مشتق‌گیری جزئی

$x^3-6x^{2}y-2y^2;{\displaystyle \frac{1}{3}}-2x^3-4xy$.

$2xyz+y^{2}z+z^{2}y+2x{y}^2{z}^2$؛
$2xyz+x^{2}z+x{z}^2+2x^{2}y{z}^2$؛
$2xyz+x^{2}y+x{y}^2+2x^2{y}^{2}z$.

فرض کنید $$u=x^{2}yz+x{y}^{2}z+xy{z}^2+x^2{y}^2{z}^2.$$ آنگاه

${\displaystyle \frac{1}{r}}\{(x-a)+(y-b)+(z-c)\}={\displaystyle \frac{(x+y+z)-(a+b+c)}{r}}$؛ ${\displaystyle \frac{3}{r}}$.

به طور مشابه

$$2r\frac{\partial r}{\partial y}=2(y-b)\Rightarrow \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y-b}{r}$$ $$2r\frac{\partial r}{\partial z}=2(z-c)\Rightarrow \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z-c}{r}.$$ بنابراین،

با استفاده از قاعده خارج قسمت

به طور مشابه $$\frac{{\partial }^{2}r}{\partial y^2}=\frac{r^2-(y-b{)}^2}{r^3}$$ و $$\frac{{\partial }^{2}r}{\partial z^2}=\frac{r^2-(z-c{)}^2}{r^3}$$

بنابراین

$dy=v{u}^{v-1}du+u^v\ln udv$.

$$\begin{array}{c}y=u^v\\ \frac{\partial y}{\partial u}=v{u}^{v-1}\frac{\partial y}{\partial v}=u^v\cdot \ln u\end{array}$$ دیفرانسیل کامل $y$ برابر است با

$dy=3\sin v{u}^{2}du+u^3\cos vdv$،
$dy=u{(\sin x)}^{u-1}\cos xdx+(\sin x{)}^u\ln \sin xdu$،
$dy={\displaystyle \frac{1}{v}}{\displaystyle \frac{1}{u}}du-\ln u{\displaystyle \frac{1}{v^2}}dv$.

(الف) $$y=u^3\sin v$$

(ب) $$y=(\sin x{)}^u$$

(ج)

می‌خواهیم ماکزیمم کنیم

$$S=x+y+z$$

به شرطی که $xyz=k$.

$z$ را از قید $xyz=k$ می‌یابیم و سپس آن را در $S$ جایگذاری می‌کنیم: $$xyz=k\Rightarrow z=\frac{k}{xy}$$ $$S=x+y+z=x+y+\frac{k}{xy}$$

حداکثر زمانی رخ می‌دهد که ${\displaystyle \frac{\partial S}{\partial x}}={\displaystyle \frac{\partial S}{\partial y}}=0$ اگر $x^{2}y=k$ را بر $x{y}^2=k$ تقسیم کنیم، به دست می‌آید $$\frac{x^{2}y}{x{y}^2}=\frac{k}{k}$$ با ساده‌سازی سمت چپ، داریم: $$\frac{x}{y}=1\Rightarrow x=y$$ $$x^{2}y=k\Rightarrow x^3=k\Rightarrow x=\sqrt[3]{k}$$ بنابراین $y=\sqrt[3]{k}$ و $$z=\frac{k}{xy}=\frac{k}{\sqrt[3]{k}\sqrt[3]{k}}=\sqrt[3]{k}.$$

مینیمم برای $x=y=-\frac{1}{2}$.

$u$ در جایی ماکزیمم یا مینیمم دارد که ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}=0$:

با بررسی نقاط نزدیک (مانند $x=-0.4,y=-0.4$)، می‌توان گفت که $u$ یک مینیمم است وقتی $x=y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

(الف) طول $2$ فوت، عرض = عمق = $1$ فوت، حجم = $2$ فوت مکعب.
(ب) شعاع = ${\displaystyle \frac{2}{\pi }}$ فوت = $7.46$ اینچ، طول = $2$ فوت، حجم = $2.546$.

(الف) فرض کنید آنگاه $$\text{ دور }=L+2W+2H$$

می‌خواهیم $$V=LWH$$ را ماکزیمم کنیم به شرطی که $\text{دور}=L+2W+2H=6$ یا $$L=6-2W-2H.$$

با استفاده از این قید، می‌توانیم $V$ را به صورت بنویسیم.

ماکزیمم در جایی رخ می‌دهد که ${\displaystyle \frac{\partial V}{\partial W}}=0$ و ${\displaystyle \frac{\partial V}{\partial H}}=0$: با کم کردن معادله دوم از معادله اول $$6(H-W)-2(H^2-W^2)=0$$ یا

عبارت داخل کروشه $L$ است و چون $L\ne 0$، تنها جواب $H-W=0$ یا $W=H$ است.

با جایگذاری $W=H$ در ${\displaystyle \frac{\partial V}{\partial x}}=0$ به دست می‌آید $$6H-4H^2-2H^2=6H-6H^2=0$$ یا $$6H(1-H)=0$$ چون $H\ne 0$ $$\Rightarrow H=1\Rightarrow W=H=1$$ بنابراین، [به طور جایگزین می‌توانستیم $W=H$ را در ${\displaystyle \frac{\partial V}{\partial y}}=0$ جایگذاری کنیم.]

در این حالت $(H=W=1$ و $L=2),V=2{\mathrm{ft}}^3$.

(ب) $r=$ شعاع مقطع

$$\begin{array}{c}\text{ دور }=L+2\pi r\\ L+2\pi r=6\Rightarrow L=6-2\pi r\end{array}$$

می‌خواهیم $$V=\pi r^{2}L.$$ را ماکزیمم کنیم.

