Diferenciación Parcial

\(x^3 - 6x^2 y - 2y^2;\quad \dfrac{1}{3} - 2x^3 - 4xy\).

\[\begin{align} & z=\frac{x^{3}}{3}-2 x^{3} y-2 y^{2} x+\frac{y}{3} \\ & \frac{\partial z}{\partial x}=x^{2}-6 x^{2} y-2 y^{2} \\ & \frac{\partial z}{\partial y}=-2 x^{3}-4 y x+\frac{1}{3} \end{align}\]

\(2xyz + y^2 z + z^2 y + 2xy^2 z^2\);
\(2xyz + x^2 z + xz^2 + 2x^2 yz^2\);
\(2xyz + x^2 y + xy^2 + 2x^2 y^2 z\).

Sea \[u=x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2}+x^{2} y^{2} z^{2}.\] Entonces \[\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x}= & 2 x y z+y^{2} z+y z^{2}+2 x y^{2} z^{2} \\ \frac{\partial u}{\partial y}= & x^{2} z+2 x y z+x z^{2}+2 x^{2} y z \\ \frac{\partial u}{\partial z}= & x^{2} y+x y^{2}+2 x y z+2 x^{2} y^{2} z \end{align}\]

\(\dfrac{1}{r} \{ \left(x - a\right) + \left( y - b \right) + \left( z - c \right) \} = \dfrac{ \left( x + y + z \right) - \left( a + b + c \right) }{r}\); \(\dfrac{3}{r}\).

\[\begin{align} & r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2} \\ & \frac{\partial\left(r^{2}\right)}{\partial x}=2 r \frac{\partial r}{\partial x}=2(x-a) \\ \Rightarrow\qquad & \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x-a}{r} \end{align}\] De manera similar

\[2 r \frac{\partial r}{\partial y}=2(y-b) \Rightarrow \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y-b}{r}\] \[2 r \frac{\partial r}{\partial z} =2(z-c) \Rightarrow \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z-c}{r}.\] Por lo tanto, \[\begin{align} \frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial r}{\partial z} & =\frac{x-a+y-b+z-c}{r} \\ & =\frac{x+y+z}{r}-\frac{a+b+c}{r} \end{align}\]

Usando la regla del cociente

\[\begin{align} \frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}} &= \frac{\partial\left(\dfrac{\partial r}{\partial x}\right)}{\partial x}\\ &=\frac{\partial\left(\dfrac{x-a}{r}\right)}{\partial x}\\ &=\frac{r-\dfrac{\partial r}{\partial x}(x-a)}{r^{2}} &&\text{(Regla del Cociente)}\\ & =\frac{r-\frac{(x-a)^{2}}{r}}{r^{2}} \\ & =\frac{r^{2}-(x-a)^{2}}{r^{3}} \end{align}\] De manera similar \[\frac{\partial^{2} r}{\partial y^{2}}=\frac{r^{2}-(y-b)^{2}}{r^{3}}\] y \[\frac{\partial^{2} r}{\partial z^{2}}=\frac{r^{2}-(z-c)^{2}}{r^{3}}\]

Por lo tanto

\[\begin{align} \frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} r}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} r}{\partial z^{2}} & =\frac{r^{2}-(x-a)^{2}}{r^{3}}+\frac{r^{2}-(y-b)^{2}}{r^{3}}+\frac{r^{2}-(z-c)^{2}}{r^{3}} \\ & =\frac{3 r^{2}-\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right\}}{r^{3}} \\ & =\frac{3 r^{2}-r^{2}}{r^{3}} \\ & =\frac{2}{r} . \end{align}\]

\(dy = vu^{v-1}\, du + u^v \ln u\, dv\).

\[\begin{gathered} y=u^{v} \\ \frac{\partial y}{\partial u}=v u^{v-1} \quad \frac{\partial y}{\partial v}=u^{v} \cdot \ln u \end{gathered}\] El diferencial total de \(y\) es \[\begin{align} & d y=\frac{\partial y}{\partial u} d u+\frac{\partial y}{\partial v} d v \\ & =v u^{v-1} d u+u^{v} \cdot \ln u d v \end{align}\]

\(dy = 3\sin v u^2\, du + u^3 \cos v\, dv\),
\(dy = u \left(\sin x\right)^{u-1} \cos x\, dx + (\sin x)^u \ln \sin x du\),
\(dy = \dfrac{1}{v}\, \dfrac{1}{u}\, du - \ln u \dfrac{1}{v^2}\, dv\).

