偏微分

$x^3-6x^{2}y-2y^2;{\displaystyle \frac{1}{3}}-2x^3-4xy$。

$2xyz+y^{2}z+z^{2}y+2x{y}^2{z}^2$；
$2xyz+x^{2}z+x{z}^2+2x^{2}y{z}^2$；
$2xyz+x^{2}y+x{y}^2+2x^2{y}^{2}z$。

设 $$u=x^{2}yz+x{y}^{2}z+xy{z}^2+x^2{y}^2{z}^2.$$ 那么

${\displaystyle \frac{1}{r}}\{(x-a)+(y-b)+(z-c)\}={\displaystyle \frac{(x+y+z)-(a+b+c)}{r}}$； ${\displaystyle \frac{3}{r}}$。

类似地

$$2r\frac{\partial r}{\partial y}=2(y-b)\Rightarrow \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y-b}{r}$$ $$2r\frac{\partial r}{\partial z}=2(z-c)\Rightarrow \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z-c}{r}.$$ 因此，

使用商法则

类似地 $$\frac{{\partial }^{2}r}{\partial y^2}=\frac{r^2-(y-b{)}^2}{r^3}$$ 且 $$\frac{{\partial }^{2}r}{\partial z^2}=\frac{r^2-(z-c{)}^2}{r^3}$$

因此

$dy=v{u}^{v-1}du+u^v\ln udv$。

$$\begin{array}{c}y=u^v\\ \frac{\partial y}{\partial u}=v{u}^{v-1}\frac{\partial y}{\partial v}=u^v\cdot \ln u\end{array}$$ $y$ 的全微分是

$dy=3\sin v{u}^{2}du+u^3\cos vdv$，
$dy=u{(\sin x)}^{u-1}\cos xdx+(\sin x{)}^u\ln \sin xdu$，
$dy={\displaystyle \frac{1}{v}}{\displaystyle \frac{1}{u}}du-\ln u{\displaystyle \frac{1}{v^2}}dv$。

(a) $$y=u^3\sin v$$

(b) $$y=(\sin x{)}^u$$

(c)

我们想要最大化

$$S=x+y+z$$

条件是 $xyz=k$。

我们从约束条件 $xyz=k$ 中求出 $z$，然后将其代入 $S$： $$xyz=k\Rightarrow z=\frac{k}{xy}$$ $$S=x+y+z=x+y+\frac{k}{xy}$$

最大值出现在 ${\displaystyle \frac{\partial S}{\partial x}}={\displaystyle \frac{\partial S}{\partial y}}=0$ 时 如果我们用 $x{y}^2=k$ 除以 $x^{2}y=k$，得到 $$\frac{x^{2}y}{x{y}^2}=\frac{k}{k}$$ 化简左边，得到： $$\frac{x}{y}=1\Rightarrow x=y$$ $$x^{2}y=k\Rightarrow x^3=k\Rightarrow x=\sqrt[3]{k}$$ 因此 $y=\sqrt[3]{k}$ 且 $$z=\frac{k}{xy}=\frac{k}{\sqrt[3]{k}\sqrt[3]{k}}=\sqrt[3]{k}.$$

当 $x=y=-\frac{1}{2}$ 时取最小值。

$u$ 在 ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}=0$ 处有最大值或最小值：

通过检查邻近点（例如 $x=-0.4,y=-0.4$），我们可以说当 $x=y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ 时 $u$ 取最小值。

(a) 长度 $2$ 英尺，宽度 = 深度 = $1$ 英尺，体积 = $2$ 立方英尺。
(b) 半径 = ${\displaystyle \frac{2}{\pi }}$ 英尺 = $7.46$ 英寸，长度 = $2$ 英尺，体积 = $2.546$。

(a) 设 则 $$\text{ 周长 }=L+2W+2H$$

我们想要最大化 $$V=LWH$$ 满足条件 $\text{周长}=L+2W+2H=6$ 或 $$L=6-2W-2H.$$

利用这个约束，我们可以将 $V$ 写成

最大值出现在 ${\displaystyle \frac{\partial V}{\partial W}}=0$ 和 ${\displaystyle \frac{\partial V}{\partial H}}=0$ 时： 从第一个方程减去第二个方程 $$6(H-W)-2(H^2-W^2)=0$$ 或

括号内的表达式是 $L$，由于 $L\ne 0$，唯一的解是 $H-W=0$ 或 $W=H$。

将 $W=H$ 代入 ${\displaystyle \frac{\partial V}{\partial x}}=0$ 得到 $$6H-4H^2-2H^2=6H-6H^2=0$$ 或 $$6H(1-H)=0$$ 由于 $H\ne 0$ $$\Rightarrow H=1\Rightarrow W=H=1$$ 因此， [或者我们可以将 $W=H$ 代入 ${\displaystyle \frac{\partial V}{\partial y}}=0$。]

在这种情况下 $(H=W=1$ 且 $L=2),V=2{\mathrm{ft}}^3$。

(b) $r=$ 横截面半径

$$\begin{array}{c}\text{ 周长 }=L+2\pi r\\ L+2\pi r=6\Rightarrow L=6-2\pi r\end{array}$$

