Derivadas de funciones trigonométricas

(i) ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=A\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$;

(ii) ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ y ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=2\cos 2\theta$;

(iii) ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=3{\sin }^2\theta \cos \theta$ y ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=3\cos 3\theta$.

(i) ${\displaystyle y=A\sin (\theta -\frac{\pi }{2})}$

Escribimos $$y=A\sin u\text{ donde }u=\theta -\frac{\pi }{2}$$ Usando la Regla de la Cadena: \begin{align} \frac{d y}{d \theta}&= \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ & =(A \cos u)(1) \\ & =A \cos \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) \end{align}

(ii) Si $y={\sin }^2\theta =(\sin \theta {)}^2$

Sea $$y=u^2\text{ donde }u=\sin \theta$$ Usando la Regla de la Cadena: \begin{align} \frac{d y}{d \theta} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ & =2 u \cdot \cos \theta \\ & =2 \sin \theta \cos \theta \end{align} El resultado también se puede escribir como $\sin 2\theta$ ya que $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .$

Si $y=\sin 2\theta$, sea $$y=\sin u\text{ donde }u=2\theta .$$ Usando la Regla de la Cadena: \begin{align} \frac{d y}{d \theta}&=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ &=(\cos u)(2) \\ &=2 \cos (2 \theta) \end{align} Si $y={\sin }^3\theta =(\sin \theta {)}^3$, escribimos $$y=u^3\text{donde}u=\sin \theta$$ Luego, usando la Regla de la Cadena \begin{align} \frac{d y}{d \theta}&=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ &=3 u^{2} \cdot \cos \theta \\ &=3(\sin \theta)^{2} \cdot \cos \theta \\ &=3 \cos \theta \sin ^{2} \theta \\ &=(\cos u) \cdot(3) \\ &=3 \cos 3 \theta \cdot \sin 3 \theta \end{align} Si $y=\sin 3\theta$, escribimos $$y=\sin u\text{donde}u=3\theta$$ Luego \begin{align} \frac{dy}{d \theta}&=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ &=(\cos u)(3)\\ &=3\cos {3\theta} \end{align}

$\theta ={45}^{\circ }$ o ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ radianes.

$$y=\sin \theta \cos \theta$$

Método 1) Usando la Regla del Producto:

\begin{align} \frac{d y}{d \theta}&=\cos \theta \cdot \cos \theta-\sin \theta \sin \theta \\ &=\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta \\ &=\cos 2 \theta \end{align} $$\frac{dy}{d\theta }=\cos 2\theta =0\iff 2\theta =\frac{\pi }{2}\text{ o }2\theta =\frac{3\pi }{2}$$ $$\frac{dy}{d\theta }=0\iff \theta =\frac{\pi }{4}\text{ o }\theta =\frac{3\pi }{4}$$ \begin{align} \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}&= \frac{d(\cos 2 \theta)}{d(2 \theta)} \cdot \frac{d(2 \theta)}{d \theta} \\ &=(-\sin 2 \theta)(2) \\ &=-2 \sin 2 \theta \end{align} Cuando $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ Por lo tanto, la curva es cóncava hacia abajo, y así cuando $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, $y$ tiene un máximo de $$\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.$$

Cuando $\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ entonces, la curva es cóncava hacia arriba y así cuando $\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$, $y$ tiene un mínimo de \begin{align} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right) & =\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \\ & =\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \times\left(-\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ & =-\frac{1}{2}. \end{align}

Método 2)

$$y=\sin \theta \cdot \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$$ $y$ es un máximo donde $\sin 2\theta$ es un máximo y eso ocurre cuando $$2\theta =\frac{\pi }{2}\text{ o }\theta =\frac{\pi }{4}$$ El máximo de $y$ es entonces $\frac{1}{2}\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}$.

${\displaystyle \frac{dy}{dt}}=-n\sin 2\pi nt$.

$$y=\frac{1}{2\pi }\cos (2\pi nt)$$ Escribimos $$y=\frac{1}{2\pi }\cos u\text{ donde }u=2\pi nt$$ \begin{align} \frac{d y}{d t} &= \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d t} \\ &=-\frac{1}{2 \pi} \sin u \cdot 2 \pi n \\ &=-n \sin u \\ &= n \sin (2 \pi n t) \end{align}

$a^x\ln a\cos a^x$.

$$y=\sin \left(a^x\right)$$ Sea $y=\sin u$ donde $u=a^x$. Entonces \begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\cos u \cdot a^{x} \cdot \ln a \\ & =\cos \left(a^{x}\right) \cdot a^{x} \cdot \ln a \end{align}