(a) \[y=u^{3} \sin v\]

\[\begin{align} & \frac{\partial y}{\partial u}=3 u^{2} \sin v \quad \frac{\partial y}{\partial v}=u^{3} \cos v \\ & d y=\frac{\partial y}{\partial u} d u+\frac{\partial y}{\partial v} d v \end{align}\]

(b) \[y=(\sin x)^{u}\]

\[\begin{align} & \frac{\partial y}{\partial x}=u \cos x(\sin x)^{u-1} \\ & \frac{\partial y}{\partial u}=(\sin x)^{u} \cdot \ln (\sin x) \\ & d y=\frac{\partial y}{\partial x} d x+\frac{\partial y}{\partial u} d u \\ & d y=u \cos x(\sin x)^{u-1} d x+(\sin x)^{u} \cdot \ln (\sin x) d u \end{align}\]

(c)

\[\begin{align} y & =\frac{\ln u}{v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & =\frac{1}{v} \frac{1}{u} \\ \frac{\partial y}{\partial v} & =\frac{\partial\left(\ln u \cdot v^{-1}\right)}{\partial v} \\ & =-\ln u \cdot v^{-2} \\ & =-\frac{\ln u}{v^{2}} \\ d y & =\frac{\partial y}{\partial u} d u+\frac{\partial y}{\partial v} d v \\ & =\frac{1}{u v} d u-\frac{\ln u}{v^{2}} d v \end{align}\]

Queremos maximizar

\[S=x+y+z\]

siempre que \(x y z=k\).

Encontramos \(z\) a partir de la restricción \(xyz=k\) y luego lo sustituimos en \(S\): \[x y z=k \Rightarrow z=\frac{k}{x y}\] \[S=x+y+z=x+y+\frac{k}{x y}\]

El máximo ocurre cuando \(\dfrac{\partial S}{\partial x}=\dfrac{\partial S}{\partial y}=0\) \[\left\{ \begin{aligned} \frac { \partial S } { \partial x } &= 1 - \frac { k } { x ^ { 2 } y } = 0 \\ \frac { \partial S } { \partial y } &= 1 - \frac { k } { x y ^ { 2 } } = 0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} &x^{2} y=k \\ &x y^{2}=k \end{aligned}\right.\] Si dividimos \(x^2y=k\) entre \(xy^2=k\), obtenemos \[\frac{x^{2} y}{x y^{2}}=\frac{k}{k}\] Simplificando el lado izquierdo, obtenemos: \[\frac{x}{y}=1 \Rightarrow x=y\] \[x^{2} y=k \Rightarrow x^{3}=k \Rightarrow x=\sqrt[3]{k}\] Por lo tanto \(y=\sqrt[3]{k}\) y \[z=\frac{k}{x y}=\frac{k}{\sqrt[3]{k} \sqrt[3]{k}}=\sqrt[3]{k} .\]

Mínimo para \(x = y = -\frac{1}{2}\).

\[\begin{align} &\frac{\partial u}{\partial x}=1+2 y\\ &\frac{\partial u}{\partial y}=1+2 x \end{align}\]

\(u\) tiene un máximo o mínimo donde \(\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial y}=0\):

\[\begin{align} & \frac{\partial u}{\partial x}=1+2 y=0 \Rightarrow y=-\frac{1}{2} \\ & \frac{\partial u}{\partial y}=1+2 x=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \end{align}\]

Examinando puntos cercanos (como \(x=-0.4, y=-0.4\) ), podemos decir que \(u\) es un mínimo cuando \(x=y=-\dfrac{1}{2}\).

