مشتقات توابع مثلثاتی

حروف یونانی معمولاً برای نشان دادن زاویه‌ها استفاده می‌شوند، ما حرف $\theta$ ("تتا") را به عنوان حرف معمول برای هر زاویه متغیر در نظر می‌گیریم. در این فصل، $\theta$ بر حسب رادیان اندازه‌گیری می‌شود.¹

مشتق سینوس

تابع $$y=\sin \theta$$ را در نظر می‌گیریم.

آنچه باید بررسی کنیم مقدار ${\displaystyle \frac{d(\sin \theta )}{d\theta }}$ است؛ به عبارت دیگر، اگر زاویه $\theta$ تغییر کند، باید رابطه بین افزایش سینوس و افزایش زاویه را بیابیم، هر دو افزایش به طور نامحدود کوچک هستند. شکل بعدی را بررسی کنید، که در آن، اگر شعاع دایره یک باشد، ارتفاع $y$ همان سینوس، و $\theta$ زاویه است. حال، اگر $\theta$ با اضافه کردن زاویه کوچک $d\theta$—یک عنصر زاویه—افزایش یابد، ارتفاع $y$، یعنی سینوس، به اندازه عنصر کوچک $dy$ افزایش خواهد یافت. ارتفاع جدید $y+dy$ سینوس زاویه جدید $\theta +d\theta$ خواهد بود، یا به صورت معادله: $$y+dy=\sin (\theta +d\theta );$$ و با کم کردن معادله اول از آن داریم: $$dy=\sin (\theta +d\theta )-\sin \theta .$$

مقدار سمت راست تفاضل دو سینوس است و کتاب‌های مثلثات به ما می‌گویند چگونه آن را محاسبه کنیم. زیرا می‌گویند اگر $M$ و $N$ دو زاویه متفاوت باشند، $$\sin M-\sin N=2\cos \frac{M+N}{2}\cdot \sin \frac{M-N}{2}.$$

اگر، بنابراین، $M=\theta +d\theta$ را برای یک زاویه، و $N=\theta$ را برای دیگری قرار دهیم، می‌توانیم بنویسیم یا،

اما اگر $d\theta$ را بی‌نهایت کوچک در نظر بگیریم، آنگاه در حد می‌توانیم از $\frac{1}{2}d\theta$ در مقایسه با $\theta$ صرف نظر کنیم، و همچنین می‌توانیم $\sin \frac{d\theta }{2}$ را معادل $\frac{1}{2}d\theta$ بگیریم. آنگاه معادله تبدیل می‌شود به: و در نهایت، [توجه کنید که تقریب $\sin \frac{d\theta }{2}\approx \frac{d\theta }{2}$ تنها وقتی درست است که $d\theta$ بر حسب رادیان اندازه‌گیری شود.]

منحنی‌های همراه در دو شکل بعدی، مقادیر $y=\sin \theta$ و ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=\cos \theta$ را برای مقادیر متناظر $\theta$ به صورت مقیاس‌بندی شده نشان می‌دهند.

مشتق کسینوس

حال کسینوس را در نظر می‌گیریم.

فرض کنید $y=\cos \theta$.

اکنون $\cos \theta =\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )$.

بنابراین $$\frac{dy}{d\theta }=-\cos (\frac{\pi }{2}-\theta ).$$ و از این نتیجه می‌شود که $$\frac{dy}{d\theta }=-\sin \theta .$$

مشتق تانژانت

در انتها، تانژانت را در نظر می‌گیریم.

از آنجا که $\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$، می‌توانیم از قاعده خارج قسمت برای یافتن ${\displaystyle \frac{d(\tan \theta )}{d\theta }}$ استفاده کنیم:²

از آنجا که $$\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=1+{\left(\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\right)}^2$$ به‌دست می‌آوریم $$\frac{d(\tan \theta )}{d\theta }=1+{\tan }^2\theta .$$ همچنین، از آنجا که ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$، به‌دست می‌آوریم $$\frac{d(\tan \theta )}{d\theta }=\frac{1}{{\cos }^2\theta }={\sec }^2\theta .$$ بنابراین، $$\frac{d(\tan \theta )}{d\theta }={\sec }^2\theta =1+{\tan }^2\theta .$$

خلاصه نتایج

با جمع‌بندی این نتایج، داریم:

برای به‌دست آوردن نتایج فوق، $\sin (d\theta /2)$ را با $d\theta /2$ جایگزین کردیم. به طور کلی، $\sin x$ تقریباً برابر با $x$ است وقتی (۱) $x$ کوچک باشد و (۲) $x$ بر حسب رادیان اندازه‌گیری شود $$\sin x\approx x(x\text{ کوچک است و بر حسب رادیان اندازه‌گیری می‌شود}).$$ برای مثال، $1^{\circ }$ معادل $\frac{\pi }{180}$ رادیان است، و نمی‌توانیم $\sin 1^{\circ }$ را با ۱ تقریب بزنیم $$\sin 1^{\circ }\ne 1$$ اما $$\sin 1^{\circ }=\sin \frac{\pi }{180}\approx \frac{\pi }{180}=0.017.$$ بنابراین، نتایج جدول‌بندی شده بالا تنها زمانی درست هستند که $\theta$ بر حسب رادیان اندازه‌گیری شود.