${\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}=\cot x$

$$y=\ln \cos x$$

Escribimos $y=\ln u$ donde $u=\cos x$. Entonces

\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{1}{u} \cdot(-\sin x) \\ & =\frac{1}{\cos x}(-\sin x) \\ & =-\tan x \end{align}

$18.2\cos (x+26)$.

$$y=18.2\sin (x+26)$$

Escribimos $y=18.2\sin u$ donde $u=x+26$. Entonces

\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =(18.2 \cos u)(1) \\ & =18.2 \cos (x+26) \end{align}

La pendiente es ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=100\cos (\theta -\frac{\pi }{12})$, que es máxima cuando $(\theta -\frac{\pi }{12})=0$, o $\theta =\frac{\pi }{12}$; el valor de la pendiente siendo entonces $=100$. Cuando $\theta =\frac{5\pi }{12}$ la pendiente es $100\cos (\frac{5\pi }{12}-\frac{\pi }{12})=100\cos \frac{\pi }{3}=100\times \frac{1}{2}=50$.

\begin{align} & y=10 \sin \left(\theta-\frac{\pi}{12}\right) \\ & \frac{d y}{d \theta}=10 \cos \left(\theta-\frac{\pi}{12}\right) \end{align}

Para encontrar la pendiente máxima, tenemos que diferenciar ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}$ con respecto a $\theta$ y equacionar el resultado a cero

$$\frac{d\left({\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}\right)}{d\theta }=\frac{d^{2}y}{d{\theta }^2}=-10\sin (\theta -\frac{\pi }{12})=0$$

\begin{align} \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=0\quad\Leftrightarrow &\quad \theta-\frac{\pi}{12}=0 \quad \text { o } \quad \theta-\frac{\pi}{12}=\pi \\ \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=0\quad \Leftrightarrow &\quad \theta=\frac{\pi}{12} \quad \text { o } \quad \theta=\frac{13 \pi}{12} \end{align}

Cuando $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ $$\frac{dy}{d\theta }=10\cos 0=10(\text{pendiente máxima})$$

Cuando $\theta ={\displaystyle \frac{13\pi }{12}}$ $$\frac{dy}{d\theta }=10\cos (\pi )=-10(\text{pendiente mínima})$$

Pendiente cuando $\theta ={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$: \begin{align} \frac{d y}{d \theta} & =10 \cos \left(\frac{5 \pi}{12}-\frac{\pi}{12}\right)=10 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ & =10 \times \frac{1}{2}=5 . \end{align} Como podemos ver, la pendiente de la curva en $\theta =\frac{5\pi }{12}$, que es 5, es la mitad de la pendiente máxima, que es 10 y ocurre cuando $\theta =\frac{\pi }{12}.$

\begin{align} \cos\theta \sin2\theta + 2\cos2\theta \sin\theta &= 2\sin\theta\left(\cos^2 \theta + \cos2\theta\right) \\ &= 2\sin\theta\left(3\cos^2 \theta - 1\right). \end{align}

$$y=\sin \theta \cdot \sin 2\theta$$

Usando la Regla del Producto:

$$\frac{dy}{d\theta }=\frac{d(\sin \theta )}{d\theta }\cdot \sin 2\theta +\sin \theta \frac{d(\sin 2\theta )}{d\theta }$$

Mostramos en el Ejercicio 1 (ii) que ${\displaystyle \frac{d(\sin 2\theta )}{d\theta }}=2\cos 2\theta$.

Por lo tanto,

$$\frac{dy}{d\theta }=\cos \theta \cdot \sin 2\theta +2\sin \theta \cos 2\theta$$

Podemos simplificarlo aún más usando

$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$$ y $$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1.$$

\begin{align} \frac{d y}{d \theta} & =2 \sin \theta \cos ^{2} \theta+2 \sin \theta\left(2 \cos ^{2} \theta-1\right) \\ & =2 \sin \theta\left(\cos ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta-1\right) \\ & =2 \sin \theta\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right) . \end{align}

$amn{\theta }^{n-1}{\tan }^{m-1}\left({\theta }^n\right){\sec }^2{\theta }^n$.