(a) Longitud \(2\) pies, ancho = profundidad = \(1\) pie, vol. = \(2\) pies cúbicos.
(b) Radio = \(\dfrac{2}{\pi}\) pies = \(7.46\) in., longitud = \(2\) pies, vol. = \(2.546\).

(a) Sea \[\begin{align} & L=\text { longitud del paquete } \\ & W=\text { Ancho } \\ & H=\text { Altura } \end{align}\] Entonces \[\text { circunferencia }=L+2 W+2 H\]

Queremos maximizar \[V=LWH\] siempre que \(\text{circunferencia} = L+2 W+2 H=6\) o \[L=6-2 W-2 H.\]

Usando esta restricción, podemos escribir \(V\) como \[\begin{align} V & =(6-2 W-2 H) W H \\ & =6 W H-2 W^{2} H-2 \end{align}\]

El máximo ocurre donde \(\dfrac{\partial V}{\partial W}=0\) y \(\dfrac{\partial V}{\partial H}=0\): \[\left\{\begin{align} & \frac{\partial V}{\partial W}=6 H-4 W H-2 H^{2}=0 \\ & \frac{\partial V}{\partial H}=6 W-W^{2}-4 W H=0 \end{align}\right.\] Restando la segunda ecuación de la primera \[6(H-W)-2\left(H^{2}-W^{2}\right)=0\] o \[\begin{align} & 6(H-W)-2(H-W)(H+W)=0 \\ & (H-W)[6-2 H-2 W]=0 \end{align}\]

La expresión entre corchetes es \(L\) y como \(L \neq 0\), la única solución es \(H-W=0\) o \(W=H\).

Sustituyendo \(W=H\) en \(\dfrac{\partial V}{\partial x}=0\) se obtiene \[6 H-4 H^{2}-2 H^{2}= 6 H-6 H^{2}=0\] o \[6 H(1-H)=0\] Dado que \(H\neq 0\) \[\Rightarrow H=1\quad\Rightarrow \quad W=H=1\] Por lo tanto, \[\begin{align} & L=6-2 H-2 W \\ & L=2 \end{align}\] [Alternativamente podríamos sustituir \(W=H\) en \(\dfrac{\partial V}{\partial y}=0\).]

En este caso \((H=W=1\) y \(L=2), V=2\ \mathrm{ft}^{3}\).

(b) \(r=\) radio de la sección transversal

\[\begin{gathered} \text { circunferencia }=L+2 \pi r \\ L+2 \pi r=6 \Rightarrow L=6-2 \pi r \end{gathered}\]

Queremos maximizar \[V=\pi r^2 L.\]

Dado que \(L=6-2 \pi r\): \[\begin{align} V& =\pi r^{2}(6-2 \pi r) \\ & =6 \pi r^{2}-2 \pi^{2} r^{3} \end{align}\]

Ahora \(V\) es una función de \(r\) solamente:

\[\begin{align} \frac{d V}{d r} & =12 \pi r-6 \pi^{2} r^{2} \\ & =6 \pi r(2-\pi r) \end{align}\] \[\frac{d V}{d r}=0 \quad \Leftrightarrow\quad r=0 \quad \text { o } \quad r=\frac{2}{\pi}\]

Dado que \(r \neq 0\), la única solución es \(r=\dfrac{2}{\pi}\).

Cuando \(r=\dfrac{2}{\pi}\) :

\[L=6-2 \pi \times \frac{2}{\pi}=2 \quad f t\]

y el volumen máximo se obtiene cuando \(r=\dfrac{2}{\pi}\) y \(L=2\)

\[V=\pi\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2} \cdot 2=\frac{8}{\pi} \approx 2.546\ \mathrm{ft}^{3}.\]

Las tres partes iguales; el producto es máximo.