گاهی اوقات، در مسائل مکانیکی و فیزیکی، مانند حرکت هماهنگ ساده و حرکات موجی، باید با زاویه‌هایی سروکار داشته باشیم که متناسب با زمان افزایش می‌یابند. بنابراین، اگر $T$ زمان یک دوره کامل، یا یک دور حرکت دایره‌ای باشد، آنگاه، از آنجا که زاویه کل دایره $2\pi$ رادیان (معادل ${360}^{\circ }$) است، مقدار زاویه طی شده در زمان $t$ برابر خواهد بود با: اگر فرکانس، یا تعداد دوره‌ها در هر ثانیه، را با $n$ نشان دهیم، آنگاه $n={\displaystyle \frac{1}{T}}$، و می‌توانیم بنویسیم: $$\theta =2\pi nt.$$ سپس خواهیم داشت: $$y=\sin (2\pi nt).$$

اگر اکنون بخواهیم بدانیم سینوس نسبت به زمان چگونه تغییر می‌کند، باید نه نسبت به $\theta$، بلکه نسبت به $t$ مشتق بگیریم. برای این کار باید به قاعده زنجیره‌ای که در فصل قاعده زنجیره‌ای توضیح داده شد متوسل شویم، و قرار دهیم: $$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{d\theta }\cdot \frac{d\theta }{dt}.$$

واضح است که ${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}}$ برابر $2\pi n$ خواهد بود؛ بنابراین به طور مشابه، نتیجه می‌شود که

مشتقات دوم سینوس و کسینوس

دیدیم که وقتی $\sin \theta$ نسبت به $\theta$ مشتق گرفته می‌شود، به $\cos \theta$ تبدیل می‌شود؛ و وقتی $\cos \theta$ نسبت به $\theta$ مشتق گرفته می‌شود، به $-\sin \theta$ تبدیل می‌شود؛ یا به صورت نمادین: $$\frac{d^2(\sin \theta )}{d{\theta }^2}=-\sin \theta .$$

بنابراین به این نتیجه جالب رسیدیم که تابعی یافته‌ایم که اگر دوبار از آن مشتق بگیریم، همان چیزی به‌دست می‌آید که از آن شروع کردیم، اما با علامت تغییر یافته از $+$ به $-$.

همین مطلب برای کسینوس نیز صادق است؛ زیرا مشتق گرفتن از $\cos \theta$ به ما $-\sin \theta$ را می‌دهد، و مشتق گرفتن از $-\sin \theta$ به ما $-\cos \theta$ را می‌دهد؛ یا به این صورت: $$\frac{d^2(\cos \theta )}{d{\theta }^2}=-\cos \theta .$$

سینوس‌ها و کسینوس‌ها تنها توابعی هستند که مشتق دوم آن‌ها با تابع اصلی برابر (و با علامت مخالف) است.

مثال‌ها

با آنچه تاکنون آموخته‌ایم، اکنون می‌توانیم عبارت‌های پیچیده‌تری را مشتق بگیریم.

مثال ۱۵.۱. اگر $y=\arcsin x$، ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ را بیابید.

[در بسیاری از کتاب‌های مدرن حساب دیفرانسیل و انتگرال، سینوس معکوس با ${\sin }^{-1}$ نشان داده می‌شود؛ یعنی $\arcsin x={\sin }^{-1}x$. توجه داشته باشید که ${\sin }^{-1}x$ با $\frac{1}{\sin x}$ یکسان نیست. برای جلوگیری از سردرگمی، در برخی متون، از جمله این متن، نماد $\arcsin x$ ممکن است بر ${\sin }^{-1}x$ ترجیح داده شود.]

راه‌حل. اگر $y$ کمانی باشد که سینوس آن $x$ است، آنگاه $x=\sin y$. $$\frac{dx}{dy}=\cos y.$$

حال از تابع معکوس به تابع اصلی بازمی‌گردیم، داریم و از آنجا که ${\cos }^{2}y+{\sin }^{2}y=1$، $$\cos y=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}y}=\pm \sqrt{1-x^2};$$ در نتیجه اما کدام یک درست است؟ مثبت یا منفی؟ اگر به نمودار $y=\arcsin x$ (شکل مقابل) نگاه کنیم، متوجه می‌شویم که شیب منحنی همواره مثبت است، که نشان می‌دهد باید ریشه دوم مثبت را در نظر بگیریم. بنابراین، $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

تمرین‌ها