$$y=a{\tan }^m\left({\theta }^n\right)=a{[\tan \left({\theta }^n\right)]}^m$$ Escribimos $$y=a{u}^m\text{ donde }u=\tan v\text{ y }v={\theta }^n.$$ Entonces

\begin{align} & \frac{d y}{d \theta}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d \theta} \\ &=a m u^{m-1} \cdot \sec ^{2} v \cdot n \cdot \theta^{n-1} \\ &=a m (\tan v)^{m-1} \cdot \sec ^{2} v \cdot n \cdot \theta^{n-1} \\ &=a \cdot m \cdot n \cdot\left[\tan \left(\theta^{n}\right)\right]^{m-1} \cdot \sec ^{2}\left(\theta^{n}\right) \cdot \theta^{n-1} \end{align} Nótese que ${\sec }^2\left({\theta }^n\right)$ significa ${[\sec \left({\theta }^n\right)]}^2$ y ${[\tan \left({\theta }^n\right)]}^{m-1}$ se puede escribir como ${\tan }^{m-1}\left({\theta }^n\right)$. Por lo tanto, $$\frac{dy}{d\theta }=amn{\theta }^{n-1}{\tan }^{m-1}\left({\theta }^n\right){\sec }^2\left({\theta }^n\right)$$

$e^x({\sin }^{2}x+\sin 2x)$;$e^x({\sin }^{2}x+2\sin 2x+2\cos 2x)$.

$$y=e^x{\sin }^{2}x=e^x(\sin x{)}^2$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d\left(e^x\right)}{dx}{\sin }^{2}x+e^x\frac{d({\sin }^{2}x)}{dx}$$

Para encontrar ${\displaystyle \frac{d({\sin }^{2}x)}{dx}}$, notamos que

$${\sin }^{2}x=(\sin x{)}^2$$

y

\begin{align} \frac{d\left(u^{2}\right)}{d x} & =\frac{d\left(u^{2}\right)}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \qquad(u=\sin x) \\ & =2 u \cdot \cos x \\ & =2 \sin x \cos x \\ & =\sin 2 x \end{align} Por lo tanto, \begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d\left(e^{x}\right)}{d x} \sin ^{2} x+e^{x} \frac{d\left(\sin ^{2} x\right)}{d x} \\ & =e^{x} \sin ^{2} x+e^{x} \sin 2 x \\ & =e^{x}\left(\sin ^{2} x+\sin 2 x\right) \end{align}

La segunda derivada: \begin{align} \frac{d y}{d x}&= \frac{d\left(e^{x}\left(\sin ^{2} x+\sin 2 x\right)\right)}{dx}\\ &=\frac{d(e^x)}{dx}\left(\sin ^{2} x+\sin 2 x\right)+e^x\left(\frac{d(\sin^2 x)}{dx}+\frac{d(\sin 2x)}{dx}\right)\\ &=e^x\left(\sin ^{2} x+\sin 2 x\right)+e^x\left(\underbrace{2\cos x \sin x}_{\sin 2x}+2\cos 2x\right)\\ &=e^x\left(\sin^2 x+2\sin 2x+2\cos 2x\right). \end{align}

$\left(i\right){\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{ab}{{(x+b)}^2}}$; (ii) ${\displaystyle \frac{a}{b}}{e}^{-\frac{x}{b}}$; (iii) ${\displaystyle \frac{2ab}{\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{1}{(b^2+x^2)}}$.

(i) Usando la Regla del Cociente: $$\frac{dy}{dx}=\frac{a(x+b)-ax}{(x+b{)}^2}=\frac{ab}{(x+b{)}^2}$$

(ii) ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-a\times (-\frac{1}{b})e^{-\frac{x}{b}}=\frac{a}{b}{e}^{-\frac{x}{b}}$

(iii) Para diferenciar $y={\displaystyle \frac{2a}{\pi }}\arctan \left(\frac{x}{b}\right)$, escribimos $$y=\frac{2a}{\pi }\arctan u\text{donde}u=\frac{x}{b}.$$ Luego, \begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{2 a}{\pi} \frac{1}{1+u^{2}} \cdot \frac{1}{b} \\ & =\frac{2 a}{\pi b} \frac{1}{1+\left(\frac{x}{b}\right)^{2}} \\ & =\frac{2 a b}{\pi} \frac{1}{x^{2}+b^{2}} \end{align}

Cuando $x$ es muy grande

\begin{align} & \frac{a b}{(x+b)^{2}} \approx \frac{a b}{x^{2}} \approx 0 \\ & \frac{a}{b} e^{-\frac{x}{b}} \approx \frac{a}{b} \times 0=0 \\ & \frac{2 a b}{x^{2}+b^{2}} \approx \frac{2 a b}{x^{2}} \approx 0 \end{align}

Por lo tanto, sus pendientes son casi cero para valores grandes de $x$.