Queremos maximizar

\[u=\sin x \sin y \sin z\] siempre que \(x+y+z=\pi, \quad(x, y, z \geq 0)\). Además, ninguno de ellos puede ser cero porque \(u\) será cero si \(x=0\) o \(y=0\) o \(z=0\) de \(u\) ocurre si \(x=y=z=\frac{\pi}{3}\). Por simetría podemos imaginar que el máximo de \(u\) ocurre si \[x=y=z=\frac{\pi}{3}\]

Pero aquí queremos usar el cálculo: \[x+y+z=\pi \Rightarrow \quad z=\pi-x-y\] y así \[u=\sin x\ \sin y\ \sin(\pi-x-y)\] Recuerda que \(\sin (\pi-\theta)=\sin \theta\). Por lo tanto

\[u=\sin x \sin y \sin (x+y) \text {. }\]

Para maximizar \(u\) :

\[\left\{ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial x}&=\cos x \sin y \sin (x+y)+\sin x \sin y \cos (x+y)=0 &&\text{(A)} \\ \frac{\partial u}{\partial y}&=\sin x\cos y\sin(x+y)+\sin x\sin y \cos(x+y)=0 &&\text{(B)} \end{align} \right.\] Restando (A) de (B), obtenemos \[[\sin x \cos y-\cos x \sin y] \sin (x+y)=0\] Dado que \(\sin (A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B\), podemos escribir la expresión entre corchetes como \(\sin (x-y)\). Por lo tanto

\[\sin (x-y) \sin (x+y)=0\]

\[\Rightarrow \quad x-y=0,\quad\text{o}\quad x-y=\pi,\quad\text{o}\quad x+y=0,\quad\text{o} x+y=\pi.\]

puesto que \(0, solo \(x-y=0\) es aceptable:

\[x-y=0 \Rightarrow x=y .\]

Usando \(x=y\) en (A), obtenemos

\[\cos x \sin x \sin (2 x)+\sin ^{2} x \cos (2 x)=0\]

Nota \(\sin 2 x=2 \sin x \cos x\) :

\[\begin{gathered} 2 \cos ^{2} x \sin ^{2} x+\sin ^{2} x \cos 2 x=0 \\ \sin ^{2} x\left(2 \cos ^{2} x+\cos 2 x\right)=0 \\ \cos 2 x=2 \cos ^{2} x-1: \\ \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=0 \end{gathered}\]

Como \(0; por lo tanto

\[\sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=0\ \Leftrightarrow\ \cos ^{2} x=\frac{1}{4}\] o \[\cos x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}\]

Esto significa que \(u\) es máximo cuando \(x=y=z=\dfrac{\pi}{3}\) y el valor máximo de \(u\) es

\[\sin ^{3}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}=\frac{3^{\frac{3}{2}}}{8} \approx 0.65\]

Mínimo para \(x = y = 1\).

\[u=\frac{e^{x+y}}{x y}=\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\]

\[\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x}&=-\frac{e^{x}}{x^{2}} \cdot \frac{e^{y}}{y}+\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\\ &=\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\left(-\frac{1}{x}+1\right)=0 \\ \frac{\partial u}{\partial y}&=\frac{e^{x}}{x}\left(-\frac{e^{y}}{y^{2}}\right)+\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\\ &=\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\left(-\frac{1}{y}+1\right)=0 \end{align}\]

Dado que \(\dfrac{e^{x+y}}{x y} \neq 0\), debemos tener

\[-\frac{1}{x}+1=0 \text { y }-\frac{1}{y}+1=0\] o \[x=1\ \text { y }\ y=1\]

Cuando \(x=y=1, \quad u=e^{2} \approx 7.39\).

Examinemos algunos puntos cercanos:

\[\begin{align} & x=y=1.1, \quad u=\frac{e^{2.2}}{1.1^{2}} \approx 7.46 \\ & x=y=0.9, \quad u=\frac{e^{1.8}}{0.9^{2}} \approx 7.47 \\ & x=1.1, \quad y=0.9, \quad u=\frac{e^{2}}{1.1 \times 0.9} \approx 7.46 \end{align}\]

Por lo tanto, \(u\) tiene un mínimo de \(e^{2}\).