چون $L=6-2\pi r$:

اکنون $V$ تابعی از $r$ به تنهایی است:

$$\frac{dV}{dr}=0\iff r=0\text{ or }r=\frac{2}{\pi }$$

چون $r\ne 0$، تنها جواب $r={\displaystyle \frac{2}{\pi }}$ است.

وقتی $r={\displaystyle \frac{2}{\pi }}$ :

$$L=6-2\pi \times \frac{2}{\pi }=2\text{فوت}$$

و حجم ماکزیمم وقتی به دست می‌آید که $r={\displaystyle \frac{2}{\pi }}$ و $L=2$

$$V=\pi {\left(\frac{2}{\pi }\right)}^2\cdot 2=\frac{8}{\pi }\approx 2.546{\mathrm{ft}}^3.$$

هر سه قسمت مساوی؛ حاصل‌ضرب ماکزیمم است.

می‌خواهیم ماکزیمم کنیم

$$u=\sin x\sin y\sin z$$ به شرطی که $x+y+z=\pi ,(x,y,z\ge 0)$. همچنین هیچ‌یک از آن‌ها نمی‌تواند صفر باشد زیرا اگر $x=0$ یا $y=0$ یا $z=0$، $u$ صفر خواهد شد. ماکزیمم $u$ وقتی رخ می‌دهد که $x=y=z=\frac{\pi }{3}$. با تقارن می‌توان تصور کرد که ماکزیمم $u$ وقتی رخ می‌دهد که $$x=y=z=\frac{\pi }{3}$$

اما در اینجا می‌خواهیم از حساب دیفرانسیل استفاده کنیم: $$x+y+z=\pi \Rightarrow z=\pi -x-y$$ و بنابراین $$u=\sin x\sin y\sin (\pi -x-y)$$ به یاد آورید که $\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$. بنابراین

$$u=\sin x\sin y\sin (x+y)\text{. }$$

برای ماکزیمم کردن $u$ :

با کم کردن (A) از (B)، به دست می‌آوریم $$[\sin x\cos y-\cos x\sin y]\sin (x+y)=0$$ از آنجا که $\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$، می‌توانیم عبارت داخل کروشه را به صورت $\sin (x-y)$ بنویسیم. بنابراین

$$\sin (x-y)\sin (x+y)=0$$

$$\Rightarrow x-y=0,\text{یا}x-y=\pi ,\text{یا}x+y=0,\text{یا}x+y=\pi .$$

چون ، تنها $x-y=0$ قابل قبول است:

$$x-y=0\Rightarrow x=y.$$

با استفاده از $x=y$ در (A)، داریم

$$\cos x\sin x\sin (2x)+{\sin }^{2}x\cos (2x)=0$$

توجه کنید $\sin 2x=2\sin x\cos x$ :

$$\begin{array}{c}2{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x\cos 2x=0\\ {\sin }^{2}x(2{\cos }^{2}x+\cos 2x)=0\\ \cos 2x=2{\cos }^{2}x-1:\\ {\sin }^{2}x(4{\cos }^{2}x-1)=0\end{array}$$

چون ؛ بنابراین

$${\sin }^{2}x(4{\cos }^{2}x-1)=0\iff {\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$$ یا $$\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}$$

این بدان معناست که $u$ یک ماکزیمم است وقتی $x=y=z={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ و مقدار ماکزیمم $u$ برابر است با

$${\sin }^3\left(\frac{\pi }{3}\right)={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}\approx 0.65$$

مینیمم برای $x=y=1$.

$$u=\frac{e^{x+y}}{xy}=\frac{e^x}{x}\cdot \frac{e^y}{y}$$

از آنجا که ${\displaystyle \frac{e^{x+y}}{xy}}\ne 0$، باید داشته باشیم

$$-\frac{1}{x}+1=0\text{ و }-\frac{1}{y}+1=0$$ یا $$x=1\text{ و }y=1$$

وقتی $x=y=1,u=e^2\approx 7.39$.

بیایید چند نقطه نزدیک را بررسی کنیم:

بنابراین، $u$ یک مینیمم به مقدار $e^2$ دارد.

مینیمم: $x=\frac{1}{2}$ و $y=2$.

$$u=y+2x-2\ln y-\ln x$$

وقتی $x=0.5$ و $y=2$، $u=3-\ln 2\approx 2.31.$

می‌توانیم چند نقطه نزدیک به $x=\frac{1}{2},y=2$ را بررسی کنیم

وقتی $x=0.4,y=1.9,u\approx 2.33$

وقتی $x=0.4,y=2.1,u\approx 2.33$

وقتی $x=0.6,y=1.9,u\approx 2.33$

وقتی $x=0.6,y=2.1,u\approx 2.33$

بنابراین، $u$ یک مینیمم است وقتی $x=\frac{1}{2}$ و $y=2$.

زاویه در رأس $={90}^{\circ }$؛ اضلاع مساوی = طول = $\sqrt[3]{2V}$.

$$\text{مساحت مثلث }=A_1=\frac{1}{2}{x}^2\sin \theta$$

$$\text{حجم }=V=A_{1}L=\frac{1}{2}{x}^2\sin \theta L$$

$$V=A_{1}L=\frac{1}{2}{x}^2\sin \theta L\Rightarrow L=\frac{2V}{x^2\sin \theta }$$

$$A=x^2\sin \theta +\frac{4V}{x\sin \theta }$$

برای مینیمم کردن، قرار می‌دهیم ${\displaystyle \frac{\partial A}{\partial x}}=0$ و ${\displaystyle \frac{\partial A}{\partial \theta }}=0$

یا