Cuando $x\approx 0$ \begin{align} & \frac{a b}{(x+b)^{2}} \approx \frac{a b}{b^{2}}=\frac{a}{b} \\ & e^{-\frac{x}{b}} \approx 1 \Rightarrow \frac{a}{b} e^{-\frac{x}{b}} \approx \frac{a}{b} \\ & \frac{2 a b}{x^{2}+b^{2}} \approx \frac{2 a b}{b^{2}}=\frac{2 a}{b} \end{align} Cuando $x$ es pequeño ($x\approx 0$), las pendientes de $y=\frac{ax}{x+b}$ y $y=a(1-e^{-\frac{x}{b}})$ son casi idénticas, pero la pendiente de $\frac{2a}{\pi }\arctan \left(\frac{x}{b}\right)$ es el doble de las otras.

Cuando $x\approx b$ \begin{align} & \frac{a b}{(x+b)^{2}} \approx \frac{a b}{(2 b)^{2}}=\frac{a}{4 b} \\ & \frac{a}{b} e^{-\frac{x}{b}} \approx \frac{a}{b} \cdot e^{-1}=\frac{a}{2.78 b} \\ & \frac{2 a b}{x^{2}+b^{2}} \approx \frac{2 a b}{2 b^{2}}=\frac{a}{b} . \end{align}

(i) ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=\sec x\tan x$;

(ii) ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$;

(iii) ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$;

(iv) ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}}$;

(v) ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3\sec x}(3{\sec }^{2}x-1)}{2}}$.

(i) $y=\sec x={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$
Usando la Regla del Cociente \begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{-(-\sin x)}{\cos ^{2} x}=\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} \\ & =\tan x \cdot \sec x . \end{align}

(ii) $y=\arccos x$ (o $y={\cos }^{-1}x$ )

Si $y=\arccos x$, entonces $x=\cos y$ y $$\frac{dx}{dy}=-\sin y$$

\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{\frac{d x}{d y}} \\ & =\frac{1}{-\sin y} \end{align} Dado que $\sin y=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}y}$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{-\sqrt{1-{\cos }^{2}y}}$$ Dado que $x=\cos y$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\mp \sqrt{1-x^2}}$$ Pero ¿cuál es correcto? ¿El signo $-$ o el signo $+$? Si observamos el gráfico de $y=\arccos x$, la pendiente es negativa en todas partes.

Por lo tanto, $$\frac{d(\arccos x)}{dx}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$$

(iii) Si $y=\arctan x$, entonces $x=\tan y$ y

$$\frac{dx}{dy}=1+{\tan }^{2}y(\text{ o }{\sec }^{2}y)$$ Por lo tanto,

\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{\dfrac{d x}{d y}} \\ & =\frac{1}{1+\tan ^{2} y} \\ & =\frac{1}{1+x^{2}} \end{align}

(iv) Si $y=\mathrm{arcsec}x$ entonces $x=\sec y$. En la parte (i), mostramos que

$$\frac{dx}{dy}=\tan y\cdot \sec y\text{. }$$ Por lo tanto, \begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{\dfrac{d x}{d y}} \\ & =\frac{1}{\tan y \cdot \sec y} \end{align} Dado que $1+{\tan }^{2}y={\sec }^{2}y\Rightarrow \tan y=\pm \sqrt{{\sec }^{2}y-1}$, tenemos \begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{ \pm \sqrt{\sec ^{2} y-1} \cdot \sec y} \\ & =\frac{1}{ \pm x \sqrt{x^{2}-1}} . \end{align}

Ahora necesitamos decidir sobre el signo.

Como podemos ver en el gráfico $y=\mathrm{arcsec}x$, la pendiente es siempre positiva. Por lo tanto, debemos tener

\begin{align} & \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} &&\text { si } x \geq 1 \\ & \frac{d y}{d x}=\frac{1}{-x \sqrt{x^{2}-1}} &&\text { si } x \leq-1 \end{align} Podemos combinar estos dos y escribir $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

(v) $y=\tan x\times \sqrt{3\sec x}=\sqrt{3}\tan x\cdot \sqrt{\sec x}$.

Usando la Regla del Producto: $$\frac{dy}{dx}=\sqrt{3}[\frac{d(\tan x)}{dx}\cdot \sqrt{\sec x}+\tan x\frac{d(\sqrt{\sec x})}{dx}]$$

Para encontrar ${\displaystyle \frac{d\left(\sqrt{\sec x}\right)}{dx}}$, sea $u=\sec x$. Entonces,

\[\begin{align} \frac{d(\sqrt{u})}{d x} & =\frac{