Mín.: \(x = \frac{1}{2}\) y \(y = 2\).

\[u=y+2 x-2 \ln y-\ln x\] \[\begin{align} & \frac{\partial u}{\partial x}=2-\frac{1}{x}=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ & \frac{\partial u}{\partial y}=1-\frac{2}{y}=0 \Rightarrow y=2 \end{align}\]

Cuando \(x=0.5\) y \(y=2\), \(u=3-\ln 2 \approx 2.31.\)

Podemos examinar un par de puntos cerca de \(x=\frac{1}{2}, y=2\)

Cuando \(x=0.4, y=1.9, u \approx 2.33\)

Cuando \(x=0.4, y=2.1, u \approx 2.33\)

Cuando \(x=0.6, y=1.9, u \approx 2.33\)

Cuando \(x=0.6, y=2.1, u \approx 2.33\)

Por lo tanto, \(u\) es un mínimo cuando \(x=\frac{1}{2}\) y \(y=2\).

Ángulo en el vértice \(= 90^\circ\); lados iguales = longitud = \(\sqrt[3]{2V}\).

\[\text{Área del triángulo }= A_{1}=\frac{1}{2} x^{2} \sin \theta\]

\[\text{Volumen }=V=A_{1} L=\frac{1}{2} x^{2} \sin \theta L\]

\[\begin{align} \text{Área del balde } =A&=2 A_{1}+2 x L\\ &=x^{2} \sin \theta+2 x L \end{align}\]

\[V=A_{1} L=\frac{1}{2} x^{2} \sin \theta L\Rightarrow L=\frac{2 V}{x^{2} \sin \theta}\]

\[A=x^{2} \sin \theta+\frac{4 V}{x \sin \theta}\]

Para minimizar, establecemos \(\dfrac{\partial A}{\partial x}=0\) y \(\dfrac{\partial A}{\partial \theta}=0\)

\[\left\{\begin{align} &\frac{\partial A}{\partial x}=2 x \sin \theta-\frac{4 V}{x^{2} \sin \theta}=0 \\[9pt] &\frac{\partial A}{\partial y}=x^{2} \cos \theta-\frac{4 V}{x \sin ^{2} \theta} \cos \theta=0 \end{align}\right.\]

o

\[\left\{\begin{align} &x \sin \theta-\frac{2 v}{x^{2} \sin \theta}=0 \\[9pt] &\cos \theta\left[x^{2}-\frac{4 V}{x \sin ^{2} \theta}\right]=0 \end{align}\right.\]

Dado que \(\sin \theta \neq 0\) y \(x \neq 0\), multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por \(x\) y los dividimos por \(\sin \theta\) :

\[\left\{\begin{align} &x^{2}-\frac{2 V}{x \sin ^{2} \theta}=0 \\ &\cos \theta\left[x^{2}-\frac{4 V}{x \sin ^{2} \theta}\right]=\cos \theta\left[\underbrace{x^{2}-\frac{2 V}{x \sin ^{2} \theta}}_{0}-\frac{2 V}{x \sin ^{2} \theta}\right]=0 \end{align}\right.\]

Así que la segunda ecuación se puede escribir como

\[\cos \theta \frac{2 V}{x \sin ^{2} \theta}=0\]

Dado que \(V \neq 0\), debemos tener \(\cos \theta=0\) o

\[\theta=\frac{\pi}{2} \quad \text { (o } 90^{\circ})\]

Sabiendo que \(\sin \frac{\pi}{2}=1\), de la primera ecuación obtenemos \[x^{2}-\frac{2 V}{x}=0 \Rightarrow x=\sqrt[3]{2 V}\] y porque \(L=\dfrac{2 V}{x^{2} \sin \theta}\)

\[L=\frac{2 V}{(2 V)^{\frac{2}{3}}}=(2 V)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2 V}\]