\right.

Dado que $\sin θ \neq 0$ y $x \neq 0$ , multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por $x$ y los dividimos por $\sin θ$ :

\left\{\begin{align} &x^{2}-\frac{2 V}{x \sin ^{2} \theta}=0 \\ &\cos \theta\left[x^{2}-\frac{4 V}{x \sin ^{2} \theta}\right]=\cos \theta\left[\underbrace{x^{2}-\frac{2 V}{x \sin ^{2} \theta}}_{0}-\frac{2 V}{x \sin ^{2} \theta}\right]=0 \end{align}\right.

Así que la segunda ecuación se puede escribir como

$\cos θ \frac{2 V}{x \sin^{2} θ} = 0$

Dado que $V \neq 0$ , debemos tener $\cos θ = 0$ o

$θ = \frac{π}{2} (o 90^{\circ})$

Sabiendo que $\sin \frac{π}{2} = 1$ , de la primera ecuación obtenemos $x^{2} - \frac{2 V}{x} = 0 \Rightarrow x = \sqrt[3]{2 V}$ y porque $L = \frac{2 V}{x^{2} \sin θ}$

$L = \frac{2 V}{(2 V)^{\frac{2}{3}}} = (2 V)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2 V}$

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