我们想要最大化 $$V=\pi r^{2}L.$$

由于 $L=6-2\pi r$：

现在 $V$ 只是 $r$ 的函数：

$$\frac{dV}{dr}=0\iff r=0\text{ 或 }r=\frac{2}{\pi }$$

由于 $r\ne 0$，唯一的解是 $r={\displaystyle \frac{2}{\pi }}$。

当 $r={\displaystyle \frac{2}{\pi }}$ 时：

$$L=6-2\pi \times \frac{2}{\pi }=2\text{英尺}$$

并且当 $r={\displaystyle \frac{2}{\pi }}$ 和 $L=2$ 时得到最大体积

$$V=\pi {\left(\frac{2}{\pi }\right)}^2\cdot 2=\frac{8}{\pi }\approx 2.546{\mathrm{ft}}^3.$$

三部分相等；乘积最大。

我们想要最大化

$$u=\sin x\sin y\sin z$$ 满足条件 $x+y+z=\pi ,(x,y,z\ge 0)$。此外，它们都不能为零，因为如果 $x=0$ 或 $y=0$ 或 $z=0$，$u$ 将为零。由对称性，我们可以想象 $u$ 的最大值出现在 $x=y=z=\frac{\pi }{3}$ 时。 $$x=y=z=\frac{\pi }{3}$$

但这里我们想使用微积分： $$x+y+z=\pi \Rightarrow z=\pi -x-y$$ 因此 $$u=\sin x\sin y\sin (\pi -x-y)$$ 回忆 $\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$。因此

$$u=\sin x\sin y\sin (x+y)\text{. }$$

为了最大化 $u$：

从 (B) 减去 (A)，我们得到 $$[\sin x\cos y-\cos x\sin y]\sin (x+y)=0$$ 由于 $\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$，我们可以将括号内的表达式写成 $\sin (x-y)$。因此

$$\sin (x-y)\sin (x+y)=0$$

$$\Rightarrow x-y=0,\text{或}x-y=\pi ,\text{或}x+y=0,\text{或}x+y=\pi .$$

由于 ，只有 $x-y=0$ 是可接受的：

$$x-y=0\Rightarrow x=y.$$

在 (A) 中使用 $x=y$，我们得到

$$\cos x\sin x\sin (2x)+{\sin }^{2}x\cos (2x)=0$$

注意 $\sin 2x=2\sin x\cos x$：

$$\begin{array}{c}2{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x\cos 2x=0\\ {\sin }^{2}x(2{\cos }^{2}x+\cos 2x)=0\\ \cos 2x=2{\cos }^{2}x-1:\\ {\sin }^{2}x(4{\cos }^{2}x-1)=0\end{array}$$

由于 ；因此

$${\sin }^{2}x(4{\cos }^{2}x-1)=0\iff {\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$$ 或 $$\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}$$

这意味着当 $x=y=z={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ 时 $u$ 取最大值，且 $u$ 的最大值为

$${\sin }^3\left(\frac{\pi }{3}\right)={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}\approx 0.65$$

当 $x=y=1$ 时取最小值。

$$u=\frac{e^{x+y}}{xy}=\frac{e^x}{x}\cdot \frac{e^y}{y}$$

由于 ${\displaystyle \frac{e^{x+y}}{xy}}\ne 0$，我们必须有

$$-\frac{1}{x}+1=0\text{ 且 }-\frac{1}{y}+1=0$$ 或 $$x=1\text{ 且 }y=1$$

当 $x=y=1,u=e^2\approx 7.39$。

让我们检查一些邻近点：

因此，$u$ 有最小值 $e^2$。

最小值：$x=\frac{1}{2}$ 且 $y=2$。

$$u=y+2x-2\ln y-\ln x$$

当 $x=0.5$ 且 $y=2$ 时，$u=3-\ln 2\approx 2.31.$

我们可以检查 $x=\frac{1}{2},y=2$ 附近的几个点

当 $x=0.4,y=1.9,u\approx 2.33$

当 $x=0.4,y=2.1,u\approx 2.33$

当 $x=0.6,y=1.9,u\approx 2.33$

当 $x=0.6,y=2.1,u\approx 2.33$

因此，当 $x=\frac{1}{2}$ 且 $y=2$ 时 $u$ 取最小值。

顶角 $={90}^{\circ }$；等边 = 长度 = $\sqrt[3]{2V}$。

$$\text{三角形的面积 }=A_1=\frac{1}{2}{x}^2\sin \theta$$

$$\text{体积 }=V=A_{1}L=\frac{1}{2}{x}^2\sin \theta L$$

$$V=A_{1}L=\frac{1}{2}{x}^2\sin \theta L\Rightarrow L=\frac{2V}{x^2\sin \theta }$$

$$A=x^2\sin \theta +\frac{4V}{x\sin \theta }$$

为了最小化，我们设 ${\displaystyle \frac{\partial A}{\partial x}}=0$ 和 ${\displaystyle \frac{\partial A}{\partial \theta }}=0$

或

由于 $\sin \theta \ne 0$ 且 $x\ne 0$，我们将第一个方程两边乘以 $x$ 并除以 $\sin \theta$：